Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:
A- ĐẶT VẤN ĐỀ:
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong chương trình toán đại số 9, các em học sinh đã được tiếp cận với
loại bài tập giải phương trình vô tỉ đa số là những bài tập đơn giản. Tuy nhiên
trong thực tế các bài toán đó rất phong phú và đa dạng mà chỉ có số ít các em
biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, thậm
chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày.
Hơn nữa trong chương trình sách giáo khoa đại số 9 hiện hành chỉ giới
thiệu một số ví dụ cơ bản về bài tập giải phương trình vô tỉ và không đưa ra
được phương pháp giải cho từng dạng bài, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng
rất hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này ít nên
trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra đưa ra được nhiều bài
tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực
tế, để biến đổi và giải chính xác bài toán giải phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh
phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng
lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục.
Do đó việc vận dụng các giải pháp để rèn luyện, phát huy năng lực sáng
tạo của học sinh là một việc cực kỳ cấp thiết. Tôi đã suy nghĩ, trăn trở về vấn đề
này và đã tìm được một số giải pháp có hiệu quả. Trong bài viết này, tôi xin
mạnh dạn trình bày một số giải pháp đó với mong muốn góp thêm một vài kinh
nghiệm nhỏ để dạy toán đạt hiệu quả tốt hơn. Đồng thời góp phần làm cho các
em học sinh yêu thích môn Toán hơn, nâng cao vị trí, vai trò của môn toán trong
nhà trường.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Từ lý do chọn đề tài như trên và từ cơ sở thực tiễn giảng dạy toán 9 ở
trường THCS AN TIẾN, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy, tôi đã
tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một đề tài sáng kiến
kinh nghiệm: “Một số phương pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương
trình vô tỉ’’.
III. GIỚI HẠN VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI:

luận logic, biết cách tổng kết sâu sắc các dạng toán. Đồng thời giúp các em phát
hiện hướng mở rộng, nâng cao nhằm gây hứng thú, tìm tòi, phát huy tính chủ
động sáng tạo… Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra một số giải pháp với mục đích
giúp cho học sinh THCS vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài
toán giải phương trình vô tỉ
Trong giới hạn của Sáng kiến kinh nghiệm, tôi hướng dẫn học sinh các
dạng thường gặp sau:

3
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:
* Dạng I: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản
1. Phương trình có dạng:
( )f x
= g(x) (1)
Để tìm được x thì bài toán trên quy về giải hệ:
Phương trình (1)
⇔
2
( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x
≥


=

Điều kiện g(x)

≥

=

Điều kiện f(x)
≥
0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (2). Chú ý ở
đây không nhất thiết phải đặt điều kiện đồng thời cả f(x) và g(x)

không âm vì
f(x) = g(x)
3 Phương trình có dạng:
( )f x k=
(k là hằng số) (3)
+) TH1 :nếu k =0 khi đó (3)
⇔
( ) 0f x =
( ) 0f x⇔ =
+) TH2: nếu k <0 khi đó phưong trình (3) vô nghiệm
+) TH3: nếu k >0 khi đó (3)
2
( )f x k⇔ =
4.Phương trình có dạng:
( )f x k=
(k là hằng số) (4)
2 2
( )
( )
f x k
f x k
⇔ =
⇔ =

(6) ( k
≥
0)
Phương trình (6)
⇔
( )f x k=
⇔
f(x) =
±
k
7. Phương trình có dạng: (
( ) ( )f x g x c+ =
(c là hằng số) (7)
+) TH1: nếu k <0: (7) vô nghiệm
+) TH2: nếu k=0, ta có:
( ) 0
( ) ( ) 0
( ) 0
f x
f x g x
g x
=

+ = ⇔

=


5
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:

điều kiện phương trình (8) :
( ) 0
( ) 0
( ) 0
f x
g x
h x
≥


≥


≥

sau đó bình phương hai vế của (8) ta có:
[ ]
2
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x h x
f x g x h x f x g x
f x g x h x f x g x
+ + =
⇔ = − −
⇔ = − −
9. Phương trình dạng :
( )
( )

( ) 0
( ) 0
P x Q x
Q x
P x
Q x
=
≥


=

⇔



=



• Dạng II: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ khác

6
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:
PPP
Loại này được thực hiện qua các ví dụ cụ thể.
II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI:
Học sinh đa số nhận thức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức. Khi
gặp các bài tập về giải phương trình vô tỉ chưa phân loại và định hình được
cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi, trong khi đó phương trình loại

thức
Phương
pháp đặt ẩn
phụ
Đưa
phương
trình về
dạng tích
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:
Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy:
1. Bài toán: Giải phương trình

2 3x
−
= x – 2. (1)
Học sinh thường giải như sau:
Điều kiện của phương trình (1) là x
≥

3
2
(*)
(1)
⇒
2x - 3 = x
2
- 4x + 4

⇒
x

điều kiện x
≥

3
2
là điều kiện cần và đủ.
2. Bài toán: Giải phương trình

2
5 6 7x x
+ −
=
3x
+
Khi gặp bài toán này học sinh thường đặt điều kiện
2
5 6 7 0
3 0
x x
x

+ − ≥

+ ≥


sau đó bình phương hai vế để giải phương trình.

8
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:

x
x
Nhận xét. Đây là một bài toán hết sức đơn giản nhưng nếu giải như
vậy thì đã mắc một sai lầm mà không đáng có. Rõ ràng x = - 4 không phải là
nghiệm của phương trình trên.
Chú ý rằng:








=
=
≥
⇔=
0
0
0
0
B
A
B
BA
ở đây đã bỏ qua mất điều kiện là: B ≥ 0 (x ≥ 2)
4. Bài toán: Giải phương trình
5
2

x
−
+ = + ⇔ + − = +
+

( )( ) ( )



++=−+
−≥
⇔



+=−+
≥+
⇔
44103
2
225
02
22
2
xxxx
x
xxx
x

9


<<−
>≥
=
0;0
0;0
.
BAkhiAB
BAkhiAB
B
A
B
Lời giải trên đã xét thiếu trường hợp A < 0; B < 0.
6.Bài toán : Giải phương trình:
2
9x
= 2x - 1
Học sinh thường giải như sau:
9x
2
= (2x - 1)
2

⇔
9x
2
= 4x
2
- 4x + 1
⇔

hằng đẳng thức để có cách giải đơn giản mà thường bính phương hai vế dẫn đến
giải phương trình đã cho phức tạp hơn.

10
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:
* Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng
dẫn chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào
cho hợp lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và
suy luận có logic tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm.
Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán
giải phương trình vô tỉ
III. MỘT SỐ GIẢI PHÁP:
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến
của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng gải quyết các vấn đề trên của học
sinh với những giải pháp: Đưa ra một số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ
năng khi biến đổi và giải phương trình vô tỉ
Dạng I: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạng cơ bản:
1. Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng:
( )f x
= g(x).

(1)
a. Phương pháp:
Giáo viên chỉ cho học sinh thấy được rằng khi bình phương hai vế để đi
đến phương trình tương đương thì hai vế đó phải không âm:
( )f x
= g(x)⇔

0)
Khi đó (1)
⇔
3x - 4 = (x - 3)
2

11
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:

⇔
x
2
- 6x + 9 = 3x - 4

⇔
x
2
- 9x + 13 = 0

9 29
2
9 29
2
x
x

+
=



-
1
3
(**)
Khi đó (2)
⇔
3x
2
- 2x - 1 = (3x + 1)
2⇔
3x
2
- 2x - 1 = 9x
2
+ 6x + 1

⇔
3x
2
+ 4x + 1 = 0
⇔
1
1
3
x
x
= −

− +
= t ; đk t
≥
0 , (***) .
Phương trình trở thành: t
2
- 5t + 4 = 0
⇔
1
4
t
t
=


=

(thoả mãn điều kiện (*** )
Với t = 1
⇔
2
4 12 11x x
− +
= 1

⇔
4x
2
- 12x + 10 = 0 phương trình này vô nghiệm.
Với t = 4

4
+
V x =
3 56
4
−

* Như vậy khi gặp các bài toán thuộc các dạng nêu trên học sinh chủ
động hơn trong cách đặt vấn đề bài giải: điều kiện phương trình là gì, đặt
cái gì, biến đổi như thế nào là biến đổi tương đương, biến đổi như thế nào là
biến đổi hệ quả, kết luận nghiệm cuối cùng dựa vào điều kiện nào.
2. Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng:
( ) ( )f x g x
=
(2)
a. Phương pháp:
Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện và biến đổi:

13
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:
(2)
⇔

( ) 0( ( ) 0)
( ) ( )
f x g x
f x g x
≥ ≥



⇔
x =
1
5
(thoả mãn với điều kiện*)
Vậy nghiệm của phương trình là x =
1
5
Lưu ý. Điều kiện x
≥

1
2
−
, (*) là điều kiện cần và đủ của phương trình
(1) nên ta chỉ cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối cùng của
phương trình.
+ Ví dụ 2. Giải phương trình

2
2 3 4x x
+ −
=
7 2x +
. (2)
Nhận xét. Biểu thức dưới dấu căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta
đặt điều kiện cho vế phải không âm.
Điều kiện: x
≥


2 5 2x x
+ = −
. (*)
Tóm tắt bài giải:
(*)



−=+
≥−
⇔−=+⇔
252
02
252
xx
x
xx

⇔



−=
≥
7
2
x
x
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
+ Ví dụ 4 : Giải phương trình:

⇔ − + =
=

⇔

=

Vậy phương trình có hai nghiệm x=2 hoặc x=4
3.Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng :
( )f x k=
(k là hằng số) (3)
a) Phương pháp giải:
+) TH1: Nếu k =0 khi đó (3)
⇔
( ) 0f x =
( ) 0f x⇔ =
+) TH2: Nếu k <0 khi đó phưong trình (3) vô nghiệm

15
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:
+) TH3: Nếu k >0 khi đó (3)
2
( )f x k⇔ =
b)Các ví dụ:
+Ví dụ 1: Giải phương trình :
5 0x − =
(1)
Giải
Nhận xét : do vế phải của (1) bằng 0 ,còn vế trái của (1)
5 0x − ≥

2 2 2
2
x
x
x
x
⇔ + = +
⇔ + = + +
⇔ =
⇔ =
Vậy
2x =
là nghiệm của phương trình
4.Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng:
( )f x k=
(k là hằng số) (4)

16
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:
a) Phương pháp giải: (4)
2 2
( )
( )
f x k
f x k
⇔ =
⇔ =
b) Các ví dụ:
+Ví dụ 1: Giải phương trình
2 3 4 4x + + =

x
x
x
x
⇔ − =
⇔ − =
⇔ =
⇔ =
⇔ =
Vậy x= 3 là nghiệm của phương trình
+Ví dụ 3: Giải phương trình
2
5 6x x+ =
(3)
Giải:
( ) ( )
2 2
2
2
2
(3) 5 6
5 6
5 6 0
1
6
x x
x x
x x
x
x

)()(
xf
xgxf
hoặc



<
−=
0)(
)()(
xf
xgxf
b. Ví dụ1:
Giải phương trình:
2
9x
= 2x – 1 ( Bài toán 6)
12312
2
)3( −=⇔−=⇔ xxxx










(loại) hoặc



<
=
0
51
x
x
(loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
+Ví dụ 2:Giải phương trình
2
6 9 3 1x x x+ + = −
(2)
Nhận xét:ta thấy biểu thức dưới dấu căn là hằng đẳng thức nên ta
không bình phương hai vế để mất dấu căn mà đưa về cách giải
dạng 5 rồi xét giá trị tuyệt đối
)
(
2
(2) 3 3 1
3 3 1
3 3 1 2
( )
3 3
3 3 1 1/ 2
( )
3 3

18
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:
kxf =)(
2
(6) ( k
≥
0)
( Đây là phương trình dạng đặc biệt của dạng 3)
a. Phương pháp:
Phương trình (6)
⇔
kxf =(

⇔
f(x) =
k±
b. Các ví dụ:
+Ví dụ1:
Giải phương trình:
614
2
4 =++ xx
( Bài toán 7)
6126
2
)12( =+⇔=+⇔ xx
⇔




x
x
⇔ =
⇔ =
⇔ = ±
Vậy
7x = ±
là nghiệm của phương trình
7.Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng:
( ) ( )f x g x c+ =
(c là hằng số) (7)
a) Phương pháp giải:
-Nếu k <0: (7) vô nghiệm
-Nếu k=0: ta có:
( ) 0
( ) ( ) 0
( ) 0
f x
f x g x
g x
=

+ = ⇔

=


19
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:
- Nếu k >0 thì buộc điều kiện

Giải:
Nhận xét: ta thấy vế trái của (1) :
2 3 0; 1 0
2 3 1 0
x x
x x
+ ≥ − ≥
⇒ + + − ≥
Còn vế phải =-5 <0 do đó phương trình (1) vô nghiệm
+Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
1 4 3 0x x x+ + + + =
(2)
2
1 0
2)
4 3 0
1
1
1
3
x
x x
x
x
x
x
+ =

⇔


3x⇔ ≤
(*)
Bình phương hai vế của (3)

20
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:
ĐK:
)
(
)
(
)
(
2
2 2
(3) 15 3 2 15 (3 ) 36
2 15 (3 ) 18 2
15 (3 ) 9 2
9
(15 )(3 ) (9 )
18 45 81 18
1
x x x x
x x x
x x x
x
x x x
x x x x
x


− ≥

⇔ − ≥


− = − + + −


≥
≥

⇔ ≥ ⇔ ⇔ =
 
− =


− =

vậy x=34 là nghiệm của phương trình
8.Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng :
( ) ( ) ( )f x g x h x+ =
(8)
a)Phương pháp giải:
điều kiện:
( ) 0
( ) 0
( ) 0
f x
g x

4 0
1 0
20 0
x
x
x
+ ≥


+ ≥


+ ≥

1x
⇔ ≥ −
Bình phương hai vế của (1) ta có:
2
5 8 4 5 4 20x x x x+ + + + = +
2
5 4 3x x x⇔ + + = − +
(2)
Điều kiện :
3 0 3x x− + ≥ ⇒ ≤
Tiếp tục bình phương hai vế của (2):
2 2
2 2
(2) 5 4 ( 3)
5 4 6 9
11 5


22
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail:
(3) 4 1 2 ( 4)(1 ) 1 2
5 2 ( 4)(1 ) 1 2
2 ( 4)(1 ) 2(2 )
( 4)(1 ) 2
x x x x x
x x x
x x x
x x x
⇔ + + − + + − = −
⇔ + + − = −
⇔ + − = − +
⇔ + − = − −
Đk:
2 0 2x x− − ≥ ⇔ ≤ −
Lại tiếp tục bình phương hai vế của phương trình trên sau khi đặt đk cho
vế phải ta có:
]
2
2 2
2
( 4)(1 ) ( 2)
3 4 4 4
2 7 0
0( ai)
7 / 2( )
x x x
x x x x

( )
f x
g x
≥
(
( ) 0g x ≠
)
2
( )
(9)
( )
f x
k
g x
⇔ =
2
( ) ( ).f x g x k⇔ =
b)Các ví dụ:Giải phương trình
2 3
2
1
x
x
−
=
−
(1)
Giải:
Điều kiện xác định của (1) là:
2 3


⇔ ⇔


<
− ≤




− <



với đk xác định trên ta biến đổi phương trình (1)
2 3
4
1
2 3 4( 1)
2 4
2
x
x
x x
x
x
−
⇔ =
−
⇔ − = −

2
2
2
2
(2) 3
2 3
3 2 0
1
( )
2
x
x
x x
x x
x
tm
x
+
⇔ =
⇔ + =
⇔ − + =
=

⇔

=


Vậy x=1 hoặc x=2 là nghiệm của phương trình
10. Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng:

(1)
Giải:
2 0
2
4 0
(1)
4( )
2( )
2 0
x
x
x
x loai
x tm
x
− ≥

≥



+ =

⇔ ⇔
= −

 


 


− ≥


=

 
⇔ ⇔
− + =

 

= −

 

− =




=


Vậy x=8 là nghiệm của phương trình
Dạng II:Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ khác:
1.Phương pháp phân tích biểu thức duới dấu căn thành nhân tử
+ Ví dụ 1. Giải phương trình:

25