VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
o0o
NGUYỄN NGỌC LINH
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI
TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA
TƯƠNG ĐƯƠNG
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ
HÀ NỘI – 2015
thuật như kết cấu chịu tác động của tải trọng gió hay tải trọng sóng,
ổ, trục đỡ của cơ cấu di chuyển. Do đặc điểm của các tải trọng này là
ngẫu nhiên theo thời gian, nên các bài toán dao động được mô hình
hóa dựa trên lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên. Việc xây
dựng mô hình cho các bài toán nêu trên thường dẫn tới việc thiết lập
và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến. Do kích động
là các lực ngẫu nhiên nên các đáp ứng như dịch chuyển, vận tốc cũng
có tính chất ngẫu nhiên. Bởi vậy, trong phân tích dao động ngẫu
nhiên, kết quả của các đáp ứng được biểu diễn dưới dạng trung bình
theo nghĩa xác suất. Sự tồn tại nghiệm chính xác rất quan trọng, thứ
nhất nó cho phép khẳng định tính đúng đắn của mô hình được thiết
lập khi đối chiếu với các số liệu đo đạc trong thực tế, thứ hai nó cho
phép ước lượng được các thông số cần điều chỉnh và điều khiển
trong các bài toán thiết sơ bộ, thiết kế chính xác hay kiểm tra. Tuy
nhiên, do những hạn chế về phương pháp giải tích nên rất ít bài toán
ngẫu nhiên phi tuyến có nghiệm chính xác. Mặc dù các phương pháp
số giúp cho các bài toán phi tuyến trở nên giải được, nhưng một hệ
phi tuyến có thể cho kết quả bằng nghiệm số không có nghĩa là đã
đáp ứng các yêu cầu thực tiễn khi phân tích hệ. Ví dụ, đối với hệ có
nhiều bậc tự do cần rất nhiều thời gian cho việc xây dựng mô hình
tính toán chính xác, ngay cả đối với các hệ ngẫu nhiên có một bậc tự
do gồm nhiều thông số đầu vào thì khối lượng cần tính toán là rất lớn
và mất nhiều thời gian tính toán. Do vậy, phương pháp giải tích xấp
xỉ là cần thiết để phân tích các hệ phi tuyến. 2
Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính
hóa tương đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ
biến nhất vì tính đơn giản, có thể áp dụng được cho hệ một hoặc
TUYẾN
1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất
Để mô tả một quá trình ngẫu nhiên thường sử dụng các đặc trưng là
các hàm không ngẫu nhiên như hàm mật độ xác suất, trung bình,
trung bình bình phương, phương sai, hàm tương quan, mật độ phổ.
Hàm mật độ xác suất của quá trình ngẫu nhiên
x t
, , /
p x t F x t x t
(1.1)
trong đó
,
F x t
là hàm phân bố xác suất.
,
;
E x t x t x t p x t dx
(1.4)
Phương sai
2
2
2 2
x x x
D E x t m t x t x t
(1.5)
Hiệp phương sai
1 2
11 1 2 1 2 1 2
,
xx x x
với
là góc giữa hai véc tơ này, Rodgers (1988) chứng minh
cosr
(1.8)
Trong nhiều trường hợp, có thể sử dụng hệ số tương quan bình
phương r
2
thay cho r. r và r
2
là độ đo mức độ phụ thuộc tuyến tính
của X và Y, cường độ tương quan có thể được đề xuất (Cohen,
1988).
1.2.2 Các quá trình ngẫu nhiên đặc biệt
Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt thường gặp trong dao động phi
tuyến như quá trình dừng, quá trình Wiener, quá trình Markov được
giới thiệu trong đó quá trình ồn trắng Gauss có hàm mật độ xác suất
2
2
1
exp
2
2
(1.10)
1.4 Dao động ngẫu nhiên chịu kích động ồn trắng Gauss
Xét hệ cơ học một bậc tự do như hình 1.1
,
tt tt pt
mx b x k x g x x u t
(1.11)
trong đó m là khối lượng, b
tt
, k
tt
là các hệ số cản và độ cứng
tuyến tính,
,
pt
g x x
/
f t u t m t
, (1.11) viết dưới
dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên là
2
2 ,
o
x hx x g x x t
(1.12)
Hàm mật độ xác suất dưới dạng giải tích của đáp ứng của (1.12) có
thể xác định từ phương trình FPK (1.10) trong một số trường hợp:
- Khi
, 0
g x x
,
f H x x
là hàm của tổng năng lượng hay hàm Hamilton.
- Khi hệ (1.12) có cản tuyến tính và đàn hồi phi tuyến
2
0
2
x hx x g x t
(1.14)
1.5 Một số phương pháp xấp xỉ trong phân tích dao động ngẫu
nhiên phi tuyến
Do hạn chế của phương pháp phương trình FPK, một số phương
pháp giải tích xấp xỉ được sử dụng như phương pháp nhiễu, trung
bình hóa ngẫu nhiên, tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên, phi
tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên, phương pháp sử dụng hàm mật
độ phổ. Bên cạnh đó, một số phương pháp số cũng được sử dụng như
các phương pháp xấp xỉ cho phương trình FPK, phương pháp mô
phỏng số Monte Carlo.
Kết luận chương 1
, thu được phương trình tuyến tính
2
2
o
x h b x k x t
(2.1)
trong đó b, k được gọi là các hệ số tuyến tính hóa tương đương
Xuất phát từ sai số phương trình của (1.12) và (2.1) là
, ,
e x x g x x bx kx
(2.2)
Trong chương 2 giới thiệu về phương pháp tuyến tính hóa tương
đương ngẫu nhiên và một số phát triển của phương pháp này như tiêu
chuẩn cực tiểu sai số thế năng, tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương
đương có điều chỉnh, tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương dựa trên
phân bố khác Gauss, tiêu chuẩn tuyến tính hóa từng phần. 7
CHƯƠNG 3. TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU CỦA PHƯƠNG PHÁP
TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN
3.1. Ý tưởng cơ bản của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số tổng
quát
Dựa trên cách tiếp cận đối ngẫu, N.Đ.Anh (2010) đề xuất tiêu chuẩn
2 2 2
3 3 3 3
1 2
,
min
k
S x kx p kx x p x x
(3.1)
(3.3)
Từ điều kiện cực tiểu (3.3), xác định được
2
1
2
dn
AB
k
B
(3.4)
2
dn
(3.5)
trong đó
2
2 2
AB
A B
2 2
AB
r
A B
(3.8)
Kết hợp (3.6) và (3.8) ta có
2
r
(3.9)
µ được gọi là mức độ phụ thuộc tuyến tính.
3.2.3 Ý nghĩa hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu
Xét không gian Hilbert hai chiều H của các hàm ngẫu nhiên
,
u x v x
có trung bình không, mô men bậc hai hữu hạn và hàm
mật độ xác suất
p x R
, không gian này có tích trong, chuẩn và
khoảng cách được định nghĩa bởi
,
u x v x
có thể biểu diễn dưới dạng các véc tơ u, v. Theo
định lý phép chiếu trực giao, , tồn tại duy nhất một véc tơ hình chiếu
,
p
u
của phép chiếu trực giao véc tơ u lên phương của véc tơ v
,
inf
p
u u u v
(3.11)
Véc tơ
,
p
u
, hệ số tương quan và góc θ giữa u và v có liên hệ
1/2 1/2
2 2
( , )
cos 1
. Khi u và v khác phương, ta có thể
biểu diễn được quan hệ tuyến tính giữa véc tơ v với véc tơ hình chiếu
p
u
của một phép chiếu véc tơ u lên phương của v. Nói một cách
khác, véc tơ u được thay thế tương đương bằng véc tơ hình chiếu
p td
u k v
(3.14)
trong đó
td
k
là hệ số tương đương. Trong phép thay thế tuyến tính
tương đương sử dụng tiêu chuẩn bình phương tối thiểu, bình phương
khoảng cách giữa hai véc tơ u và
td
k v
được yêu cầu là nhỏ nhất
2
min
td
td
k
u k v (3.15)
0 / 2
b)
/ 2
Hình 3.1 Phép chiếu véc tơ của tiêu chuẩn đối ngẫu
Biểu diễn như (3.17) cho thấy quá trình thay thế lượt đi từ
dn
A k B
là phép chiếu véc tơ A lên phương của B. Quá trình thay thế lượt về
từ
dn dn
k B A
là phép chiếu véc tơ k
dn
B lên phương của véc tơ A.
Tương ứng với cách thay thế đối ngẫu, sự kết hợp hai phép chiếu này
được gọi là phép chiếu đối ngẫu. Biểu diễn hình học của tiêu chuẩn 10
đối ngẫu cho hai trường hợp
0 / 2
cos
dn dn dn
A k B k B r
(3.20)
3.2.4 Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu để phân tích mô men bậc hai
của dao động ngẫu nhiên phi tuyến
Xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do (1.12) với
,
g x x
là hàm phi tuyến dạng đa thức
1 1
, , ,
M N
i j
i j
g x x g x x g x x
, ; ,
, ; ,
i i j j
M M N N
i i j j
i i j j
g x x b x g x x k x
g x x bx b x g x x kx k x
(3.22)
Kết quả thu được phương trình tuyến tính hóa tương đương
2
2
o
x h b x k x t
2
2
2 2 2 2
,
,
;
, ,
j
i
i j
i j
xg x x
xg x x
g x x x g x x x
(3.24)
2 2
2 2
M N
j
i
i j
i j
xg x x
xg x x
b k
x x
(3.26)
3.3 Các ví dụ áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương
theo tiêu chuẩn đối ngẫu
Trong phần các ví dụ áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu để phân tích mô
men bậc hai các dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do chịu
kích động ồn trắng Gauss trung bình không. Các dao động này có
nghiệm chính xác hoặc nghiệm mô phỏng số đã được các nhà nghiên
(3.28)
trong đó b là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
1/ 3
(3.29)
Bảng 3.2 Đáp ứng của dao động Van der Pol với α=0.2;
=1; =2; σ
2
thay đổi
2
2
MC
x
2
kd
x
sai số (%)
2
dn
x
sai số (%)
2
2
o
x h b x x t
(3.31)
trong đó b là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
3/ 5
(3.32)
Bảng 3.3 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động có cản phi tuyến bậc ba với
0.05, 1, 4
o
h h
, và γ thay đổi
γ
2
ENLE
x
2
1
2
x hx c k x t
(3.34)
trong đó k là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
3/ 5
(3.35)
Bảng 3.4 Đáp ứng của dao động Duffing với
1
1, 0.5, 2, 1
o
h c
,
3
c
thay đổi
o o
x h x x x x x x t
(3.36) 13
trong đó
, , ,
o
h
là các số thực dương. Phương trình tuyến tính
hóa tương đương là
2
o
x bx k x t
(3.37)
0.1 0.7677 0.6659 13.26 0.8176 6.50
1 0.4652 0.3816 17.98 0.4808 3.35
10 0.1924 0.1509 21.55 0.1928 0.20
100 0.0666 0.0513 22.97 0.0659 1.16
3.3.5 Dao động Lutes Sarkani
sgn ( )
a
x x x f t
(3.39)
trong đó a, γ là các số thực dương,
( )
f t
là ồn trắng Gauss có mật độ
phổ
o
S const
. Phương trình tuyến tính hóa tương đương là
( )
x kx f t
(3.40)
trong đó k là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
c
x
2
kd
x
sai số (%)
2
dn
x
sai số (%) µ
0.039 1.901 1.537 19.18 2.661 39.94 0.67
0.222 1.564 1.395 10.81 1.880 20.22 0.80
0.424 1.332 1.265 5.03 1.446 8.57 0.90
1.000 1.000 1.000 0.00 1.000 0.00 1.00 14
1.775 0.810 0.779 3.83 0.835 3.00 0.90
2.200 0.751 0.695 7.43 0.779 3.74 0.80
2.715 0.699 0.614 12.06 0.716 2.54 0.67
3.000 0.676 0.577 14.59 0.683 1.06 0.60
3.437 0.647 0.528 18.34 0.634 1.96 0.50
3.935 0.621 0.482 22.34 0.583 6.05 0.40
4.342 0.603 0.450 25.40 0.545 9.61 0.33
4.537 0.595 0.435 26.80 0.527 11.33 0.30
5.340 0.568 0.386 32.07 0.465 18.22 0.20
6.633 0.536 0.326 39.20 0.386 28.06 0.10
14.681 0.451 0.166 63.18 0.181 59.78 0.001
Kết luận chương 3
Dựa trên cách thay thế tương đương đối ngẫu của N.Đ.Anh, đã đề
4.1 Tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số
4.1.1 Khái niệm về tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số
Để đánh giá ảnh hưởng của các quá trình thay thế, xét tiêu chuẩn 15
2 2
,
1 min
ts ts
ts ts ts ts
k
S p A k B p k B A
(4.1)
trong đó p là trọng số chuẩn hóa có đặc điểm
0 1
p
(4.2)
Các hệ số tuyến tính hóa
ts
k
và hệ số trở về
ts
(4.4)
trong đó mức độ phụ thuộc tuyến tính µ vẫn có dạng như (3.6)
2
2 2
AB
A B
(4.5)
Trong các tính toán trên giả thiết
2 2
0, 0
A B
và
1
p
(4.6)
Dựa trên phép chiếu đối ngẫu đã trình bày ở mục 3.2.3, tiêu chuẩn
đối ngẫu có trọng số (4.1) có thể biểu diễn dưới dạng chuẩn
2 2
,
1 min
cos
ts ts
A k B
(4.10)
Các đặc trưng hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số là
(a). Véc tơ k
ts
B là véc tơ hình chiếu của một phép chiếu véc tơ A
tb
lên
phương của véc tơ B, với chiều dài của véc tơ A
tb
bằng trung bình
trọng số chiều dài của các véc tơ A và λ
ts
A.
(b). Véc tơ λ
ts
A là véc tơ hình chiếu của phép chiếu trực giao véc tơ
k
ts
B lên phương của véc tơ A.
(c). Khi
2
(mức độ phụ thuộc tuyến tính yếu nhất),
các véc tơ A và B trực giao,
0
ts
,
0
ts
k
(hình 4.1b).
a)
1, 0
và
b)
0, / 2
Hình 4.1 Mức độ phụ thuộc tuyến tính mạnh nhất và yếu nhất
4.1.2 Xác định dạng giải tích của trọng số
Xét các trường hợp riêng của tiêu chuẩn (4.1) như sau
(i). Trường hợp ảnh hưởng của quá trình thay thế lượt đi là lớn nhất
,
min
ts ts
ts ts
ts p
k
S k B A
(4.11)
Từ điều kiện cực tiểu (4.11), có
0
ts ts
k
tương ứng với
0
AB
hay
0
, theo đó A và B trực giao.
Đặt ra bài toán: tìm trọng số là hàm của mức độ phụ thuộc tuyến
tính
0 1
p
(4.13)
- Mức độ phụ thuộc tuyến tính trung bình,
1/ 3 2 / 3
1/ 2
p
(4.14)
- Mức độ phụ thuộc tuyến tính mạnh,
2 / 3 1
2 2
( )p
(4.15)
suất chính xác; có mức độ phụ thuộc tuyến tính là liên tục.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
m
p
(m)
Hình 4.2 Hàm nội suy tuyến tính p(µ)
Kết quả thu được
1 2
1.162 6/ 5; 1.514 3/ 2
(4.19) 18
Tại điểm gián đoạn µ = 1/3, hệ số tuyến tính hóa tương đương được
p
(m)
p =1/2
(m)
p =
p =0
p =27/49
(m)
(m)
(m)
p =
(m) -6m/5+1
-3m/2+3/2
Hình 4.3 Đồ thị hàm tuyến tính từng đoạn p(µ)
Bảng 4.3 Trọng số và hệ số tuyến tính hóa của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số
N
Mức độ
phụ thuộc
tuyến tính
µ Trọng số p(µ)
Hệ số tuyến tính hóa
k
ts
1 Yếu
0, 1/ 3
1/3
2
11
20
AB
k
B
3
Trung
bình
1/ 3, 2 / 3
1
2
p
2
1
2
AB
k
B
19
0 0.1 0.2 1/3 0.4 0.5 0.6 2/3 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1d
k
(m)
m
Hình 4.4 Tỉ số
/
k ts kd
d k k
4.1.4 Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số để phân tích mô
2 2
,
,
1
1
;
1 1
j
i
j
i
i j
i i j j
xg x x
xg x x
p
p
b k
p p
x x
(4.23)
2
1
,
1
1
N
j
j
j
j j
xg x x
p
k
p
x
1
x c k x t
(4.26)
trong đó k là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
0.85
(4.27)
Bảng 4.2 Đáp ứng của dao động đàn hồi phi tuyến không cản với
1, 2
,
thay đổi
2
x
c
x
2
kd
(4.28)
trong đó
, , , ,
o
h a
là các số thực dương, hàm phi tuyến
a
x
là
hàm lẻ. Phương trình tuyến tính hóa tương đương là
2
0
2
x hx k x t
(4.29)
trong đó k là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
2 1
2
x
c
x
2
kd
x
sai số
(%)
2
dn
x
sai số
(%)
2
ts
x
sai số
(%)
µ p
0.1 0.6170 0.4733 23.30 0.5388 12.68 0.7131 15.57 0.082 0.902
1.0 0.4156 0.2871 30.92 0.3323 20.03 0.4679 12.61 0.082 0.902
10 0.2595 0.1678 35.35 0.1958 24.56 0.2835 9.23 0.082 0.902
100 0.1549 0.0963 37.82 0.1128 27.16 0.1656 6.90 0.082 0.902
4.2.3 Dao động đàn hồi phi tuyến bậc 3 và bậc 5
3 5
1 3 5
tuyến tính thành phần là
1 2
3/ 5; 4/ 35
(4.33)
Bảng 4.4 Đáp ứng của dao động đàn hồi phi tuyến bậc 3 và bậc 5 với
1 3
2 1
h c c
,
2
và
5
c
thay đổi
5
c
2
x
c
x
2
kd
x
(4.34)
trong đó
0
,
, a là các số thực dương,
f t
là ồn trắng Gauss với
mật độ phổ
o
S const
. Phương trình tuyến tính hóa tương đương là
2
0
x bx x t
(4.35)
trong đó b là hệ số tuyến tính hóa. Mức độ phụ thuộc tuyến tính là
2 1
2 2 2a a
sai số
(%)
µ p
ts
1 1 1 0 1 0 1 0 1 0
0.7008 0.8329 0.7741 7.06 0.8617 3.46 0.8125 2.45 0.800 0.300
1.0000 0.7979 0.7071 11.38 0.8165 2.33 0.8165 2.33 0.667 0.500
1.3955 0.7644 0.6351 16.92 0.7522 1.60 0.7522 1.60 0.500 0.500
1.8820 0.7349 0.5650 23.12 0.6746 8.21 0.6952 5.40 0.333 0.551
2.0000 0.7290 0.5503 24.51 0.6568 9.91 0.7205 1.16 0.300 0.640
2.4353 0.7104 0.5024 29.27 0.5962 16.07 0.7255 2.14 0.200 0.760
3.1302 0.6876 0.4416 35.78 0.5158 24.98 0.7215 4.94 0.100 0.880
5.2277 0.6453 0.3245 49.72 0.3624 43.85 0.6590 2.11 0.010 0.988
7.1107 0.6230 0.2627 57.84 0.2861 54.08 0.5956 4.40 0.001 0.999 22
4.2.5 Dao động tự do
2 1
0
n
x x
(4.37)
trong đó n nguyên dương. Các điều kiện đầu là
(4.40)
Bảng 4.6 Tần số góc của dao động tự nhiên với n thay đổi
n
cx
kd
sai số
(%)
dn
sai số
(%))
ts
sai số
và
1
.
Dựa trên các điều kiện biên, biểu thức giải tích của hàm
p
cho 23
các mức độ phụ thuộc tuyến tính yếu và mạnh được xây dựng trên
phương pháp nội suy sử dụng các số liệu chính xác của dao động phi
tuyến Lutes Sarkani.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Những kết quả mới chủ yếu của luận án này bao gồm:
1. Đã xây dựng được các biểu thức cho tiêu chuẩn đối ngẫu và tiêu
chuẩn đối ngẫu có trọng số theo phương pháp trung bình bình
phương tối thiểu dựa trên quan điểm đối ngẫu trong bài toán thay
thế tương đương. Tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số được coi như
một dạng tổng quát hóa của tiêu chuẩn đối ngẫu và tiêu chuẩn
kinh điển, áp dụng cho quá trình dừng Gauss trung bình không.
2. Dựa trên ý nghĩa của mức độ phụ thuộc tuyến tính và ảnh hưởng
của các quá trình thay thế lượt đi và lượt về, đã đề xuất phân loại
mức độ phụ thuộc tuyến tính của hàm phi tuyến so với hàm tuyến
tính tương đương và phân tích được các đặc điểm và tính chất cơ
bản của các tiêu chuẩn này.
Copyright: Tài liệu đại học ©