Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
Câu 1.
x
I dx
x x
2
3 9 1
=
+ −
∫
•

x
I dx x x x dx x dx x x dx
x x
2 2 2
2
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1
= = − − = − −
+ −
∫ ∫ ∫ ∫
+
I x dx x C
2 3
1 1
3= = +
∫
+

1
+
=
+
∫
•

x x
dx
x x
2
1
+
+
∫

x x
dx dx
x x x x
2
1 1
= +
+ +
∫ ∫
.
+
x
I dx
x x
2

x x x x C
3
1
4 4
1 1
9 3
+ − + +
+
x
I dx
x x
2
1
=
+
∫
=
d x x
x x
2 (1 )
3
1
+
+
∫
=
x x C
2
4
1

2
1
2 ln2
1
= +
+
∫
.
Câu 4.
dx
I
x x
6
2
2 1 4 1
=
+ + +
∫
•
Đặt
t x4 1= +
.
I
3 1
ln
2 12
= −
Câu 5.
I x x dx
1

+
=
+
∫
•
Đặt
t x=

⇒

dx t dt2 .
=
. I =
t t
dt
t
1
3
0
2
1
+
+
∫
=
t t dt
t
1
2
0

Đặt
t x tdu dx1 2= + ⇒ =

⇒

t t
I dt t dt dt
t
t t
2 2 2
3
2
1 1 1
2 8 1
(2 6) 6
1
3 2
−
= = − +
+
+ +
∫ ∫ ∫
3
3 6ln
2
= − +
Câu 8.
I x x dx
0
3

1
1
3 1
+
=
+
∫
•
Đặt
tdt
t x dx
2
3 1
3
= + ⇒ =

⇒

t
tdt
I
t
t
2
2
4
2
2
1
1

∫ ∫

t
t t
t
3
4 4
2 1 1 100 9
ln ln .
9 3 1 27 5
2 2
 
−
= − + = +
 ÷
+
 
Câu 10.
x x
I dx
x
3
2
0
2 1
1
+ −
=
+
∫

∫ ∫
Câu 11.
x dx
I
x x
1
2
0
2
( 1) 1
=
+ +
∫
•
Đặt
t x t x tdt dx
2
1 1 2= + ⇒ = + ⇒ =
t t
I tdt t dt t
t t
t
2
2
2 2
2 2 3
3
1
1 1
( 1) 1 1 16 11 2

1 2
= + + ⇒ = ⇒ = −
+
và
t t
x
2
2
2
−
=
Ta có: I =
t t t t t t
dt dt t dt
t
t t t
4 4 4
2 3 2
2 2 2
2 2 2
1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 2
3
2 2 2
 
− + − − + −
= = − + −
 ÷
 
∫ ∫ ∫
=

Trang 5
Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com Bài tập Tích phân
•

x
I dx
x x
8
2 2
3
1
1 1
 
= −
 ÷
 ÷
+ +
 
∫
=
( )
x x x
8
2 2
3
1 ln 1
 
+ − + +
 
=

I dx
x x
2
3 2
2
0
2 3
1
− +
=
− +
∫
•

x x x
I dx
x x
2
2
2
0
( )(2 1)
1
− −
=
− +
∫
. Đặt
t x x
2


⇒

I t t dt
3
2
4 3
4
3 3 8
( 4 ) 4 2
2 2 5
 
= − = − +
 ÷
 
∫
Câu 17.
dx
I
x x
1
2
11 1−
=
+ + +
∫
•
Ta có:
x x x x
I dx dx

∫ ∫
+
I dx x x
x
1
1
1 1
1
1 1 1
1 ln | 1
2 2
−
−
 
 
= + = + =
 ÷
 
 
∫
+
x
I dx
x
1
2
2
1
1
2

1= + +
.
Câu 18.
( )
x x
I dx
x
1
3
3
1
4
1
3
−
=
∫
•
Ta có:
I dx
x x
1
1
3
2 3
1
3
1 1
1 .
 

2
2
2
1
4 −
=
∫
. Đặt t =
x t x tdt xdx
2 2 2
4 4− ⇒ = − ⇒ = −
⇒
I =
t tdt t t
dt dt t
t
t t t
0
0 0 0
2
2 2 2
3
3 3 3
( ) 4 2
(1 ) ln
2
4 4 4
 
− −
= = + = +

t x
2
5= +

⇒

dt
I
t
5
2
3
1 15
ln
4 7
4
= =
−
∫
.
Câu 21.
x
I dx
x x
27
3
2
1
2−
=

π
 
= − + −
 ÷
 
Câu 22.
I dx
x x
1
2
0
1
1
=
+ +
∫
•
Đặt
t x x x
2
1= + + +
⇒

dt
I t
t
1 3
1 3
1
1

2
3
42 36 4
2 16 12 42ln
3
 
= − + − = − +
 ÷
 
∫
Câu 24.
x
I dx
x x x x
3
2
0
2( 1) 2 1 1
=
+ + + + +
∫
•
Đặt
t x 1= +
⇒

t t dt
I t dt
t t
2 2

∫
•
Ta có:
x
I dx dx M N
x x
3
2 2 2 2
2
3 3
1 1
1
1
2011
−
= + = +
∫ ∫
x
M dx
x
3
2 2
2
3
1
1
1−
=
∫
. Đặt

2011
16
2
−
 
= = = − =
 
 
∫ ∫
⇒

I
3
14077 21 7
16 128
= −
.
Câu 26.
dx
I
x x
1
3
3 3
0
(1 ). 1
=
+ +
∫
•

t
3 3 3
2
3
2 2 2
3
2 2 4
1 1 1
3 3
4
2 3
3
3
1
1
1
1
1
. 1
−
 
−
 ÷
 
= = =
   
 
−
−
 ÷

0
0
1 1 1
1
3 3 3
2
3
−
−
 
 ÷
= = = = =
 ÷
 ÷
 ÷
 
∫ ∫
Câu 27.
x
I dx
x x
x
2 2
4
2
3
1
1
=
 

4 2
2
2 2
2 2 2
2 1 1 19 2 4 2
ln
3 4
4 2
2 2
 
− + +
= + = +
 ÷
 ÷
−
− −
 
∫ ∫ ∫
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2
Câu 28.
( )
x
I x x dx
x
1
0
1
2 ln 1
1
 


H 2
2
π
= −
•
Tính
K x x dx
1
0
2 ln(1 )= +
∫
. Đặt
u x
dv xdx
ln(1 )
2

= +

=


⇒

K
1
2
=
Câu 29.

2 2
2
4
−
−
∫
= A + B.
+ Tính A =
x x dx
2
5 2
2
4
−
−
∫
. Đặt
t x= −
. Tính được: A = 0.
+ Tính B =
x x dx
2
2 2
2
4
−
−
∫
. Đặt
x t2sin=

2 2
2
4 4
1 1
3 4
2 2
−
= −
∫ ∫
.
+ Tính
I
1
=
dx
x
2
4
1
3
2
∫
=
x dx
2
4
1
3 7
2 16
−

6 6 6
1 cos 1 1 1 3
cot cot . (cot )
8 8 8 8
sin sin
π π π
π π π
 
= = = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Vậy:
( )
I
1
7 2 3
16
= −
.
Câu 31.
x dx
I
x
1
2
6
0
4
=

 
⇒

I dt
6
0
1
3 18
π
π
= =
∫
.
Câu 32.
x
I dx
x
2
0
2
2
−
=
+
∫
•
Đặt
x t dx tdt2cos 2sin
= ⇒ = −


1
2
2 2
0 2 ( 1)
=
− −
∫
. Đặt
x t1 2cos
− =
.
⇒

t t
I dt
t
2
2
2
2
3
(1 2cos ) 2sin
4 (2cos )
π
π
+
= −
−
∫
=


I t t tdt
6
0
3 1
(cos sin )cos
12 8 8
π
π
= − = + −
∫
Trang 9
Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com Bài tập Tích phân
Dạng 3: Tích phân từng phần
Câu 35.
I x dx
3
2
2
1= −
∫
•
Đặt
x
du dx
u x
x
dv dx
v x
2

⇒ = − − = − − +
 
 
− −
 
∫ ∫
dx
x dx
x
3 3
2
2
2 2
5 2 1
1
= − − −
−
∫ ∫
I x x
2 3
2
5 2 ln 1= − − + −

⇒

( )
I
5 2 1
ln 2 1 ln2
2 4