VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ:
Chủ đề 3:

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Ứng dụng 1:

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

I. LÝ THUYẾT
Bài toán 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục trên đoạn  a;b , trục
b

hoành và hai đường thẳng x = 1, x = b được tính theo công thức S   f  x  dx (1)
a

Minh họa các dạng thường gặp:

f  x   0, x   a;b

f  x   0, x   a;b

b

b

S    f  x   dx

S   f (x)dx   f  x  dx


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài toán 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f(x), g(x) liên tục trên  a;b và
b

hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức S   f  x   g  x  dx

(3)

a

Minh họa các dạng thường gặp:

f  x   g  x  , x   a;b

b

S   f  x   g  x  dx
a

f  x   g  x  , x   a;b

b

S   g  x   f  x  dx
a

f  x   g  x  , x   a;c  ;

f  y   g  y  ; y   a;c  ;

g  x   h  x  , x   c;b  ;  a  c  b 

f  y   h  y  ; y   c;b  ;  a  c  b 

c

b

a

c

S   f  x   h  x  dx   g x   h x  dx

c

b

a

c

S   f  y   g  y  dy   f y   h y  dy

II. PHƯƠNG PHÁP
Phương pháp 1: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân (thêm cận trung gian) để tính tích phân chứa dấu giá
trị tuyệt đối (GTTĐ).
+) Tính chất: Hàm số y = f(x) liên tục trên K (khoảng đoạn, nửa khoảng) và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K.

c

d

b

a

c

d

S   f  x   g  x  dx   f x   g x  dx   f x  g x  dx   f x  g x dx

Bước2:

a

c

d

b

a

c

d



a

Lời giải:
b

Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả: S   f  x  dx
a

 Chọn đáp án D
Câu 2:Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
b

b

B. S   f  x dx

A. S   f  x  sx

a

a

c

b

c

b

b

A. S   g  x  dx   f x sx
a

a

b

b

a

a

C. S   g  x  dx   f x dx
Lời giải: (Chọn B)

b

b

a

a

b



Vậy S  S1  S2   f  x dx   g x dx
Câu 4:
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ
thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b như
hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
c

b

A. S   g  x   f  x  dx   f x   g x  dx
a

c

b

B. S   f  x   g  x  dx
a

c

b

C. S   f  x   g  x  dx   g x   f x  dx
a

c

c



VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Câu 5:Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm
số y  f  x   x 4  2x 2 và trục hoành như hình bên. Khẳng
định nào sau đây sai?
2

2

f  x  dx



A. S 

B. S  2  f  x  dx
0

 2
2

C. S  2  f  x  dx

0



D. S 


Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số x  g  y  , trục tung và hai đường thẳng y = a, y = b như hình vẽ
bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
b

A. S   g  y  dx
a

b

C. S   g  y  dy
a

a

B. S   g  y  dy
b

b

D. S   g  y dx
a

Lời giải: (Chọn C)
b

Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả S   g  y  dy
a

Câu 7:


Lời giải: (Chọn C)


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = a, y = c
c

 S1   g  y   f  y  dy
a

Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = c, y = b
b

 S2    f  y   g  y   dy
c

c

b

a

c

Vậy S  S1  S2   g  y   f  y  dy   f y   g y  dy
Câu 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  e x ; y  e  x ; x  1
A.

e 2  2e  1

1

 e

x

e

x

dx  e

x

e

0

x

e 2  2e  1
|0  e  e  2  e
1

1

 Chọn đáp án B
Câu 9:

Diện

3
Do đó: S    x 2  4x  1  m dx    2x 2  x  mx   6  3m
 3
0
0
Chọn đáp án D

Câu 10: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y   x 2  2x  1, y  m,  m  2  , x  0, x  1 .
Lời giải:

Tìm m sao cho S = 48
A. m = 4
B. m = 6

Ta có:  x 2  2x  1    x  1   2  2, x
2

C. m = 8

D. m = 10


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
3

3
x3
Do đó: S    m  x 2  2x  1 dx   mx   x 2  x   3m  24
3



m3 m 2

 2m
3
2

bởi
D.

các

đường

m3 m 2

 2m
3
2

Lời giải:
Ta có; x 2  3x  0, x   0;m . Vì 0 < m < 3
 x 3 3x 2  m 3m 2 m3

Do đó: S   x  3x dx     x  3x dx    
 
2  0
2
2
 3

3
2
2
3


m
m

5
m 2 m3 5


  m  1
6
2
3 6
 Chọn đáp án C

S

Câu 13:
A. 
Lời giải:

Hình phẳng giới hạn bởi đường elip (E): x 2  16y 2  16 có diện tích bằng:
B. 2
C. 3
D. 4


2


 1

S   16  16sin2 t.4cos tdt  16 cos2 dt  8 1  cos2t dt 8 1  cos2t dt 8 t  sin 2t  2 4 
 2
0
0
0
0
0

 Chọn đáp án C
Câu 14:
2 có diện tích là:
A. S = 1

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3 , trục Ox và đường thẳng x = B. S = 16

C. S = 4

D. S = 4

Lời giải:
Phương trình x3 = 0  x  0

x 4 0
4
Diện tích hình phẳng: S   x dx    x dx 

x2

D. S  1

Lời giải:
2
2 2
2 2
x2 1
1
x 1
x 1
Diện tích hình phẳng: S   1  2 dx  
dx    2 dx   2 dx
2
x
x
x
x
1
1
1
1
2

2

2

2



VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Lời giải:
Giải phương trình x 3  2x  2x  x  0  x  2  x  2
Diện tích hình phẳng: S 

2



x 3  4x dx 

2

0

2

2

0

3
3
  x  4x dx   4x  x dx  4  4  8

 Chọn đáp án A
Câu 17:


10
x  x 2   x  x  0; x  x 2  x  2  x  3
3
3
Dựa vào đồ thị (hình bên) diện tích hình phẳng cần tìm là:
1
3
13
 10

 10

S    x  x 2  x  dx    x  x 2  x  2  dx 
3
3
2


0
1
3x  1
, Ox, Oy là:
x 1
4
D. S  4ln  2
3

Câu 18:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 

3x  1
4
dx  4ln  1 (đ.v.d.t)
x 1
3

 Chọn đáp án C
Câu 19:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  4x  3 , y  x  3 là

a
a
S  ;  a, b  Z;a  0 ; là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?
b
b
b 2 25
A. b  a  103  0
B. ba  654  0
C.
D. b  a 3  107

a 109

Lời giải:


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
x 3 0


109
 a  109;b  6  b  a 3  107  0
6

 Chọn đáp án D
Câu 20:

Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị
y  4

đúng?

2

x
x2
(hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây
,y 
4
4 2

0 
 x2
x2 
x2
x2 
B.

4


 dx


4 
4 4 2 
2 2  4 2
2 2 

A. S  2

2 2

Lời giải:
Ta có:

4

2 2 
x2
x2
x2
x2 

; x  2 2;2 2   S  2   4 

 dx


4
4 4 2


y   64  y 2  E 1 
2
2

x
y
8

 1 
Vậy phương trình của elip là:
64 25
 y  5 64  y 2  E 
2

8

Giả sử elip có phương trình


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường (E1); (E2); x  4;x  4 và diện tích của dải vườn là
4

4

5
5
64  x 2 dx   64  x 2 dx
8

b

a

a

b

b

a

a

B. S   f  x  dx   g x  dx

C. S   g  x  dx   f x  dx

D. S 

b

1
f  x   g  x  dx
2 a

Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn  a;b ,c   a;b .

Câu 2:


c

Diện tích S của hình phẳng bởi đồ thị 3 hàm số y = f(x), y = g(x), y =
h(x) phần gạch chéo hình bên dưới được tính bởi công thức là:
b

c

A. S   g  x   f  x  dx   h x   f x  dx
a

b

b

c

a
b

b
c

B. S   f  x   h  x  dx   f x   g x  dx
C. S   g  x   h  x  dx   g x   f x  dx
a

b

b

tích
hình
y  x  2x  2, y  m,  m  1 , x  0, x  3 là:

phẳng

giới

hạn

bởi

các

đường

2

A. 3m + 6 (đ.v.d.t)

B. - 3m – 6 (đ.v.d.t)
C. 3m – 6 (đ.v.d.t) D. – 3m + 6(đ.v.d.t)
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2 , trục Oy, trục Ox và đường

Câu 6:

thẳng x = - 3 có diện tích là:
A. S = 1 (đ.v.d.t)
B. S = 16 (đ.v.d. t)
C. S = 9 (đ.v.d.t)

a

Câu 9:

D.

a

b

 f  x  dx
a

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3 , trục Oy, trục Ox và đường
thẳng x = -2 có diện tích là:
A. S = 1(đ.v.d.t)
B. S = 16 (đ.v.d.t)

C. S = 4 (đ.v.d.t)

D. S  4 (đ.v.d.t)

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  2  x  và trục Ox.

Câu 10:

Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:
16
4
512

2

3

 6x  x  dx B. S 

 x

2

 x 3  6x  dx

D. S 

2
0

2

3

 x

 6x  x 2  dx
3

 6x  x 2 dx 

2


3

tích

hình

b

b

C. S   f  x  dx

D. S   f  x  dx

a

phẳng

giới

hạn

a

bởi

các

đồ


7
giới hạn bởi các đồ thị hàm

C. S 
phẳng

B. S  2 (đ.v.d.t)

C. S = 4 (đ.v.d.t)

số

D. S   (đ.v.d.t)

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn  a;b . Diện tích của hình thang cong

Câu 15:

giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) bằng:
b

b

B. S   f  x  dx

A. S   f  x  dx

2

 x dx


1

e

1
e

1

e

C. S    ln xdx   ln xdx
Câu 17:

C. S    f

a

a

Câu 16:

b

D. S   ln xdx
1
e

Diện tích của hình phẳng phần gạch chéo trong hình dưới được tính bởi


a

c

d

C.   f  x  dx   f  x  dx   f x dx \
D.

b

 f  x  dx
a

Câu 18:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e x , y  e  x , x  1
A.

Câu 19:

e 2  2e  1
e

e 2  2e  1
e
Diện
tích


A. 

đường

B. 2

C. 3

D. 4


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Câu 21:

Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x 2  2 , trục
hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 là:
A.

2

  x

2

 2  dx

B.

  x


1

B.    2x  x

A.   x dx
2

0

 dx

2 2

0

Câu 23:

1

C.    x  x
0



2 2

dx

1


A. 2

B. 1
C. 5
D. 4
Câu 25:
Giả sử hình phẳng tạo bởi các đường cong y = f(x), y = g(x), x = a, x =
b có diện tích là S1. Còn hình phẳng tạo bởi các đường cong y = 2f(x), y = 2g(x), x = a, x = b có
diện tích S2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. S2  4S1
B. S2  S1
C. 2S2  S1
D. S2  2S1
Câu 26:

Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong

hình bên) là:
A.
C.

4

 f  x  dx

4

3
3



1
D. 2
6
Câu 28:
Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các
đường thẳng y = 4x và đồ thị hàm số y  x 3 là:

Câu 29:

A. 0

B. – 4

C.

A. 4

B. 3

C. 5

D. 3,5

Cho đường cong (C): y  x . Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm

M(4;2). Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C); d và Ox là:
8
2
16


C. S   f  x   g  x  dx

2

D. S   f  x   g  x  dx

a

a

Câu 31:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2 , y  2x là:
A.

4
3

B.

3
5
23
C.
D.
2
3
15
Diện tích miền D được giới hạn bởi hai đường: y  2x 2 , y  2x  4 là:

Câu 34:

C.

1
(dvdt)
3

D.

1
(dvdt)
5

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  x 2  x  3 và
đường thẳng y  2x  1 là:
A.

7
(dvdt)
6

B. 

1
1
(dvdt)
C. (dvdt)
D. 5 (dvdt)
6

5
1
C.
D.
3
3
3
Câu 37:
Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
y   x  3x  2 và đồ thị hàm số y   x  2

A.

Câu 38:

2
3

B.

A. S = 8

B. S = 4
Xét hai biểu thức:

C. S = 16

D. S = 2



b

  f  x   f  x   dx
1



2


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Chọn đáp án đúng:
A. (1) đúng nhưng (2) sai
C. Cả (1) và (2) đều đúng

B. (2) đúng nhưng (1) sai
D. Cả (1) và (2) đều sai
Câu 39:
Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
y   x  3x  2 và đồ thị hàm số y   x  2
A. S = 8

B. S = 4
C. S = 16
D. S = 2
Câu 40:
Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2


 1 dx

1

9
D. 5
2
Gọi a là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

y

1
3
2
B.
C. 0 D.
2
2
2
Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong

các khẳng định sau:
1

1

x 1
A.  ln  x  1 dx  
dx


2

1

 1 x 
C.  e dx   
 dx
1 x 
0
0

2

1

3

D.  e  x dx   e  x dx
0

0

Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x), trục hoành và hai
đường thẳng x = a, x = b như trong hình vẽ bên? Khẳng định nào
sai?
b

A. S   f  x  dx


B. S     f  x  dx
a

D. S 

b

 f  x  dx
a

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3 , trục Oy, trục Ox và
đường thẳng x = 2 có diện tích S. Khẳng định nào sau đây đúng:

 1

A. tan  1
B. tan 
C. tan  1
S
S 2
S

D. tan


 3
S




a

Diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y =
g(x) liên tục và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:
b

A. S   f  x   g  x  dx

B. S 

 f  x   g  x  dx
a

a

b

C. S    f  x   g  x  dx

b

b

a

a

D. S   f  x  dx   g  x dx


9
2

C.

9
2

D. 

15
2

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x , trục Oy, trục Ox và

Câu 50:

đường thẳng x = 1 có diện tích là:
A. S  1
B. S  e  1
C. S  e
D. S  e  1
Câu 51:
Hình phẳng B giới hạn bởi đồ thị hàm số được cho bởi hình bên dưới.
Diện tích hình phẳng B bằng:
A. S 
B. S 

1



3

4

C. S     2 x  4 x  6  dx    2 x  4 x  6 dx   2 x 2  4 x  6 dx
2

2

D. S 

1

  2x

2

2

1

2

3

3

4


9
9
A. S = 1 B. S  ln 3 
C. S  ln 3  4 D. S  ln 3  2
2
2
2
2

Câu 54: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + sinx và y = x
A. – 4
B. 4
C. 0
Câu 55:

D. 1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  4 x  3 và y =

a
(là phân số tối giản). Khi đó a + 2b bằng:
b
A. 67
B. 121
C. 136
Câu 56:
(Đề thử nghiệm 2017) Cho hình thang cong (H) giới
hạn bởi các đường y  e x , y = 0, x = 0, x = ln4. Đường thẳng x = k (0 < k
< lb4) chia (H) thành hai phần có diện tích là S1 , S2 như hình vẽ bên. Tìm



H1  M  x; y  | log 1  x 2  y 2   1  log  x  y  , H 2  N  x; y  | log  2  x 2  y 2   2  log  x  y 

Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích của các hình H1, H2. Tính tỉ số

S1
S2

A. 99

B. 101
C. 102
D. 100
Câu 58:
(Đề thi minh họa 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
3
hàm số y  x  x và đồ thị hàm số y  x  x 2
9
81
C.
D. 13
4
12
Câu 59:
(Tạp chí THTT Đề 01/2017) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các
ln x
đường x = 1, x = e, y = 0, y 
bằng:
2 x


15

C. 4 2

D. 2 2

TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ

I. LÝ THUYẾT
Bài toán 1:
Tính thể tích vật thể
Cho một vật thể trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Gọi B là
phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
Ox tại các điểm a và b. Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có
hoành độ  a  x  b  (hình bên). Giả sử S  S  x  là một hàm
liên tục trên  a; b 
b

Khi đó, thể tích V của B là V   S  x  dx (5)
a

Sử dụng công thức (5), ta tìm được công thức một số vật thể quen thuộc trong hình học như:
1) Thể tích khối chóp cụt: Cho khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy nhỏ và đáy lớn theo thứ tự là S0,
h
S1. Thể tích V là: V  S0  S0 S1  S1
3





Dạng 3: Thể tích khối tròn xoay có được khi quay nhiều đồ thị hàm số quanh một trục
Ta tiến hành chia phần thể tích V thành các phần thể tích thành phần V1 ,V2 ,.... mà mỗi phần được tính
bằng các công thức (6), (7)
Minh họa các dạng thường gặp:
f  x   g  x  , x  a; b 

b

g  x   f  x  , x   a; b 

b

V     f 2  x   g 2  x  dx

V     g 2  x   f 2  x  dx

f  y   g  y  , y   a; b 

g  y   f  y  , y   a; b 

a

a

b

b

V     f 2  y   g 2  y  dy

2

c

c

V     f
a

2

b

 x   h  x  dx     g 2 x   h 2 x  dx
2

c

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 1:

Thể tích khối tròn xoay do phần hình phẳng S trong hình vẽ dưới quanh
trục Ox được tính bằng công thức:
b

2

A. V     f1  x   f 2  x  dx
a
b


b

B. V     g 2  x   f 2  x  dx
a

c

b

a

c

C. V     f 2  x   g 2  x  dx     g 2 x   f 2 x  dx


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
c

D. V     g

2

a

b

 x   f  x  dx     f 2 x   g 2 x  dx
2

B. V     g 2  x   f 2  x  dy
a

a

C. V     g 2  x   f 2  x  dy
b
b

D. V     f 2  x   g 2  x  dy
a

Lời giải:
a

Ta có: g  y   f  y   0; y  a ; b   V     g 2  x   f 2  x  dy
b

 Chọn đáp án C

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  2  x  và trục Ox. Khối

Câu 4:

tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:
4
16
512

A. V 

C. V 
D. V   ln 2
3
2
Lời giải:
2

2

2

2

2

2

1

4

3

2


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
2

Thể tích khối tròn xoay: V   

16  2 4  2  
1024 2

C. V 
D. V  
3
45





Lời giải:
Do tính đối xứng nên thể tích cần tìm bằng thể tích khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong
x  4 4  y , trục Oy và hai đường thẳng y = 0, y = 4 quanh trục
Oy
4
4
1
3 4
2
16
V    4  ydy     4  y  2 dy  
4  y  2 
0
3
3
0
0

0
 Chọn đáp án D

Câu 8:

Thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị
hàm số y  2 x  x , y  x quanh trục Ox là:
1

1

A. V 
B. V 
C. V 
D. V 
5
5
6
6
2

Lời giải:
x  0
Xét phương trình 2 x  x 2  x  x 2  x  0  
;2 x  x 2  x, x  0;1 
x

1



D. k  ln
2 3
2
2 3
3
Lời giải:
k
ln 4
2
 e2 x  k  e2k 
 e 2 x  ln 4
 e2k
x 2
Ta có V1     e x  dx   


;
V


e
dx



8





Câu 10:

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường elip
(E) x  9 y  9 quay quanh Ox bằng:
A. 
B. 2
C. 3
D. 4
2

2

Lời giải:
Ta có: x 2  9 y 2  9  y 2 

3

3

9  x2
9  x2
 V    y 2dx   
dx  4 
9
9
3
3

 Chọn đáp án D
Câu 11:

1

D.    x 2  x  dx
0

Lời giải:
Xét phương trình
Và

x0
xx
 x  0; x  1
2
x  x
1





1

x  x x   0;1  V    ( x ) 2  x 2 dx    x  x 2 dx
0

0

 Chọn đáp án C

Câu 12: