Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO – PHẦN I
Nội dung live – trợ giúp kì thi THPT Quốc Gia 2018.
Bài tập có sưu tập từ nguồn đề của các trường trên toàn Quốc và của các quý thầy cô trong
nhóm Vận Dụng Cao.
File giải chỉ trình bày theo cách tự luận để các em hiểu bản chất. Kỹ thuật tính nhanh và Casio
các em xem ở bài live.
Câu 1: Cho hàm số y f x xác định trên đoạn 0; thỏa mãn
2
2
2
2
0 f x 2 2 f x sin x 4 dx 2 . Tích phân
A. .
B. 0 .
C. 1 .
4
Lời giải
Chọn B
2
f x dx bằng
0
I f 2 x 2 2 f x sin x 2 sin 2 x dx 2 sin 2 x dx
4
4
4
0
0
2
2
2
I f x 2 sin x dx 2 sin 2 x dx
4
4
0
0
+) Mà I
suy ra
2
2
2
0 f x 2 sin x 4 dx 0
(1).
b
+) Áp dụng kết quả: Nếu f x liên tục và không âm trên đoạn a; b thì
f x dx 0 .
a
Dấu " " xảy ra khi f x 0 với mọi x a; b .
Từ (1) suy ra f x 2 sin x 0 hay f x 2 sin x .
4
4
đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0 ,
1
2
f x dx 7 và
0
bằng
7
A. .
5
B. 1 .
C.
7
.
4
1
0 x f x dx 3 . Tích phân
2
1
f x dx
0
f
x
x 3 f x dx
2
3
0
dv 3 x dx
v x
0
0
1
1
+) Ta có 1 f 1 x 3 f x dx suy ra
0
x f x dx 1 .
3
0
a
a
a
1 . Dấu
xảy ra khi
""
0
1
1
f x kx 3 với k là hằng số. Mà x 3 f x dx 1 hay kx 6 dx 1 suy ra k 7 .
0
0
7
7
+) Vậy f x 7 x3 nên f x x 4 c mà f 1 0 nên f x 1 x 4 suy ra
4
4
1
7
0 f x dx 5 . Chọn A.
C.
1
f x dx bằng
3
0
8
.
5
D.
7
.
6
Lời giải
Chọn D
b
2
b
b
1
1
f x f x dx 3 f x f x dx 3
3
0
0
1
2
2
2
(1) nên từ giả thiết suy ra
2
1
f x f x dx
3
2
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
2
1
1
Câu 4: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f x 6 x 2 f x 3
6
3x 1
. Tính
1
f x dx
0
A. 2 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn B
1
Ta có tính chất
0
1
f x dx
0
0
f x dx f f x d f x .
6dx
3x 1
6dx
3x 1
6
3x 1
. Lấy tích phân 2 vế ta được :
1
1
B. e 2 .
D. 2 e .
Lời giải
Chọn C.
f 0 0
Theo đề cho f 0 . f 2 0 suy ra
.
f 2 0
Ta có g( x ). f ( x) x( x 2)e x nên
g(0). f (0) 0 g(0) 0.
g(2). f (2) 0 g(2) 0.
u f ( x )
du f ( x)dx
Đặt
.
dv g ( x )dx v g( x )
2
2
2
2
2
Ta có hàm số f liên tục trên và căn cứ vào đồ thị ta có
, x 0; 6 .
4 f '( x) 0
6
a
f
'(
x
)
2
dx
4 f '( x) dx 0
0
a 2
Suy ra a
6
4 f '( x) dx f '( x) 2 dx 0
0
a 2
f (a) f (0) 2 a 4(4 a) f (6) f ( a 2) 0
k
2k
Lời giải
Chọn B.
a
0
a
dx
dt
I
k f x
k f a t 0
0
a
A.
a
kI
0
Câu 8.
C.
ak
.
0; a ,
biết rằng với mọi x 0; a , ta
a
có f x 0 và
f x . f a x 1 .Giá trị của tích phân
1
0
A. a .
B.
a
.
2
C. 2a .
dx
f x
bằng:
D. a ln(a 1) .
Lời giải
k
a
dt
f a t
1
a
f t
II
0
0
1
1
f t
0
f t
Câu 9: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;3] và
f t
a
.
2
3
f ( x)dx 2 ;
0
f ( x)dx 8 .
Giá trị của tích phân
0
1
f |2 x 1| dx
là:
1
A. 6.
1
1
0,5
E
3
f (2 x 1)dx
1
f (t)dt ta đổi biến t 2 x 1,
2 0
1
1
1
F
f (2 x 1)dx E F
1
7
x f x dx 11 . Giá trị của f x dx là
4
0
0
35
A.
.
11
B.
65
.
21
23
.
7
Lời giải
C.
D.
x 5 f '( x )dx
5
0 50
11
5 50
11
11
0
1
Lại có
x
0
10
dx
1
nên:
11
5
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
1
1
C C (do f (1) 0)
3
3
1
6
x 10
23
I
dx
3
3
7
0
f ( x)
Cách 2: Trắc nghiệm
1
2
4
f '( x) dx
11 1
Từ 01
f '( x) f '( x) 2 x 5 dx 0.
2
0
x 5 f '( x)dx
11
15
Lời giải
C.
D.
3
.
5
Chọn C.
Ta có: 2 f ( x) 3 f (1 x) 1 x (1) .
Đặt t 1 x , thay vào (1) , ta được: 2 f (1 t ) 3 f ( t) t hay 2 f (1 x ) 3 f ( x) x (2) .
Từ (1) & (2) , ta được: f ( x )
1
Do đó, ta có:
1
f ( x )dx
0
3
5 0
0
f ( x) 2018 f ( x)
2018.x 2017
e 2018 x
1
f ( x) 2018 f ( x )
2017
d
x
0 2018.x dx (1).
e 2018 x
1
Xét I
0
1
1
f ( x) 2018 f ( x)
2018 x
2018 x
d
x
Do đó I 1 f ( x ).( e 2018 x ) f ( x).e 2018 x dx I f (1).e 2018 2018.
0
0
1
Khi đó từ (1) suy ra I f (1).e 2018 2018 x 2018 f (1) 2019.e 2018 .
0
Câu 13. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f (0) 1 và
1
1
2
1
3 f x f x dx 2
9
0
0
3
5
A. .
B. .
2
4
1
9
0
0
0
2
1
1
1
2
9 f ( x ) f ( x ) dx 4 f ( x) f 2 ( x)dx 0
9
0
0
2
1
f 3 ( x) 1
1
1
9 f ( x ) f 2 ( x )dx 0 f ( x) f 2 ( x)
x C
9
9
3
9
0
1
1009
B.
2
2019
1
2019
Lời giải.
C.
D.
1
2018
Chọn B
Theo giả thiết f x 2018 f x x sin x. f x 2018 f x x sin x.
2
1
1
2
2
2
x
cos
x
cos
x
.
dx
sin
x
.
B. e 3 f 1 f 0
2
e
2
1
e2 1 8
3
1
1
2 e 1 4
2
D. e 3 f 1 f 0 e 2 1
1
2x
e 3
3
1
0
2
e 1 8
3
Câu 16. Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn
2
các điều kiện f ' 0 1 và f ' x f x . Đặt T f 1 f 0 , hãy chọn khẳng định
đúng?
x1
0
f x x 1
Câu 17. [2D3-4] Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 1 ,
1
2
9
f
'
x
0
dx 5 và
A. I
3
.
5
1
f
0
1
1
1
1
1
2
2t. f t dt t 2 . f t t 2 . f ' t dt f 1 t 2 . f ' t dt 1 t 2 . f ' t dt
0
5 0
0
0
0
1
1
t 2 . f ' t dt
0
1
3
3
, hay x 2 . f ' x dx (1).
5
4
6. 9. 0 .
f
'
x
3
x
dx
f
'
x
dx
6
x
.
f
'
x
dx
9
x
dx
1
1
Vậy I f x dx x 3dx .
4
0
0
Câu 18. Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] đồng thời f (0) 0 ; f (1) 1 và
1
f '(x)
2
1 x dx
ln 1 2
0
A.
1
1
B.
D.
2 1 ln 1 2 .
Chọn C.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
1
f '(x)
1
2
| ln 1 2 .
1
0
Vậy đẳng thức xảy ra, khi đó f '( x). 4 1 x 2
1
Vì
f '( x)dx 1 nên k ln
0
1
Suy ra
f ( x)
1 x2
0
Câu
19:
.
.
f 2 ( x) 1 1
f ( x) f '( x )dx ln 1 2
ln 1 2 .
2 |0 2
hàm
số
y f x
liên
tục
\0; 1
2
Chọn D.
Ta có x x 1 f x f x x x 1
f x
f x
x x 1
1 f x
f x
x
x
2
x 1 x 1
x 1
x
x
f x.
x1 x 1
9
2
3
3
2
3
3
a
2
2
2 a 2 b2 9 .
a b ln 3 1 ln 3
3
3
2
b 3
2
Câu 20 : [THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 4 - 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên
3; 3 và đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ bên. Biết f 1 6 và
g x f x
Do đó
1
f ' x x 1 dx 6 f 1 f 3 6 f 3 0 f 3 2 2.
3
Hay g 3 0 .
Tương tự, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f ' x ,
y x 1,
x 1, x 3 nhỏ hơn diện tích hình thang EFGH là 4.
3
Nên
x 1 f ' x dx 4 6 f 3 f 1 4 f 3 8 f 3 8 0. Hay g 3 0.
1
10
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Vậy phương trình g x 0 có đúng một nghiệm thuộc
3; 3 .
Câu 21:
[THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG - 2018] Cho hàm số f x liên tục trên và có
2
C. lim un 1 .
D. lim un .
3
3
Lời giải
Chọn B.
un
3
n
1
1
1
3
1
2.3
1
f 1 1
3 n 1
1
3
1
2.3
1
un
.
. f 1
. f 1
...
. f 1
3
2.3
n
n
n
n
3 n 1
n
n
n
n
n
n
3
2.3
3 n 1
1
1
1
n
n
n
1
lim un
0
1
1 3x
.f
dx .
2
16
1 x f x
2
f x g x
Tính tích phân I
f x dx.
2
1 x f x
A. I
21
3ln 2 .
16
B. I
21 3
ln 2
32 2
C. I
21
ln 2
2
dx
2
2x 1
x f x
2
dx . Khi đó: J 2 I
Ta có: K
1 2 f x. f x
x f
1
2
dx
2
(1) .
2
x
2
dx
1
ln 2 f 2 2 ln 1 f 2 1
d x f 2 x
x f
2
x
ln x f 2 x
2
1
Từ giả thiết suy ra :
điều kiện f ' 0 1 và f ' x f x . Đặt T f 1 f 0 , hãy chọn khẳng định
đúng?
A. 2 T 1 .
B. 1 T 0 .
C. 0 T 1 .
D. 1 T 2 .
Lời giải
Chọn B
d f ' x
f x
1
Từ giả thiết ta có
dx 1.dx
dx 1.dx '
xc
2
2
f x
f ' x
f ' x
c 1
1
1
'
Mà f 0 1 nên '
5
.
2
B.
C. 10 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn D.
2
Ta có f x f x f x f x f x .
Do đó
f x f x 15 x 12 x dx 3x
4
5
6 x2 C .
12
f 0 1 nên
2
x6
2 x3 x 1 .
2
1 8 .
2
Câu 25: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f 0 f 1 0 . Biết
1
0
f 2 x dx
1
1
,
2
3
.
2
Lời giải
Chọn C.
1
Ta có
1
1
1
f x cos x dx cos x df x f x cos x f x sin x dx
0
0
0
0
1
1
1
1
dx
4 0
20
2
22
4 0 4
0
0
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f x k sin x .
Từ đó ta có:
1
1
1
1
1 cos 2 x
k
sin 2 x 1 k
f x sin xdx k sin 2 x dx k
dx x
k 1.
2 0
2
2
2 0 2
0
0
A. 1 2 ln 2 .
B. 1 ln 2 .
C. 1 .
D. 2 ln 2 .
Lời giải
Chọn C.
3
dx 3ln x 1 C
x 1
3 ln x 1 C1 khi x 1
f x
3 ln x 1 C 2 khi x 1
Theo giả thiết:
Ta có f x f ' x dx
13
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
f 0 1
C 1
C 1
1
1
liên
tục
f 1
1
.
6
trên
khoảng
Tính
giá
D.
6047
.
4038
0;
trị
biết
của
P 1 f 1 f 2 f 3 ... f 2017 .
f x
f x
1
1
1
x2 3x C f x 2
f 1
4C
f x
x 3x C
2
dx 2 x 3 dx
1
1
1
1
1
1
nên ta có
C 2 f x 2
6
4C 6
x 3x 2 x 1 x 2
C. I 28 .
D. I 144 .
Lời giải
Chọn B
*) Đặt t
x x 2t
; với x 0 t 0; x 4 t 2 .
2
dx 2dt
2
2
2
0
0
0
*) I 2tf t 2dt 4 tdf t 4tf t |20 4 f t dt
2
4.2. f 2 4. f x dx 4.2.16 4.4 112 .
0
2
2
3
3
1
1
0
0
*) Ta có : 1 F x 1 dx F x 1 d( x 1) F t dt F x dx 1 .
3
3
3
0
0
0
*) I xf x dx xdF x xF x |30 F x dx 3F 3 1 8 .
1
1
0
0
*) I 6 3t . f t .3dt 9 2 t df t 9 2 t f t |10 9 f t d 2 t
0
1
9 f 1 2 f 0 9 f t dt 9.2 9.5 63 .
0
1
Câu 31: Cho hàm số y f x , liên tục trên 0;1 và thỏa mãn
x 1 f ' x dx 10 và
0
1
2 f 1 f 0 2 . Tính I f x dx .
0
A. I 12 .
C. 60.
Lời giải
D. 20.
Chọn A
3
Vì 10 f x 0 với mọi x nên:
'
10 f x dx 0
0
3
10 x f x 0 10.3 f 3 10.0 f 0 0 f 3 30
0
Vậy GTLN mà f 3 có thể đạt được là 30.
15
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Câu 33: Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn hệ thức
4
f 1 g 1 4
. Tính I f x g x dx .
1
g x x. f ' x ; f x x.g ' x
f x
thỏa mãn
2
f x f x 15x 4 12x ,
x
và
f 0 f 0 1 . Giá trị của f 2 1 bằng ?
A.
9
.
2
B.
5
.
2
C. 10 .
D. 8 .
6
3
Tức là
2
2
1 dx .
f 0 1 nên
f 2 x
2
x6
2 x3 x 1 .
2
Vậy f 2 1 8 .
Câu 35: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f 0 f 1 0 . Biết
1
0
0
2
.
Lời giải
C.
D.
3
.
2
Chọn C.
1
Ta có
0
1
1
1
f x cos x dx cos x df x f x cos x f x sin x dx
0
0
Áp dụng bất đẳng thức f x g x dx f 2 x dx. g 2 x dx ta có:
a
a
a
2
1
1
1
1
1
1 1 cos 2 x
1 x sin 2 x 1 1
f x sin x dx f 2 x dx. sin 2 x dx
dx
4 0
20
2
22
4 0 4
0
0
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f x k sin x .
Từ đó ta có:
cos x 1 2
.
0
2
Câu 36: Cho hàm số f x liên tục trên và f 2 16 ,
0
A. I 12.
B. I 112.
4
x
f x dx 4 . Tính I xf dx.
2
0
C. I 28.
D. I 144.
Lời giải
Chọn B
x
x
Đăt u x , dv f dx du dx , v 2 f
b
c
x
B. 3 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn C.
17
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Từ đồ thị của f '( x) ta có bảng biến thiên của hàm số y f ( x) sau đây:
x
a
f '( x )
0
0
y 0
f (a )
f (c )
b
Ta có:
c
c
f '( x)dx f '( x)dx f '( x)dx 0 f (c) f (a) 0 f (c) f (a) 0 .
a
b
a
Vì hàm số y f ( x) liên tục trên nên y f ( x) liên tục trên a; b và f ( a). f (b) 0 nên
tồn tại x1 a; b sao cho f ( x1 ) 0 .
Vì hàm số y f ( x) liên tục trên nên y f ( x) liên tục trên b; c và f ( b). f (c ) 0 nên
tồn tại x2 b; c sao cho f ( x2 ) 0 .
Mặt khác a; b b; c nên đồ thị hàm số y f ( x) cắt trục hoành tại ít nhất tại hai
điểm.
Câu 38: Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên 1; 8 và thỏa mãn
2
2
8 ln 2
.
27
B.
ln 2
.
27
4
.
3
Lời giải
C.
D.
5
.
4
Chọn A.
Đặt t x 3 dt 3x 2 dx
2
2
8
3
3
2
f
t
1
t
1
t
8 f t
8
8
dt 2
dt
2
3
1
2
2
3
2
8
8
f t t 1 f ' t t 3 f ' x dx
ln t
ln 2 .
3
27
27
1
1
Câu 39: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f 0 f 1 0 . Biết
1
f 2 x dx
0
C.
2
.
D.
3
.
2
Lời giải
Chọn C.
u cos x
du sin x dx
Đặt
. Khi đó:
dv f x dx
v f x
1
0
1
1
1
.
2
1
Cách 1: Ta có f x k sin x dx f 2 x dx 2 k f x sin x dx k 2 sin 2 x dx
0
0
0
0
1
k2
k
0 k 1.
2
2
1
Do đó
2
f x sin x dx 0 f x sin x . Vậy
x
f
x
d
x
.
g x dx .
a
a
a
Dấu “=” xảy ra f x kg x , x a; b .
19
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
2
1
1
1
1
1
Áp dụng vào bài ta có f x sin x dx f 2 x dx. sin 2 x dx ,
4 0
4
1
f x dx sin x dx
0
2
.
Câu 40: Cho hàm số f x 0 xác định, có đạo hàm trên 0;1 và thỏa mãn điều kiện
x
1
g
(
x
)
1
2018
f (t)dt
.
Tính
tích
phân
I
g '( x) 2018 f ( x)
Từ giả thiết ta có
2018 f ( x) 2 f ( x). f '( x)
g '( x) 2 f '( x). f ( x)
f ( x) 0
2 f ( x) 1009 f '( x) 0
f '( x) 1009
+ T/hợp f ( x) 0 (loại)
+ T/hợp f '( x) 1009 f ( x) 1009 x C
x
Thay ngược lại ta được: 1 2018 1009t C dt 1009 x C
2
0
x
2
1009 2
1 2018
t Ct 1009 x C C 2 1
2
0
Suy ra f ( x) 1009 x 1 loại vì f ( x) 0x 0;1
Hoặc f ( x ) 1009 x 1
0
1
. Tích phân
2
1
f x dx
0
bằng
20
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
2
5
7
6
A. .
B. .
C. .
D. .
3
2
4
5
Lời giải
1
x 4 f x dx x 4 f x d x 1 .
40
0
1
0
9 x 14
5
f x dx .
5
5
2
0
f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 10 ,
1
1
2
f x dx 7 và x f x dx 3 . Tích phân
0
0
f x dx bằng:
0
43
.
5
C.
15
.
4
D.
6
5
Câu 43: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 10 ,
1
1
2
1
3
f x dx 27 và x f x dx 2 . Tích phân
0
9
30
1
, f 3 f 3 0
x x2
2
1
. Giá trị biểu thức f 4 f 1 f 4 bằng:
3
1
1
1 4
A. ln 2 .
B. ln 80 1 .
C. ln ln 2 1 .
3
3
3 5
và f 0
D.
1 8
ln 1 .
3 5
2
1
x 1
Do hàm số f x không xác định tại x 1; x 2 f x ln
C 2 khi 2 x 1
3
x
2
1
x 1
C 3 khi x 1
ln
3 x 2
1
1 2
1
f 3 f 3 0 ln 4 C1 ln C 3 0 C1 C3 ln 10 .
3
3 5
3
1
1
1
1 1
f 0 ln 2 C2 C 2 ln 2 .
3
3
điểm có hoành độ x0 ln 2 là:
A. 2 x 9 y 2 ln 2 3 0 .
B. 2 x 9 y 2 ln 2 3 0 .
C. 2 x 9 y 2 ln 2 3 0 .
D. 2 x 9 y 2 ln 2 3 0 .
Lời giải
Chọn A.
Ta có f x e . f
x
2
x
f x
f 2 x
ln 2
x
3
f ln 2 f 0
2
1
2
Vậy f ln 2 e . f ln 2 2.
.
9
3
2
1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y x ln 2 2 x 9 y 2 ln 2 3 0 .
9
3
ln 2
2
Câu 46 : Cho hàm số y f x 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;1 và thỏa mãn:
x
1
g x 1 2018 f t dt , g x f x . Tính
2
0
A.
g x 1 2018 f t dt
0
g ' x
g ' x 2018 f x 2018 g x
2
g x
t
2018
0
g 'x
g x
1
g t 1 2018t g t 1009t 1 g t dt
0
x
hàm
hai
2
f x 3 3 f x 3 f x 3 f x
f x 1
3
vế
3
ta
x
1
2 x 1 11 f t dt
2x 1
a
x
Suy ra,
2 x 1 11
a
f x
x
x
1
1
1
dt 2t 1 2 d 2t 1 2t 1 2 2 x 1 2a 1
2a
2t 1
a
2
2
0
Thay x 2 vào hai vế ta được 4 f 4 1 f 4
1
.
4
23
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Câu 50: Cho hàm số y f x thỏa mãn f x x
1
, x 0 và f 1 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m
x
của f 2 .
A. m
1
ln 2 .
2
đây đúng ?
A. f 1 f 2 2 f 3 .
B. f 1 f 2 2 f 3 .
C. f 1 f 2 2 f 3 .
D. f 1 f 2 2 f 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đạo hàm hai vế ta được f x 1 x 2 f x f x
1
0, x
1 x2
f 1 f 2 f 3 f 3 2 f 3
Câu 52: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f x liên tục trên R thỏa mãn
x
2
2
2
f x f t f t dt 2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
0
f x f x
2
0 f x f x
f x
f x
1
ln f x x C f x e x C
Thử vào đẳng thức đã cho suy ra
x
2C 2 x
e e
x
2 e 2 C e 2 t dt 2018 e 2 C e 2 x e 2C .e 2 t 2018 e 2C 2018 e C 2018
0
0
Vậy f x e x C e x .e C 2018e x . Suy ra f 1 2018 e .
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
2
Đạo hàm hai vế ta được : 4 f x . f x 2 f x f x
f x 2 f x
f x
f x
2
f x 2 f x
2
0
2 ln f x 2 x C f x k.e 2 x k 0
Thử vào đẳng thức đã cho suy ra
(x
2
0
5
x) f "( x)dx . Tính tích phân
2
2
I f ( x)dx .
0
A.
14
.
3
B.14.
C.
7
.
3
5a 5
3
a (3)
3
3 2
2
9
Từ đây thay a , b vào (2) kiểm chứng (2) đúng.
2
2
2
3
3
Vậy ta tìm được f ( x ) ( x 2 x) . Vậy I f ( x)dx (x 2 x)dx 7
2
20
0
Thay (3) vào (1) ta được b
Câu 55: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn f x x
1
, x và f 1 1. Tìm giá
x
trị nhỏ nhất của f 2 .
A. 3.
f x dx x dx ln 2.
x
2
1
25
Copyright: Tài liệu đại học ©