Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389
TỔNG HỢP TOÁN VẬN DỤNG CAO
Câu 1:

 z1  z2  z3  0
2
2
2

Cho 3 số phức z1 ; z2 ; z3 thỏa 
2 2 . Tính A  z1  z2  z2  z3  z3  z1
 z1  z2  z3 
3

A.

2 2
3

B. 2 2

C.

8
3

D.

8 3
3


4
23

C. S 

9
246

D. S 

49
246

Lời giải: Ta có: u100  u1  497  u100  496  1  99d  d  5  u50  246 .

Lại có: 5S 
Câu 3:

u u
u u
1
1
1
49
u2  u1 u3  u2
.

 ...  49 48  50 49  
 1
 S


D. A  2017

.

 min z 2017 .

Gọi z 2017  a  bi  a, b     Tập hợp điểm biểu diễn số phức z 2017 là đường tròn tâm I  0;1 có bán
 max P 2017  2
 max P  2017.2017 2
kính R  1  

 A  2017.2017 2 . Chọn C.

2017
0
 min P  0
 min P

Câu 4:

Xét số phức z thỏa 2 z  1  3 z  i  2 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng:

1
3
 z 
2
2
Lời giải: Ta xét các điểm A 1;0  , B  0;1 và M  x; y  với M là điểm biểu diễn số phức z trong mặt


 MB  0
4

Câu 5:

 z 1 
Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là nghiệm của phương trình 
  1 . Tính giá trị của biểu thức:
 2z  i 

LUYỆNTHITOÁNTRẮCNGHIỆMTHPTQUỐCGIA2018 

Trang 1/51


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389
P   z12  1 z22  1 z32  1 z42  1 .

A. 1.

19
.
7

B.

17
.
9


17
; z2  1  i; z3  0; z4 
 P
. Chọn C.
3
5
9
Cho f  n    n 2  n  1  1 n  * và đặt un 
2

n nhỏ nhất sao cho log 2 un  un  
A. n  23

f 1 f  3 ... f  2n  1
. Tìm số nguyên dương
f  2  f  4  ... f  2n 

10239
?
1024

B. n  29

C. n  33



D. n  21



2

2

2

2

2

1
.
 2n  1

10239
1
1
1
 log 2

 un 
 n  23 . Chọn A.
1024
1024 1024
1024

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của module z  2  2i .
A. 1.


3

 z  2  2i   a  i   2  2i   a  2   i  z  2  2i 
2 
2

Câu 8:

 a  2

2



9 3
 . Chọn A.
4 2

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2i  2 2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

P  a z  1  b z  3  4i với a, b là số thực dương.
A.

a 2  b2 .

B.

2a 2  2b 2 .

C. 4 2a 2  2b 2 .



 b2

 P2

2.P.b
2
  2  1 MB 
MB   2  AB 2   0 * .
a
a

a

Để phương trình * có nghiệm thì:  '*  0 

 P 2
b2 2  b2
2
P


1
 2  2  AB   0
2
a
a
 a


7
2
3
2
Lời giải: Ta xét x  0 ta được f 1   f 1  f 1  f 1  1  0  f 1  0  f 1  1 .

Lại có 4 f 1  2 x  f  1  2 x   1  3 f 2 1  x  f  1  x  thay x  0 ta có 4 f 1 f  1  1  3 f 2 1 f  1 .
Trường hợp 1: Nếu f 1  0 thay vào ta thấy 0  1 vô lý.
1
Trường hợp 2: Nếu f 1  1 thì thay vào 4 f  1  1  3 f  1  f  1   .
7
1
1
6
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y    x  1  1   x  .
7
7
7

Câu 10: Cho hàm số y  2 x3  3 x 2  1 có đồ thị  C  . Xét điểm A1 có hoành độ x1  1 thuộc  C  . Tiếp

tuyến của  C  tại A1 cắt  C  tại điểm thứ hai A2  A1 có hoành độ x2 . Tiếp tuyến của  C  tại
A2 cắt  C  tại điểm thứ hai A3  A2 có hoành độ x3 . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của  C 

tại An 1 cắt  C  tại điểm thứ hai An  An 1 có hoành độ xn . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để
xn  5100 .
A. 235
B. 234
C. 118
D. 117

2

 x1  1
n

Vậy 
3  xn   .  2    . Xét
 xn 1  2 xn  2

 4k  2.5100  1  k  log 4  2.5100  1  Chọn k  117  n  235 .

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2; 1 , M  2; 4;1 , N 1;5;3 . Tìm tọa

độ điểm C nằm trên mặt phẳng  P  : x  z  27  0 sao cho tồn tại các điểm B, D tương ứng
thuộc các tia AM , AN để tứ giác ABCD là hình thoi.
LUYỆNTHITOÁNTRẮCNGHIỆMTHPTQUỐCGIA2018 

Trang 3/51


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389
A. C  6; 17; 21

B. C  20;15;7 

C. C  6; 21; 21

D. C 18; 7;9 

Lời giải: C là giao của phân giác trong AMN với  P  . Ta có: AM  3; AN  5 .

điểm của

 AB 

B. R 

D. R  6
B

và  P  . Do đó theo tính chất của phương

tích ta được: DA.DB  DI 2  R 2 . Mặt khác vì DC là tiếp
tuyến của mặt cầu  S  cho nên DC 2  DI 2  R 2 .
Do vậy DC 2  DA.DB  36 cho nên DC  6 (Là một giá trị
không đổi).
Vậy C luôn thuộc một đường tròn cố định tâm D với bán

A

P

D

I

C

kính R  6 . Chọn D.
Câu 13: Xét các số thực với a  0, b  0 sao cho phương trình ax3  x 2  b  0 có ít nhất hai nghiệm


  27 a 2b  4  b  0  a 2b 
(Vì b  0 ). Chọn A.
27
Câu 14: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn

z  2i
là số thuần ảo. Khi số phức z có môđun lớn
z2

nhất. Tính giá trị biểu thức P  a  b .

A. P  0
Lời giải: Ta có:

B. P  4

C. P  2 2  1

z  2i a   b  2  i  a   b  2  i   a  2  bi 
là số thuần ảo


2
z  2  a  2   bi
 a  2  b2

D. P  1  3 2

a  1  2 sin 
2

40
15
FA 3
FA 2
HB FA EM
Lời giải: Áp dụng định lý Menelaus:
. 1

.
.
 1  2.
FB 4
FB 3
HM FB EA
A. V 

 AF 

2a 3
30

B. V 

2
S
AE AF 4
4
4 a3 2 a3 2
.
.

R  2 . Gọi A  2;5  , B  6; 3 , I   2;1 . Suy ra P  MA  MB  2  MA2  MB 2 
AB 2
  I  là hình chiếu vuông góc của M
. Suy ra PMax  MI Max
2
trên AB  M , I , I  thẳng hàng.Vì ta thấy IA  IB  MA  MB nên xảy ra dấu =.


Ta có IM   a  2; b  3 , II    4; 4  nên AB  M , I , I  thẳng hàng  4  a  2   4  b  3  a  b  1 .
Mặt khác ta có MA2  MB 2  2 MI 2 

2
2
 a  3; b  4
 a  2    b  3  2
Tọa độ M là nghiệm của hệ 

 a  1; b  2
a  b  1

 M  3; 4   P  MA  MB  2 82
Mặt khác 
. Vậyđể PMax thì M  3; 4  Suy ra a  b  7 .
 M  1; 2   P  MA  MB  2 50
Câu 17: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ln  m  2sin x  ln  m  3sin x    sin x có nghiệm?
A. 3

B. 4

C. 5


Trang 5/51


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389
A. 8 mặt cầu
B. 4 mặt cầu
C. 3 mặt cầu
D. 1 mặt cầu
Lời giải: Gọi tâm I  a, b, c  , ta có a  2b  c  4 . Vì d  I , Ox   d  I , Oy   d  I , Oz 
 a 2  b2  b2  c 2  c2  a 2  a  b  c

 Nếu a  m, b  m, c  m  2m  4  m  2  I  2; 2; 2 
 Nếu a  m, b  m, c  m  m  1  I 1;1;1
 Nếu a  m, b  m, c  m  0  4 (Loại)
 Nếu a  m, b  m, c  m  2m  4  I  2; 2; 2 

Vậy có tất cả 3 mặt cầu thỏa mãn điều kiện của bài toán đưa ra.
Câu 19: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  1;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 2  x   1

với mọi x   1;1 và

1

1

 f  x  dx  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của  x f  x  dx ?
2

1

1

D. 1

x

2

 a f  x  dx 

1

1

x

2

 a dx a   .

1

1

Do đó ta suy ra I  min  x 2  a dx . Đến đây ta chia bài toán thành 3 trường hợp như sau:
a

1

1

 a
Trường hợp 3: Nếu a   0;1 thì min  x 2  a dx  min    x 2  a  dx    a  x 2  dx 
a
a 0;1 
1
 a
 1

1

 x
a

2


 a  dx 



1
 x 3
 a 
 x3
1 
x3  a
 min  x 2  a dx  min   ax 
  ax  
   ax 


do đó I   min I   .
2
2
2

Câu 20: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn f  x    8;8 với

mọi x   0;1 và

1

1

 xf  x  dx  3 . Tìm giá trị lớn nhất của  x f  x  dx ?
3

0

A. 2

0

B.
1

31
16

Lời giải: Ta đặt I   x3 f  x  dx khi đó: I  3a 
0



 I  3a  8 x  ax dx a    I  3a  8 x  ax dx a    I  min  3a  8 x 3  ax dx  .
a
0
0
0


1

1

3

3

1
1




Trường hợp 1: Nếu a  0 khi đó min  3a  8 x 3  ax dx   min  3a  8  x 3  ax  dx   min  2  a   2
a
a 0
a0
0
0


3
3
min  3a  8 x  ax dx   min  3a  8   ax  x  dx  8   x3  ax  dx   min  4a 2  a  2  
a
a 0;1 
 a0;1
16
0
0


a



1

 31
1
31
3
31
Kết luận: Vậy min  3a  8 x3  ax dx    I  . Đẳng thức xảy ra khi a  ; I   3a  .
a
16
8
12
8
0



Lời giải: Ta có:  x  2    x 3     C20k  1 x 20 3k   C10i  1 x 30 4i . Khai triển này bao gồm
x 
x


k 0
i 0
tất cả 21  11  32 số hạng. Tuy nhiên ta xét các số hạng bị trùng lũy thừa của nhau.

Ta có: 20  3k  30  4i  4i  3k  10 do đó k phải là số chẵn nhưng không chia hết cho 4. Ta có bảng:
k
2
6
10
14
18
i
4
7
10
13 (L)
16 (L)
Vậy có 3 cặp số hạng sau khi khai triển trùng lũy thừa của nhau. Chọn C.

Câu 22: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai f   x  liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn

điều kiện f  0   f 1  1; f   0   2018 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1



1

Lời giải: Ta có:

 f   x 1  x  dx  1


0

1

1 1



f  x 1  x  dx   1  x  df  x   f  x 1  x    f   x  dx  2018 . Chọn A.
0 0
0

Câu 23: Cho phương trình 8 x  m22 x 1   2m 2  1 2 x  m  m3  0 . Biết tập hợp các giá trị thực của tham

số m sao cho phương trình có ba nghiệm phân biệt là  a; b  . Tính S  ab ?
A. S 

2
3

B. S 


2
Δ  m  4  m  1  0
Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Hàm số y  f  x 2  2  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  2;0 

B.  2;  

C.  0; 2 

D.  ; 2 

  x  0

 x 2  2  2

x  0; 
 2x2

2
2
  f   x  2   0


0  x  2  2
2

  x  4
.


các khoảng 4;  2 , 0; 2 ,  2;   . Chọn B.
Câu 25: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x   2m  1 x 2  3m x  5 có
3

ba điểm cực trị?
1

A.  ; 
4


 1
B.  0;   1;  
 4

C.  ;0

D. 1;  

Lời giải: (Học sinh tự vẽ hình tưởng tượng) Hàm số y  x   2m  1 x 2  3m x  5 có ba điểm cực trị
3

khi và chỉ khi hàm số y  x 3   2m  1 x 2  3mx  5 có hai điểm cực trị không âm.
Δ  4m 2  5m  1  0
1


 0  m  4 . Chọn B.


Dựa vào đồ thị ta thấy tiếp tuyến có dạng y  ax và đi qua điểm có tọa độ xấp xỉ 1; 2, 2  cho nên ta suy
ra 2, 2  a  f   0   m . Chọn A.
Câu 27: Cho dãy số  an  thỏa mãn điều kiện a1  1; 5an1  an  1 

3
với mọi n    . Tìm số nguyên
3n  2

dương n  1 nhỏ nhất để an   ?
A. n  39

B. n  41

C. n  49

D. n  123

3
3
3
; 5an1  an2  1 
; ...5a2  a1  1  .
3n  1
3n  4
5
3 
3   3  8.11.14...  3n  1 3n  2  3n  2


Nhân vế với vế ta được: 5an  a1  1 

2

2
2
Vì b 2   c  2   1   c  2   1  c  3  1  c  3 do đó z1  z2  c 2   2;3 2   T  4 2 .

Câu 29: Cho khối tứ diện ABCD có BC  3, CD  4, ABC  BCD  ADC  900 . Góc giữa hai

đường thẳng AD và BC bằng 600 . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ACD  ?
A.

2 43
43

B.

43
86

4 43
43
D.
43
43
Lời giải: Ta dựng AE   BCD  và dễ dàng chứng minh được
C.

BCDE là hình chữ nhật. Khi đó   AD, BC   ADE  600 khi đó

ta suy ra AE  3 3  VABCD  6 3 .


B. max P 



9
4




C. max P 

13
3

D. max P 

11
3

 z2  z 2   z2  z  z 2  z  2  z  z  2  2x  z 2  z  2  2x

.
Lời giải: Ta có 
2
2
2
 z 2  z  1   z 2  z  1 z  z  1  1  2 z  z  z  z  z 2  z  1  2 x  1


C. Rmin  4

D. Rmin  25

Lời giải: Ta có:  3  4i  z  5  m 2  2m  5   w  2i  5  m 2  2m  5  . Vậy R  5  m 2  2m  5   20 .
Câu 32: Có bao nhiêu giá trị của m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z  1 và z  3  i  m .
A. 0
Lời giải:

B. 1
Gọi z  x  yi , ( x, y  R ) ,ta có hệ:

C. 2

D. 3

2
2
 x  y  1(1)

2
2
2
( x  3)  ( y  1)  m (m  0)

Ta thấy m  0  z  3  i không thỏa mãn z.z  1 suy ra m  0 .
Xét trong hệ tọa độ Oxy tập hợp các điểm thỏa mãn (1) là đường
tròn (C1 ) có O(0;0), R1  1 , tập hợp các điểm thỏa mãn (2) là
đường tròn (C2 ) tâm I ( 3; 1), R2  m ,ta thấy OI  2  R1 suy ra
I nằm ngoài (C1 ) . Để có duy nhất số phức z thì hệ có nghiệm

13

Gỉa sử z  a  bi ( a, b   ) được biểu diễn bởi điểm M  a; b 

Khi đó số phức liên hợp của z là z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M   a; b 

LUYỆNTHITOÁNTRẮCNGHIỆMTHPTQUỐCGIA2018 

Trang 10/51


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389

Ta có: z  4  3i    a  bi  4  3i   4a  3ai  4bi  3b   4a  3b    3a  4b  i do đó số phức z  4  3i 
được biểu diễn bởi điểm N  4a  3b;3a  4b 
Khi đó điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức z  4  3i  là N   4a  3b; 3a  4b 


 MM    a  a; b  b 
 MM    0; 2b 
 
 
Ta có:  NN    4a  3b  4a  3b; 3a  4b  3a  4b    NN    0; 6a  8b 
 
 
4
3
;3
4
MN

1

 z  b  bi  z  4i  5  b  5   b  4  i   b  5    b  4   2  b    
2 2
2

9 9
1
9
b
hay z   i .
Vậy z  4i  5 min 
2
2 2
2
2

2

Câu 34: Cho số phức z  m  2   m 2  1 i với m   . Gọi  C  là tập hợp các điểm biểu diễn số phức

z trong mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và Ox .
4
32
8
C.
D. .
.
.
3

1

 ( x  2)

3

Câu 35: Xét số phức z thỏa mãn 1  2i  z 
A.

3
 z  2.
2

B. z  2.

Lời giải: Ta có:  z  2   i  2 z  1 

2

4
 1 dx  . Chọn B.
3

10
 2  i. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
z
1
1
3
C. z  .

D. P  32  3 2.

Trang 11/51


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389

a  c   b  d  i  8  6i
z  z  a  c  b  d  i
 z  a  bi

Gọi  1

 a, b, c, d      1 2
2
2
 z2  c  di
  a  c    b  d   2
 z1  z2  a  c   b  d  i

Lời giải:

2
2
 z  z   a  c 2   b  d 2  8  6i
 1 2
 a  c    b  d   100


2

A. P  16.

Gọi z  x  yi  x, y    và M  x, y  là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng

Lời giải:

phức. Xét các điểm F1  8;0  , F2  8;0  . Ta có : MF 1 

8  x     y 
2

MF 2 

D. P  5 10.

C. P  17.

2

 z  8  z  8  20 

 x  8



 x  8

2

2


2
2a  20 a  100
x2 y 2
max z  10

 2




 m  n  16 .
1

2
2
c  8
b  a  c  36 100 36
min z  6

Câu 38: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau: max f  x   6
0;1

1

và

1

 x f  x  dx  0 . Giá trị lớn nhất của tích phân  x f  x  dx bằng bao nhiêu?

24

1

Lời giải: Ta có với mọi số thực a   thì  ax 2 f  x  dx  0 do đó:
0

1

3
 x f  x  dx 
0

1

Do đó:

1

x
0

3

1

1

0


4 3
0
0
3

2

Trường hợp 2: Nếu a  1 thì x 3  ax 2  x 2  x  a   0 x   0;1 . Khi đó:
LUYỆNTHITOÁNTRẮCNGHIỆMTHPTQUỐCGIA2018 

Trang 12/51


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389
1

1

1
a 1
g  a   6  x 3  ax 2 dx  6  ax 2  x3 dx  6     min g  a  
a

1
2
 3 4
0
0
a



3
3 2 3 4
 2a 4  4a  3  3 2  4
1 3
Ta tìm được min g  a   min 
.
  vậy min g  a  

a
a 0;1
a 0;1
4
2
4
2 2



1

Do vậy:

1

 x f  x  dx  min g  a    x f  x  dx 
3

3


Câu 39: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 3 f  x   xf '  x   x 2018 với

mọi x   0;1 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân

1

 f  x  dx bằng:
0

1
1
1
B.
C.
2021 2022
2018  2021
2018  2019
2018
2
3
Lời giải: Ta có: 3 f  x   x. f '  x   x  3 x f  x   x f '  x   x 2020
A.

t

D.

1
2019  2021


 f  x  dx là
0

1

Câu 40: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f 1  0,   f   x   dx 
2

0

1

1
 x f  x  dx   55 . Tích
4

1

phân

0

A.

1
7

 f  x  dx bằng
0



1
. Do đó
11

1

1

1

0

0

1
55

D.

1
11

1

1
 x f   x  dx  11 . Hơn nữa ta dễ dàng tính
5

0

1

f  x  dx  
0

1

x6  1
1
dx  .
6
7

Câu 41: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f 1  0,   f   x   dx 
2

0

1

và

f  x

  x  1

2

0



LUYỆNTHITOÁNTRẮCNGHIỆMTHPTQUỐCGIA2018 

D.

1  ln 2
2
Trang 13/51


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389
1

f  x

1

1

1

1  
1 
1 



dx   f  x  d 1 
Lời giải: Ta có: 
   1 

2
2
ln
1








dx
dx
x
x



   2 ln 2 .


2
0  x  1 
0  x  1  x  1 
 x  1  0 2



1

0
2

1
, do đó f  x   x  ln  x  1  C . Vì f 1  0 nên C  ln 2  1.
x 1
1
1
f  x  dx    x  ln  x  1  ln 2  1 dx   ln 2 .
2
0

Suy ra f   x   1 
1

Ta được


0

Câu 42: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình m  sin  m  sin 3x   sin  3sin x   4sin 3 x có

nghiệm thực?
A. 9

B. 5

D. 8

C. 4

Câu 43: Phương trình e x 

Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn đường thẳng có phương trình lần lượt là
x 1 y  2
z
x2 y2
z
x y z 1
x  2 y z 1


; d2 :


; d3 :  
; d4 :
 
.
1
2
2
2
4
4
2 1
1
2
2
1


Lời giải: Gọi tâm I  a, b, c  khi đó bán kính mặt cầu: R  IA  d  I ,  P  

LUYỆNTHITOÁNTRẮCNGHIỆMTHPTQUỐCGIA2018 

D. 12 2

Trang 14/51


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389

R

 a  2    b  11   c  5

2

R

 a  2    b  11   c  5

2

2

2

2

2

 R1  R2  12 2 .

2
b  25
b  c  b  c  10
c  5
Câu 46: Cho hàm số f  x   x3  3x  m  2 . Có bao nhiêu số nguyên dương m  2018 sao cho với mọi

bộ ba số thực a, b, c   1;3 thì f  a  , f  b  , f  c  là độ dài ba cạnh một tam giác nhọn.
A. 1989

B. 1969

C. 1997

D. 2008

Lời giải: Ta đặt g  x   x  3x  2  max g  x   20; min g  x   0 khi đó f  x   m  g  x  .
3

 1;3

 1;3

Ta có: f  a   f  b   f  c  a, b, c   1;3  m  g  c    g  a   g  b   a, b, c   1;3

 m  max g  x   2 min g  x   m  20 .
 1;3

 1;3


Câu 47: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho phương trình các mặt phẳng  P  : x  y  2 z  1  0 và

 Q  : 2 x  y  z  1  0 . Gọi  S  là mặt cầu có tâm thuộc Ox

đồng thời cắt mặt phẳng  P  theo

giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và cắt mặt phẳng  Q  theo giao tuyến là một
đường tròn có bán kính bằng r . Xác định r sao cho chỉ tồn tại duy nhất một mặt cầu thỏa mãn
điều kiện đã cho.
A. r 

10
2

B. r 

3 2
2

C. r  3

D. r 

14
2

Lời giải: Ta gọi I  a;0;0  là tâm mặt cầu. Khi đó bán kính: R 2  r 2  d  I ,  Q    22  d  I ,  P  
2



A. u  1, 0,1
B. u   2,1,1
C. u   3, 2,1
D. u   0,1, 1

LUYỆNTHITOÁNTRẮCNGHIỆMTHPTQUỐCGIA2018 

Trang 15/51


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389

 Q  : x  y  z  1  0 là mặt phẳng qua điểm
A  2,1, 0  , song song với mặt phẳng  P  : x  y  z  0 .
Đồng thời ta phát hiện ra rằng điểm A  2,1, 0  là trung điểm MN .
Khi đó tổng khoảng cách MF  NG  MC  ND=2d  M ,  Q   .
Lời giải: Ta gọi

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  là đường thẳng đi qua A và hai
hình chiếu C và D của các điểm M  0, 2, 0  , N  4, 0, 0  tới mặt
phẳng  Q  . Chọn A.
Câu 49: Cho hai số thực a, b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a  b  10 . Gọi m, n là hai nghiệm của

phương trình  log a x  logb x   2log a x  3logb x  1  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S  mn .
16875
A.
16

500
A. S 
3

B. S 

700
3

C. S 

650
3

D. S  200

Lời giải: Theo vi – ét ta có: log a m  log a n  1  2log a b  3log a c  log a  ab 2c 3   mn  ab 2 c 3

Theo AM  GM ta có: mn  ab 2 100  a  b  
3

4  3b 3b

 3a. . (100  a  b) 100  a  b 100  a  b  
27 
2 2

6



3
3

Câu 51: Tìm n biết rằng an  x  1  an 1  x  1
n

A. n  9

B. n  10

n 1

 ...  a1  x  1  a0  x n đồng thời a1  a2  a3  231 .
C. n  11

D. n  12

Lời giải: Ta đặt x  1  y khi đó an y n  an 1 y n 1  ...  a1 y  a0   y  1 .
n

Như vậy Cn1  Cn2  Cn3  231  n  11 . Chọn C.
Câu 52: Biết rằng khi m, n là các số dương khác 1, thay đổi thỏa mãn m  n  2017 thì phương trình

8log m x.log n x  7 log m x  6log n x  2017  0 luôn có hai nghiệm phân biệt a, b . Biết giá trị

LUYỆNTHITOÁNTRẮCNGHIỆMTHPTQUỐCGIA2018 

Trang 16/51



3
7
3
7
Vì vậy ab  m 8 .n 8  m 4  2017  m  8  ln  ab   f  m   ln m  ln  2017  m 
4
8
3
7
12102
 12102  3 12102 7 14119
Mà f '  m  

0m
 ln  ab   f 
 ln
  ln
4m 8  2017  m 
13
13
8
13
 13  4

Do đó c  12102, d  14119  S  66561 . Chọn đáp án B.
Câu 53: Cho hàm số f  x    x 2  3 x  2 

cos  2017  x 

và dãy số  un  được xác định bởi công thức tổng

Câu 54: Cho dãy số  un  được xác định bởi công thức 
. Tìm giới hạn của dãy
2
2018un 1  un  2017un
un
u
u
?
số S n  1  2  ... 
u2  1 u3  1
un 1  1
2017
D. lim S n  1
2018
u
u u
un
un 1  un

Lời giải: Ta có: 2018  un 1  un   un  un  1  n  n 1 n 
un  1
2018
2018  un 1  1  un  1 un 1  1

A. lim S n 



1
2018

 2  1 lim un  1 
LUYỆNTHITOÁNTRẮCNGHIỆMTHPTQUỐCGIA2018 

Trang 17/51


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389
Câu 55: Cho số phức z có z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P  1008 1  z  1  z 2  1  z 3  ...  1  z 2017

A. Pmin  1007

B. Pmin  2018

C. Pmin  1008

D. Pmin  2016

 1  z 2017  1  z 2016  1  z 2017   1  z 2016   z 2016 1  z  1  z

 1  z 2015  1  z 2014  1  z 2015  1  z 2014  z 2014 1  z  1  z

 


Lời giải: Ta có: 
...

2
3

3

B. 1
x

Lời giải: Đặt F  x    f  t  dt  g  x   1  F  x  

2
2

C.

f  x  x   0;1 

0

1
2

D.
F x

 F  x   1

2

 1  0 x   0;1

t 


1

1

 g  x dx  2

.

0

Câu 57: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt
x

g  x   1  3 f  t  dt . Biết g  x   f 2  x  với mọi x   0;1 . Tích phân
0

lớn nhất bằng:
5
A.
2

B.

4
3

C.

7
4

3F  t   1  t  là hàm số nghịch biến trên  0;1 do vậy ta có:


3
3
0  3F  x   1


2
2
3
h  x   h  0  x   0;1 
3F  x   1  t   0  3F  x   1  x  1 x   0;1 
3
3
2

LUYỆNTHITOÁNTRẮCNGHIỆMTHPTQUỐCGIA2018 

1


0

g  x dx 

7
.
4



x2

2

1

2

0

x 
2

 1  0 x   0;1

t

2 xf  x 2 
 h t    
 1 dx  ln 1  F  t    t là hàm số nghịch biến trên  0;1 do vậy ta có:
2


0  1 F  x 


h  x   h  0  x   0;1  ln 1  F  x    x  0  1  F  x   e

x

n 1

 a1  2 a2 x  ...  n an x n 1

Thay x  1 vào khai triển trên ta được:
2n.3n 1  a1  2 a2  ...  n an  34992  n  8
Vậy với n  8 ta có: P  a0  3a1  9a2  ...  3n an  1  2.3  390625 . Chọn A.
8

Câu 60: Ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi C là điểm cố định trên Oz , đặt OC  1 hai điểm

A, B thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA  OB  OC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện O. ABC ?
A.

6
.
4

B.

6
.
3

C.

6
.
2

B. x  y  z  0

C. x  y  z  0

D. x  y  2 z  0

Lời giải: Ta có OA  2 2 do đó điểm B nằm trên các mặt cầu tâm O và tâm A có cùng bán kính 2 2
 x2  y 2  z 2  2x  2 y  2z  0
 x2  y 2  z 2  8


  x  y  z  0  B  2;0; 2  .
nên tọa độ B là nghiệm của hệ:  x 2  y 2  z 2  8

x  y  2
2
2
2

 x  2    y  2   z  8

LUYỆNTHITOÁNTRẮCNGHIỆMTHPTQUỐCGIA2018 

Trang 19/51


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389
Câu 62: Cho dãy số  un  xác định bởi u1  5; unn11  unn  2n  2.3n với mọi n  1 . Tìm số nguyên nhỏ

nhất thỏa mãn unn  2n  5100 .

Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  3  0 và hai điểm
A 1; 2;3 , B  3; 4;5  . Gọi M là một điểm di động trên  P  . Giá trị lớn nhất của biểu thức
MA  2 3
bằng:
MB

A. 3 6  78

B. 3 3  78

54  6 78

C.

Lời giải: Ta dễ dàng nhận thấy A   P  và AB  2 3 do vậy P 
Áp dụng định lý hàm số sin: P 

D. 3 3

MA  2 3 MA  AB
.

MB
MB

sin MBA  sin AMB
 MAB 
 MBA  AMB 
 MAB 
 2 cot 

B.

8



f  x  dx 

2

1



f  t 5  4t  3 d  t 5  4t  3 

1

1

  2t  1  5t

4

 4  dt  10 .

1

Câu 65: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều
1

ef ' 1  f '  0 
bằng:
ef 1  f  0 

D. 1

Lời giải: Ta đặt  e x f  x  dx   e x f '  x  dx   e x f ''  x  dx  a . Sử dụng tích phân từng phần ta có:
1
1

x
x
a   e df   x   ef  1  f   0    e f   x  dx  ef  1  f   0   2a
ef ' 1  f '  0 

0
0

1

1
1
ef 1  f  0 
a  e x df x  ef 1  f 0  e x f x dx  ef 1  f 0  2a
  
0       0  



LUYỆNTHITOÁNTRẮCNGHIỆMTHPTQUỐCGIA2018 


giác ABC vuông thì A, M , N vẫn thẳng hàng cho nên đường thẳng d khi đó có u  1, 0,1 . (Học sinh

cần tự tìm các tọa độ của M , N sao cho các tam giác MAB, NAC vuông cân tại M , N và nằm trong mặt
phẳng  ABC  ). Chọn B.
Câu 67: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz
gọi d là đường thẳng đi qua điểm
A 1, 0, 0  có hình chiếu trên mặt phẳng

 P  : x  2 y  2z  8  0

là d ' . Giả sử giá

trị lớn nhất và nhỏ nhất khoảng cách từ
điểm M  2, 3, 1 tới d ' là  và  .
Tính giá trị của T     ?
A. 2

B.

6
2

2
6
D.
2
3
Lời giải: Ta có xét A là hình chiếu của A trên  P  . Khi đó đường thẳng d ' đi qua điểm A . Ta gọi G
C.

3
1
2

Trang 21/51


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389

2 

a 2

 2.2a  2  2a  1 sin  2a  b  1  2  0   2a  1  2  2a  1 sin  2a  b  1  1  0
2









 2a  1  sin  2a  b  1  1  sin 2  2a  b  1  0  2a  1  sin  2a  b  1  cos 2  2a  b  1  0
2

2




1

 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Tìm

2

 xx 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức S   1 2   4  x1  x2  .
 x1  x2 

B. 3 3 2
C. 3 3 4
 x  x   log b a
Lời giải: Ta có: x 2  1  x log b a  0   1 2
 x1 x2  1
A. 4

D.

3

4

2

 1 
1
1
Khi đó S  

x1 , x2

và phương trình

bx

2

1

  9a 

x

Lời giải: Với a

B. 46
x 2 1

1

 b x có hai nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt

 x1  x2  x3  x4   3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A. 12

2



 x1  x2  log a b
Khi đó theo vi – ét 
 log a b log b  9a   3  log b  9a   3  9a  a 3  a  4
 x3  x4  log b  9a 
Vì vậy b  16  b  17  S  3.4  2.17  46 . Chọn đáp án B.

Câu 71: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình a.4 x  b.2 x  50  0 có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2 và phương trình 9 x  b.3x  50a  0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn
x3  x4  x1  x2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  3a  2b .

A. 49

B. 51
  0; S1  0; P1  0
Lời giải: Ta có:  1
 b 2  200a  0
 2  0; S 2  0; P2  0

C. 78

LUYỆNTHITOÁNTRẮCNGHIỆMTHPTQUỐCGIA2018 

D. 81

Trang 22/51


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389
50

A.
4

B. 90

C.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
81
4

45
2

D.

Lời giải: Ta có: log a x  log b a log a x   2log a x  3  0  log b a  log a x   2log a x  3  0
2

Theo vi – ét ta có: log a m  log a n 

2
 2log a b  log a b 2  log a  mn   log a b 2  mn  b 2
log b a
2

9  279 279


Vậy P  b 2  9a  b 2  9 10  b    b   

Xét f   a   1 

a

90  a 2  b 2

 0  a  45 



min f  a, b   min f  4  ; f



29

b2
. Lập bảng biến thiên ta được:
2

  min b  4 

74  b 2 ; b  29  61  b 2



Dễ có: b  4  74  b 2  b  29  61  b 2 b  5; 38   min f  a, b   b  4  74  b 2  f  b  .
b
 0  b  37 nên lập bảng biến thiên ta được min f  a, b   f  5   16 .
Do f   b   1 

A.

5
3

B. 4

4
3

C.

D. 5

x

Lời giải: Ta đặt F  x    f  t  dt khi đó g  x   1  2 F  x    f  x   x   0;1 .
3

0

f  x

Do vậy

3

1  2F  x 

F x

4
3



t





Do đó:



3

g  x



2





1




2

8

2

2
2
2
3
3
2
1  f  x  dx  21 f  x  dx  3 1 f  x  dx  1  x  1 dx
2

  f   x 

Tính tích phân

3

dx bằng:

1

A.

8ln 2
27


8

1
3

t2





D.

2

8

5
4
2

2
2
2
3
3
2
1  f  x  dx  21 f  x  dx  3 1 f  x  dx  1  x  1 dx


dx 

1

8ln 2
. Chọn A.
27
2

Câu 76: Cho hai số thực dương a, b lớn hơn 1 và biết phương trình a x b x 1  1 có nghiệm thực. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức P  log a  ab  

4
.
log a b

A. 4
B. 5
C. 6
D. 10
2
2
Lời giải: phương trình tương đương với: x   x  1 log a b  0  x  x log a b  log a b  0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là    log a b   4log a b  0  log a b  4  log a b  0 
2

Khi đó P  log a b 

4
4


C. 4

D. 6

1
1
1
k
1
1
 1

 2  1  2  k   2  2  2  1  k   2 . f ( x) với f ( x)  2  2  1.
2

sin x x
x sin x
 x sin x 

2 2 cos x
 
 
 0 x   o;  .
Xét hàm số f ( x) trên  0;  , ta có f '( x)   3 
3
sin x
x
 2
 2


8
20
log a b 
11
11

8
20
8 20
log a b 
8
20
11
11
11 11
 log a x1 x2  log a b 
 x1 x2  a
b a
11
11

1

1

1

Ta có đánh giá sau x1 x2   a 20b8 11   220 b8 11  2  29.b8 11
Và 29.b8  k 11  29.28  217  k  3, k  2  k  4  b8 

1
D. 1  m   .
2

Lời giải: Ta có  cos x  1 cos 2 x  m cos x   m sin 2 x
 cos x  1 1
  cos x  1 cos 2 x  m cos x   m  cos x  1 cos x  1  0  
cos 2 x  m  2 
1
 2 
Vì x  0;     cos x  1 nên 1 không có nghiệm trên
2
 3 

LUYỆNTHITOÁNTRẮCNGHIỆMTHPTQUỐCGIA2018 

 2 
 2 
 0; 3  . Xét f  x   cos 2 x, x   0; 3 

Trang 25/51