1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Một số kinh nghiệm khi giải các bài toán xác xuất
bằng phương pháp suy luận ngược
Người thực hiện: Phan Văn Thế
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2013
ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình môn Toán cấp THPT, Xác Suất là phần học được đưa
vào giảng dạy ở lớp 11 từ năm học 2007-2008. Đó là phần kiến thức nghiên cứu
các hiện tượng ngẫu nhiên trong thực tế- Một mảng kiến thức mới gây không ít
khó khăn, không chỉ cho học sinh trong quá trình học mà còn gây khó khăn cho
giáo viên trong công việc giảng dạy. Đặc biệt, nhiều học sinh còn lúng túng
trong việc sử dụng “CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT” để giải toán.
Qua những năm giảng dạy phần Xác Suất trong trường THPT tôi đã tìm
ra cách thức giúp giáo viên có thể dạy các bài toán “tính xác suất bằng phép
tính” tự nhiên hơn, giúp học sinh hiểu rõ hơn, chủ động, sáng tạo hơn. Đó là
“Một số kinh nghiệm khi giải các bài toán xác xuất bằng phương pháp suy
luận ngược”. Vì vậy tôi viết Sáng kiến Kinh nghiệm này mong nhận được trao
đổi, góp ý của các đồng nghiệp, các em học sinh và các bạn đọc nhằm thực hiện
công việc dạy và học môn Toán trong chương trình THPT ngày một tốt hơn.

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2
A. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
• Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay hành động mà
- Kết quả quả của nó không dự đoán trước được

•
Ω
=
Ω
A
P(A)
3. QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT
• Hợp của hai biến cố A và B =




∪
BiÕn cè A x¶y ra
A B=
BiÕn cè B x¶y ra
- Nếu
Ω
A
vả
Ω
A
lần lượt là các kết quả thuận lợi cho biến cố A và B thì
tập hợp các kết quả thuận lợi cho
∪A B
là
Ω ∪Ω
A B
• Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến
cố kia không xảy ra.

, i=1,
i
X n
, dùng các phép toán của tập
hợp(giao biến cố, hợp biến cố đối) biểu diễn
, i=1,
i
X n
theo các “biến
cố con của
, i=1,
i
X n
”là
, i=1,
i
Y m
…
• Quá trình trên được dừng lại khi các “biến cố con”trùng hoặc
ngược với giả thiết của bài toán
Bước 2: Trình bày lời giải (Ngược lại với quá trình suy luận)
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2. Tính xác
suất để trong ba lần bắn độc lập:
a) Người đó bắn trúng hồng tâm một lần;
b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần.
Câu a
Suy luận:
4


b¾n tr ît hång t©m lÇn 1
b¾n tr ît hång t©

















































3
"b¾n tróng hång t©m lÇn 3"=A
tr ît hång t©m lÇn 3
b¾n tr ît hång t©m lÇn 1
b¾n tr ît hång t©m lÇn 2
• Từ đó dẫn đến
= ∪ ∪
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A A A A A A A A A A
Lời giải câu a)

⇒ =
b¾n tr ît hång t©m lÇn 1
B b¾n tr ît hång t©m lÇn 2
b¾n tr ît hång t©m lÇn 3

⇒ =
1 2 3
B A A A
Cách 2:
B="ng êi ®ã b¾n tróng hång t©m Ýt nhÊt mét lÇn
5






b¾n tróng hång t©m 1 lÇn
= b¾n tróng hång t©m 2 lÇn
b¾n tróng hång t©m 3 lÇn






1
2
3
b¾n tróng hång t©m 1 lÇn=B

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
B B B B
A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
•
= + + = + + =
1 2 2 2 3
1 2 3 3 3
P(B) P(B ) P(B ) P(B ) C .0,2.(0,8) C (0,2) .0,8 (0.2) 0,488
Ví dụ 2:Gieo một con súc sắc liên tiếp 6 lần. Tìm xác suất để ít nhất một lần
xuất hiện mặt lục.
Phân tích
Cách 1
•
⇒A="Ýt nhÊt mét lÇn xuÊt hiÖn mÆt lôc" A="C¶ 6 lÇn kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc"
=
=
=
⇒
1
2
3
lÇn 1 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc=lÇn 1 xuÊt hiÖn mÆt lôc A
lÇn 2 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc=lÇn 2 xuÊt hiÖn mÆt lôc A
lÇn 3 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc=lÇn 3 xuÊt hiÖn mÆt lôc A
A=
lÇn 4 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc





5
"xuất hiện mặt lục 1 lần"=X
"xuất hiện mặt lục 2 lần"=X
"xuất hiện mặt lục 3 lần"=X
A="ít nhất một lần xuất hiện mặt lục"
"xuất hiện mặt lục 4 lần"=X
"xuất hiện mặt lục 5 lần"=X
"xuất hiện mặt lục 6 l











6
ần"=X
Mi
i
X , i=1,6
biu din theo cỏc bin c
i
A
(cỏch 1)
Li gii
Cỏch 1

i
X , i=1,6
l bin c xut hin mt lc i ln
1 2 3 4 5 6
A X X X X X X=

i 6 i
i
i 6
1 5
P(X ) C , i=1,6
6 6


=
ữ ữ

, do ú
i 6 i 6
6
i
6
i 1
1 5 5
P(A) C 1
6 6 6

=

= =



ữ ữ ữ ữ

= + + =
4 2 5 6
4 5
6 6
3 1 3 1 3
P(A) C C 0,8305
4 4 4 4 4
Vớ d 4: Mt mỏy bay cú ba b phn A, B, C cú tm quan trng khỏc nhau. Mỏy
bay s ri khi cú mt viờn n bn trỳng vo A, hoc hai viờn n bn trỳng vo
B, hoc ba viờn n bn trỳng vo C. Bit rng mỏy bay b trỳng hai viờn n v
gi s cỏc b phn A, B, C ln lt chim 15%, 35%, 55% din tớch mỏy bay.
Tỡm xỏc sut mỏy bay b ri.
Phõn tớch
Cỏch 1

"ít nhất một viên đạn bắn trúng A"=X
Z "Máy bay bị rơi"=
"Cả hai viên đạn bắn trúng B"=Y




=
















1
2
1
2
"Viên đạn thứ nhất trúng C"=C
"Viên đạn thứ hai trúng C"=C
"Viên đạn thứ nhất trúng B"=B
"Hai viên đạn bắn trúng C"
Z= =
"Viên đạn thứ hai trúng C"=C
"Một viên đạn trúng B và một viên trúng C








i 1,6=
• Ta có
2
1 2 1 2
X X X P(X) 1 P(X )P(X ) 1 (0,85) 0,2775= ⇒ = − = − =
• Gọi
i
Y
lần lượt là các biến cố “Viên đạn thứ i trúng B”,
i 1,6=
• Ta có
2
1 2 1 2
Y Y Y P(Y) P(Y )P(Y ) (0,3) 0,09= ⇒ = = =
P(Z) P(X) P(Y) 0,2775 0,09 0.3675= + = + =
Cách 2
• Gọi Z là biến cố “Máy bay bị rơi”, suy ra
Z
là biến cố “máy bay không
bị rơi”




⇒
"Hai viªn ®¹n b¾n tróng C"
Z=
"Mét viªn ®¹n tróng B vµ mét viªn tróng C
. Gọi
1 2




=
"An ®¹t 8.0 ®iÓm"
"An ®¹t 8.0 ®iÓm trë lªn"= "An ®¹t 8.25 ®iÓm"
"An ®¹t 8.5 ®iÓm"8
9
10





"An tr¶ lêi ®óng 8 c©u"=A
= "An tr¶ lêi ®óng 9 c©u"=A
"An tr¶ lêi ®óng 10 c©u"=A
Lời giải
9
• Gọi A là biến cố “An đạt 8.0 điểm trở lên”, A
8
, A
9
, A
10
lần lượt là các
biến cố “An làm được 8, 9, 10 câu” trong 10 câu còn lại.

bàn tương ứng là 0.8 và 0.7. Tìm xác suất để ít nhất một cầu thủ làm bàn.
5. Trong một thành phố, tỉ lệ người thích xem bóng đá là 65%. Chọn ngẫu
nhiên 12 người. Tìm xác suất để trong đó có 5 người thích xem bóng đá.
6. Một máy bay có ba bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Giả sử
các bộ phận A, B, C tương ứng là 15%, 30%, 55% diện tích máy bay.
Máy bay bị rơi nếu có một viên đạn trúng vào A hoặc hai viên đạn trúng
vào B hoặc ba viên đạn trúng vào C. Tìm xác suất để máy bay bị rơi nếu:
a. Máy bay bị trúng hai viên đạn.
b. Máy bay bị trúng ba viên đạn.
D. KIỂM NGHIỆM
1. Quá trình khảo sát
Trong các năm học 2012-2013 tôi đã khảo sát chất lượng thông qua hai lớp
học 11B1 và 11B2 ở trường THPT Lê Hồng Phong với bài kiểm tra viết thông
qua kiểm tra viết về “các quy tắc tính xác suất”:
2. Kết quả khảo sát
Kết quả khảo sát Lớp 11B1 (không được dạy phương pháp “suy luận ngược” và
lớp có 30% học sinh khá giỏi)
10
Điểm 8.0 đến 10 6.5 đến cận 8.0 5.0 đến cận 6.5 Dưới 5.0
Tỉ lệ 4% 12% 10% 74%
Kết quả khảo sát Lớp 11B2 (được dạy phương pháp “suy luận ngược” và lớp có
phần đa học sinh có học lực trung bình)
Điểm 8.0 đến 10 6.5 đến cận 8.0 5.0 đến cận 6.5 Dưới 5.0
Tỉ lệ 30% 40% 20% 10%
KẾT LUẬN
Phương pháp “ suy luận ngược” khi giải các bài toán xác suất bằng phép tính
được rút ra từ thực tế dạy học của bản thân tôi. Sau khi cho học sinh áp dụng
phương pháp này vào các ví dụ, bài tập xác suất thì số lượng học sinh làm bài
tập nhiều hơn, hứng thú hơn và giải được nhiều bài toán ở mức độ vận dụng.
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của cá nhân tôi được đúc rút trong quá