1 Mở đầu
1. Tính cấp thiết của đề tài
Tiếp theo lý thuyết giải tích hàm và giải tích lồi là giải tích Lipschitz.
Giải tích Lipschitz đã được hoàn chỉnh khoảng mười lăm năm gần đây, sau
những công trình nổi tiếng của F.H. Clarke, R.T. Rockafellar, J.B. Hiriart-
Urruty, I. Ekeland, G. Lebourg, Ta biết rằng trong không gian hữu hạn
chiều, một hàm Lipschitz là khả vi hầu khắp nơi, cho nên lớp hàm Lipschitz
rất gần với các lớp hàm khả vi thông thường. Tương ứng với các phép tính
của đạo hàm thông thường, ta có các phép tính cho Gradient suy rộng của
hàm vô hướng, jacobian suy rộng của hàm vectơ, nguyên lí biến phân
Ekeland và điều kiện cần cho bài toán quy hoạch toán học với các hàm
Lipschitz địa phương.
Gradient suy rộng là một khái niệm cơ bản của giải tích Lipschitz và
có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học như: chứng minh điều kiện
đủ cấp 2 cho cực trị địa phương người ta thường dùng Gradient suy rộng và
jacobian suy rộng Ckarke thay thế vai trò của Gradient và Hesian, Gradient
suy rộng và ứng dụng vào bài toán tối ưu không trơn, các nghiên cứu về định
lí hàm ẩn và hàm ngược F.H.Clarke đã chứng minh định lí hàm ẩn và hàm
ngược địa phương của ánh xạ Lipschitz Như vậy ta thấy rằng Gradient có
ứng dụng rất rộng rãi và đặc biệt nó cũng được vận dụng để chứng minh định
lí hàm ngược, hàm ẩn.Việc khai thác và làm rõ Gradient suy rộng của hàm
Lipschitz và ứng dụng của nó cho ta thấy được vai trò của Gradient suy rộng
trong giải tích hiện đại.
Là sinh viên ngành Sư phạm Toán, trên cơ sở đã được trang bị lí thuyết
giải tích hàm, giải tích lồi và với mong muốn được học hỏi, trau dồi vốn kiến
thức về toán học cũng như cung cấp một tài liệu về giải tích Lipschitz nói
chung và về Gradient suy rộng nói riêng. Chính vì vậy em mạnh dạn nghiên
2

Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có
liên quan đến Gradient suy rộng của hàm Lipschitz, hệ thống hóa các kiến
thức một cách đầy đủ và khoa học.
•
Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá
6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

•
Đối tượng: Hàm Lipschitz.
•
Phạm vi: Gradient suy rộng của hàm Lipschitz.
3 Chương 1. Gradient suy rộng của hàm Lipschitz
1.1. Hàm Lipschitz địa phương
1.1.1. Hàm có biến phân giới nội và hàm tuyệt đối liên tục
Giả sử : ,
a b R R
ϕ
 
 
⊂ →
, trong đó
R
là không gian các số thực.
Định nghĩa 1.1. Biến phân của hàm
ϕ
trên
,

0 1
,
n
a x x x b
= < < < =

trong
đ
ó n là s
ố
t
ự
nhiên tùy ý.
Ký hi
ệ
u bi
ế
n phân c
ủ
a
ϕ
trên
,
a b
 
 
là
(
)
b

a)

ϕ

đơ
n
đ
i
ệ
u không gi
ả
m
ϕ
⇒
có bi
ế
n phân gi
ớ
i n
ộ
i.
Th
ậ
t v
ậ
y, khi
đ
ó:
(
)

ng có bi
ế
n phân
gi
ớ
i n
ộ
i, b
ở
i vì
(
)
(
)
(
)
b b b
a a a
V V V
ϕ ψ ϕ ψ
± ≤ +
.
c)

T
ừ
a) và b) ta có hi
ệ
u hai hàm
đơ

a 2
hàm
đơ
n
đ
i
ệ
u không gi
ả
m.
Chứng minh
)
⇒
Gi
ả
s
ử
hàm
ϕ
có bi
ế
n phân gi
ớ
i n
ộ
i.
Ký hi
ệ
u:
(

 
= − .
4 N
ế
u
' ''
a x x b
≤ < ≤
, thì v
ớ
i m
ỗ
i cách chia
đ
o
ạ
n
, '
a x
 
 
b
ở
i các
đ
i
ể

(
)
'' ' '' '
V x V x x x
ϕ ϕ
⇒
− ≥ −

⇒
1 2
,
ϕ ϕ
đơ
n
đ
i
ệ
u không gi
ả
m.
Đươ
ng nhiên là
(
)
(
)
(
)
1 2
x x x

m. Khi
đ
ó, theo Nh
ậ
n xét 1.1.c ta có
ϕ
có bi
ế
n phân gi
ớ
i n
ộ
i.
Mệnh đề 1.2.
N
ế
u
ϕ
có bi
ế
n phân gi
ớ
i n
ộ
i, thì
ϕ
có
đạ
o hàm h
ầ

đ
ã bi
ế
t trong Lý thuy
ế
t
độ

đ
o và tích phân r
ằ
ng: M
ộ
t hàm s
ố

đơ
n
đ
i
ệ
u không
gi
ả
m thì có
đạ
o hàm h
ầ
u kh
ắ

đố
i liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n
,
a b
 
 
, n
ế
u
0, 0
ε δ
∀ > ∃ >
sao cho v
ớ
i m
ọ
i h
ệ
kho
ả
ng
(
)
(

Nhận xét 1.2.
Hàm
ϕ
tuy
ệ
t
đố
i liên t
ụ
c
⇒
ϕ
liên t
ụ
c (trong
đị
nh ngh
ĩ
a 1.3 ta
l
ấ
y k=1).

Mệnh đề 1.3.
N
ế
u hàm
ϕ
tuy
ệ

a
ϕ
trong kho
ả
ng có
độ
dài
δ
s
ẽ

không v
ượ
t quá
ε
(
)
b
a
b a
V
ε
ϕ
δ
−
⇒ ≤ ⇒
có
đạ
o hàm h
ầ

a ph
ươ
ng t
ạ
i
x

X
∈
, hay Lipschitz
ở
g
ầ
n
x
, n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n
U
c
ủ
a
x
, s

ng trên t
ậ
p
Y X
⊂
, n
ế
u
f

Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i m
ọ
i
x Y
∈
.
b)

Hàm
f

đượ
c g
ọ

s
ử

f
là hàm Lipschitz trên t
ậ
p l
ồ
i
U X
⊂
. Khi
đ
ó, v
ớ
i m
ọ
i
, '
x x U
∈
,
hàm s
ố

(
)
(
)
(

ồ
i
U X
⊂
, cho nên có t
ồ
n t
ạ
i s
ố

0
K
>
sao cho:
(
∀
, '
x x U
∈
)
(
)
(
)
' '
f x f x K x x
− ≤ −
. (1.2)
Ta có hàm

ả
ng r
ờ
i nhau
(
)
(
)
1 1
, , , ,
k k
a b a b

trong
[
]
0,1
.
Khi
đ
ó, t
ừ
(1.2) ta có :
( )
( )
( )
1 1
'
k k
i i i i

Khi
đ
ó
( )
1
k
i i
i
b a
ε
=
<
−
∑

⇒
( )
( )
1
k
i i
i
b a
ϕ ϕ ε
=
− <
∑
. Do
đ
ó,

ử

f
là hàm Lipschitz trên t
ậ
p l
ồ
i
U X
⊂
. Khi
đ
ó, v
ớ
i m
ọ
i
, '
x x U
∈
:
( ) ( ) ( )
1
0
' '
f x f x t dt
ϕ
− =
∫
(1.3)

ụ
c trên
[
]
0,1
. Ta
đ
ã bi
ế
t trong
Lý thuy
ế
t
độ

đ
o và tích phân: N
ế
u hàm
ϕ
tuy
ệ
t trên liên t
ụ
c thì
đạ
o hàm
'
ϕ


F
là ánh x
ạ

X Y
→
, trong
đ
ó X và Y là các không gian Banach.
Kí hi
ệ
u
(
)
,
L X Y
là không gian các toán t
ử
tuy
ế
n tính liên t
ụ
c t
ừ

X
vào
Y
.


F x v
t
↓
+ −
=
,
n
ế
u gi
ớ
i h
ạ
n này t
ồ
n t
ạ
i.
Định nghĩa 1.6.
Ánh x
ạ

F

đượ
c g
ọ
i là kh
ả
vi Gâteaux t
ạ

0
F x tv F x t v t
+ = + Λ + . (1.4)
7 Khi
đ
ó, ta g
ọ
i
Λ
là
đạ
o hàm Gâteaux c
ủ
a
F
t
ạ
i
x
.
Nhận xét 1.3
N
ế
u ánh x
ạ

F

trên các t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n.
Định nghĩa 1.7.
Ánh x
ạ

F

đượ
c g
ọ
i là kh
ả
vi Hadamard t
ạ
i
x
, n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
Λ

ạ

F

đượ
c g
ọ
i là kh
ả
vi Fréchet t
ạ
i
x
, n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
Λ
∈
(
)
,
L X Y
sao cho
(
)
(

⇔ ∃Λ∈
(
)
,
L X Y
sao cho (1.4) đúng và
(1.5) h
ội tụ đồng đều theo
v
trên các tập bị chặn.
b)
Nếu
n
X R
=
thì khái niệm khả vi Hadamard và khả vi Fréchet là trùng
nhau.
Ví dụ 1.1
2
X R
=

( )
2
2
1, khi x=y , 0
,
0, khi x y
y
f x y

và
0
K
>
sao cho:
(
)
(
)
' '' ' ''
X
Y
F x F x K x x
− ≤ − ( ', ''
x x x B
γ
∀ ∈ + ), (1.6)
8 trong
đó
B
là hình cầu đơn vị mở.
Nhận xét 1.5. Định nghĩa tính Lipschitz địa phương theo lân cận hay theo
hình c
ầu đơn vị mở (trong không gian Banach) là tương đương.
Mệnh đề 1.4.
Nếu ánh xạ
F

F
khả vi Gâteaux tại
x
,
V
là tập compact trong
X
,
0
ε
>

cho trước. Với hình cầu đơn vị mở
B
có tồn tại phủ mở hữu hạn
{
}
: : , 1, ,
i i
V v B v V i n
α
+ ∈ =
, trong đó
( )
2 K
ε
α
=
+ Λ
,

v
t
ε
+ −
− Λ <

(
)
1, ,
i n
=
(1.7)
L
ấ
y
1
min
i n i
ε δ
≤ ≤
=
;
v V
∈
. Khi
đ
ó
0
i
v v B

x v B
δ α
+ + .
Do
đ
ó v
ớ
i m
ỗ
i
(
)
0,
t
δ
∈
,
(
)
(
)
( )
( )
0
0
2
i
i
F x tv F x tv
v v K

9 Đ
i
ề
u
đ
ó ch
ứ
ng t
ỏ

(
)
(
)
0
F x tv F x
v
t
+ −
− Λ →

đồ
ng
đề
u theo
v
trên các

i
x
:
(
)
(
)
,
s
D F x L X Y
∈
, n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
v
gi
ớ
i h
ạ
n sau
đ
ây t
ồ
n t
ạ
i :

trên các t
ậ
p compact.
Định lí 1.2.
Gi
ả
s
ử

F
là ánh x
ạ
t
ừ
m
ộ
t lân c
ậ
n c
ủ
a
x
vào
Y
. Khi
đ
ó các
kh
ẳ
ng

i
x
và v
ớ
i
v X
∀ ∈
,
(
)
(
)
, 0
lim
x x t
F x tv F x
v
t
ς
→ ↓
+ −
=
. (*)
Chứng minh
a) Gi
ả
s
ử
a)
đ

i
x
. Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i các dãy
{
}
i
x
và
{
}
'
i
x
h
ộ
i t
ụ

đế
n
x
sao cho
x
sao cho

i i i i i
x x t v v i
−
= + =
.
Khi
đ
ó
0
i
t
→
. Gi
ả
s
ử

{
}
{
}
1
0
i
i
V v
∞
=
= ∪ . Ta có
V

ε
+ −
− <
.
Nh
ư
ng
đ
i
ề
u
đ
ó không th
ể
x
ả
y ra b
ở
i vì
i
v v
=
, theo (*) ta có:
( )
1/2 1/2
( ) ( )
. .
i i i i
i i i i i i i
i i i i

đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i
x
, có t
ồ
n t
ạ
i s
ố

0
γ
>
và s
ố

0
K
>
sao cho:
(
)
(
)
' '' ' ''
X

ữ
u h
ạ
n c
ủ
a
{
}
: : , 1, ,
i i
V v B v V i n
α
+ ∈ =

trong
đ
ó
2( )
K
ε
α
ς
=
+
.
T
ừ

đ
ó,

min , V
i n i
v
δ δ
≤ ≤
= ∈
.
Khi
đ
ó
{
}
0
0
( 1, , )
i
v v B i n
α
∈ + ∈
.
Do
đ
ó, v
ớ
i
x x B
δ
∈ +
,
(0, )

.
Y
F x tv F x
v
t
ς ε
+ −
− <Đ
i
ề
u
đ
ó ch
ứ
ng t
ỏ

( ) ( )
0
F x tv F x
v
t
ς
+ −
− →

đồ

c g
ọ
i là kh
ả
vi liên t
ụ
c theo Gâteaux t
ạ
i
x
,
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
đạ
o hàm Gâteaux
DF
trong m
ộ
t lân c
ậ
n c
ủ
a
x
và

vi liên t
ụ
c theo Gâteaux t
ạ
i
x
. Khi
đ
ó,
F
kh
ả
vi ch
ặ
t Hadamard t
ạ
i
x
, và do
đ
ó
F
Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i
x

(
)
'
f x x U
α
≤ ∀ ∈ .
Khi
đ
ó,
f
là hàm Lipschitz trên
U
.
1.1.3.3. Hàm lồi Lipschitz
Gi
ả
s
ử

U
là t
ậ
p l
ồ
i m
ở
trong không gian Banach
X
.
Nh

∈
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 ' 1 '
f u u f u f u
λ λ λ λ
+ − ≤ + − .
Định lí 1.4.
Gi
ả
s
ử

f
là hàm l
ồ
i trên t
ậ
p m
ở


a ph
ươ
ng
trên
U
.
Chứng minh
L
ấ
y
x U
∈
, ta ph
ả
i ch
ứ
ng minh
f

f
trong m
ộ
t lân c
ậ
n c
ủ
a
x
. Tr
ướ

s
ử

f
b
ị
ch
ặ
n trên b
ở
i s
ố

M
trên t
ậ
p
B U
⊂
.
Ch
ọ
n
1
ρ
>

để
sao cho:
y x U

đ
i
ể
m
x y
λ
=
v
ớ
i bán kính
(
)
1
λ
−
.
V
ớ
i m
ọ
i
v V
∈
, ta có:
(
)
(
)
(
)

12 L
ấ
y
(
)
(
)
1
z V x B
λ
∈ = + − , t
ồ
n t
ạ
i
đ
i
ể
m
'
z V
∈
sao cho:
( )
1
'
2

ặ
n d
ướ
i trên
V
, nên
f
b
ị
ch
ặ
n trên
V
.
Gi
ả
s
ử

N
là
đ
ánh giá trên c
ủ
a
f
trên t
ậ
p
2

3
2
x x B
δ
∈ +
, b
ở
i vì
2
x x B
δ
∈ +
,
(
)
2 1
2 1
x x
B
x x
δ
δ
−
∈
−
suy ra:
2 1 3
x x x
δ δ
α δ α δ

i vì
f N
≤
,
2 1
x x
α
= −
, cho nên:
( ) ( )
2 1 2 1
2N
f x f x x x
δ
− ≤ −
.
Thay
đổ
i vai trò c
ủ
a
1 2
,
x x
cho nhau ta có:
( ) ( )
1 2 1 2
2
.
N


U
ch
ứ
a
δ
−
lân
c
ậ
n c
ủ
a t
ậ
p
V
. Khi
đ
ó
f
th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n Lipschitz trên
V

x X
∈
.
Định nghĩa 1.12. Đạ
o hàm suy r
ộ
ng c
ủ
a hàm
f
theo ph
ươ
ng
(
)
v X
∈
t
ạ
i
x
,
kí hi
ệ
u là
(
)
;
o
f x v

Đ
ây là khái ni
ệ
m
đạ
o hàm suy r
ộ
ng theo ph
ươ
ng c
ủ
a F.H.Clarke.
1.2.2. Tính chất
Định lí 1.5.
Gi
ả
s
ử

f
là hàm Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng v
ớ
i h
ằ
ng s
ố

ướ
i c
ộ
ng tính trên
X
và
(
)
;
o
f x v K v
≤
;
(ii)
(
)
;
o
f x v
n
ử
a liên t
ụ
c trên theo
(
)
;
x v
;
(

Chứng minh
(i)

Do
f
là hàm Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng v
ớ
i h
ằ
ng s
ố
Lipschitz
K
t
ạ
i
x
, cho
nên t
ồ
n t
ạ
i lân c
ậ
n
U

t
→ ↓
≤ =

14 b
ở
i vì v
ớ
i
t

đủ
nh
ỏ
,
y U
∈
thì
y tv U
+ ∈
. T
ừ

đ
ó suy ra tính ch
ấ
t h

y x t
o
y x t
f y t v f y
f x v
t
f y t v f y
f x v
t
λ
λ
λ
λ λ
λ
→ ↓
→ ↓
+ −
≤
+ −
= =

⇒
hàm
(
)
;.
o
f x
thu
ầ

f x v
t
f y tv t f y tv f y tv f y
t t
f x f x v
ω
ω
ω
ω
→ ↓
→ ↓ → ↓
+ + −
+ =
+ + − + + −
≤ +
= +

b
ở
i vì
y tv x
+ →
khi
y x
→
và
0
t
↓
.

a
limsup, v
ớ
i
i
∀
,
i
y X
∃ ∈
,
0
i
t
∃ >
sao cho:
1
i i i
y x t
i
− + <
,
( )
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
1
,

≤ −
v
ớ
i
i

đủ
l
ớ
n.
Khi
đ
ó ta có:
(
)
(
)
limsup ; ;
o o
i i
i
f x v f x v
→∞
≤
.
Do
đ
ó
(
)

)
(
)
(
)
(
)
f y tv f y f y t f y K v t
ω ω
+ − ≤ + − + −
,
(v
ớ
i
y
g
ầ
n
x
,
t
d
ươ
ng g
ầ
n 0)
(
)
(
)

(
)
(
)
, ,
o o
f x f x v K v
ω ω
≤ + −

Suy ra
(
)
(
)
, ,
o o
f x v f x K v
ω ω
− ≤ −
.
Nh
ư
v
ậ
y là
(
)
;.
o

)
( )( ) ( )( )
( ) ( )
' ; 0
; 0
'
; limsup
limsup ;
o
x x t
o
u x t
f x tv f x
f x v
t
f u tv f u
f x v
t
→ ↓
→ ↓
− −
− =
− + − −
= = −

(
đặ
t
'
u x tv

X
(
*
X
g
ồ
m các phi
ế
m hàm
tuy
ế
n tính liên t
ụ
c trên
X
).
Định nghĩa 1.13.
Gradient suy r
ộ
ng c
ủ
a hàm
f
t
ạ
i
x
, ký hi
ệ
u

m Gradient suy r
ộ
ng c
ủ
a F.H, Clarke.
16 Nhận xét 1.6.
(
)
(
)
,0
o
C
f x f x
∂ = ∂ trong
đ
ó
(
)
,0
o
C
f x
∂ là d
ướ
i vi phân c
ủ

ầ
n nh
ấ
t
d
ươ
ng nên
(
)
,.
o
f x
l
ồ
i.
⇒
d
ướ
i vi phân c
ủ
a hàm l
ồ
i
(
)
,.
o
f x
t
ạ

ξ ξ
= ∈ ≥< > ∀ ∈
=
(
)
f x
∂
Bây gi
ờ
ta l
ấ
y
*
X
ξ
∈
. Khi
đ
ó chu
ẩ
n c
ủ
a
ξ

đượ
c xác
đị
nh b
ở

.
Định lí 1.6.
Gi
ả
s
ử

f
là hàm Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng v
ớ
i h
ằ
ng s
ố
Lipschitz
K

t
ạ
i
x
. Khi
đ
ó,

a)

ọ
i
v X
∈
, ta có:
(
)
(
)
{
}
, max , :
o
f x v v f x
ξ ξ
= < > ∈∂
.
Chứng minh
a) Theo
đị
nh lí 1.5,
(
)
,.
o
f x
d
ướ
i c
ộ


(
)
v X
∈

(
)
f x
ξ
⇒
∈∂
(
)
f x
⇒
∂ ≠ ∅
.
17 Ta ch
ứ
ng minh
(
)
f x
∂ l
ồ
i: L


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
, , 1 , , 1 ,
o o o
f x u f x u f x u u u
α α α ξ α ξ
⇒
= + − ≥ < > + − < >

(
)
1 2
1
αξ α ξ
=< > + < − >

(
)
(
)

)
f x
ξ
∈∂ ,
*
K
ξ
≤

(
)
(
)
*
0,
f x B K
⇒
∂ ⊂
, trong
đ
ó
(
)
*
0,
B K
là hình c
ầ
u
đ

ế
u nên
(
)
f x
∂
compact *-y
ế
u.
b) Theo
đị
nh ngh
ĩ
a 1.13
(
)
{
}
(
)
max , : ;
o
v f x f x v
ξ ξ
< > ∈∂ ≤
có t
ồ
n t
ạ
i

ạ
i phi
ế
m hàm tuy
ế
n tính
:
X R
ς
→

th
ỏ
a mãn
(
)
, ,
o
f x v v
ς
≥< >

(
)
v X
∈
và
(
)
0 0

=
,
(
)
f x x
=
. Khi
đ
ó
f
là hàm Lipschitz trên
R

v
ớ
i h
ằ
ng s
ố
Lipschitz
1
K
=
.
Th
ậ
t v
ậ
y, v
ớ

đ
ó
( )
, 0
; lim
o
y x t
y tv y
f x v v
t
→ ↓
+ −
= =

(
)
{
}
{
}
: , 1
f x R v v v R
ξ ς
⇒
∂ = ∈ ≥ ∀ ∈ =
.
Th
ậ
t v
ậ

1
ς
≥
. Do
đ
ó
1
ς
=
.
M
ộ
t cách t
ươ
ng t
ự
, n
ế
u
0
x
<
, thì
(
)
(
)
1
f x
∂ = −

⇒
=

(
)
(
)
0 : ,
f R v v v R
ς ς
⇒
∂ = ∈ ≥ ∀ ∈
(
)
[
]
0 1,1
f
⇒
∂ = −

1.4. Hàm tựa
Định nghĩa 1.14.
Cho t
ậ
p
C
≠ ∅

(

ế
u
*
E X
⊂
thì hàm t
ự
a xác
đị
nh trên
**
X
. N
ế
u xem X nh
ư
là m
ộ
t không
gian con c
ủ
a
**
X
, thì
(
)
sup ,
E
E

(
)
,.
o
f x
. Ta có
t
ổ
ng quát h
ơ
n: Các t
ậ
p l
ồ
i
đ
óng
đượ
c
đặ
c tr
ư
ng b
ở
i các hàm t
ự
a c
ủ
a chúng.
Mệnh đề 1.2

ế
u.
Khi
đ
ó
a)

(
)
(
)
C D
C D
σ ς σ ς
⊂ ⇔ ≤

(
)
*
X
ς
∀ ∈ ;
b)

(
)
(
)
E F
E F x x

}
: X R
σ
→ ∪ +∞
thu
ầ
n nh
ấ
t d
ươ
ng, d
ướ
i c
ộ
ng tính, n
ử
a liên t
ụ
c
d
ướ
i (m
ạ
nh hay y
ế
u) và
(
)
.
σ

σ σ
=
. T
ậ
p
E

đượ
c xác
đị
nh duy nh
ấ
t.
Cho ánh x
ạ

đ
a tr
ị

: 2
Y
X
Γ →
.
Đồ
th
ị
c
ủ

đ
óng, n
ế
u
Gr
Γ

đ
óng trong
X Y
×
.

Định nghĩa 1.16.
Ánh x
ạ

đ
a tr
ị

Γ

đượ
c g
ọ
i là n
ử
a liên t
ụ

s
ử

f
là hàm Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i
x
.
Ta có các kh
ẳ
ng
đị
nh sau
đ
ây:
(i)

(
)
(
)
; ,
o
f x f x v v
ς ς

)
i i
f x
ς
∈∂
;
{
}
i
x
h
ộ
i t
ụ

đế
n
x
,
ς
là
đ
i
ể
m gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ

đ
óng *-y
ế
u ).
(iii)

(
)
(
)
0
y x
f x f y
δ
δ
>
∈ +
∂ = ∩ ∪ ∂
.
(iv)

N
ế
u X h
ữ
u h
ạ
n chi
ề
u, thì

*
X
ς
∈ và
(
)
; ,
o
f x v v
ς
≥< >

(
)
v X
∀ ∈

Ng
ượ
c l
ạ
i, gi
ả
s
ử

(
)
; ,
o

ó
K
là h
ằ
ng s
ố
Lipschitz
trong m
ộ
t lân c
ậ
n c
ủ
a
x
. Suy ra
(
)
, ;
o
v f x v K v
ς
< >≤ ≤

(
)
v X
∀ ∈

⇒

ς ς
→
(theo tôpô *-y
ế
u) nên v
ớ
i m
ỗ
i
(
)
v X
∀ ∈
thì
, ,
i
v v
ς ς
< >→< >
.
Do
(
)
i i
f x
ς
∈∂
, cho nên
(
)

0
i
∃
sao cho:
0
i i
∀ ≥
;
(
)
(
)
; ; ,
o o
i i
f x v f x v v
ε ς
+ ≥ ≥< >

(
)
v X
∀ ∈
.
⇒
(
)
; ,
o
f x v v

f
∂
không n
ử
liên t
ụ
c trên t
ạ
i
x
. Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i dãy
{
}
i
x
h
ộ
i t
ụ

đế
n
x
, dãy

ề
u này mâu thu
ẫ
n v
ớ
i (iii).
1.5. Một số trường hợp đặc biệt của Gradient suy rộng.
1.5.1. Gradient
Mệnh đề 1.6 .
Gi
ả
s
ử

:
f X R
→
Lipschitz
đị
a ph
ươ
ng t
ạ
i
x
, có
đạ
o hàm
(
)

(
)
' ,
f x v
t
ồ
n t
ạ
i
đố
i v
ớ
i m
ỗ
i
v
, và
(
)
(
)
' , ,
f x v Df x v
=< >
.
T
ừ

đị
nh ngh

(
)
Df x f x
∈∂ .
Định lí 1.8
a)

Gi
ả
s
ử

:
f X R
→
kh
ả
vi ch
ặ
t Hadamard t
ạ
i
x
. Khi
đ
ó
f
Lipschitz
đị
a

ươ
ng t
ạ
i
x
và
(
)
(
)
f x
ς
∂ = , thì
f
kh
ả
vi
ch
ặ
t Hadamard t
ạ
i
x
và
(
)
S
D f x
ς
=

ừ

đị
nh
ngh
ĩ
a
o
f
suy ra:
(
)
(
)
; ,
o
S
f x v D f x v
=< >
(
v
∀
).
Theo
đị
nh lí 1.7.(i):
(
)
(
)

ς
≥< >
.Theo
đị
nh lí Hahn-Banach, có t
ồ
n
t
ạ
i
' *
X
ς
∈
sao cho:
(
)
',. ;.
o
f x
ς
< >≤ ,
(
)
', ;
o
v f x v
ς
< >= .
22

ς
và
'
ς
là các ph
ầ
n t
ử
khác nhau c
ủ
a
(
)
f x
∂
.
Đ
i
ề
u
đ
ó mâu thu
ẫ
n v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t.

; 0
; 0
; 0
limsup
liminf
; , ,
limsup
;
limsup
x x t
x x t
o
x x t
o
x x t
f x tv f x f x f x tv
t t
f x tv tv f x tv
f x v v v
t
f x tv f x
f x v
t
ς ς
→ ↓
→ ↓
→ ↓
→ ↓
+ − − +
= −

ς
→
↓
+ −
=
. Vì v
ậ
y
f
kh
ả
vi ch
ặ
t
t
ạ
i
x
và
(
)
S
D f x
ς
=
.
Hệ quả 1.8.1.
Gi
ả
s

duy nh
ấ
t
( )
x x B
ε
∀ ∈ +
⇔
f
kh
ả
vi liên t
ụ
c trên

x B
ε
+
theo
đị
nh ngh
ĩ
a Gâteaux.

Chứng minh
a)

(
)
{

x
suy ra
(
)
(
)
S
f x D f x
∂ =
.
f
∂
n
ử
a liên t
ụ
c trên khi
đ
ó
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
(
)
.
S

F
kh
ả

vi ch
ặ
t Hadamard.
⇒
(
)
f x
∂
g
ồ
m m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
duy nh
ấ
t
( )
x x B
ε
∀ ∈ + .
1.5.2. Dưới vi phân
Cho hàm l
ồ

ạ
i
x U
∈
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a nh
ư

sau:
( ) ( )
(
)
{
}
*
: , ,
C
f x X f x f x x x x U
ς ς
∂ = ∈ − ≥< − > ∀ ∈
.
Định lí 1.9.
Gi
ả
s
ử

o
f x v f x v
=
(
)
v X
∀ ∈
, trong
đ
ó
f
∂
là gradient
suy r
ộ
ng c
ủ
a
f
;
(
)
' ;.
f x
là
đạ
o hàm theo ph
ươ
ng c
ủ

ớ
i m
ỗ
i
v
, và
(
)
' ;.
f x
là
hàm t
ự
a c
ủ
a
(
)
C
f x
∂ . Vì v
ậ
y ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh r
ằ

ạ
ng:

(
)
(
)
0
0
lim sup
sup
t
x x
f x tv f x
t
ε
ε
εδ
↓
< <
− <
+ −
,
trong
đ
ó
δ
là s
ố
d

+ −
→ .
Th
ậ
t v
ậ
y,
đặ
t
(
)
(
)
t f x tv
ϕ
= +
.
24 Do
f
l
ồ
i, cho nên v
ớ
i
x
,
v

0,1
λ
∈
. Khi
đ
ó
0
t
∀ >
,
(
)
(
)
(
)
(
)
1 0
t t t
ϕ λ λϕ ϕ
≤ + −

(
)
(
)
(
)
(

i hàm
f
ta có hàm s
ố
:
(
)
(
)
f x tv f x
t
t
+ −
→ là
đơ
n
đ
i
ệ
u không gi
ả
m.
Vì v
ậ
y
( )
(
)
(
)

εδ
∈ +
ta có:
( ) ( )
(
)
(
)
2
f x v f x
f x v f x
K
ε
ε
δ
ε ε
+ −
+ −
− ≤

( )
(
)
(
)
( )
0
, lim 2 ' , 2
o
f x v f x

(
)
'
; ;
o
f x v f x v
≤ . Vì v
ậ
y
(
)
(
)
'
; ; .
o
f x v f x v
=

Ví dụ 1.3
Hàm affine trên
X
:
(
)
*
,0f x x
α
=< > +
. Ta có

x
≠
ta có:
(
)
{
}
* * * *
0 : 1, ,
f x x x X x x x x
≠ = ∂ = ∈ = < >=
.
Th
ậ
t v
ậ
y, n
ế
u
*
,
x x x
< >=
và
*
1
x
=
thì :
* *

x f x
∈∂ thì :
* *
0 ,0 ,
x x x x x x
− = − ≥< − >= − < >
,
* *
2 ,2 ,
x x x x x x x x
= − ≥< − >=< >
.
*
,
x x x
⇒
=< >
.
V
ớ
i
z X
∀ ∈
,
0
λ
>
ta có:
* *
,( ) ,

nh
ỏ
h
ơ
n 1, b
ở
i vì n
ế
u
1
x
<
thì
*
1
, 1
sup
z
x z
=
< > <

*
, 1
x z
⇒ < > <
(
z X
∀ ∈
,


b) Với x=0 ta có:
{
}
{
}
*
* * * * * *
0 : , : 1 (0,1)
x X z x z x X x B∂ = ∈ ≥< > = ∈ ≤ =
.
(Hình c
ầu đơn vị đóng trong
*
X
)