Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 5
Chơng 1
Số phức
Đ1. Trờng số phức

Kí hiệu = 3 ì 3 = { (x, y) : x, y 3 }. Trên tập định nghĩa phép toán cộng và phép
toán nhân nh sau
(x, y), (x, y)
(x, y) + (x, y) = (x + x, y + y)
(x, y) ì (x, y) = (xx - yy, xy

+ xy) (1.1.1)

Ví dụ (2, 1) + (-1, 1) = (1, 2) và (2, 1) ì (-1, 1) = (-3, 1)

Định lý (, +, ì ) là một trờng số.
Chứng minh
Kiểm tra trực tiếp các công thức (1.1.1)
Phép toán cộng có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử không là (0, 0)
(x, y) , (x, y) + (0, 0) = (x, y)
Mọi phần tử có phần tử đối là -(x, y) = (-x, -y)
(x, y) , (x, y) + (-x, -y) = (0, 0)
Phép toán nhân có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử đơn vị là (1, 0)
(x, y) , (x, y) ì (1, 0) = (x, y)
Mọi phần tử khác không có phần tử nghịch đảo là (x, y)
-1
= (

*
với
*
= - { (0, 0) }
z - z = z + (- z),
'
z
z
= z
ì
(z)
-1
và z
0
= 1, z
1
= z và z
n
= z
n-1

ì
z (1.1.2)

Bằng cách đồng nhất số thực x với số phức (x, 0)
Click to buy NOW!
P
D
F
-

o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
Đ2. Dạng đại số của số phức

Với mọi số phức z = (x, y) phân tích
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1)
Đồng nhất đơn vị thực (1, 0) 1 và đơn vị ảo (0, 1) i, ta có
z = x + iy (1.2.1)
Dạng viết (1.2.1) gọi là dạng đại số của số phức. Số thực x = Rez gọi là phần thực, số
thực y = Imz gọi là phần ảo và số phức
z
= x - iy gọi là liên hợp phức của số phức z.
Kết hợp các công thức (1.1.1) - (1.2.1) suy ra dạng đại số của các phép toán số phức.

(x + iy) + (x + iy) = (x + x) + i(y + y)
(x + iy) ì (x + iy) = (xx - yy) + i(xy + xy)

yix
iyx

+

+
=
22
yx
yyxx

+


3
= z
2
ì z = (-3 + 5i) ì (1 + 2i) = -13 - i

Từ định nghĩa suy ra
z
= z z 3
z
= - z z i3
z
= z
z +
z
= 2Rez z -
z
= 2iImz z
z
= Re
2
z + Im
2
z (1.2.3)

Ngoài ra liên hợp phức còn có các tính chất sau đây.

Định lý

(n, z, z)


w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

z
+
=
z
+
'
z

2.
'
zz
=
z
'
z

n
z
=
n
)z(
3.
1
z

=
1
)z(



=
z
1
z

= 1
1
z

= (
z
)
-1

Suy ra z/z

=
1
)z(z


=
z
1
z




Với mọi số phức z = x + iy, số thực | z | =

-1
=
2
|
'
z
|
1
z
'
z
(1.2.4)
Ngoài ra module của số phức còn có các tính chất sau đây.

Định lý
(n, z, z) ì ì
1. | z | 0 | z | = 0 z = 0
2. | z z | = | z || z | | z
n
| = | z |
n
3. | z
-1
| = | z |
-1

z
z

=

| z
-1
| = 1 / | z |
Suy ra | z / z | = | z (z)
-1
| = | z | | (z)
-1
|
4. Ta có z
z

+
z
z = 2Re(z
z

) | z
z

= | z || z|
Suy ra | z + z
2
= (z + z)(
'
z
z
+
) = z
2
+ 2Re(z

r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g

tồn tại duy nhất số thực (-, ] sao cho
cos =
|
z
|
x
và sin

=
|
z
|
y
(1.3.1)
Tập số thực Argz = + k2, k 9 gọi là argument, số thực argz = gọi là argument
chính của số phức z. Chúng ta qui ớc Arg(0) = 0.
Kí hiệu r = | z | từ công thức (1.3.1) suy ra
x = rcos và y = rsin
Thay vào công thức (1.2.1) nhận đợc
z = r(cos + isin) (1.3.2)
Dạng viết (1.3.2) gọi là dạng lợng giác của số phức.

Từ định nghĩa suy ra
argz = arg(-z) = - , arg
z
= - và arg(-
z
) = -
x > 0, argx = 0 x < 0, argx =
y > 0, arg(iy) = /2 y < 0, arg(iy) = -/2 (1.3.3)

Ví dụ Cho z = 1 + i và z = 1 +
3
i
Ta có zz = [
2
(cos
4

+ isin
4

)][2(cos
6

+ isin
6

)] = 2 2 (cos
12
5
+ isin
12
5
)
z
100
= ( 2 )
100
[cos(100
4

e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n


Định lý (n, , ) ì 3 ì 3
1. e
i

0 e
i

= 1 = k2
i
e
= e
-i


2. e
i(

+

)
= e
i

e
i


(e
i


) sin

=
i
2
1
(e
i

- e
-i

) (1.3.6)
Công thức (1.3.5) gọi là công thức Moivre, công thức (1.3.6) gọi là công thức Euler.

Ví dụ Tính tổng C =

=

n
0k
kcos
và S =

=

n
0k
ksin



+
và S =
1cos
sinnsin)1nsin(
2
1






+ Số phức w gọi là căn bậc n của số phức z và kí hiệu là w =
n
z
nếu z = w
n

Nếu z = 0 thì w = 0
Xét trờng hợp z = re
i

0 và w = e
i


n
2

n

+ k
n
2
[2]
Từ đó suy ra định lý sau đây.

Định lý
Căn bậc n của số phức khác không có đúng n giá trị khác nhau
w
k
=
n
r
[cos (
n

+ k
n
2
) + isin(
n

+ k
n
2

-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w