SÁCH HNG DN HC TP
TOÁN CAO CP (A2)
(Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa)
Lu hành ni b
HÀ NI - 2006

=====(=====
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG
Gii thiu môn hc 5

tài liu hc tp,tài liu tham kho cho sinh viên ca các trng, các ngành đi hc
và cao đng.
Giáo trình đc trình bày theo cách thích hp đi vi ngi t hc, đc bit
phc v đc lc cho công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi
tit, ngi đc nên xem phn gii thiu ca mi chng đ thy đc mc đích ý
ngha, yêu cu chính ca chng đ
ó. Trong mi chng, mi ni dung, ngi đc
có th t đc và hiu đc cn k thông qua cách din đt và chng minh rõ ràng.
c bit bn đc nên chú ý đn các nhn xét, bình lun đ hiu sâu hn hoc m
rng tng quát hn các kt qu. Hu ht các bài toán đc xây dng theo lc đ:
đt bài toán, chng minh s tn ti li gii bng lý thuyt và cui cùng nêu thu
t
toán gii quyt bài toán này. Các ví d là đ minh ho trc tip khái nim, đnh lý
hoc các thut toán, vì vy s giúp ngi đc d dàng hn khi tip thu bài hc. Sau
các chng có phn tóm tt các ni dung chính và cui cùng là các câu hi luyn
tp. Có khong t 30 đn 40 bài tp cho mi chng, tng ng vói 3 -5 câu hi
cho mi tit lý thuyt. H thng câu hi này bao trùm toàn b ni dung va đc
h
c. Có nhng câu kim tra trc tip các kin thc va đc hc nhng cng có
nhng câu đòi hi hc viên phi vn dng mt cách tng hp và sáng to các kin
Gii thiu môn hc 6
thc đ gii quyt. Vì vy vic gii các bài tp này giúp hc viên nm chc hn lý
thuyt và kim tra đc mc đ tip thu lý thuyt ca mình.
Các bài tp đc cho di dng trc nghim khách quan, đây là mt phng
pháp rt phù hp vi hình thc đào to t xa. Hc viên có th t kim tra và đi
chiu vi đáp án  cui sách. Tuy nhiên phng pháp trc nghi
m cng có nhng

Các chng còn li ca giáo trình là đi s tuyn tính. Kin thc ca các
chng liên h cht ch vi nhau, kt qu ca chng này là công c ca ch
ng
khác. Vì vy hc viên cn thy đc mi liên h này. c đim ca môn hc này
Gii thiu môn hc 7
là tính khái quát hoá và tru tng cao. Các khái nim thng đc khái quát hoá
t nhng kt qu ca hình hc gii tích  ph thông. Khi hc ta nên liên h đn các
kt qu đó.
2. MC ÍCH MÔN HC
Cung cp cho sinh viên các kin thc c bn v đi s : Mnh đ, tp hp,
ánh x , cu trúc đi s và đi s tuyn tính bao gm các khái nim v không gian
vecto, ma trn, đnh th
c, ánh x tuyn tính, dng song tuyn tính, dng toàn
phng , làm c s đ tip thu các môn k thut đin và đin t.
3. PHNG PHÁP NGHIÊN CU MÔN HC
 hc tt môn hc này, sinh viên cn lu ý nhng vn đ sau :
1- Thu thp đy đ các tài liu :
◊ Bài ging: Toán cao cp A2. Lê Bá Long, Nguyn Phi Nga, Hc vin
Công ngh BCVT, 2005.
◊ Sách hng dn hc tp và bài tp: Toán cao cp A2. Lê Bá Long,
Nguyn Phi Nga, Hc vin Công ngh BCVT, 2005.
Nu có điu kin, sinh viên nên tham kho thêm: Các tài liu tham kho trong
mc Tài liu tham kho  cui cun sách này.
2- t ra mc tiêu, thi hn cho bn thân:
X t ra mc các mc tiêu tm thi và thi hn cho bn thân, và c gng
thc hin chúng
Cùng vi lch hc, lch h

Cách đn gin nht là tham d các din đàn hc tp trên mng Internet. H
thng qun lý hc tp (LMS) cung cp môi trng hc tp trong sut 24 gi/ngày
và 7 ngày/tun. Nu không có điu kin truy nhp Internet, sinh viên cn ch đng
s dng hãy s dng dch v bu chính và các ph
ng thc truyn thông khác
(đin thoi, fax, ) đ trao đi thông tin hc tp.
6- T ghi chép li nhng ý chính:
Nu ch đc không thì rt khó cho vic ghi nh. Vic ghi chép li chính là
mt hot đng tái hin kin thc, kinh nghim cho thy nó giúp ích rt nhiu cho
vic hình thành thói quen t hc và t duy nghiên cu.
7 -Tr li các câu hi ôn tp sau mi chng, bài.
Cui mi chng, sinh viên cn t tr
 li tt c các câu hi. Hãy c gng vch
ra nhng ý tr li chính, tng bc phát trin thành câu tr li hoàn thin.
i vi các bài tp, sinh viên nên t gii trc khi tham kho hng dn, đáp
án. ng ngi ngn trong vic liên h vi các bn hc và ging viên đ nhn đc
s tr giúp.
Nên nh thói quen đc và ghi chép là chìa khoá cho s thành công ca vic t hc! Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 9
1. CHNG 1: M U V LÔGÍCH MNH , TP HP
ÁNH X VÀ CÁC CU TRÚC I S
1.1 MC TIÊU, YÊU CU, Ý NGHA
ây là chng m đu làm c s, làm ngôn ng và công c không nhng cho
toán hc mà còn cho các ngành khoa hc khác.
Ta bit rng toán hc là mt ngành khoa hc lý thuyt đc phát trin trên c

p
; các
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 10
s nguyên môđulô p. Tp
p
;
có nhiu ng dng trong lý thuyt mt mã, an toàn
mng. Quan h th t đc dùng đ sp xp các đi tng cn xét theo mt th t
da trên tiêu chun nào đó. Quan h ≤ trong các tp hp s là các quan h th t.
Khái nim ánh x là s m rng khái nim hàm s đã đc bit. Khái nim
này giúp ta mô t các phép tng ng t mt tp này đn t
p kia tho mãn điu
kin rng mi phn t ca tp ngun ch cho ng vi mt phn t duy nht ca tp
đích và mi phn t ca tp ngun đu đc cho ng vi phn t ca tp đích. 
đâu có tng ng thì ta có th mô t đc di ngôn ng ánh x.
S dng khái ni
m ánh x và tp hp ta kho sát các vn đ ca gii tích t
hp, đó là các phng pháp đm s phn t. Gii tích t hp đc s dng đ gii
quyt các bài toán xác sut thng kê và toán hc ri rc.
Ta có th thc hin các phép toán cng các s, hàm s, đa thc, véc t hoc
nhân các s, hàm s, đa thc Nh vy ta có th thc hi
n các phép toán này trên
các đi tng khác nhau. Cái chung cho mi phép toán cng hay nhân  trên là các
tính cht giao hoán, kt hp, phân b Mt tp hp có phép toán tho mãn điu
kin nào đó đc gi là có cu trúc đi s tng ng. Các cu trúc đi s quan
trng thng gp là nhóm, vành, trng, không gian véc t. i s hc là mt
ngành ca toán hc nghiên cu các cu trúc đi s. Lý thuyt Nhóm đc Evarist

p ∧
đc p và q
X Phép tuyn:
q
p ∨
đc p hoc q
X Phép kéo theo:
qp ⇒
đc p kéo theo q, p suy ra q
X Phép tng đng:
q
p ⇔
đc p tng đng q
X Lng t ph bin:
∀
đc vi mi
X Lng t tn ti:
∃
đc tn ti.
1.2.2 Tp hp và phn t
a. Tp hp
X a là phn t ca A ký hiu
Aa∈
, đc a thuc A
X a không phi là phn t ca A ký hiu
Aa∉
, đc a không thuc A.
X T p rng
φ


{ }
BbAabaBA ∈∈=× ,),({ }
CcBbAacbaCBA ∈∈∈=×× ,,),,(
c. Quan h
X Quan h hai ngôi R trên X là tp con
XX
×⊂R
, gi là có tính:
o phn x nu Xxxx ∈∀,R
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 12
o đi xng nu
xyyx RR ⇒

o bc cu nu
zxzyyx RRR ⇒∧

o phn đi xng nu
y
xxyyx =⇒∧ RR

X Quan h hai ngôi R trên X đc gi là quan h tng đng nu nó
có tính phn x đi xng bc cu, ký hiu ~.
X L p tng đng ca y, ký hiu
{ }

nh.
X
f là mt đn ánh nu yxyfxf =⇒= )()(.
X f là mt toàn ánh nu
YXf =)(
.
X
f
là mt song ánh nu
f
va đn ánh va toàn ánh.
X Nu
f
là mt song ánh thì có ánh x ngc XYf →
−
:
1
xác đnh
bi:
)()(
1
yfxxfy
−
=⇔= cng là mt song ánh.
c. Các phép toán
X Hp ca hai ánh x
YXf →: và ZYg →: là ánh x
ZXfg →:o xác đnh bi
( )
)()( xfgxfg =o

pn
n
pnnnA
p
n
−
=+−−=

X S các t hp chp p ca n phn t là
!)!(
!
! ppn
n
p
A
C
p
n
p
n
−
==

X Nh thc Niu-tn

∑
=
−−−
=+++=+
n

.
o Nu
BAf →: song ánh thì BA = .
1.2.5 Các cu trúc đi s
Lut hp thành trong, hay còn gi là phép toán hai ngôi, trên tp
X
là mt
ánh x t XX × vào X , ký hiu XXX →
×:* yxyx *),( a
Lut hp thành trong * ca tp X đc gi là:
X Có tính kt hp nu
zy
xzyxXzyx ∗∗=∗∗∈∀ )()(:,,

X Có tính giao hoán nu
xyyxXyx ∗=∗∈∀ :,

Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 14
X Có phn t trung hoà (hay có phn t đn v) là
Xe
∈
nu
xxeexXx =∗=∗∈∀ :

X Gi s * có phn t trung hoà
Xe
∈

zyz
xzyxAzyx ⋅+⋅=⋅+∈∀ )(:,, phân phi bên phi
X Nu tho mãn thêm điu kin:
Lut nhân có tính giao hoán thì ),,(
⋅+A là vành giao hoán.
Lut nhân có phn t đn v là 1 thì ),,( ⋅+
A là vành có đn v.
X Vành không có c ca 0 đc gi là vành nguyên.
Trng là mt vành giao hoán có đn v ),,(
⋅+K sao cho mi phn t 0≠x
ca
K đu kh nghch (có phn t đi ca lut nhân).
X
),,( ⋅
+S
,
),,( ⋅+5
,
),,( ⋅+$
là trng.
X
),,( ⋅+
n
;
là trng khi và ch khi n là s nguyên t.
1.2.6 i s Bool:
i s Boole )',,,( ∧∨
B là mt tp khác trng B vi hai phép toán hai ngôi
BBB →×∧∨ :, và phép toán mt ngôi BB →:' tho mãn các tiên đ sau:
X B1: ∧∨, có tính kt hp, ngha là vi mi

Nguyên lý đi ngu: Nu mt công thc ca đi s Boole đc chng minh là
đúng da trên c s h tiên đ B1-B5 thì công thc đi ngu ca chúng cng đúng.
Có th áp dng đi s Boole đ gii quyt các bài toán v mch đin, thit k
mt mng tho mãn nhng yêu cu nào đó, rút gn mng đin
1.3 CÂU HI VÀ BÀI TP
Câu 1: Hãy chn câu tr li đúng nht;
a) "Mi s nguyên t đu là s l có phi không?" là mt mnh đ lôgich
toán hc.
b) "Trái đt quay xung quanh mt tri" không phi là mt mnh đ
lôgich toán hc.
c) Mnh đ
pp ∨ luôn đúng.
d) Tt c các ý trên đu sai.
Câu 2: Hãy chn câu tr li đúng nht
a)
()
qqpp ≡⇒∧ )( . b)
( )
qpqp ∧≡⇒ )(.
c)
()( )
rprqqp ⇒≡⇒∧⇒ )()(. d) Tt c các ý trên đu đúng.
Câu 3: Cho tp A và phn t x ca A. iu nào sau đây sai
a)
Ax∈ . b) Ax ⊂ . c)
( )
AP∈
φ
. d)
( )

b)
EBABBABA =∪⇔=∪⇔⊂ .
c)
φ
=∪⇔=∩⇔⊂ ABABABA .
d) Tt c các ý trên đu đúng.
Câu 6: Cho
BA, là hai tp con ca E . Hãy chn câu tr li đúng nht:
a)
BABAA ∩=)\(\ .
b) )(
\)()\( CABACBA ∩∩=∩ .
c)
BAABA ∪=∪ )\(.
d) Tt c các ý trên đu đúng.
Câu 7: Gi s D
CBA ,,, là tp con ca E . Trng hp nào sau đây là
sai:
a)
φφ
≠×∩×⇔≠∩ )()( ABBABA .
b) )()()()(
D
CBADBCA ∪×∪=×∪× .
c) )()()()(
D
CBADBCA ∩×∩=×∩× .
d) Nu
D
CBA ⊂⊂ , thì DBCA ×⊂× .

3
1
;
33
aaxaxxA 5 ,
{ }
aaB 2,−= .
d)
A là tp các s t nhiên nguyên t nh hn 15,
{}
13,11,7,5,3,2=B .
Câu 9: Quan h nào trong các trng hp sau đây là quan h tng
đng trong tp các s nguyên
; .
a) aba ⇔R chia ht cho b .
b)
aba ⇔R
không nguyên t vi b.
c)
1),( =⇔ baba
R a( và b nguyên t cùng nhau)
d)
mbaba M
−⇔R , trong đó 2≥m là mt s t nhiên cho trc.
Câu 10: Trong 5
, xét quan h tng đng R xác đnh bi:
bababa
−=−⇔
33
R .

≠X là mt tp cho trc
d) Tt c các trng hp trên đu là quan h th t.
Câu 12: Tìm các ví d v tp đc sp ),(
≤E và hai tp con EBA ⊂,
tho mãn:
a) Tn ti
Asup nhng không tn ti Bsup .
b) Tn ti
Bsup nhng không tn ti Asup .
c) Tn ti
AA∉sup nhng tn ti Bmax .
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 18
d) Tn ti
Ainf
nhng không tn ti
Asup .
Câu 13: Các ánh x 55 →:f nào sau đây là đn ánh:
a)
52)( += xxf . b) xxxxf 5)(
23
−+= .
c)
xxxf 23)( −= . d) 5∈++= cbcbxxxf ,;)(
2
.
Câu 14: Cho hai ánh x :,
gf Ï→ Ï xác đnh bi:

A
nÕu
nÕu
0
1
)( và gi là hàm đc trng ca tp A.
Hãy chn câu tr li đúng nht:
a)
AA
XAAA
IIIII
−==⋅ 1;
\
.
b)
BABABABABA
IIIIIIII ⋅−+=⋅=
∪∩
;
.
c)
BA
IIBA ≤⇔⊂ .
d) Tt c các ý trên đu đúng.
Câu 16: Cho ánh x
YXf →: và XBA ⊂, . iu nào sau đây luôn luôn
đúng:
a) )()(
BfAfBA ⊂⇔⊂ . b) )()()( BfAfBAf ∪=∪ .
c) )()()(

iu nào sau đây không luôn luôn đúng:
a)
gf , đn ánh thì h đn ánh. b) gf , toàn ánh thì h toàn ánh.
c) h đn ánh thì
g đn ánh. d) h toàn ánh thì g toàn ánh.
Câu 19: Ký hiu
fgh o= là hp ca hai ánh x ZYgYXf →→ :,: .
iu nào sau đây không luôn luôn đúng:
a) h đn ánh thì
f đn ánh.
b) h toàn ánh thì
f toàn ánh.
c) h đn ánh và
f toàn ánh thì g đn ánh.
d) h toàn ánh và
g đn ánh thì f toàn ánh.
Câu 20: Cho hai phép th ca tp
{ }
4,3,2,1 :

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2143
4321
σ

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
!7!2
!9
!5!3
!8
!10
!4!7
A

a)
5
4
=A . b)
4
5
=A . c)
3
2
=A . d)
7
6
=A .
Câu 23: Tìm tt c các s t nhiên dng 1≥m tho mãn
6
1

Câu 27: Mt cái hp đng 10 qu cu trong đó có 7 qu cu trng và 3
qu cu đ. Hi có bao nhiêu cách:
a) Ly ra 4 qu cu t hp.
b) Ly ra 4 qu cu, trong đó có đúng 2 qu cu đ.
c) Ly ra 4 qu cu, trong đó có nhiu nht 2 qu cu đ.
d) Ly ra 4 qu cu, trong đó có ít nht 2 qu cu đ.
Câu 28: Hãy chn câu tr li đúng nht:
a)
k
n
k
n
k
n
CCC =+
−
−
−
1
11
.
b)
nn
nnnn
CCCC 2
210
=++++ .
c)
n
n

102110
31
19.37C
. c)
191212
31
19.37C .
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 21
b)
211010
31
19.37C . d)
121912
31
19.37C .
Câu 30: Phép toán nào sau đây không phi là mt lut hp thành trong:
a) Phép cng hai véc t. b) Tích vô hng hai véc t.
c) Phép cng hai đa thc. d) Phép nhân hai hàm s.
Câu 31: Phép hp thành trong nào sau đây không có tính giao hoán:
a) Phép cng các s thc.
b) Phép nhân các s t nhiên.
c) Phép hp các ánh x t tp
φ
≠E vào chính tp E .
d) Phép cng các hàm s.
Câu 32: Trng hp nào sau đây không có cu trúc nhóm
a) Tp các s t nhiên Ï vi phép cng.

Ax∈ đc gi là lu linh nu tn
ti mt s t nhiên
0≠n sao cho 0
=
n
x . iu nào sau đây không đúng:
Chng 1: M đu v logic mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 22
a) Nu yx, lu linh và yxxy = thì yx + cng ly linh.
b) Nu
x lu linh và yxxy = thì xy cng ly linh.
c) Nu
Ax∈ lu linh thì tn ti
1
−
x .
d) Nu
Ax∈ lu linh thì tn ti
( )
1
1
−
− x .
Câu 36: Hãy xác đnh các công thc đi s Boole nào sau đây là tng
đng:
a)
()()
yxzx ∧∨∧ '. b)

c)
( )
xyz ∨∧
. d)
( )
zxy ∧∨
.
Chng 2: Không gian véc t 23
2. CHNG 2: KHÔNG GIAN VÉC T
2.1 MC TIÊU, YÊU CU, Ý NGHA
Khái nim không gian véc t có ngun gc t vt lý. Ban đu các véc t là
nhng đon thng có đnh hng, vi khái nim này ngi ta đã s dng đ biu
din các đi lng vt lý nh: véc t vn tc, lc tác đng, lc đin t . Các nhà
vt lý còn s dng phng pháp véc t Fresnel đ tng hp các dao đng điu hoà.
Cui th
 k 17 Descartes đã đ xut phng pháp to đ đ gii quyt các bài
toán hình hc. Vi phng pháp này mi véc t trong mt phng đc đng nht
vi mt cp s là hoành đ và tung đ còn véc t trong không gian đc đng nht
vi b ba s. Các phép toán ca véc t (cng véc t, nhân 1 s vi véc t) có th
chuyn tng ng bng phép toán trên các b s và tho
mãn mt s tính cht nào
đó. Trong nhiu lnh vc khác chúng ta cng thy nhng đi tng khác nh các
đa thc, hàm s, v.v có các phép toán tho mãn các tính cht tng t các véc t.
iu này dn đn vic khái quát hoá khái nim véc t.
Trong các công trình v s quaternion t nm 1843 ca nhà toán hc Anh
Hamilton, ngi ta có th tìm thy mt dng thô s ca khái nim không gian vec
t 3 và 4 chiu. Hamilton dùng các s quaternion đ nghiên cu các vn đ

2.2 TÓM TT NI DUNG
2.2.1 Khái nim không gian vect
Không gian véc t trên trng
K là tp V khác
φ
vi hai phép toán:
* Phép toán trong * Phép toán ngoài

uu
VVK
αα
a),(
→
×

tho mãn các tiên đ sau vi mi
Vwvu ∈,,và K∈
βα
,
X )()( wvuwvu ++=++
X Có
V∈0 sao cho uuu =+=+ 00
X Vi mi
Vu ∈ có Vu ∈− sao cho 0=+−=−+ uuuu )()(
X uvvu +=+
X uuu
βαβα
+=+ )(
X vuvu
ααα

25
X Vi mi K∈
α
, 00 =
α
.
X Nu 0=u
α
thì 0=
α
hoc 0=u .
Ta đnh ngha )(:
vuvu −+=− , khi đó vwuwvu −=⇔=+ .
Vi các véc t
Vuuu
n
∈, ,,
21
và vi mi K
n
∈
ααα
, ,,
21
, do tính kt hp
ca phép cng nên ta có th đnh ngha theo qui np:

Vuuuuuu
nnnnnn
n

S đc gi là không gian sinh
bi h
S ký hiu SW span= và S đc gi là h sinh ca W .
SW span= bng tp hp tt c các t hp tuyn tính ca S .
Nu
SV span= ,
{}
n
vvS ,,
1
= hu hn thì
V đc gi là không gian hu
hn sinh. Lúc đó, vi mi
Vu ∈ ;
nn
vxvxu ++=
11
, 5∈
n
xx , ,
1
.
c. Tng ca mt h không gian véc t con: Gi s
n
WW , ,
1
là n không gian
con ca
V . Ta ký hiu
n

0=∩
21
WW .
Ta có th chng minh đc
( )
nn
WWWW ∪∪
=++ span
11

Chng 2: Không gian véc t 26
Mt cách tng quát ta đnh ngha và ký hiu tng ca mt h các không gian
véc t con
()
Ii
i
W
∈
là
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

5
∈=++
nnn
uu
αααα
, ,,
111
0 thì 0
1
===
n
αα
.
H không đc lp tuyn tính đc gi là ph thuc tuyn tính.
H con
{}
n
vv , ,
1
ca h
S đc gi là đc lp tuyn tính ti đi ca S nu
nó là h đc lp tuyn tính và nu thêm bt k véc t nào ca
S thì ta có h ph
thuc tuyn tính.
Mi h véc t
S đu có h con đc lp tuyn tính ti đi, s véc t ca các h
con đc lp tuyn tính ti đi ca
S đu bng nhau và ta gi là hng ca S , ký
hiu )(
Sr .

V đu tn ti c s. S phn t ca mi c s
ca
V đu bng nhau và đc gi là s chiu ca V , ký hiu Vdim .
()()
SrS =spandim .
2.3 CÂU HI VÀ BÀI TP
Câu 1: Trng hp nào sau đây tp
3
5 vi các phép toán đc đnh
ngha là không gian véc t
a)
⎩
⎨
⎧
∈=
+++=+
5
ααα
; ),,(),,(
),','()',','(),,(
zyxzyx
zzyyxxzyxzyx

b)
⎩
⎨
⎧
∈=
+++=+
5

ααααα
; ),,(),,(
)',','()',','(),,(
zyxzyx
zzyyxxzyxzyx
.
Câu 2: Vi các phép cng hai hàm s và phép nhân hàm s vi s thc,
tp các hàm s nào sau đây là không gian véc t.
a) Tp các hàm s không âm trên
[ ]
ba,.
b) Tp các hàm s b chn trên
[ ]
ba,.
c) Tp các hàm s kh vi trên
[ ]
ba, ( có đo hàm ti mi đim).
d) Tp các hàm s trên
[ ]
ba, sao cho 1)( =bf .
Câu 3: Tp hp các véc t có dng nào sau đây không là không gian con
ca
3
5
a) Các véc t có dng ),0,( z
x .
b) Các véc t có dng )1,,( y
x .
c) Các véc t có dng ),,( zy
x tho mãn 0=++ zyx .

c) )4,3,2,1(=u . d) )0,7,3,2(
−=u .
Chng 2: Không gian véc t 28
Câu 6: Hãy biu din véc t u thành t hp tuyn tính ca
321
,, vvv :
a) )15,2,7( −=u ; )5,3,2(
1
=v , )8,7,3(
2
=v , )1,6,1(
3
−=v .
b) )7,7,4,1( −=u ; )2,3,1,4(
1
−=v ,)2,3,2,1(
2
−=v ,)3,1,9,16(
3
−=v .
c) )14,9,6(=u ;
)1,1,1(
1
=v
,
)2,1,1(
2

3
5
a) )3,1,2( −=u , )5,2,3(
−=v , )1,1,1( −=w .
b) )3,1,2( −=u , )2,1,4(=
v , )8,1,8( −=w .
c) )4,1,3(=u , )5,3,2(
−=v , )9,2,5( −=w , )1,4,1( −=s .
d) )13,0,3(=u , )4,7,2(=
v , )11,10,1( −=w .
Câu 9: H véc t nào sau đây ca
3
5 là đc lp tuyn tính
a) )1,2,1( −=u , )1,1,2(
−=v , )1,4,7( −=w .
b) )7,3,1( −=u , )8,0,2(=
v , )8,1,8( −=w , )7,9,3( −=x .
c) )3,2,1( −=u , )2,3,1(
−=v , )5,1,2( −=w .
d) )13,3,2( −=u , )0,0,0(
=v , )11,10,1( −=w .
Câu 10: H véc t nào di đây là đc lp tuyn tính.
a) )6,2,4( −=u ,
)9,3,6(
−=v
trong
3
5 .
b) )1,3,2( −=u , )5,1,3(
−=v , )3,4,1( −=w trong