Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: [email protected]
I.ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý do chọn đề tài:
Bồi dưỡng nhân tài, phát triển nguồn nhân lực là nhiệm vụ vô cùng quan
trọng mà Đảng và Nhà nước giao cho ngành Giáo dục. Vì lẽ đó Bộ Giáo dục &
Đào Tạo nói chung, các trường THPT nói riêng luôn quan tâm đến việc phát
hiện, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Trong những năm gần đây số lượng và chất
lượng giải trong các kì thi học sinh giỏi ngày càng tăng chính là kết quả của sự
đầu tư, quan tâm của các cấp quản lí giáo dục. Đối với môn Toán, một trong
những môn học quan trọng nhất thì việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi càng được
xem trọng hơn.
Chủ đề “Bất đẳng thức” là nội dung không thể thiếu trong việc bồi dưỡng
học sinh khá, giỏi. Trong các kì thì Đại học – Cao Đẳng, nội dung bất đẳng thức
thường là nội dung giúp phân loại, chọn lựa học sinh khá, giỏi. Đối với hầu hết
giáo viên và học sinh THPT đều xem “Bất đẳng thức” là nội dung khó dạy, khó
học nhất. Tuy nhiên nếu học sinh học tốt chủ đề “Bất đẳng thức” thì sẽ phát huy
tốt khả năng tư duy sáng tạo từ đó học tốt các chủ đề khác, môn học khác. Thực
tiễn qua quá trình dạy học tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh không thích học chủ
đề “Bất đẳng thức” chủ yếu do chưa có phương pháp học tập phù hợp cộng với
tâm lý ngại và sợ học nội dung này.
Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một trong những bất đẳng thức kinh điển của
Toán học. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki là một công cụ rất hay, hữu hiệu
để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến bất đẳng thức. Học sinh THPT thường
yếu ở kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki nên việc tăng cường rèn
luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức này cho học sinh là việc làm rất thiết thực.
Những lí do nêu trên cùng với những kết quả tích cực từ thực tiễn dạy học chủ
đề “Bất đẳng thức” của bản thân là cơ sở để tôi đã chọn đề tài nghiên cứu:
“Một số phương pháp giúp học sinh vận dụng tốt bất đẳng thức
Bunhiacôpxki trong giải toán”

1

b
.
7/ a > b > 0, n nguyên dương
n
a⇒
>
n
b
.
Hệ quả: a > b ≥ 0:
aba ⇔≥
22
≥
bab ≥⇔
.
8/ a > b, ab > 0
a
1
⇒
<
b
1
.
9/ + a > 1, m và n nguyên dương, m > n
m
a⇒
>
n
a
.

n
. khi đó ta có:
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ …+ a
n
b
n
)
2

≤
(a
1
2
+a
2
2
+ …+ a
n
2
)(b
1
2






ccc
bbb
aaa
n
n
n
,, ,

,, ,
,, ,
21
21
21
m dãy
Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
( )
m
nnn
cbacbacba

222111
+++
≤
( )
aaa

: b
2
:…: c
2
=…= a
n
: b
n
:…: c
n
Nhận xét: Bằng cách cho m;n một giá trị cụ thể ta thu được:
+ Với m=2; n=2 thì:
( )
2
2211
baba
+
≤
( )
aa
2
2
2
1
+
( )
bb
2
2
2


⇒
Dạng (2)
+ m=3; n=3 ta có:
( )
3
333222111
cbacbacba
++
≤
( )
aaa
3
3
3
2
3
1
++
( )
bbb
3
3
3
2
3
1
++
( )
ccc

tượng học sinh.
3.Giải pháp và tổ chức thực hiện.
Khi dạy học chủ đề “bất đẳng thức” cho học sinh tôi đã dành một phần thời
lượng chương trình để tập trung rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpxki cho học sinh. Tùy theo năng lực của mỗi học sinh cũng như tập
thể học sinh để tôi chuẩn bị giáo án phù hợp. Các bài tập để học sinh vận dụng
bất đẳng thức Bunhiacôpxki tôi soạn theo 3 mức đó là:
Mức độ 1: Dành cho học sinh đại trà, học sinh khá. Các bài tập này chủ
yếu dừng ở mức độ nhận biết, giúp học sinh bước đầu biết cách vận dụng lí
thuyết để giải bài tập.
Mức độ 2: Dành cho học sinh khá, giỏi. Các bài tập ở mức thông hiểu, để
giải được các bài tập này học sinh ngoài việc phải nắm trắc những kiến thức cơ
bản còn phải biết linh hoạt sử dụng nhiều kiến thức, kĩ năng toán học khác.
Mức độ 3: Dành cho những học sinh giỏi. Các bài tập ở mức cao hơn đòi
hỏi học sinh phải phát huy tốt tư duy toán học, để giải các bài tập này ngoài kiến
4
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: [email protected]
thức toán học vững vàng học sinh thường phải sử dụng nhiều hoạt động toán học
như phán đoán, phân tích, biến đổi, so sánh, tổng hợp, khái quát…
Với các mức độ bài tập như trên tôi đã áp dụng vào thực tiễn dạy học thông
qua những giải pháp cụ thể sau:
3.1.Giải pháp 1: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki
trong chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ 1: Bài tập ở mức độ 1.
Cho 3 số dương a, b, c với a, b
≤
c. Chứng minh:
cacbbca
≤−+−
)()(

x
x +++++
82
≥
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho các bộ số
)
1
;(
x
x
và (1; 9) ta có:
)
1
.(82)
9
(
2
22
x
x
x
x
+≤+
tương tự ta có:
)
1
.(82)
9
(

(9)(81 zyx
zyx
zyx
≥−++++
80)
111
)((3.9.2
zyx
zyx
162 - 80 = 82
⇒
đpcm
5
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: [email protected]
Ví dụ 3: Bài tập ở mức độ 3.
a. Cho a;b;c là ba số dương
Chứng minh rằng:
1
222
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a

N
Lời giải: a. Áp dụng bất đẳng thức (4)
Ta có (a+b+c)
3
=
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
).)2(.
2
.)2(.
2
.)2(.
2
( cbac
ba
c
bacb
ac
b
acba
cb
a

a
222 +
+
+
+
+
)(3
)(
2
acbcab
cba
++
++
≥

Hiển nhiên ta có : (a+b+c)
2
)(3 acbcab ++≥
do đó:

1
)(3
)(
2
≥
++
++
acbcab
cba


1 1.11 1.11 1.1
−
−−−
+++++++++
≤








+
+
++
+
++
+
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m

3.
−
−
+
++
m
m
qp
cba
(đpcm)
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi: a = b = c
Nhận xét: Việc tham số hoá trở lại thích hợp ta có một loại các bài toán mới:
m =1;p=1;q=1:
cb
a
+
+
ac
b
+
+
2
3
≥
+ ba
c
m=1; p = 1; q = 2:
cb
a
2+

ac
3
.
12
)(
2
abc
abc
cba
+
++
≥
p=q=1;m
∗
∈ N
:
1
3
.
2
3
−






++
≥

cba
ba
c ++
≥
+
b. Cho a,b,c>0 và
321
,, kkk
là các tham số dương
CMR:
ckbkak
cba
bka
c
akc
b
ckb
a
)1()1()1(
)(
132
2
3
2
2
2
1
2
+++++
++

b
cb
cb
a
cba≤
(
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
)
2
ba
c
+
.(b+c+c+a+a+b)
Hay
cb
a
+
2

+
++
+
++
+
=++
2
3
3
2
2
1
1
2
bka
bka
c
akc
akc
b
ckb
ckb
a
cba

8
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: [email protected]

≤


ckb
a
)1()1()1().(
132
3
2
2
2
1
2
+++++
+
+
+
+
+
Vậy

ckbkak
cba
bka
c
akc
b
ckb
a
)1()1()1(
)(
132
2

Cho a; b > 0 và a+b=
4
5
. Tìm Min của biểu thức: S =
+
a4
1
b
4
b. Bài tập mức độ 2.
Cho a;b>0; a-b=1 và X;Y>0; X+Y=
b
a
. Chứng minh rằng:
a
bYX
b
≥+
1
Lời giải:
a. Do a;b > 0 nên áp dụng bất đẳng thức (1) cho 2 dãy:

;
2
1
a

b
2
và

4
)(a+b)
Hay:
4
25
≤
(
+
a4
1
b
4
)
4
5
(vì a+b =
4
5
)
Suy ra: S=
+
a4
1
b
4
≥
5
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:



a
ba
ba
b
b
a
a

Vậy MinS = 5 khi a =
4
1
; b = 1
b. Vận dụng bất đẳng thức (1) cho 2 dãy:

;
1
bY
X
b
và
Y
;
X
ta được:

( )
b
b
2
1+

+
1
Hay:
( )
b
b
2
1+
≤

b
a
X
b
bY






+
1
(do a=1+b)
Suy ra:
a
bYX
b
≥+
1

YX
X
X
b
Y
bY
1
1
0;
::
1
Ví dụ 6 : Bài tập mức độ 3.
Cho x>1;y>2 và x+y=
6
25
Tìm giá trị nhỏ nhất của S =
2
6
)1(6
1
−
+
− yx
Lời giải: Ta có x+y=
6
25
⇒
(x-1)+(y-2)=
6
7







−
+
−
≤








−
−
+−
−
= yx
yx
y
y
x
x

Hay

−
−
3
6
7
2;1
6
25
6
1
2
1
y
x
yx
yx
y
x

Vậy MinS=7 khi x=
6
7
;y=3
11
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: [email protected]
3.3.Giải pháp 3: Rèn luyện kĩ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki để
giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 7 : Bài tập mức độ 1.
Giải phương trình:
141232532

:
5 2x−
) ta có:
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 3 5 2 1 1 2 3 5 2 2.2 4x x x x
 
− + − ≤ + − + − ≤ =
 
 

⇒

2 3 5 2 2 2 3 5 2 0x x Do x x
− + − ≤ − + − >
Dấu “=” xảy ra
2 3 5 2 2x x x
⇔ − = − ⇔ =

( )
2
3 2 2 2x
− + ≥
dấu”=” xẩy ra
⇔
x = 2
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2

 
− + − ≤ − + −
(ii)
(i)và (ii) xảy ra khi chỉ khi:
1 3x x
− = −

⇔
x
2
– 6x + 9 = x – 1

⇔
x
2
– 7x + 10 = 0
⇔
x = 2
hoặc x = 5
x = 2 không thoả mãn; x = 5 thoả mãn
vậy
{ }
5S
=
Ví dụ 9 : Bài tập mức độ 3.
Giải phương trình:
4
2 4 4 3
2 1x x x x
− − = −

dấu “=” xảy ra
2
2
1
x
x
⇔ =

2
1x
⇔ =
(i)
Mặt khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(
)
( )
⇔+−+≤+−
)2(112
2422
2
4
4
xxxx

(
)
(
)
( )
4 2

1 x

=
4
)1)(1( xx
+

2
1 x

+
2
1 x
+
(i)
=+
4
1 x
4
)1.(1 x
+

2
11 x
++
(ii)
4
1 x

=


3
Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi :
x
+
1
=
x

1
= 1

x=o
Kiểm tra lại ta thấy x=0 là nghiệm của phơng trình.
3.4.Gii phỏp 4: Rốn luyn k nng vn dng bt ng thc Bunhiacụpxki
khi gii mt s bi toỏn hỡnh hc.
Vớ d 11: Bi tp mc 2.
Cho elip (E) :
1
916
22
=+
yx
cỏc im M, N chuyn ng ln lt trờn cỏc tia
Ox, Oy sao cho MN luụn tip xỳc vi (E). Xỏc nh ta M, N on MN cú
di nh nht. Tỡm giỏ tr nh nht ú.
Li gii :
Phng trỡnh tip tuyn ti im
)();(
000

0
2
2
916
yx
MN +=
=
)
916
(
2
0
2
0
yx
+
.
)
916
(
2
0
2
2
0
2
yx
+
14
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: [email protected]

;
bac
b
−+ 22
;
cba
c
−+ 22
và
)22( acba
−+
;
)22( bacb
−+
;
)22( cbac
−+
ta có :
2222
)()444.( cbacbacabcabA ++≥−−−++
Bằng biến đổi tương đương dễ dàng chứng minh được :
1
444
)(
222
2
≥
−−−++
++
cbacabcab



≥
+
r
S
ba
c
15
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: [email protected]
Lời giải: Gọi p là nửa chu vi của tam giác và p=
2
cba ++
Ta có: S = p.r
r
S
p =⇒

⇒

2
cba
r
S ++
=

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

cb
a

+
3
+
ac
b
+
3
+
( )
2
3
.
6
1
cba
ba
c
++≥
+
(*)
Như vậy ta đã chuyển bài toán hình học sang bài toán chứng minh bất đẳng
thức, bất đẳng (*) được chứng minh như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki dạng (4) ta có:
=++
3
)( cba

≤



baaccb
ba
c
ac
b
cb
a
+++++
+
+
+
+
+
≤

⇔

⇔
≤++
3
)( cba
)).(.(6
333
cba
ba
c
ac
b
cb
a

DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi: a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều.
Từ dó suy ra điều phải chứng minh.
16
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: [email protected]
3.5.Một số bài tập áp dụng.
Bài tập 1: Giải phương trình:
2
6 3
3 2
1
x
x x
x x
−
= + −
− −
Bài tập 2:
4−x
+
6
−
x
=x
2
- 10x + 27
Bài tập 3:
Giải hệ phương trình:
2
2 2
6 3 1

−+ ca
c
bc
b
ab
a

Bài tập 6: Cho a;b;c>0.
CMR :
+
+1
2
3
ab
ba
+
+1
2
3
bc
cb
1
2
3
+
ca
ac
1
)(
+

≥
+ rR
abc
ba
c

Bài tập 8: Cho a;b;c>0.
17
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: [email protected]
CMR:
1
888
222
≥
+
+
+
+
+ abc
c
acb
b
bca
a

(Đề thi ÔLympic )

4. Kết quả thực nghiệm của đề tài.
Năm học 2012 – 2013 tôi đã áp dụng các giải pháp nêu trong đề tài vào thực
tiễn dạy học, cụ thể tại lớp 10 A3 – Trường THPT Yên Định 2 trong nội dung:

Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự giúp đỡ
đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đề tài đã hoàn
thành và đạt được những kết quả chính sau đây:
+ Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề “Bất đẳng thức”
hiện nay.
+ Đề tài đã đề xuất một số giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện kĩ năng
vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho học sinh khá, giỏi.
+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải pháp.
+ Đã đưa ra một số bài tập áp dụng theo các mức độ khó, dễ khác nhau phù
hợp với nhiều đối tượng học sinh.
Mặc dù tôi đã nhiều cố gắng xong thiếu xót, hạn chế của đề tài là không thể
tránh khỏi tôi rất mong nhận được những góp ý của các thầy cô giáo, các bạn
đồng nghiệp. Những góp ý đó sẽ là cơ sở để tôi hoàn thiện hơn đề tài nghiên cứu
của này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 16/05/2013
……………………………………… Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của
……………………………………… mình viết, không sao chép nội dung
……………………………………… của người khác.
……………………………………… Người thực hiện
Trịnh Hữu Thực
19
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: [email protected]
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại
học sư phạm.
2. Phạm Kim Hùng (2008), Sáng tạo bất đẳng thức, Nxb Hà Nội.
4. Pôlya. G (1976), Toán học và những suy luận có lý, Nxb Giáo dục.
5. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc

Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: [email protected]
III. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 15
Tài liệu tham khảo 16
22
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: [email protected]
23
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: [email protected]
24