NGUY
ˆ
E
˜
N THUY
’
THANH
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
TO
´
AN CAO C
ˆ
A
´
P
Tˆa
.
p1
D
a
.
isˆo
´
tuyˆe
´

.
i – 2006
Mu
.
clu
.
c
L`o
.
in´oid
ˆa
`
u 4
1Sˆo
´
ph´u
.
c6
1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 6
1.2 Da
.
ng d

.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac . . . . . . . . 23
2D
-
ath´u
.
c v`a h`am h˜u
.
uty
’
44
2.1 D
-
ath´u
.
c 44
2.1.1 D
-
ath´u
.
c trˆen tru
.
`o

-
i
.
nh th ´u
.
c66
3.1 Ma trˆa
.
n 67
3.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa ma trˆa
.
n 67
3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe
´
n t´ınh trˆen ma trˆa
.
n 69
3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa
.
n 71
3.1.4 Ph´ep chuyˆe
’
nvi
.
ma trˆa
.

2MU
.
CLU
.
C
3.2.4 Phu
.
o
.
ng ph´ap t´ınh d
i
.
nh th ´u
.
c 89
3.3 Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n 109
3.3.1 D
-
i
.
nhngh˜ıa 109
3.3.2 Phu
.
o

a
’
o 119
4Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh 132
4.1 Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´od
i
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 . . . . 132
4.1.1 Phu
.

ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t 165
5 Khˆong gian Euclide
R
n
177
5.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆe
`
u v`a mˆo
.
tsˆo
´
kh´ai niˆe
.
mco
.
ba
’
nvˆe
`
vecto

5.4 Ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tuyˆe
´
nt´ınh 213
5.4.1 D
-
i
.
nhngh˜ıa 213
5.4.2 Ma trˆa
.
ncu
’
a ph´ep bdtt . . . . . . . . . . . . . . 213
5.4.3 C´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.4.4 Vecto
.
riˆeng v`a gi´a tri
.
riˆeng . . . . . . . . . . . . 216
6Da
.
ng to`an phu
.
o
.

o
.
ng ph´ap Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 237
6.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 241
MU
.
CLU
.
C3
6.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap biˆe
´
nd
ˆo
’
i tru
.
.
c giao . . . . . . . . . 244
6.2 D
-
u
.

ˆa
`
u
Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa
.
p to´an cao cˆa
´
p n`ay du
.
o
.
.
c biˆen soa
.
n theo Chu
.
o
.
ng
tr`ınh To´an cao cˆa
´
p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho
.
cTu
.
.
nhiˆen cu
’
a
D

.
sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho
.
c
Tu
.
.
nhiˆen n˘a
´
mv˜u
.
ng v`a vˆa
.
ndu
.
ng d
u
.
o
.
.
c c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i to´an cao
cˆa
´

l´y thuyˆe
´
t
v`a liˆe
.
tkˆenh˜u
.
ng cˆong th´u
.
ccˆa
`
n thiˆe
´
t. Tiˆe
´
pd
´o, trong phˆa
`
n C´ac v´ı du
.
ch´ung tˆoi quan tˆam d
˘a
.
cbiˆe
.
tt´o
.
iviˆe
.
c gia

o
.
.
cgˆo
.
p th`anh t`u
.
ng nh´om theo t`u
.
ng chu
’
d
ˆe
`
v`a d
u
.
o
.
.
cs˘a
´
pxˆe
´
p theo th´u
.
tu
.
.
t˘ang dˆa

.
c
l`am quen v´o
.
il`o
.
i gia
’
i chi tiˆe
´
t trong phˆa
`
n C´ac v´ı du
.
s˜e gi´up ngu
.
`o
.
iho
.
c
n˘a
´
md
u
.
o
.
.
c c´ac phu

ng dˆa
˜
ncu
’
a
gi´ao viˆen ho˘a
.
ctu
.
.
m`ınh nghiˆen c´u
.
u v`ı c´ac b`ai tˆa
.
pd
ˆe
`
uc´od´ap sˆo
´
,mˆo
.
t
sˆo
´
c´o chı
’
dˆa
˜
n v`a tru
.

gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca
’
mo
.
n c´ac thˆa
`
y gi´ao: TS. Lˆe D
`ınh
Ph `ung v`a PGS. TS. Nguyˆe
˜
n Minh Tuˆa
´
nd
˜ado
.
ck˜yba
’
n tha
’
ov`ad´ong
Co
.
so
.
’
l´y thuyˆe
´
t h`am biˆe
´
nph´u

i xuˆa
´
tba
’
nlˆa
`
nd
ˆa
`
u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho
’
i sai s´ot. Ch´ung
tˆoi rˆa
´
t chˆan th`anh mong d
u
.
o
.
.
cba
.
nd
o
.
c vui l`ong chı
’
ba
’
o cho nh˜u

ng 1
Sˆo
´
ph´u
.
c
1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 6
1.2 Da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 8
1.3 Biˆe

.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c
Mˆo
˜
ic˘a
.
psˆo
´
thu
.
.
c c´o th ´u
.
tu
.
.
(a; b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a mˆo
.

a v`ao theo c´ac d
i
.
nh ngh˜ıa sau dˆay:
(I) Quan hˆe
.
b˘a
`
ng nhau
(a
1
,b
1
)=(a
2
,b
2
) ⇐⇒



a
1
= a
2
,
b
1
= b
2

2
).
1
(I II) Ph´ep nhˆan
(a
1
,b
1
)(a
2
,b
2
)
def
=(a
1
a
2
− b
1
b
2
,a
1
b
2
+ a
2
b
1

v´o
.
i nhau bo
.
’
i
luˆa
.
t phˆan bˆo
´
v`a mo
.
i phˆa
`
ntu
.
’
=(0, 0) d
ˆe
`
u c´o phˆa
`
ntu
.
’
nghi
.
ch d
a
’

.
’
khˆong l`a c˘a
.
p (0; 0) v`a phˆa
`
ntu
.
’
d
o
.
nvi
.
l`a c˘a
.
p (1; 0).
´
Ap du
.
ng quy
t˘a
´
c (II I) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆe
´
uk´yhiˆe
.
u i =(0,1) th`ı
i
2

.
pda
.
ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe
.
t
v´o
.
isˆo
´
thu
.
.
c R:v`ıch´ung d
u
.
o
.
.
ccˆo
.
ng v`a nhˆan nhu
.
nh˜u
.
ng sˆo
´
thu
.
.

ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b):
1
+
Sˆo
´
thu
.
.
c a d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a phˆa
`
n thu
.
.
c a =Rez,sˆo

pv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z
1
def. l`a c´ach viˆe
´
tt˘a
´
tcu
’
at`u
.
tiˆe
´
ng Anh definition (d
i
.
nh ngh˜ıa)
8Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.

.
ida
.
ng
z = a + ib. (1.1)
Thˆa
.
tvˆa
.
y, z =(a, b)=(a, 0) + (0,b)=(a,0) + (0,1)(b, 0) = a + ib
Biˆe
’
uth´u
.
c (1.1) go
.
i l`a da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b). T`u

psˆo
´
ph´u
.
cd
u
.
o
.
.
c thu
.
.
c
hiˆe
.
n theo c´ac quy t˘a
´
c sau.
Gia
’
su
.
’
z
1
= a
1
+ ib
1

− b
1
b
2
)+i(a
1
b
2
+ a
2
b
1
).
(I II) Ph´ep chia:
z
2
z
1
=
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2
1

n
.T`u
.
d
´och´u
.
ng minh r˘a
`
ng
a) i
n
+ i
n+1
+ i
n+2
+ i
n+3
=0;
b) i ·i
2
···i
99
· i
100
= −1.
2
+
T`ım sˆo
´
nguyˆen n nˆe

= i, i
2
= −1, i
3
= −i, i
4
=1,i
5
= i v`a
gi´a tri
.
l˜uy th`u
.
ab˘a
´
td
ˆa
`
ul˘a
.
pla
.
i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia
’
su
.
’
n ∈ Z v`a
n =4k + r, r ∈ Z,0 r  3. Khi d
´o

4
= i). T`u
.
d
´o, theo kˆe
´
t qua
’
trˆen ta c´o
i
n
=













1nˆe
´
u n =4k,
i nˆe
´

n
=1.
Nhu
.
ng
1+i
1 −i
= i nˆen

1+i
1 − i

n
= i
n
=1⇒ n =4k, k ∈ Z.
b) T`u
.
d
˘a
’
ng th ´u
.
c

1+i
√
2

n

icu
’
a3th`ı

−1+i
√
3
2

n
+

−1 − i
√
3
2

n
=2
v`a nˆe
´
u n khˆong chia hˆe
´
t cho 3 th`ı

−1+i
√
3
2


√
3
2

3

m
=

−1+3i
√
3+9− 3i
√
3
8

m
+

−1 − 3i
√
3+9+3i
√
3
8

m
=1
m
+1

2

+

−1 − i
√
3
2

3

m

1 −i
√
3
2

=
−1+i
√
3
2
+
−1 − i
√
3
2
= −1.
Tu


1+i
2

2
2

···

1+

1+i
2

2
n

.
Gia
’
i. Nhˆan v`a chia biˆe
’
uth´u
.
cd
˜achov´o
.
i1−
1+i
2

1+i
2

2
n+1
=

1+i
2

2

2
n
=

i
2

2
n
=
i
2
n
2
2
n
=
1

1 −
1
2
2
n

(1 + i) 
V´ı d u
.
4. Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c
√
4 − 3i du
.
´o
.
ida
.
ng d
a
.
isˆo
´

´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 11
T`u
.
d
´o
a
2
− b
2
=4, (1.3)
2ab = −3. (1.4)
T`u
.
(1.4) ta c´o b = −
3
2a
.Thˆe
´
v`ao (1.3) ta thu d
u
.
o
.

100
4
=
8 − 10
4
= −
1
2
·
V`ı a ∈ R nˆen u  0 ⇒ u =
9
2
v`a do vˆa
.
y
a = ±
3
√
2
⇒ b = ∓
1
√
2
·
T`u
.
d
´o ta thu du
.
o

5+12i −
√
5 − 12i
√
5+12i +
√
5 −12i
v´o
.
id
iˆe
`
ukiˆe
.
n l`a c´ac phˆa
`
n thu
.
.
ccu
’
a
√
5+12i v`a
√
5 −12i dˆe
`
u ˆam.
Gia
’

.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
Hˆe
.
n`ay c´o hai nghiˆe
.
m l`a (3; 2) v`a (−3; −2). Theo diˆe
`
ukiˆe
.
n, phˆa
`
n
thu
.
.
ccu
’
a
√
5+12i ˆam nˆen ta c´o
√
5+12i = −3 −2i.Tu
.

su
.
’
z = a + ib, z = ±1. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng w =
z − 1
z +1
l`a
sˆo
´
thuˆa
`
na
’
o khi v`a chı
’
khi a
2
+ b
2
=1.
Gia
’
i. Ta c´o
w =
(a − 1) + ib
(a +1)+ib

2
+ b
2
− 1
(a +1)
2
+ b
2
=0⇐⇒ a
2
+ b
2
=1. 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
T´ınh
1.
(1 + i)
8
− 1
(1 − i)
8
+1
· (D
S.

1 −i
√
2

1+

1 −i
√
2

2

1+

1 −i
√
2

2
2

···

1+

1 −i
√
2

2

+ z
2
;b)z
1
z
2
= z
1
· z
2
;c)

z
1
z
2

=
z
1
z
2
;
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 13

1) y
2
− 2y + xy − x + y +(x + y)i v`a −y
2
+2y +11−4i;
2) x + y
2
+1+4i v`a ixy
2
+ iy
2
− 3?
(D
S. 1) x
1
=1,y
1
=3;x
2
=9,y
2
= 5; 2) x
1,2
= −5, y
1,2
= ±5)
7. Ch´u
.
ng minh r˘a
`

c.
8. T´ınh:
1)
√
−5 − 12i.(DS. ±(2 −3i))
2)
√
24 + 10i.(DS. ±(5 + i))
3)
√
24 −10i.(DS. ±(5 −i))
4)

1+i
√
3+

1 −i
√
3. (DS. ±
√
6, ±i
√
2)
9. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1) 1 − C

9
+ C
5
9
− C
7
9
+ C
9
9
= 16.
Chı
’
dˆa
˜
n.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
c nhi
.
th ´u
.
c Newton d
ˆo
´
iv´o
.

.
ng v´o
.
id
iˆe
’
m M(a; b)cu
’
a
m˘a
.
t ph˘a
’
ng to
.
ad
ˆo
.
v`a ngu
.
o
.
.
cla
.
imˆo
˜
id
iˆe
’

o
.
.
c x´ac lˆa
.
pl`a
d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t. Ph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
´o cho ph´ep ta xem c´ac sˆo
´
ph´u
.
c
nhu
.
l`a c´ac d

c. Tru
.
c ho`anh cu
’
an´od
u
.
o
.
.
cgo
.
il`aTru
.
c thu
.
.
c, tru
.
c tung
14 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
du

cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng v´o
.
id
iˆe
’
mdˆa
`
u O(0, 0) v`a
d
iˆe
’
m cuˆo
´
ita
.
idiˆe
’
m M(a; b)dˆe
`
utu
.
o
.
ng ´u

.
c x´ac lˆa
.
pgi˜u
.
atˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c C v´o
.
itˆa
.
pho
.
.
p
c´ac d
iˆe
’
m hay c´ac vecto
.
m˘a
.
t ph˘a

c´ac sˆo
´
ph´u
.
cd
u
.
o
.
.
c thu
.
.
chiˆe
.
n theo quy t˘a
´
ccˆo
.
ng v`a tr`u
.
c´ac vecto
.
.
Gia
’
su
.
’
z ∈ C. Khi d

a n´o.
Nˆe
´
u z = a + ib th`ı
r = |z| =
√
a
2
+ b
2
=
√
z z.
G´oc gi˜u
.
ahu
.
´o
.
ng du
.
o
.
ng cu
’
a tru
.
c thu
.
.

ˆo
`
ng hˆo
`
)du
.
o
.
.
cgo
.
il`a
acgumen cu
’
asˆo
´
z =0. D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
z = 0 acgumen khˆong x´ac d
i
.
nh.
Kh´ac v´o
.
i mˆod

i nguyˆen cu
’
a2π v`a
Arg z = arg z +2kπ, k ∈ Z,
trong d
´o arg z l`a gi´a tri
.
ch´ınh cu
’
a acgumen du
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh b o
.
’
id
iˆe
`
u
kiˆe
.
n −π<arg z  π ho˘a
.
c0 arg z<2π.
Phˆa

sau



a = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 15
Nhu
.
vˆa
.
y, acgumen ϕ cu
’
asˆo
´
ph´u
.
cc´othˆe
’
t`ım t`u
.
hˆe
.
phu

.
V´ı du
.
1. T`ım mˆod
un cu
’
asˆo
´
z =
x
2
− y
2
+2xyi
xy
√
2+i

x
4
+ y
4
·
Gia
’
i. Ta c´o
|z| =

(x
2

.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ∀z
1
,z
2
∈ C ta dˆe
`
u c´o:
(i) |z
1
+ z
2
|  |z
1
| + |z
2
|; (ii) |z
1
− z
2
|  |z
1
| + |z
2
|;
(iii) |z

1
+ z
2
)=|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
+ 2Re(z
1
z
2
).
V`ı −|z
1
z
2
|  Re(z
1
z
2
)  |z
1
z
2
| nˆen
|z

2
|.
(ii) V`ı |z
2
| = |−z
2
| nˆen
|z
1
−z
2
| = |z
1
+(−z
2
)|≤|z
1
| + |−z
2
| = |z
1
| + |z
2
|.
(iii)
´
Ap du
.
ng (ii) cho z
1

.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
(iv) |z
1
− z
2
| = |z
1
+(−z
2
)|≥|z
1
|−|−z
2
| = |z
1
|−|z
2
|. 
Nhˆa
.
nx´et. C´ac bˆa
´
td



; (iv)
∗
. |z
1
−z
2
| 


|z
1
|−|z
2
|


.
Thˆa
.
tvˆa
.
y ta c´o |z
1
+ z
2
|  |z
1
|−|z

.
ng th`ı thu d
u
.
o
.
.
c
(iii)
∗
.Bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c (iv)
∗
thu du
.
o
.
.
ct`u
.
(iii)
∗
b˘a
`
ng c´ach thay z

|
2
=2(|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
).
Gia
’
i th´ıch ´y ngh˜ıa h`ınh ho
.
ccu
’
ahˆe
.
th ´u
.
cd
˜ach´u
.
ng minh.
Gia
’
i. Gia
’
su

− z
2
= x
1
− x
2
+ i(y
1
−y
2
),
|z
1
+ z
2
|
2
=(x
1
+ x
2
)
2
+(y
1
+ y
2
)
2
,

+ z
2
|
2
+ |z
1
− z
2
|
2
=2(x
2
1
+ y
1
)
2
+2(x
2
2
+ y
2
2
)=2(|z
1
|
2
+ |z
2
|

.
ng ch´eo b˘a
`
ng tˆo
’
ng c´ac b`ınh phu
.
o
.
ng
d
ˆo
.
d`ai cu
’
a c´ac ca
.
nh cu
’
a n´o. 
V´ı d u
.
4. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u |z
1

iˆe
’
m z
1
, z
2
v`a z
3
n˘a
`
m trˆen du
.
`o
.
ng tr`on
n`ao d
´o v ´o
.
i tˆam ta
.
igˆo
´
cto
.
ad
ˆo
.
.Tax´et c´ac vecto
.
z

yr˘a
`
ng
arg
z
3
− z
2
z
3
− z
1
= arg (z
3
−z
2
) − arg(z
3
− z
1
)
v`a g´oc n`ay nh`ın cung tr`on nˆo
´
id
iˆe
’
m z
1
v`a z
2

z
3
−z
2
z
3
−z
1
=
1
2
arg
z
2
z
1
· 
V´ı d u
.
5. Ch ´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u |z
1
| = |z
2
| = |z

.
`o
.
ng tr`on d
o
.
nvi
.
.
Gia
’
i. Theo gia
’
thiˆe
´
t, ba d
iˆe
’
m z
1
, z
2
v`a z
3
n˘a
`
mtrˆendu
.
`o
.

1
− x
2
)
2
+(y
1
− y
2
)
2
= x
2
1
+ y
2
1
+ x
2
2
+ y
2
2
− (2x
1
x
2
+2y
1
y

2
+2|z
2
|
2
−2|z
1
+ z
2
|
2
.
Nhu
.
ng z
1
+ z
2
= −z
3
v`a |z
1
+ z
2
| = |z
3
|.Dod´o
|z
1
− z

.
o
.
ng tu
.
.
ta c´o |z
2
− z
3
| =
√
3, |z
3
− z
1
| =
√
3. T`u
.
d
´o suy ra
tam gi´ac v´o
.
id
ı
’
nh z
1
, z

.
t z
1
,
z
2
, z
3
n˘a
`
m trˆen mˆo
.
tdu
.
`o
.
ng th˘a
’
ng.
Gia
’
i. 1
+
Nˆe
´
u c´ac diˆe
’
m z
1
, z

.
ng nhu
.
cu
’
a vecto
.
d
it`u
.
d
iˆe
’
m z
3
dˆe
´
n
z
1
ho˘a
.
cc´ohu
.
´o
.
ng ngu
.
o
.

ng khi d
´o ta c´o
arg(z
1
−z
2
) = arg ( z
1
−z
3
)+kπ, k = 0, 1.
T`u
.
d
´o suy ra
arg
z
1
− z
2
z
1
− z
3
= arg(z
1
−z
2
) − arg(z
1

z
1
− z
2
z
1
− z
3
l`a sˆo
´
thu
.
.
c. D
iˆe
`
ukiˆe
.
nthudu
.
o
.
.
cl`ad
iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`

z
1
− z
2
z
1
− z
3
=0. Hˆe
.
th ´u
.
c n`ay tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng v´o
.
ihˆe
.
th ´u
.
c
y
1

m(x
1
,y
1
)v`a(x
2
,y
2
) c´o da
.
ng
y −y
1
y
2
− y
1
=
x − x
1
x
2
− x
1
· (1.6)
T`u
.
(1.5) v`a (1.6) suy ra d
iˆe
’

’
ng ph´u
.
c tho
’
a m˜an c´ac
d
iˆe
`
ukiˆe
.
n:
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 19
1) |z −2| + |z +2| =5;
2) |z −2|−|z +2| > 3;
3) Re z  c;
4) Im z<0.
Gia
’
i. 1) D
˘a
’
ng th´u
.

.
c F
1
= −2v`aF
2
= +2 l`a h˘a
`
ng sˆo
´
b˘a
`
ng 5. Theo di
.
nh ngh˜ıa trong
h`ınh ho
.
c gia
’
it´ıchd
´o l `a d u
.
`o
.
ng ellip v´o
.
i b´an tru
.
cl´o
.
nb˘a

=3l`ad
u
.
`o
.
ng hypecbˆon. D
˘a
’
ng th ´u
.
c
|z −2|−|z +2| =3
x´ac d
i
.
nh nh´anh bˆen tr´ai cu
’
adu
.
`o
.
ng hypecbˆon v`a bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c
|z −2|−|z +2| > 3 x´ac d

u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng x = c).
4) V`ıImz = y ⇒ Im z<c⇒ y<c.D
´ol`anu
.
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng du
.
´o
.
i
d
u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng y = c (khˆong kˆe
’
d

o
.
.
ccho
bo
.
’
id
iˆe
`
ukiˆe
.
n:
1) |z| =Rez +1;
2) |z −1|  2|z − i|;
3) |z −2+i|u
2
− 2|z − 2+i|u +1> 0 ∀u ∈ R.
4) log
3
(2 + |z
2
+ i|)+log
27
1
(2 + |z
2
− i|)
3
=0.

´
ph´u
.
c
D´o l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh parabˆon v´o
.
id
ı
’
nh ta
.
idiˆe
’
m

−
1
2
;0

v´o
.
i tru
.
cd
ˆo

⇒

(x − 1)
2
+ y
2
≥ 2

x
2
+(y − 1)
2
⇒

x +
1
3

2
+

y −
4
3

2

8
9
·

ˆo
´
iv´o
.
i u)o
.
’
vˆe
´
tr´ai cu
’
ad
iˆe
`
ukiˆe
.
nd˜acho
du
.
o
.
ng ∀u ∈ R nˆen biˆe
.
tsˆo
´
cu
’
a n´o ˆam, t´u
.
cl`a

2
+ i|
2+|z
2
−i|
=0
⇒
2+|z
2
+ i|
2+|z
2
− i|
=1 v`a |z
2
+ i| = |z
2
−i|.
T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng z
2
l`a sˆo
´
thu
.
.

iˆe
’
mn˘a
`
m trˆen c´ac
tru
.
cto
.
ad
ˆo
.
l`a tho
’
am˜andiˆe
`
ukiˆe
.
nd˜a cho. 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜

| 


|z
1
|−|z
2
|


.
2. Xuˆa
´
t ph´at t`u
.
c´ac biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c, ch´u
.
ng minh:
1)



z
|z|

o
.
.
c t´ınh theo cˆong th´u
.
c
arg(a + ib)=













arctg
b
a
nˆe
´
u a>0,
arctg
b
a
+ π nˆe










arctg
b
a
nˆe
´
u a>0,b>0,
arctg
b
a
+2π nˆe
´
u a>0,b<0,
arctg
b
a
+ π nˆe
´
u a<0.
Chı
’
dˆa

=4|a|
2
nˆe
´
u |a| = |b|.
6. Ch´u
.
ng minh d
ˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
c
|1 −
ab|
2
−|a −b|
2
=(1+|ab|)
2
−(|a| + |b|)
2
,a∈ C,b∈ C.
Chı
’
dˆa
˜
n. Su

1) |a + b|
2
=(|a| + |b|)
2
− 2

|ab|−Re(ab)

.
2) |a
b +1|
2
+ |a −b|
2
=(|a|
2
+ 1)(|b|
2
+ 1).
8. Ch ´u
.
ng minh r˘a
`
ng mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z = −1v`a|z| =1d

ng minh t =
t.
9. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
uRea  0th`ı|1+a| 
1+|a|
√
2
·
Chı
’
dˆa
˜
n. C´o thˆe
’
ch´u
.
ng minh b˘a
`
ng pha
’
nch´u
.
ng.
10. Trong c´ac sˆo
´

1) cos
π
6
− i sin
π
6
· (D
S. −
π
6
)
2) −cos
π
3
+ i sin
π
3
· (D
S.
2π
3
)
3) cos ϕ − i sin ϕ.(D
S. −ϕ)
4) −cos ϕ − i sin ϕ.(D
S. π + ϕ)
5) sin ϕ + i cos ϕ.(D
S.
π
2

.
o
.
.
ng gi´ac 23
1.4 Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng
gi´ac
Mo
.
isˆo
´

.
t trong c´ac acgumen cu
’
a n´o.
Ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
nd
´o d u
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z.D

a n´o. V`ı mˆod
un v`a acgumen cu
’
atˆo
’
ng
(hiˆe
.
u) hai sˆo
´
ph´u
.
c kh´o c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n qua mˆod
un v`a acgumen cu
’
a
c´ac sˆo
´
ha
.
ng nˆen ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep tr`u
.

c thu
.
.
chiˆe
.
nrˆa
´
ttiˆe
.
nlo
.
.
idu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac.
Gia
’
su
.
’
z

+ ϕ
2
)+i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)]
2
+
z
1
z
2
=
r
1
r
2
[cos(ϕ
1
− ϕ
2
)+i sin(ϕ
1
− ϕ
2
)], r
2
=0.
3

n
= cos nϕ + i sin nϕ. (1.8)
Cˆong th´u
.
c (1.8) d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a cˆong th´u
.
c Moivre.
Ph´ep to´an nˆang sˆo
´
e lˆen lu˜yth`u
.
aph´u
.
c z = x + iy d
u
.
o
.
.
cd
i
.

1+i
= e(cos 1 + i sin 1),
e
πi/2
= cos
π
2
+ i sin
π
2
= i,
e
πi
= cos π + i sin π = −1.
T`u
.
(1.9) khi z = iϕ ta thu d
u
.
o
.
.
c cˆong th ´u
.
c
e
iϕ
= cos ϕ + i sin ϕ (1.10)
go
.

.
t trong c´ac acgumen cu
’
a n´o. Ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
n
(1.11) d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng m˜ucu
’
asˆo
´
ph´u
.
c.C˜ung nhu
.
d
ˆo
´
iv´o

2
= r
1
r
2
e
i(ϕ
1
+ϕ
2
)
, (1.12)
z
1
/z
2
=
r
1
r
2
e
i(ϕ
1
−ϕ
2
)
, (1.13)
2/ nˆe
´

udiˆe
˜
n c´ac sˆo
´
ph´u
.
csaud
ˆay du
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac
1) −1+i
√
3; 2) 2 +
√
3+i.
Gia
’
i. 1) T`ım mˆod
un v`a acgumen cu
’
asˆo