Tổ hợp qua các định lý và bài toán
Trần Nam Dũng
Trường Đại học KHTN Tp HCM
1. Các quy tắc đếm
Ta nói tập hợp A có n phần tử nếu tồn tại song ánh f: A > {1, 2, , n}. Ký hiệu | A | = n.
Quy tắc cộng: Nếu công việc A có hai phương án thực hiện (loại trừ lẫn nhau), phương án 1 có n
1
cách
thực hiện, phương án 2 có n
2
cách thực hiện thì công việc A có n
1
+ n
2
cách thực hiện. Trên ngôn ngữ tập
hợp: Nếu A ∩ B = ∅ thì |A ∪ B| = | A | + | B |.
Quy tắc nhân: Nếu công việc A có thể chia thành 2 công đoạn tiếp nối nhau, công đoạn 1 có n
1
cách thực
hiện, công đọa 2 có n
2
cách thực hiện thì công việc A có n
1
n
2
cách thực hiện. Trên ngôn ngữ tập hợp: |
A × B| = | A |.| B |.
Quy tắc phần bù:
|||||| AXA −=
, trong đó
|| A

A
0
1
)(
χ
Hàm đặc trưng hoàn toàn xác định tập hợp, và ta có các tính chất cơ bản sau:
1) A = B <=> χ
A
(x) = χ
B
(x) với mọi x thuộc X (và khi đó ta viết χ
A
= χ
B
)
2) A ⊆ B <=> χ
A
(x) ≤ χ
B
(x) với mọi x thuộc X (và khi đó ta viết χ
A
≤ χ
B
)
3) χ
A
∩
B
= χ
A

A
.χ
B
.
c) Áp dụng chứng minh A∆(B∆C) = (A∆B)∆C với mọi A, B, C.
Hàm đặc trưng liên quan trực tiếp đến phép đếm thông qua công thức quan trọng (và hiển nhiên) sau:
∑
∈
=
Xx
A
xA )(||
χ
(1)
7. Áp dụng các tính chất của hàm đặc trưng và công thức (1), hãy chứng minh
a) Quy tắc cộng
b) Quy tắc nhân
c) (Công thức bao hàm và loại trừ cho n = 3) |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - (|A∩B| + |
B∩C| + |C∩A|) + |A∩B∩C|.
d) (Quy tắc đếm theo phần tử) Cho F là một họ các tập con của X. Với mỗi k = 0, 1, ,|X|
gọi nk là số tập con thuộc F có k phần tử, với mỗi x thuộc X, gọi c(x) là số các tập con
thuộc F chứa x. Khi đó ta có
∑ ∑∑
= ∈∈
==
||
1
.)(||
X
k Xx

A
.
Hoán vị: Hoán vị của n phần tử là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó, nói cách khác, là một cách sắp thứ
tự các phần tử đó. Hoán vị của X còn có thể định nghĩa như một song ánh từ X vào X. Số các hoán vị của
n phần tử được ký hiệu là P
n
.
Tổ hợp: Tổ hợp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử phân biệt không sắp thứ tự của tập hợp ấy.
Nói cách khác, đó là một tập con k phần tử. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các tổ hợp là {1, 2},
{1,3}, {2, 3}. Số các tổ chập k của n phần tử được ký hiệu là
k
n
C
.
Chỉnh hợp lặp: Chỉnh hợp lặp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử không nhất thiết phân biệt
được sắp thứ tự của tập hợp ấy. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các chỉnh hợp lặp là (1, 1), (1,
2), (1,3), (2, 1), (2, 2), (2, 3),(3, 1),(3, 2), (3, 3). Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu
là
k
n
A
.
Tổ hợp lặp: Tổ hợp lặp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử không nhất thiết phân biệt không sắp
thứ tự của tập hợp ấy. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các tổ hợp lặp là {1, 1}, {1, 2}, {1,3}, {2,
2}, {2, 3}, {3, 3}. Số các tổ hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là
k
n
C
.
Để tiện lợi, ta thường lấy X = {1, 2, ,n} và ta ký hiệu tập này là [n].

2. Dùng định nghĩa tổ hợp của
k
n
C
hãy chứng minh các đẳng thức sau:
a)
k
n
k
n
k
n
CCC
1
1
+
−
=+
Hướng dẫn: Chia các tập con k phần tử của [n+1] thành 2 loại: chứa n+1 và không chứa n+1.
b)
.2
210
1
nn
nnn
CCCC =++++
Hướng dẫn: Hãy trả lời câu hỏi: Có bao nhiêu tập con k phần tử của [n]. Và tổng cộng [n] có bao nhiêu
tập con kể cả ∅ và chính nó?
c) (Công thức nhị thức Newton)
∑

=
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
CCCCCC
3. Hoán vị lặp và định lý đa thức
a) Bảng chữ cái có k ký tự 1, 2, , k. Chữ cái thứ i có r
i
phiên bản. Biết r
1
+ r
2
+
+ r
k
= n. Hỏi có bao nhiêu từ khác nhau có độ dài n?
b) Chứng minh rằng
∑
+++
=+++
k

b) A ∪ B = X;
c) A ⊆ B;
d)* A và B không chứa nhau.
5. Phương trình x
1
+ x
2
+ x
3
= 100 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?
6. Bộ bài có 52 quân, trong đó có 13 giá trị: 2, 3, 4, , 10, J, Q, K, A với 4 chất: cơ, rô,
chuồn (tép), bích. Cơ, rô màu đỏ, chuồn, bích màu đen. Chọn ra 5 quân từ bộ bài. Ta biết
rằng có
5
52
C
cách chọn như vậy. Hỏi trong các cách chọn đó, có bao nhiêu cách chọn trong
đó:
a) Không có quân bài có giá trị giống nhau;
b) Có 3 quân bài giá trị giống nhau và hai quân bài khác giống nhau.
c) Cả 5 quân cùng chất;
d) Có đủ 2 màu;
e) Có đủ 4 chất.
7*. Trong n giác lồi kẻ tất cả các đường chéo. Biết rằng không có ba đường chéo nào
đồng quy tại một điểm. Hỏi đa giác lồi được chia ra thành bao nhiêu phần? Các đường
chéo cắt nhau tại bao nhiêu điểm?
Hướng dẫn: Giao điểm của hai đường chéo xác định một cách duy nhất bởi 4 đỉnh của đa giác. Mối liên
hệ giữa số phần của đa giác được chia ra và số giao điểm như thế nào?
3. Phương pháp song ánh
Nếu tồn tại song ánh f: A > B thì | A | = | B |. Nguyên lý đơn giản này rất có ích trong các bài toán đếm.

n-1
≤ k + n - 1}. Xét tương ứng
f(x
1
, x
2
, ,x
n
) = (x
1
+1,x
1
+x
2
+2, ,x
1
+x
2
+ +x
n-1
+n-1)
a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ từ A vào B;
b) Chứng minh rằng f là song ánh;
c) Kiểm tra lại rằng
1
1
||
−
−+
=

đếm có thể mô hình hóa để đưa về bài toán này. Chú ý khi sử dụng, cần chứng minh lại như một bổ đề.
2. a) (Số đường đi ngắn nhất trên lưới nguyên) Chứng minh rằng số đường đi ngắn nhất
trên lưới nguyên từ điểm A(0; 0) đến điểm B(m, n) bằng
.
m
nm
C
+
b) Cho m ≥ n, tìm số đường đi ngắn nhất từ điểm A(0, 0) đến điểm B(m, n) và đi qua các
điểm có hoành độ không nhỏ hơn tung độ.
Hướng dẫn: Hãy chứng minh rằng số đường đi ngắn nhất từ điểm A(0, 0) đến điểm B(m, n) và đi qua ít
nhất một điểm có hoành độ nhỏ hơn tung độ bằng số đường đi ngắn nhất từ điểm (-1, 1) đến B.
c) (Bài toán về số Catalan) Có 2n người xếp hàng mua vé. Giá vé là 50.000, có n người
có tiền 50.000 và n người chỉ có tiền 100.000, trong quầy ban đầu không có tiền lẻ. Mọi
người vào mua vé theo một thứ tự ngẫu nhiên. Tính xác suất để tất cả mọi người đều có
thể mua vé mà không phải chờ để lấy tiền trả lại. Nếu trong quầy đã có sẵn k tờ tiền
5.000 thì sao?
3. a) Có n người xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách chọn ra k người, sao cho
không có hai người kề nhau được chọn?
b) Có n người xếp thành một vòng tròn. Có bao nhiêu cách chọn ra k người, sao cho
không có hai người kề nhau được chọn?
4. (VMO 2012) Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là G
1
, G
2
, G
3
, G
4
, G

≤ x
1
≤ x
2
≤ ≤ x
n
≤ n sao cho d | x
1
+ x
2
+ +x
n
. Chứng minh rằng đúng một nửa số
phần tử của S có tính chất x
n
= n.
6. (Nghệ An 2009) Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2. Kí hiệu A = {1, 2, …,
n}. Tập con B của tập A được gọi là 1 tập "tốt" nếu B khác rỗng và trung bình cộng của
các phần tử của B là 1 số nguyên. Gọi T
n
là số các tập tốt của tập A. Chứng minh rằng T
n
– n là 1 số chẵn.
Hướng dẫn: Có n tập con tốt có 1 phần tử. Chia các tập con tốt còn lại thành 2 loại, loại 1 là các tập tốt có
chứa trung bình cộng, loại 2 là các tập tốt không chứa trung bình cộng. Hãy chứng minh 2 loại này có số
phần tử bằng nhau.
7. (Mỹ, 1996) Gọi a
n
là số các xâu nhị phân độ dài n không chứa chuỗi con 010, b
n

1. a) Cho A, B là hai tập hợp bất kỳ, chứng minh rằng |A ∪ B| = | A | +| B | - |A ∩ B|.
b) Cho A, B, C là ba tập hợp bất kỳ, chứng minh rằng |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - (|
A∩B| + |B∩C| + |C∩A|) + |A∩B∩C|.
c) (Công thức bao hàm và loại trừ) Cho A
1
, A
2
, , A
n
là các tập hợp bất kỳ, khi đó ta có

n
i
n
n
nkji
kji
nji
ji
n
i
ii
AAAAAAAAAA
1
21
1
111
.| |)1( ||||||||
=
−

, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
là các chữ số thuộc E = {0, 1, 2, …, 9}. Vé a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
được gọi là vé hạnh phúc nếu như
a
1
+ a
2
+ a
3
= a
4
+ a

) ∈ E
6
(1)
bằng số nghiệm của phương trình
a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
= 27 (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
) ∈ E
6


6
1=
=
i
i
MM
, trong đó
M
i
= { (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
) ∈ N
6
, a
1
+ a
2
+ a
3

trong đó ta quy ước r
0
(B) = 1.
6. Chứng minh rằng số các toàn ánh từ một tập hợp có m phần tử vào một tập hợp có n
phần tử có thể tính được tính theo công thức
∑
=
−−=
n
k
mk
n
k
knCnmC
0
)()1(),(
.
7. a) Trên mặt phẳng cho n hình. Gọi
k
ii
S

1
là diện tích phần giao của các hình với chỉ số
i
1
, , i
k
, còn S là diện tích phần mặt phẳng được phủ bởi các hình trên; M
k

iii) S ≤ M
1
- M
2
+ M
3
- + (-1)
m+1
M
m
với m lẻ.
b) Trong hình chữ nhật diện tích 1 có 5 hình có diện tích 1/2 mỗi hình. Chứng minh rằng
tìm được
i) hai hình có diện tích phần chung không nhỏ hơn 3/20;
ii) hai hình có diện tích phân chung không nhỏ hơn 1/5;
iii) ba hình có diện tích phần chung không nhỏ hơn 1/20.
5. Xây dựng công thức truy hồi
Một trong các kỹ thuật quan trọng để giải quyết các bài toán đếm là chia bài toán thành các bài toán nhỏ
hơn, giải các bài toán nhỏ rồi kết hợp lại. Kỹ thuật như thế được gọi là chia để trị. Và kỹ thuật này có thể
sử dụng để thiết lập các hệ thức truy hồi: Để giải bài toán đếm với tham số n, ta chia bài toán thành những
bài toán nhỏ hơn với định hướng là các bài toán nhỏ này liên quan đến bài toán ban đầu với tham số nhỏ
hơn.
Trong một số trường hợp, ta có thể đặt thêm các bài toán phụ để tạo ra các dãy số truy hồi lẫn nhau.
Chú ý, các hệ thức truy hồi thường sẽ có dạng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng mà ta đã biết
cách giải.
1. a) Tìm số các xâu nhị phân độ dài n không chứa hai bit 1 kề nhau;
b) Có bao nhiêu cách lát đường đi kích thước 2 × n bằng các viên gạch kích thước 1 × 2
(viên gạch có thể xoay).
c) Cùng câu hỏi như trên với đường đi kích thước 3 × 2n.
2. (PTNK 2009) Cho số nguyên dương n. Có bao nhiêu số chia hết cho 3, có n chữ số và

) sao cho
(i) x
i
= ± 1 với i = 1, 2, …, n.
(ii) 0 ≤ x
1
+ x
2
+ … + x
r
< 4 với r = 1, 2, …, n-1 ;
(iii) x
1
+ x
2
+ … + x
n
= 4.
7. Có bao nhiêu số nguyên n, 0 ≤ n < 10
11
có tổng các chữ số chia hết cho 11?
6. Đa thức và ứng dụng trong bài toán đếm
Một tính chất rất đơn giản của đa thức là
nn
aaaaaa
xxxx
+++
=

21

+ +x
9
)
6
2. a) Sử dụng đẳng thức
∑
∞
=
=
−
0
1
1
k
k
x
x
đúng với mọi x có | x | < 1, hãy chứng minh rằng
∑
∞
=
−
−+
=
−
0
1
1
)1(
1

=
=
]/[
0
nN
k
kn
aS
có thể tính theo công thức sau.
n
PPPP
S
n
)( )()()1(
12 −
++++
=
εεε
.
trong đó
n
i
n
ππ
ε
2
sin
2
cos +=
là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị.

, x
2
, , x
n
} các số thực, ta gọi A
(2)
là bộ các tổng x
i
+ x
j
với i <j
được xếp theo thứ tự tăng dần (có thể có 1 số tổng bằng nhau). Chẳng hạn với A = {1, 2,
3, 4} thì A
(2)
= {3, 4, 5, 5, 6, 7}. Chứng minh rằng nếu tồn tại các tập hợp số nguyên A và
B cùng có n phần tử sao cho A ≠ B nhưng A
(2)
= B
(2)
thì n = 2
k
.
Hướng dẫn: Nếu đặt
∑∑
∈∈
==
Bb
b
Aa
a

k
k
kB
xBrxr
0
)()(
.
7. (Tính chất cơ bản của đa thức xe)
a) Cho B và C là hai bảng con "không ăn nhau" của T (bảng vuông n × n) (tức là một con
xe nằm ở một ô bất kỳ của B và một con xe nằm ở một ô bất kỳ của C không ăn nhau),
khi đó ta có
r
B
∪
C
(x) = r
B
(x).r
C
(x).
b) Cho B là một bảng con của T, x là một ô thuộc B, C = B \ {x} và D là bảng thu được
từ B bằng cách xóa đi dòng chứa x và cột chứa x. Khi đó ta có
r
B
(x) = r
C
(x) + xr
D
(x).
c) Áp dụng tìm số cách đặt 8 quân xe đôi một không ăn nhau lên bàn cờ 8 × 8, trong đó

khuyết một ô bất kỳ luôn có thể phủ kín được
bằng các quân trimino hình chữ L.
b)* Chứng minh rằng nếu n ≠ 5 là số nguyên dương không chia hết cho 3 thì bảng vuông
n × n khuyết một ô bất kỳ có thể phủ kín được bằng các quân trimino hình chữ L.
Hướng dẫn: Hãy quy nạp nhảy cách, từ n > n+6.
4. Mỗi một con đường ở Sikinia đều là một chiều. Mỗi một cặp thành phố được nối bởi
đúng một con đường trực tiếp. Chứng minh rằng tồn tại một thành phố mà từ mọi thành
phố khác ta có thể đến thành phố đó bằng con đường trực tiếp, hoặc đi qua nhiều nhất
một thành phố khác.
Ghi chú: Trên ngôn ngữ đồ thị, có thể phát biểu bài toán như sau - Chứng minh rằng trong một đồ thị có
hướng đầy đủ, tồn tại một đỉnh mà khoảng cách từ 1 đỉnh bất kỳ khác đến nó ≤ 2. Phát biểu một cách
khác nữa: Có n đội bóng chuyền thi đấu vòng tròn một lượt. Khi đó tồn tại một đội bóng A sao cho nếu A
thắng B thì tồn tại C sao cho C thắng A và thua B.
Các bài toán trò chơi chính là dạng toán sử dụng đến quy nạp toán học nhiều nhất. Chú ý là quy nạp toán
học đầy đủ bao gồm hai phần: dự đoán công thức và chứng minh công thức và trong rất nhiều trường hợp,
việc dự đoán công thức đóng vai trò then chốt.
5. Hai người A và B cùng chơi một trò chơi. Ban đầu trên bàn có 100 viên kẹo. Hai người
thay phiên nhau bốc kẹo, mỗi lần được bốc k viên với k ∈ {1, 2, 6} . Hỏi ai là người có
chiến thuật thắng, người đi trước hay người đi sau?
6. a) Trên bảng có số 2010. Hai người A và B cùng luân phiên thực hiện trò chơi sau:
Mỗi lần thực hiện, cho phép xoá đi số N đang có trên bảng và thay bằng N-1 hoặc [N/2].
Ai thu được số 0 trước là thắng cuộc. Hỏi ai là người có chiến thuật thắng, người đi trước
hay người đi sau.
b) Cùng câu hỏi với luật chơi thay đổi như sau: Mỗi lần thực hiện, cho phép xoá đi số
N đang có trên bảng và thay bằng N-1 hoặc [(N+1)/2].
7. An và Bình chơi trò đoán số. An nghĩ ra một số nào đó nằm trong tập hợp X = {1, 2,
…, 144}. Bình có thể chọn ra một tập con bất kỳ A của X và hỏi « Số của bạn nghĩ có
nằm trong A hay không ? ». An sẽ trả lời Có hoặc Không theo đúng sự thật. Nếu An trả
lời có thì Bình phải trả cho An 2.000 đồng, nếu An trả lời Không thì Bình phải trả cho An
1.000 đồng. Hỏi Bình phải tốt ít nhất bao nhiêu tiền để chắc chắn tìm ra được số mà An

0
không có tính
chất A, ta còn có mọi cấu hình P với f(P) < f(P
0
) đều có tính chất A.
3. Cho ngũ giác lồi ABCDE trên mặt phẳng toạ độ có toạ độ các đỉnh đều nguyên.
a) Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của ngũ giác
(khác với A, B, C, D, E) có toạ độ nguyên.
b) Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm nằm trong ngũ giác có toạ độ nguyên.
c) Các đường chéo của ngũ giác lồi cắt nhau tạo ra một ngũ giác lồi nhỏ A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
bên
trong. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm nằm trong hoặc trên biên ngũ giác lồi
A
1
B
1
C
1
D
1
E

≥ 10.
9. Nguyên lý Dirichlet
Nguyên lý chuồng và thỏ (hay còn được gọi là nguyên lý Dirichlet) khẳng định một sự kiện “hiển nhiên”
rằng n+1 con thỏ không thể được xếp vào n chuồng sao cho mỗi con thỏ đều ở riêng một chuồng. Một
cách tổng quát hơn, nguyên lý chuồng và thỏ khẳng định rằng:
Nếu một tập hợp gồm nhiều hơn kn đối tượng được chia thành n nhóm, thì có một nhóm nào đó có nhiều
hơn k đối tượng.
Chân lý này rất dễ kiểm tra: nếu nhóm nào cũng có nhiều nhất k đối tượng thì tổng cộng chỉ có nhiều nhất
kn đối tượng được chia ra.
Đây là một trong những nguyên lý không xây dựng (non-constructive) lâu đời nhất: nó chỉ nói đến sự tồn
tại của một chuồng trong đó có nhiều hơn k vật mà không nói gì đến cách tìm ra chuồng này. Ngày nay
chúng ta đã có những tổng quát hóa rất mạnh của nguyên lý này (các định lý kiểu Ramsey, phương pháp
xác suất…).
Mặc dù nguyên lý chuồng và thỏ được phát biểu rất đơn giản, nó có hàng loạt các ứng dụng không tầm
thường. Cái khó của việc ứng dụng nguyên lý này là xác định được xem thỏ là gì và chuồng là gì.
1. Trong một giải bóng chuyền có 8 đội tham gia, thi đấu vòng tròn 1 lượt. Chứng minh
rằng tìm được 4 đội A, B, C, D sao cho A thắng B, C, D, B thắng C, D và C thắng D.
2. a) Chứng minh rằng trong 6 người bất kỳ luôn có 3 người đôi một quen nhau hoặc 3
người đôi một không quen nhau. Chứng minh điều này nói chung không đúng với 5
người.
b) Chứng minh rằng trong 9 người bất kỳ luôn tìm được 3 người đôi một quen nhau hoặc
4 người đôi một không quen nhau. Chứng minh điều này nói chung không đúng với 8
người.
Với mỗi cặp số nguyên dương (m, n), ta chứng minh được tồn tại số R(m,n) nhỏ nhất sao cho trong
R(m,n) người bất kỳ, luôn tìm được m người đôi một quen nhau hoặc n người đôi một không quen nhau.
Số này gọi là số Ramsey. Theo hai bài tập trên thì R(3, 3) = 6, R(3, 4) = 9.
c) Chứng minh rằng R(3, 5) = 14, R(4, 4) = 18, R(3, 6) = 18.
d) (Erdos) Chứng minh rằng R(r, s) ≤ R(r-1,s) + R(r, s-1), từ đó suy ra
1
2

j
| + |b
i
- b
j
| ≤ 1.
d) (VMO 2011) Cho ngũ giác lồi ABCDE có độ dài mỗi cạnh và độ dài các đường chéo
AC, AD không vượt quá
3
. Lấy 2011 điểm phân biệt tùy ý nằm trong ngũ giác đó.
Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác đã cho
chứa ít nhất 403 điểm trong số các điểm đã lấy.
e) Chứng minh rằng trong bài toán trên, kết quả vẫn đúng nếu thay 403 bằng 503.
Nguyên lý Dirichlet còn có một dạng khác: Nếu A, B là các tập con của X và |A| + |B| > |X| thì A và B có
phần tử chung.
5. a) Chứng minh rằng từ n số nguyên bất kỳ luôn tìm được một số hoặc một số số có
tổng chia hết cho n.
b) Chứng minh rằng từ 9 số nguyên bất kỳ luôn tìm được 5 số có tổng chia hết cho 5.
c) Chứng minh rằng trong 70 số nguyên dương không lớn hơn 200, luôn tìm được hai số
có hiệu bằng 4, 5 hoặc 9.
d) Chọn ra 69 số nguyên dương từ tập hợp E = {1, 2, …, 100}. Chứng minh rằng tồn tại 4
số a < b < c < d trong 4 số được chọn sao cho a + b + c = d. Kết luận bài toán còn đúng
không nếu ta thay 69 bằng 68?
6*. Trên bàn cờ quốc tế có 8 quân xe, đôi một không ăn nhau. Chứng minh rằng trong
các khoảng cách đôi một giữa các quân xe, có hai khoảng cách bằng nhau. Khoảng cách
giữa hai quân xe bằng khoảng cách giữa tâm các ô vuông mà quân các quân xe đứng.
7. (Định lý Erdos-Szekeres) Cho A = (a
1
, a
2

giữa họ đôi một khác nhau và mỗi người bắn vào người gần mình nhất. Chứng minh rằng
a) Có ít nhất một người không bị bắn;
b) Không ai bị bắn quá 5 phát;
c) Đường đi của các viên đạn không cắt nhau;
d) Tập hợp các đoạn thẳng tạo bởi đường đi các viên đạn không chứa một miền đóng.
7. Trong mặt phẳng cho 100 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết rằng
ba điểm bất kỳ trong chúng tạo thành một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng
minh rằng ta có thể phủ tất cả các điểm đã cho bằng một tam giác có diện tích 4.
11. Nguyên lý đếm bằng hai cách
Kỹ thuật đếm bằng hai cách là một kỹ thuật khá thông dụng trong toán học dựa trên nguyên lý cơ bản:
một đại lượng luôn có nhiều cách tính khác nhau, tùy theo cách ta nhìn nhận đối tượng. Và điều quan
trọng là tất cả các cách tính đó đều cho ra một kết quả như nhau. Nhờ vào điều này mà ta có thể thiết lập
ra các mối liên hệ, các phương trình, các bất đẳng thức, chứng minh các hằng đẳng thức.
1. Tại một hội nghị có 100 đại biểu. Trong số đó có 15 người Pháp, mỗi người quen với ít
nhất 70 đại biểu và 85 người Đức, mỗi người quen với không quá 10 đại biểu. Họ được
phân vào 21 phòng. Chứng minh rằng có một phòng nào đó không chứa một cặp nào
quen nhau.
Bản chất tổ hợp của
k
n
C
chính là số cách chọn ra k phần tử (không sắp thứ tự) từ một tập hợp gồm n phần
tử, hay nói cách khác số tập con k phần tử của một tập hợp gồm n phần tử. Hiểu rõ bản chất này, chúng ta
có thể chứng minh hàng loạt các công thức chứa
k
n
C
bằng cách giải cùng một bài toán bằng hai cách khác
nhau.
2. Chứng minh các đẳng thức sau bằng phương pháp tổ hợp

=
n
k
n
n
k
n
CC
0
2
2
)(
d)*
[ / 2]
2
2
0
. .2
n
i i n i n
n n i n
i
C C C
−
−
=
=
∑
e)
2 1

Trong tổ hợp
2
n
C
là số các cặp tạo thành từ n phần tử, là số cạnh của đồ thị đầy đủ bậc n. Trong nhiều bài
toán, sử dụng ý nghĩa tổ hợp này cùng với cách đếm bằng hai cách giúp chúng ta tìm ra chìa khoá cho lời
giải.
3. (Bulgarian MO 2006) Một quốc gia có 16 thành phố và có 36 tuyến bay nối giữa
chúng. Chứng minh rằng ta có thể tổ chức một chuyến bay vòng quanh giữa 4 thành phố.
4. a) Có 8 cái hộp, mỗi cái hộp có 6 viên bi thuộc một trong n màu. Biết rằng không có
hai viên bi cùng màu trong 1 hộp và không có hai màu xuất hiện trong quá 1 hộp. Tìm giá
trị nhỏ nhất của n.
b) Trong quốc hội có n thành viên. Người ta tổ chức 8 cuộc họp (tiếp nối nhau), mỗi cuộc
họp có 6 người tham dự. Biết rằng 2 thành viên bất kỳ không họp chung với nhau quá 1
lần, tìm GTNN của n.
c) Trong Duma quốc gia có 1600 đại biểu, lập thành 16000 ủy ban, mỗi ủy ban có 80 đại
biểu. Chứng minh rằng có ít nhất hai ủy ban có không dưới 4 thành viên chung.
Lý thuyết về phương pháp đếm bằng hai cách được tập hợp trong bài toán dưới đây
5. (Ma trận liên thuộc và ứng dụng)
a) Cho A = (a
ij
) là ma trận r × c với R
i
, i = 1, 2, , r là tổng các dòng; C
j
, j = 1, 2, , c là
tổng các cột. Khi đó ta có
∑∑
==
=

CtC
1
22
d) Cho A = (a
ij
) là ma trận r × c với R
i
, i = 1, 2, , r là tổng các dòng; C
j
, j = 1, 2, , c là
tổng các cột. Chứng minh rằng nếu R
i
> 0 với mọi i = 1, 2, , r thì
∑
=
ji
i
ij
r
R
a
,
. Tương tự
nếu C
j
> 0 với mọi j = 1, 2, , c thì
∑
=
ji
j

, A
2
, …, A
m
là các tập con của X sao cho
i) | A
i
| = 3 với mọi i = 1, 2, …, m.
ii) | A
i
∩ A
j
| ≤ 1 với mọi i ≠ j.
Chứng minh rằng tồn tại A thuộc X, A chứa ít nhất
[ 2 ]n
phần tử sao cho A không chứa
A
i
với mọi i = 1, 2, …, m.
12. Bất biến và đơn biến
Nhiều bài toán trò chơi hay biến đổi trạng thái được giải quyết một cách khá hiệu quả nhờ khái niệm bất
biến, đơn biến.
Cho tập hợp Ω (tập hợp các trạng thái) và tập hợp T (tập hợp các phép biến đổi) các ánh xạ từ Ω  Ω.
Hàm số f: Ω  R được gọi là bất biến đối với cặp (Ω, T) nếu ta có f(t(ω)) = f(ω) với mọi ω thuộc Ω và
với mọi t thuộc T.
Nguyên lý bất biến: Nếu f là một bất biến của (Ω, T) và f(ω’) ≠ f(ω) thì ω’ không thể thu được từ ω
thông quan các phép biến đổi T.
1. Xét một bảng vuông 4 x 4 ô. Tại mỗi ô của bảng vuông có chứa dấu “+” hoặc dấu “-”.
Mỗi một lần thực hiện, cho phép đổi dấu của tất cả các ô trên cùng một hàng hoặc cùng
một cột.

f
có thể đưa về từ trạng thái ω
s
bằng các phép biến đổi T khi và chỉ khi f
i
(ω
f
) = f
i
(ω
s
) với mọi i = 1,
2, …, k.
Một khái niệm quan trọng khác có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các bất biến, đó là khái niệm
quỹ đạo. Trên Ω, ta đưa ra quan hệ “chuyển được” như sau: Ta nói trạng thái ω
s
có thể chuyển được về
trạng thái ω
f
bằng các phép biến đổi T nếu tồn tại một dãy các phép biến đổi t
1
, t
2
, …, t
m
thuộc T sao cho
ω
f
= t
k

thay vì ω
s

T
ω
f
. Với quan
hệ tương đương này, Ω sẽ được chia thành các lớp tương đương, có đại diện là ω
1
, ω
2
, …, ω
p
, ký hiệu là
Ω
i
= { ω ∈ Ω| ω ~
T
ω
i
}. Ta gọi Ω
i
là các quỹ đạo sinh bởi ω
i
. Dễ thấy hai quỹ đạo bất kỳ hoặc trùng
nhau, hoặc không giao nhau.
3. Xét tiếp bài toán 1.
a) Tập trạng thái có bao nhiêu phần tử? Có bao nhiêu quỹ đạo?
b) Hãy tìm một hệ bất biến toàn năng.
4. Hình tròn được chia thành n ô. Trên mỗi ô có một viên sỏi. Mỗi một bước đi cho phép

sinh nhận được. Chứng minh rằng số kẹo đó luôn lớn hơn
9
4
3
n
với mọi số tự nhiên n lớn
hơn hoặc bằng 2.
7.* (IMO 1986) Tại mỗi đỉnh của một ngũ giác lồi ta viết một số nguyên sao cho tổng của
tất cả 5 số là dương. Nếu 3 đỉnh liên tiếp được ghi các số x, y, z tương ứng và y < 0 thì ta
được phép thực hiện biến đổi sau: các số x, y, z được thay bằng các số x+y,−y, z+y
tương ứng. Các phép biến đổi đó được lặp lại khi mà có ít nhất một trong 5 số là âm. Xác
định xem quá trình này có nhất thiết dừng lại sau một số hữu hạn các bước hay không?
13. Chứng minh bằng tô màu
Nhiều bài toán về phủ hình có thể giải quyết khá hiệu quả bằng cách tô màu. Sử dụng bao nhiêu màu và
tô như thế nào sẽ phụ thuộc vào các điều kiện cụ thể của bài toán. Chứng minh tô màu thường kết hợp tốt
với các phương pháp khác như phản chứng, đếm bằng hai cách.
1. a) Chứng minh rằng bàn cờ quốc tế 8 × 8 bỏ đi ô a1 và h8 không thể phủ kín bằng 31
quân đô-mi-nô.
b) Có bao nhiêu cách chọn 2 ô của bàn cờ quốc tế để phần còn lại có thể phủ kín bằng 31
quân đô-mi-nô?
c)* Cũng câu hỏi trên với điều kiện bổ sung: Hai cách chọn được coi là giống nhau nếu
chúng có thể thu được từ nhau qua một phép quay.
2. a) Chứng minh rằng bàn cờ 10 × 10 không thể phủ kín bằng 25 quân tetramino hình
chữ T.
b) Chứng minh rằng bàn cờ 8 × 8 không thể phủ kín bằng 15 quân tetramino hình chữ T
và 1 quân tetramino hình vuông.
c) Chứng minh rằng bàn cờ 10 × 10 không thể phủ kín bằng 25 quân tetramino hình chữ
I.
3. Xét hình vuông 7 × 7 ô. Chứng minh rằng ta có thể xoá đi một ô để phần còn lại không
thể phủ kín bằng 15 quân trimino kích thước 1 × 3 và 1 quân trimino hình chữ L.

Xm
m
TX
∑
∈
=
, hãy tìm giá trị của m.
3. (Vũng Tàu 2009) Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị,
người ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ m và cột thứ n. Gọi S(m;n) là
số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho không có
ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
S(m;n).
4. (Hưng Yên 2012, vòng chung khảo) Trong mặt phẳng cho n điểm A
1
, A
2
, , A
n
(n≥4) sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và không có 4 điểm nào cùng nằm trên 1
đường tròn. Gọi a
t
(1 ≤ t ≤ n) là số các đường tròn ngoại tiếp tam giác A
i
A
j
A
k
(1 ≤ i < j <
k ≤ n) chứa điểm A
t

iii) Hai máy tính và sợi dây nối chúng được tô màu khác nhau.
8. (Việt Nam TST 2009) Có 6n+4 nhà toán học tham dự 1 hội nghị, trong đó có 2n+1
buổi thảo luận. Mỗi buổi thảo luận đều có 1 bàn tròn cho 4 người ngồi và n bàn tròn cho
6 người ngồi. Biết rằng 2 người bất kỳ không ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau quá 1
lần.
a. Hỏi có thể thực hiện được không với n=1?
b. Hỏi có thể thực hiện được không với n>1?
9. Có ba lớp học A, B, C, mỗi lớp có 30 học sinh. Biết rằng một học sinh bất kỳ đều quen
với ít nhất 31 học sinh khác lớp. Chứng minh rằng tồn tại ba học sinh a, b, c lần lượt
thuộc lớp A, B, C sao cho họ đôi một quen nhau.
10. Cho n là số nguyên dương. Ta nói số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện C
n
nếu tồn
tại 2k số nguyên dương phân biệt a
1
, b
1
, , a
k
, b
k
sao cho a
1
+ b
1
, , a
k
+b
k
cũng phân biệt

, y
2
, …, y
n
) ∈ W | |x
1
– y
1
| + |x
2
– y
2
| + … + |x
n
– y
n
| ≤ 1}
Chứng minh rằng tồn tại một tập con W
0
của W sao cho với mọi x thuộc W ta có
| U
x
∩ W
0
| = 1.
12. Trong một nhóm n người có 3 người đôi một quen nhau và mỗi một người này quen
nhiều hơn 1 nửa số người trong nhóm. Tìm số ít nhất có thể số bộ ba người đôi một quen
nhau.