SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP
TOÁN CAO CẤP (A2)
(Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa)
Lưu hành nội bộ
HÀ NỘI - 2006

==========
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
Giới thiệu môn học 5

tài liệu học tập,tài liệu tham khảo cho sinh viên của các trường, các ngành đại học
và cao đẳng.
Giáo trình được trình bày theo cách thích hợp đối với người tự học, đặc biệt
phục vụ đắc lực cho công tác đào tạo từ xa. Trước khi nghiên cứu các nội dung chi
tiết, người đọc nên xem phần giới thiệu của mỗi chương để thấy được mục đích ý
nghĩa, yêu cầu chính của chương đ
ó. Trong mỗi chương, mỗi nội dung, người đọc
có thể tự đọc và hiểu được cặn kẽ thông qua cách diễn đạt và chứng minh rõ ràng.
Đặc biệt bạn đọc nên chú ý đến các nhận xét, bình luận để hiểu sâu hơn hoặc mở
rộng tổng quát hơn các kết quả. Hầu hết các bài toán được xây dựng theo lược đồ:
đặt bài toán, chứng minh sự tồn tại lời giải bằng lý thuyết và cuối cùng nêu thu
ật
toán giải quyết bài toán này. Các ví dụ là để minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý
hoặc các thuật toán, vì vậy sẽ giúp người đọc dễ dàng hơn khi tiếp thu bài học. Sau
các chương có phần tóm tắt các nội dung chính và cuối cùng là các câu hỏi luyện
tập. Có khoảng từ 30 đến 40 bài tập cho mỗi chương, tương ứng vói 3 -5 câu hỏi
cho mỗi tiết lý thuyết. Hệ thống câu hỏi này bao trùm toàn bộ nội dung vừa được
họ
c. Có những câu kiểm tra trực tiếp các kiến thức vừa được học nhưng cũng có
những câu đòi hỏi học viên phải vận dụng một cách tổng hợp và sáng tạo các kiến
Giới thiệu môn học 6
thức để giải quyết. Vì vậy việc giải các bài tập này giúp học viên nắm chắc hơn lý
thuyết và kiểm tra được mức độ tiếp thu lý thuyết của mình.
Các bài tập được cho dưới dạng trắc nghiệm khách quan, đây là một phương
pháp rất phù hợp với hình thức đào tạo từ xa. Học viên có thể tự kiểm tra và đối
chiếu với đáp án ở cuối sách. Tuy nhiên phương pháp trắc nghi
ệm cũng có những

Các chương còn lại của giáo trình là đại số tuyến tính. Kiến thức của các
chương liên hệ chặt chẽ với nhau, kết quả của chương này là công cụ của ch
ương
khác. Vì vậy học viên cần thấy được mối liên hệ này. Đặc điểm của môn học này
Giới thiệu môn học 7
là tính khái quát hoá và trừu tượng cao. Các khái niệm thường được khái quát hoá
từ những kết quả của hình học giải tích ở phổ thông. Khi học ta nên liên hệ đến các
kết quả đó.
2. MỤC ĐÍCH MÔN HỌC
Cung cấp cho sinh viên các kiến thức cơ bản về đại số : Mệnh đề, tập hợp,
ánh xạ , cấu trúc đại số và đại số tuyến tính bao gồm các khái niệm về không gian
vecto, ma trận, định th
ức, ánh xạ tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn
phương , làm cơ sở để tiếp thu các môn kỹ thuật điện và điện tử.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU MÔN HỌC
Để học tốt môn học này, sinh viên cần lưu ý những vấn đề sau :
1- Thu thập đầy đủ các tài liệu :
◊ Bài giảng: Toán cao cấp A2. Lê Bá Long, Nguyễn Phi Nga, Học viện
Công nghệ BCVT, 2005.
◊ Sách hướng dẫn học tập và bài tập: Toán cao cấp A2. Lê Bá Long,
Nguyễn Phi Nga, Học viện Công nghệ BCVT, 2005.
Nếu có điều kiện, sinh viên nên tham khảo thêm: Các tài liệu tham khảo trong
mục Tài liệu tham khảo ở cuối cuốn sách này.
2- Đặt ra mục tiêu, thời hạn cho bản thân:
9 Đặt ra mục các mục tiêu tạm thời và thời hạn cho bản thân, và cố gắng
thực hiện chúng
Cùng với lịch học, lịch hướ

5- Chủ động liên hệ với bạn học và giảng viên:
Cách đơn giản nhất là tham dự các diễn đàn học tập trên mạng Internet. Hệ
thống quản lý học tập (LMS) cung cấp môi trường học tập trong suốt 24 giờ/ngày
và 7 ngày/tuần. Nếu không có điều kiện truy nhập Internet, sinh viên cần chủ động
sử dụng hãy sử dụng dịch vụ bưu chính và các phươ
ng thức truyền thông khác
(điện thoại, fax, ) để trao đổi thông tin học tập.
6- Tự ghi chép lại những ý chính:
Nếu chỉ đọc không thì rất khó cho việc ghi nhớ. Việc ghi chép lại chính là
một hoạt động tái hiện kiến thức, kinh nghiệm cho thấy nó giúp ích rất nhiều cho
việc hình thành thói quen tự học và tư duy nghiên cứu.
7 -Trả lời các câu hỏi ôn tập sau mỗi chương, bài.
Cuối mỗi chương, sinh viên cần tự tr
ả lời tất cả các câu hỏi. Hãy cố gắng vạch
ra những ý trả lời chính, từng bước phát triển thành câu trả lời hoàn thiện.
Đối với các bài tập, sinh viên nên tự giải trước khi tham khảo hướng dẫn, đáp
án. Đừng ngại ngần trong việc liên hệ với các bạn học và giảng viên để nhận được
sự trợ giúp.
Nên nhớ thói quen đọc và ghi chép là chìa khoá cho sự thành công của việc tự học! Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 9
1. CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LÔGÍCH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP
ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
1.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA
Đây là chương mở đầu làm cơ sở, làm ngôn ngữ và công cụ không những cho
toán học mà còn cho các ngành khoa học khác.

quan hệ tương đương trong tập các số nguyên. Tập thương của nó là tập
p
 các
Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 10
số nguyên môđulô p. Tập
p

có nhiều ứng dụng trong lý thuyết mật mã, an toàn
mạng. Quan hệ thứ tự được dùng để sắp xếp các đối tượng cần xét theo một thứ tự
dựa trên tiêu chuẩn nào đó. Quan hệ ≤ trong các tập hợp số là các quan hệ thứ tự.
Khái niệm ánh xạ là sự mở rộng khái niệm hàm số đã được biết. Khái niệm
này giúp ta mô tả các phép tương ứng từ một tập này đến t
ập kia thoả mãn điều
kiện rằng mỗi phần tử của tập nguồn chỉ cho ứng với một phần tử duy nhất của tập
đích và mọi phần tử của tập nguồn đều được cho ứng với phần tử của tập đích. Ở
đâu có tương ứng thì ta có thể mô tả được dưới ngôn ngữ ánh xạ.
Sử dụng khái niệ
m ánh xạ và tập hợp ta khảo sát các vấn đề của giải tích tổ
hợp, đó là các phương pháp đếm số phần tử. Giải tích tổ hợp được sử dụng để giải
quyết các bài toán xác suất thống kê và toán học rời rạc.
Ta có thể thực hiện các phép toán cộng các số, hàm số, đa thức, véc tơ hoặc
nhân các số, hàm số, đa thức Như vậy ta có thể thực hi
ện các phép toán này trên
các đối tượng khác nhau. Cái chung cho mỗi phép toán cộng hay nhân ở trên là các
tính chất giao hoán, kết hợp, phân bố Một tập hợp có phép toán thoả mãn điều
kiện nào đó được gọi là có cấu trúc đại số tương ứng. Các cấu trúc đại số quan
trọng thường gặp là nhóm, vành, trường, không gian véc tơ. Đại số học là một

9 Phép hội:
q
p
∧
đọc p và q
9 Phép tuyển:
q
p
∨
đọc p hoặc q
9 Phép kéo theo:
qp ⇒
đọc p kéo theo q, p suy ra q
9 Phép tương đương:
q
p
⇔
đọc p tương đương q
9 Lượng từ phổ biến:
∀
đọc với mọi
9 Lượng từ tồn tại:
∃
đọc tồn tại.
1.2.2 Tập hợp và phần tử
a. Tập hợp
9 a là phần tử của A ký hiệu
A
a
∈

(
)
BxAxBAx
∈
∨
∈
⇔
∪
∈

9 Giao
(
)
BxAxBAx
∈
∧
∈
⇔
∩
∈

9 Hiệu
(
)
BxAxBAx
∉
∧
∈
⇔
∈

∈
=
×
× ,,),,(
c. Quan hệ
9 Quan hệ hai ngôi R trên X là tập con
XX
×
⊂
R
, gọi là có tính:
o phản xạ nếu
X
x
x
x
∈
∀
,
R

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 12
o đối xứng nếu
x
yy
x
R

yxXxy ~
∈
=

9 Quan hệ hai ngôi R trên X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có tính
phản xạ phản đối xứng và bắc cầu, ký hiệu
≤.
9 Quan hệ thứ tự ≤ trên X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần nếu hai
phần tử bất kỳ
y
x
,
của X đều có thể so sánh được với nhau, nghĩa là
y
x
≤
hoặc
x
y ≤
. Quan hệ thứ tự không toàn phần được gọi là quan
hệ thứ tự bộ phận.
1.2.3 Ánh xạ
a. Ánh xạ: Ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quy luật cho ứng mỗi
X
x
∈
với
một và chỉ một
Y
y∈

)()(.
9
f
là một toàn ánh nếu
Y
X
f
=
)(
.
9
f
là một song ánh nếu
f
vừa đơn ánh vừa toàn ánh.
9 Nếu
f
là một song ánh thì có ánh xạ ngược XYf →
−
:
1
xác định
bởi:
)()(
1
yfxxfy
−
=⇔= cũng là một song ánh.
c. Các phép toán
9 Hợp của hai ánh xạ

được gọi là tập hữu hạn có n phần tử. Tập rỗng là tập hữu hạn có 0
phần tử. Tập không hữu han được gọi là tập vô hạn.

9 Tập cùng lực lượng với tập số tự nhiên ² được gọi là tập vô hạn đếm
được. Tập số thực
 không đếm được.
1.2.4 Giải tích tổ hợp
9
Số các hoán vị n phần tử là
!
nP
n
=

9 Số các chỉnh hợp lặp chập p của n phần tử là
p
n

9 Số các chỉnh hợp không lặp chập p của n phần tử là
)!(
!
)1) (1(
pn
n
pnnnA
p
n
−
=+−−=


n
n
baCbCbaCaCba
0
011
)(.
9 Sơ lược về phép đếm
o Công thức cộng: BABABA
+
=
∩
+
∪ ,
o Công thức nhân:
kk
AAAA
⋅
⋅
=
×
×

11
,
o Chỉnh hợp có lặp:
{}
B
ABAf =→:
,
A

∗
∗
∈
∀
)()(:,,

9 Có tính giao hoán nếu
x
yy
x
Xy
x
∗
=
∗
∈
∀
:,

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 14
9 Có phần tử trung hoà (hay có phần tử đơn vị) là
Xe
∈
nếu
x
x
ee

Tập khác trống
G
với luật hợp thành * được gọi là một vị nhóm nếu * có tính
kết hợp và có phần tử trung hoà.

9 Vị nhóm là một nhóm nếu mọi phần tử của
G
đều có phần tử đối.
9 Nếu * có tính giao hoán thì nhóm
,*)(G
được gọi là nhóm giao hoán
hay nhóm Abel.
Vành ),,(
⋅
+
A
, trong đó
","
⋅
+
là hai luật hợp thành trong của
φ
≠
A
thoả mãn:
9 ),(
+
A
là một nhóm Abel,
9 Luật nhân có tính kết hợp,

∈∀ )(:,, phân phối bên phải
9 Nếu thoả mãn thêm điều kiện:
Luật nhân có tính giao hoán thì ),,(
⋅
+
A
là vành giao hoán.
Luật nhân có phần tử đơn vị là 1 thì ),,( ⋅+
A
là vành có đơn vị.
9 Vành không có ước của 0 được gọi là vành nguyên.
Trường là một vành giao hoán có đơn vị ),,(
⋅
+
K
sao cho mọi phần tử 0
≠
x

của
K
đều khả nghịch (có phần tử đối của luật nhân).
9
),,( ⋅
+
4
,
),,( ⋅+
,
),,(

∨∨
=
∨∨ )()(,)()(
Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 15
9 B2: ∧∨, có tính giao hoán, nghĩa là với mọi
B
ba ∈,abbaabba
∧
=
∧
∨=∨ ,
9 B3: Tồn tại các phần tử không và phần tử đơn vị
B
∈1,0 sao cho
10 ≠ và với mọi
B
a
∈
aaaa
=
∧
=
∨ 1,0
9 B4: Với mọi

∧∨ .
Hai công thức Boole trong đại số Boole )',,,(
∧
∨
B
được gọi là đối ngẫu nếu
trong một công thức ta thay ,1,0,,
∧
∨ bằng 0,1,,∨
∧
thì ta được công thức hai.
Nguyên lý đối ngẫu: Nếu một công thức của đại số Boole được chứng minh là
đúng dựa trên cơ sở hệ tiên đề B1-B5 thì công thức đối ngẫu của chúng cũng đúng.
Có thể áp dụng đại số Boole để giải quyết các bài toán về mạch điện, thiết kế
một mạng thoả mãn những yêu cầu nào đó, rút gọn mạng điện
1.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Câu 1: Hãy chọn câu trả lời đúng nhất;
a) "Mọi số nguyên tố đều là số lẻ có phải không?" là một mệnh đề lôgich
toán học.
b) "Trái đất quay xung quanh mặt trời" không phải là một mệnh đề
lôgich toán học.
c) Mệnh đề
p
p
∨ luôn đúng.
d) Tất cả các ý trên đều sai.
Câu 2: Hãy chọn câu trả lời đúng nhất
a)
()
qqpp ≡⇒∧ )( . b)

φ
.
Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 16
Câu 4: Giả sử
DC
B
A
,,,
là tập con của
E
. Trường hợp nào sau đây là
sai:
a)
φ
=
B
A
\
khi và chỉ khi
B
A
⊂
.
b) Nếu
D
C
B

B
C
⊂ .
Câu 5: Cho
B
A
, là hai tập con của
E
. Hãy chọn câu trả lời đúng nhất:
a)
A
B
B
A
⊂⇔⊂ .
b)
E
B
A
B
B
A
B
A
=
∪
⇔
=
∪⇔⊂ .
c)

B
A
∩
∩
=∩ .
c)
B
A
A
B
A
∪=∪ )
\
(.
d) Tất cả các ý trên đều đúng.
Câu 7: Giả sử D
C
B
A
,,, là tập con của
E
. Trường hợp nào sau đây là
sai:
a)
φ
φ
≠
×
∩
×

B
C
A
∩
×
∩
=
×∩× .
d) Nếu
D
C
B
A
⊂⊂ , thì D
B
C
A
×
⊂
×
.
Câu 8: Trong các trường hợp sau đây trường hợp nào thì hai tập hợp
A

và
B
không bằng nhau
a)
{
}

{
}
aaB 2,−
=
.
d)
A
là tập các số tự nhiên nguyên tố nhỏ hơn 15,
{}
13,11,7,5,3,2=B .
Câu 9: Quan hệ nào trong các trường hợp sau đây là quan hệ tương
đương trong tập các số nguyên
 .
a) aba ⇔R chia hết cho b.
b)
aba ⇔R
không nguyên tố với b.
c)
1),( =⇔ baba
R
a( và b nguyên tố cùng nhau)
d)
mbaba M
−
⇔
R
, trong đó 2≥m là một số tự nhiên cho trước.
Câu 10: Trong , xét quan hệ tương đương
R
xác định bởi:

*
,,
+
∈∀⇔ baabba MR ,
*
+
 là tập các số nguyên dương.
c)
(
)
XBABABA
P
R
∈
∀
⊂⇔ ,,
, trong đó
φ
≠
X là một tập cho trước
d) Tất cả các trường hợp trên đều là quan hệ thứ tự.
Câu 12: Tìm các ví dụ về tập được sắp ),(
≤
E
và hai tập con
E
B
A
⊂,
thoả mãn:

c)
xxxf 23)( −= . d) ∈++= cbcbxxxf ,;)(
2
.
Câu 14: Cho hai ánh xạ :,
g
f
² →² xác định bởi:

⎩
⎨
⎧
−
==
lÎ nÕu
ch½n nÕu
nn
nn
ngnnf
2)1(
2
)(,2)(

Hãy xác định:
a)
g
f
o . b)
f
g

a)
AA
X
AAA
IIIII
−
=
=
⋅
1;
\
.
b)
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
IIIIIIII
⋅
−
+
=
⋅=
∪∩

A
f
∪
=
∪ .
c) )()()(
B
f
A
f
B
A
f
∩
=∩ . d) )(
\
)()
\
(
A
f
B
f
A
B
f
=
.
Câu 17: Cho ánh xạ
Y


19
d) )(\)()\(
111
DfCfDCf
−
−
−
= .
Câu 18: Ký hiệu
f
g
h o= là hợp của hai ánh xạ
Z
Y
g
Y
X
f
→→ :,: .
Điều nào sau đây không luôn luôn đúng:
a)
g
f
, đơn ánh thì h đơn ánh. b)
g
f
, toàn ánh thì h toàn ánh.
c) h đơn ánh thì
g

toàn ánh.
Câu 20: Cho hai phép thế của tập
{
}
4,3,2,1 :

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2143
4321
σ
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
3124
4321
μ
. Tìm:
a)
μ

!4!7
A

a)
5
4
=A . b)
4
5
=A . c)
3
2
=A . d)
7
6
=A .
Câu 23: Tìm tất cả các số tự nhiên dương 1≥m thoả mãn
6
1
)!1(
)!1(!
=
+
−
−
m
mm

a) 4=m . b) 4,1
=

b) Lấy ra 4 quả cầu, trong đó có đúng 2 quả cầu đỏ.
c) Lấy ra 4 quả cầu, trong đó có nhiều nhất 2 quả cầu đỏ.
d) Lấy ra 4 quả cầu, trong đó có ít nhất 2 quả cầu đỏ.
Câu 28: Hãy chọn câu trả lời đúng nhất:
a)
k
n
k
n
k
n
CCC =+
−
−
−
1
11
.
b)
nn
nnnn
CCCC 2
210
=++++ .
c)
n
n
nn
n
n

. c)
191212
31
19.37C .
Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 21
b)
211010
31
19.37C . d)
121912
31
19.37C .
Câu 30: Phép toán nào sau đây không phải là một luật hợp thành trong:
a) Phép cộng hai véc tơ. b) Tích vô hướng hai véc tơ.
c) Phép cộng hai đa thức. d) Phép nhân hai hàm số.
Câu 31: Phép hợp thành trong nào sau đây không có tính giao hoán:
a) Phép cộng các số thực.
b) Phép nhân các số tự nhiên.
c) Phép hợp các ánh xạ từ tập
φ
≠
E
vào chính tập
E
.
d) Phép cộng các hàm số.
Câu 32: Trường hợp nào sau đây không có cấu trúc nhóm

b) Tập các số hữu tỉ dương
+
4
.
c) Tập các số có dạng
2ba
+
, a và b nguyên.
d) Tập các số nguyên môđulô
p
.
Câu 35: Cho A là một vành. Phần tử
A
x
∈
được gọi là luỹ linh nếu tồn
tại một số tự nhiên
0≠n sao cho 0
=
n
x
. Điều nào sau đây không đúng:
Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số 22
a) Nếu y
x
, luỹ linh và yx
xy

− x .
Câu 36: Hãy xác định các công thức đại số Boole nào sau đây là tương
đương:
a)
()()
yxzx ∧∨
∧
'. b)
(
)
zyx ∨
∧
'.
c)
()()
(
)
zyzxyx ∨
∧
∨∧∨ ' . d)
(
)
[
]
()
[]
yxzzxy ∧∨∧
∧
∨ ' .
Câu 37: Công thức

)
zyx ∨∧ . b)
(
)
zyx
∧
∨ .
c)
(
)
xyz ∨∧
. d)
(
)
zxy
∧
∨
.
Chương 2: Không gian véc tơ 23
2. CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
2.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA
Khái niệm không gian véc tơ có nguồn gốc từ vật lý. Ban đầu các véc tơ là
những đoạn thẳng có định hướng, với khái niệm này người ta đã sử dụng để biểu
diễn các đại lượng vật lý như: véc tơ vận tốc, lực tác động, lực điện từ . Các nhà
vật lý còn sử dụng phương pháp véc tơ Fresnel để tổng hợp các dao động điều hoà.
Cuối th
ế kỷ 17 Descartes đã đề xuất phương pháp toạ độ để giải quyết các bài
24
Học viên cần luyện tập tìm toạ độ của một véc tơ trong các cơ sở khác nhau.
Tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ véc tơ cho trước. Tìm hạng của
một hệ véc tơ, tìm chiều của không gian con. Công thức chiều của tổng hai không
gian véc tơ con, chiều của giao của hai không gian véc tơ con. Thấy được mối liên
hệ giữa hệ con độc lập tuyến tính tối
đại của hệ sinh và cơ sở, liên hệ giữa hạng
của hệ sinh và chiều của không gian sinh bởi hệ sinh này (định lý 2.17). Liên hệ
với những phép toán và tính chất véc tơ đã biết ở phổ thông.
2.2 TÓM TẮT NỘI DUNG
2.2.1 Khái niệm không gian vectơ
Không gian véc tơ trên trường
K
là tập
V
khác
φ
với hai phép toán:
* Phép toán trong * Phép toán ngoài

uu
V
V
K
αα
a),(
→
×

00
9 Với mỗi
V
u ∈ có
V
u
∈
−
sao cho 0=+−
=
−
+
uuuu )()(
9 uvvu +=+
9 uuu
β
α
β
α
+
=
+
)(
9
v
u
v
u
α
α

Vì ),( +
V
là một nhóm Abel nên véc tơ 0 và véc tơ đối u− của u là duy nhất
với mọi
V
u ∈ .
9 Có luật giản ước: wvwuvu
=
⇒
+
=
+
.
9 Với mọi
V
u ∈ , 0
=
u0, uu
−
=
−
)1(.
uvu
V
V
V
→×
a),(
Chương 2: Không gian véc tơ


.
Với các véc tơ
Vuuu
n
∈
, ,,
21
và với mọi K
n
∈
α
α
α
, ,,
21
, do tính kết hợp
của phép cộng nên ta có thể định nghĩa theo qui nạp:

Vuuuuuu
nnnnnn
n
k
kk
∈+++=++=
−−
=
∑
αααααα
) (
111111

(hay nói tắt: không gian con của
V
).
b. Không gian con W bé nhất chứa hệ véc tơ
S
được gọi là không gian sinh
bởi hệ
S
ký hiệu
S
W span= và
S
được gọi là hệ sinh của W .
S
W span= bằng tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của
S
.
Nếu
S
V
span= ,
{}
n
vvS ,,
1
= hữu hạn thì
V
được gọi là không gian hữu
hạn sinh. Lúc đó, với mọi
V

WW , ,
1
và
định nghĩa như sau:
niWuuuuWWu
iinn
, ,1;,
11
=
∈
+
+
=⇔
+
+∈ .
Tuy nhiên, nói chung cách viết trên không duy nhất.
Khi với mỗi
n
WWu
+
+∈
1
cách viết trên duy nhất thì tổng các không gian
con này được gọi là tổng trực tiếp. Lúc đó ta ký hiệu:
n
WW ⊕
⊕

1
.

là
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∈
∈
∑ U
Ii
i
Ii
i
WW span .
Vậy
{
}
,2,1;, ,1,,
1
==∈∈++=
∑
∈
kkjIiWuuuW
jiiii
I
i

α
.
Hệ không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính.
Hệ con
{}
n
vv , ,
1
của hệ
S
được gọi là độc lập tuyến tính tối đại của
S
nếu
nó là hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ véc tơ nào của
S
thì ta có hệ phụ
thuộc tuyến tính.
Mọi hệ véc tơ
S
đều có hệ con độc lập tuyến tính tối đại, số véc tơ của các hệ
con độc lập tuyến tính tối đại của
S
đều bằng nhau và ta gọi là hạng của
S
, ký
hiệu )(
S
r
.
Mỗi hệ sinh độc lập tuyến tính của


[]
B
uxx
n
=
), ,(
1
được gọi là toạ độ của véc tơ u trong cơ sở
B
.
Mọi không gian hữu hạn sinh
V
đều tồn tại cơ sở. Số phần tử của mọi cơ sở
của
V
đều bằng nhau và được gọi là số chiều của
V
, ký hiệu
V
dim .
()()
SrS
=
spandim .
2.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Câu 1: Trường hợp nào sau đây tập
3
 với các phép toán được định
nghĩa là không gian véc tơ

)',','()',','(),,(
zyxzyx
zzyyxxzyxzyx

Chương 2: Không gian véc tơ 27
c)
⎩
⎨
⎧
∈=
+
+
+
+
+
+
=
+

αα
; )0,0,0(),,(
)1',1',1'()',','(),,(
zyx
zzyyxxzyxzyx

d)
⎩

[
]
ba, sao cho 1)(
=
b
f
.
Câu 3: Tập hợp các véc tơ có dạng nào sau đây không là không gian con
của
3

a) Các véc tơ có dạng ),0,( z
x
.
b) Các véc tơ có dạng )1,,( y
x
.
c) Các véc tơ có dạng ),,( zy
x
thoả mãn 0=
+
+
zy
x
.
d) Các véc tơ có dạng ),,( zy
x
, 02
=
+

=
−
+
zy
x
.
d) Các véc tơ ),,( zy
x
thoả mãn
2
yx = .
Câu 5: Tìm véc tơ u sau của không gian
4
 thoả mãn phương trình:
)(5)(2)(3
321
uvuvuv
+
=
+
+−
trong đó )1,1,1,4(;)10,5,1,10(;)3,1,5,2(
321
−
=
=
= vvv
a) )24,18,12,6(=u . b) )0,3,2,7(
−
=

=
v ,)3,1,9,16(
3
−=v .
c) )14,9,6(=u ;
)1,1,1(
1
=
v
,
)2,1,1(
2
=
v
,
)3,2,1(
3
=
v
.
d) )7,2,6( −=u ; )3,1,2(
1
−
=
v , )5,2,3(
2
−
=
v , )1,1,1(
3

. d) 11
=
λ
.
Câu 8: Hệ véc tơ nào sau đây sinh ra
3

a) )3,1,2( −=u , )5,2,3(
−
=
v
, )1,1,1(
−
=
w .
b) )3,1,2( −=u , )2,1,4(=
v
, )8,1,8(
−
=
w .
c) )4,1,3(=u , )5,3,2(
−
=
v
, )9,2,5(
−
=
w , )1,4,1( −
=

−
=
v
, )5,1,2(
−
=
w .
d) )13,3,2( −=u , )0,0,0(
=
v
, )11,10,1(
−
=
w .
Câu 10: Hệ véc tơ nào dưới đây là độc lập tuyến tính.
a) )6,2,4( −=u ,
)9,3,6(
−
=v
trong
3
 .
b) )1,3,2( −=u , )5,1,3(
−
=
v
, )3,4,1(
−
=
w trong