BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH THÔNG
QUA
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Nguyễn Văn Cường Gv Thpt Mỹ Đức A –Hà Nội
Đt: 0127.2334598 Email : Cuongvan12 @ gmail.com
ĐỀ TÀI ĐƯỢC SGD HÀ NỘI XẾP LOẠI B NĂM 2010
Theo nhà toán học Khinsin : “ không có khái niệm nào khác có thể phán ánh
những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và thực tại như
khái niệm tương quan hàm ,không có một khái niệm nào có thể thể hiện được ở
trong nó những nét biện chứng của tư duy khái niệm toán học hiện đại như khái
niệm tương quan hàm.Thật vậy bản chất của vật chất là vận động,và sự vận động
diễn ra trong những mối tương quan nhất định. Với khái niệm hàm ,người ta
nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi sinh động của nó chứ không phải
trong trạng thái tĩnh tại ,trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải tách rời
nhau.Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và thể hiện rõ nét
tư duy biện chứng chính là ở chỗ đó .Chính vì vậy khái niệm hàm là một trong
những khái niệm cơ bản nhất của toán học;nó giữ vị trí trung tâm của môn toán
ở trường phổ thông ,toàn bộ việc giảng dạy toán ở nhà trường phổ thông đều
xoay quanh khái niệm này ”
( Trích : Phương pháp giảng dạy Toán Nguyễn Bá Kim –Nxb GD 1994)
Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy được hàng loạt các
công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát triển mạnh mẽ trong
hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt là môn toán .Ngày nay
trong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái niệm hàm đã ,đang được thể
hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng và xây dựng các khái niệm
khác .Trong các kỳ thi cấp quốc gia ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số
ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số
như là một công cụ đắc lực để giải toán như: Giải phương trình, bất phương trình
,tìm cực trị , Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thày và trò trong
các giờ lên lớp . Trong các giờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất
lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản

mong được sự Đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người yêu thích môn
toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường .Góp phần nâng cao
hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông.Giúp các em có phương pháp - kỹ năng khi
giải các bài toán liên quan đến hàm số trong các kỳ thi cuối cấp, đồng thời bước
đầu trang bị cho các em kiến thức về toán cao cấp trong những năm đầu học đại học.
Cùng với các đề tài : Ứng dụng nhị thức Newton vào giải toán ,các phương pháp
và kỹ thuật điển hình trong tính tích phân ,đã được Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
xếp loại B trong hai năm học 2007-2008,2008-2009 . Năm học 2009-2010 Tôi xin
giới thiệu đến các bạn đồng nghiệp và những người yêu toán đề tài :

Bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua giải phương trình
A- Lý thuyết
1. y = f(x) đồng biến trên (a, b)
( )
' 0f x⇔ ≥
với mọi x
∈
(a, b).
2. y = f(x) nghịch biến trên (a, b)
( )
' 0f x⇔ ≤
với mọi x
∈
(a, b).
3. y = f(x) đồng biến trên
[ ]
;a b
thì Min f(x) = f(a); Max f(x) = f(b)
4. y = f(x) nghịch biến trên
[ ]

đúng
x I∀ ∈

⇔
Max f(x)
m≤

x I∀ ∈
 BPT
( )f x m≥
có nghiệm
x I∈
⇔
max f(x)
m≥

x I∀ ∈
 BPT
( )f x m≤
có nghiệm
x I∈

⇔
Max f(x)
m≤

x I∀ ∈
•
Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên D thì phương trình f(x)= k nếu có nghiệm x=x
0

y = m.Nếu trên tập D hàm số y=f(x) đạt GTLN là L,GTNN là n thì phương trình
f(x)=m có nghiệm khi khi
n m l≤ ≤
•
Để sử dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình,ta cần thực hiện :
Tìm tập xác định của phương trình.Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng
một biểu thức nào đó.
•
Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến (nbiến) của hàm số để kết
luận nghiệm của phương trình.
•
Để học sinh có kiến thức vững để giải các bài toán dạng này yêu cầu học sinh
nắm vững một số kiến thức cơ bản sau:
Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số
y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với
đường thẳng y = m
•
Để giải các bài toán Tìm giá trị của tham số để phương trình
(hoặc bất phương trình ) có nghiệm ta thực hiện các bước sau
- Biến đổi phương trình về dạng f(x) =g(m)
- Tìm tập xác định của hàm số f(x)
Nguyễn Văn Cường THPT Mỹ Đức A -Hà Nội
3
-Tính f
’
(x)
Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền D
Tìm
( ), ( )
x D x D

Lg: Đk:
3
1
5
x ≥
,Đặt f(x)=
3
3
5 1 2 1x x x− + − +

f
’
(x)=
2
3 2
3
15 2
1
2 5 1 3 (2 1)
x
x x
= + +
− −
>0
∀
x
3
1
( ; )
5

, f
’
(x)=
2
3 2
3( 1) 1
0, ( 2;4)
2 4
2 3 6 16
x x
x
x
x x x
+ +
+ > ∀ ∈ −
−
+ + +
Nên hàm số đồng biến ,f(1)=
2 3
nên x=1 là nghiệm
VD3 : Giải phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2x x x x x x
+ − − + = − + − + +
Đk:
1
2
x ≥
Viết lại phương trình dưới dạng như sau


2 1 3
f x x x x
x
= + + > ∀ <
−
Nguyễn Văn Cường THPT Mỹ Đức A -Hà Nội
5
Vậy f(x) đồng biến với
1
3
x ≤
,f(-1) =0 nên x=-1 là nghiệm
VD5: Giải phương trình :
2 2
3 (2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0x x x x x+ + + + + + + =
(3)
Lg:
Trước khi vận dụng phương pháp hàm số ,ta xét cách giải sau của Thầy :
Nguyễn tất Thu :Gv THPT Lê Quý Đôn –Biên Hoà đồng Nai
(Đăng trên báo toán học và tuổi trẻ với chủ đề :Giải phương trình vô tỷ bằng
phương pháp đánh giá)
Viết lại phương trình dưới dạng
2 2
3 (2 (3 ) 3) (2 1)(2 [ (2 1) ] 3x x x x+ + = − + + − + +
Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm thoả mãn 3x.(2x+1)<0 hay
1
;0
2
x
 

3 2 1 0 3 2 1
2 5
x x x x x− < < − ⇒ < − − < ⇒ > +
nên ta có
2 2 2 2
2 (3 ) 3) 2 (2 1) 3 3 (2 (3 ) 3) (2 1)(2 [ (2 1) ] 3x x x x x x+ + > + + + ⇒ + + > − + + − + +
hay
2 2
3 (2 (3 ) 3) (2 1)(2 [ (2 1) ] 3 0x x x x+ + + + + − + + >
suy ra phương trình vô nghiệm
trên khoảng
1 1
;
2 5
 
− −
 ÷
 
.
•
với
1
0
5
x− < <
làm tương tự như trên ta thấy phương trình vô nghiệm trên
1
;0
5
 

⇔
3x=-2x-1
⇔
x=
1
5
−
Bình luận :

Nguyễn Văn Cường THPT Mỹ Đức A -Hà Nội
6
Qua hai cách giải trên chắc các thầy cô đều đồng ý với tôi là cách giải thứ hai
hay và tự nhiên hơn rất nhiều so với cách giải đầu .Tôi đã kiểm nghiệm phương
trình này trên hai lớp ôn thi đại học và không có học sinh nào giải theo cách giải
của thày Thu vì nó thiếu sự tự nhiên không có ‘ Manh mối ’ để tìm lời giải . Đây
là bài toán khó đối với học sinh,các em rất khó khăn trong việc sử dụng các
phương Pháp khác để giải phương trình này .Vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh
năng lực tư duy hàm là một việc làm rất cần thiết của người thày .Từ đó hình
thành ở học sinh Tư duy linh hoạt trong giải toán ,để học sinh có đủ ‘sức đề
kháng’ trước các bài toán lạ.
VD6 :Giải phương trình :
3 2 3 2
3 3
2 2 3 1 3 1 2x x x x x x− + − + = + + +
(1)
Lg:
Biến đổi (1)
3 33 3 2 2
2 3 1 2 3 1 2 2x x x x x x⇔ − + + − + = + + +
(*)

⇔
(2x+1)(x
2
-x-1)=0
1 1 5
;
2 2
x
 
±
 
⇔ ∈ −
 
 
 
VD7:Giải phương trình
2 2
3 3
3 3
2 2 1 2 1x x x x+ − + = − +

Lg:
Ta có
2 2 2 2
3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2x x x x x x x x+ − + = − + ⇔ + + + = + +
(*)
Xét hàm số f(t) =
3 3

+t dễ thấy f(t) đồng biến nên (*)
⇔
f(
3
6 1x +
)=f(2x)

3 3
3
1
6 1 2 8 6 1 4 3
2
x x x x x x⇔ + = ⇔ = + ⇔ − =
(1)
Nếu |x|>1 thì |
3
4 3x x−
|=|x||
4 3x −
| >
1
2
(1) vô nghiệm
Nếu
1x ≤
đặt x=cost
[ ]
0;t
π
∈

= = =
từ đó suy ra các ngiệm của phương trình
là
5 7
cos ; cos ; cos
9 9 9
x x x
π π π
= = =
Bình Luận:
Bài toán trên được giải dựa vào tính chất sau của hàm số :
f(t) đơn điệu thì f(t
1
)=f(t
2
)
⇔
t
1
=t
2
.Tuy nhiên mỗi bài toán trước khi áp dụng
được tính chất trên vào giải phương trình thì người giải toán cần phải biến đổi
,lột bỏ được cái nguỵ trang của bài toán ,đưa về dạng thích hợp có lợi cho việc sử
dụng công cụ giải toán .Muốn làm tốt được điều đó người thầy phải thường xuyên
chú trọng việc bồi dưỡng tư duy hàm cho học sinh
VD9: Giải phương trình
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
Lg: xét f(x)=

x >
,f(1)=0
Nên x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình
VD10 :Giải phương trình:
4 4
x 2 4 x 2− + − =
Đặt
( )
4 4
f x x 2 4 x= − + −
với
2 x 4≤ ≤
⇒
( )
( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1
f x
4
x 2 4 x
 
′
= −
 
− −
 
Ta có:
( )
f x 0 x 2 4 x x 3

3 3 3
2 1 2 2 2 3 0x x x+ + + + + =
Ta có:
2
3
,1,
2
1
;0
)32(
2
)22(
2
)12(
2
)('
3
2
3
2
3
2
−−−≠∀>
+
+
+
+
+
=
x

−∞− ,
2
3
2
3
,11,
2
1
2
1
,
Ta thấy f(-1)=0 ⇒ x=-1 là một nghiệm của (1). Ta có:
3)
2
3
(;3)
2
1
( −=−=− ff
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):
x
-∞
2
3
−
-1
2
1
−
+∞

 
Xét hàm số f(t)=t
3
+t, f
’
(t)=3t
2
+1>0
t R∀ ∈
hàm số đồng biến .nên ta có y=x+1
⇔

3 2
1 5
4 6 5 5;
2
x x x o x
 
− ±
 
− − + = ⇔ ∈
 
 
 
Bình Luận :
Một trong những ứng dụng mạnh và lý thú của hàm số là vận dụng vào việc
tìm Đk của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho
trước.Đây cũng là một trong những dạng toán quen thuộc mà học sinh hay gặp
trong câu V của các đề thi vào các trường đại học trong những năm gần đây .
VD 13 ( ĐH KA-08) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt

= − + − = +
− −
− −
Nhận thấy hai số hạng của f
’
(x) cùng dấu với nhau nên f
’
(x) =0
khi 6-2x=2x hay x=2
Bảng biến thiên :

x 0 2 6

f
’
(x) + 0 -

f(x)
9
3 2
2
+

4
2 6 2 6+

4
12 2 3+

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai ghiệm thực phân biệt Khi

 
+ + +
 ÷
 
ta có
'
2
2 2
11 28
1
2
4 28
y
x
x x
= − −
+

'
2
2 2
11 28
0 ( ) 1
2
4 28
y g x
x
x x
= ⇔ = − =
+

còn gây khó khăn cả trong việc giải phương trình y
’
=0 và xét dấu của đạo
hàm .Để giải được phương trình y
’
=0 và xét được dấu đạo hàm ở bài toán trên có
sự phục vụ rất lớn của đạo hàm .Ta có thể tiếp cận bài toán trên theo cáh khác
như sau :

2
0 0
11 7
lim lim( 4 1 )
2
x x
y x
x x
→+ →+
 
= + + + = +∞
 ÷
 
,
2
11 7
lim lim ( 4 1 )
2
x x
y x
x x

   
Dấu = xảy ra khi
3 7
3
1
x
x
x
= ⇔ =

Từ
11 1 7 3 9
3
2 2 2
x x
x x x
   
+ + + = + +
 ÷  ÷
   
Theo bất đẳng thức cô si ta có
3 9 3 15
6
2 2 2
x
x
+ + ≥ + =
Dấu bằng khi x=3
từ đó ta có
2

( )
12 2010 2009x x x m x x+ + = − + −
Nguyễn Văn Cường THPT Mỹ Đức A -Hà Nội
11
Lg:
Đk :
0 2009x≤ ≤
Viết lại phương trình dưới dạng :(
12x x x+ +
)(
2010 2009x x− − −
) =m
Xét hàm số f(x) =(
12x x x+ +
)(
2010 2009x x− − −
)
Ta có h(x) =
12x x x+ +
>0 và đồng biến trên
0 2009x≤ ≤
g(x)=
2010 2009x x− − −

có g
’
(x) =
1 1 2010 2009
2 2010 2 2009 2 2010 2009
x x

3 1x− ≤ ≤
Phương trình
⇔
(4 3 3 1 1) 3 3 4 1 1m x x x x+ + − + = + + − +
3 3 4 1 1
(4 3 3 1 1)
x x
m
x x
+ + − +
⇔ =
+ + − +
(2)
Vì
( ) ( )
2 2
3 1 4x x+ + − =
Nên ta đặt
2
2
2
2
3 2
1
1
1 2
1
t
x
t

m f t
t t t t t
+ − + +
− −
= = =
+ − + + − −
(3)
(1) có nghiệm
⇔
(3) có nghiệm t
∈
[ ]
0;1
có
( )
[ ]
2
2
2
52 8 60
( ) 0 0;1
5 16 7
t t
f t t
t t
+ +
′
= − < ∀ ∈
− −
7 9

−

− =

+


xuất phát từ vấn đề lượng giác hoá:
2 2 2
x y a+ =
ta đặt
asin
y=acos
x
α
α
=



tiếp tục đặt
2
2
2
2
1
tan
2
1
1

thường phải quy về giải bằng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai.Định lý
này trong chương trình sách giáo khoa mới đã giảm tải .Vì vậy phương pháp
hàm số là sự lựa chọn thích hợp nhất cho dạng toán này
Lg:
Đặt f(x)=
1 8 (1 )(8 )x x x x+ + − + + −'
1 1 7 2 8 1 7 2
( )
2 1 2 8 2 1 8 2 1 8 2 1 8
1 1
(7 2 )
2 1 8 ( 8 1 ) 2 1 8
x x x x
f x
x x x x x x x x
x
x x x x x x
− − − + −
= − + = +
+ − + − + − + −
 
= − +
 
+ − − + + + −
 
Mà
1 1

9
3 3 2
2
m≤ < +

Bình luận
:-Qua bài toán trên ta thấy việc xét được dấu của đạo hàm là mộ t khâu quan
trọng trong ứng dụng của hàm số ,đòi hỏi người giải toán phải rất linh hoạt trong
biến đổi .
-Ngoài cách trên học sinh còn có thể đề cập đến phương pháp lượng giác hoá
như sau:
Đk:
1 8x
− ≤ ≤
:Nhận xét
( ) ( )
2 2
1 8 9x x+ + − = ⇒
đặt
1 3sin
, 0;
2
8 3cos
x u
u
x u
π

+ =


2
+6t -9 trên D=
1; 2
 
 
,f
’
(t)=18t+6>0 trên
1; 2
 
 
Minf(t)=f(1)=6,Maxf(t)=f(
2
)=9+
6 2
.Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi

9
6 2 9 6 2 3 3 2
2
m m≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤ +
Một số bài toán phải sau quá trình biến đổi như đặt ẩn phụ thích hợp mới sử
dụng được phương pháp hàm số .Ta xét ví dụ sau :
VD18 :( ĐHKA-07) Cho phương trình
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
. (1)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Lg: Đk

x x
−
= − < ⇒ ∈
+ +
Bài toán trở thành tìm m đẻ hệ phương trình sau có nghiệm
2
( ) 3 2
0 1
f t t t m
t

= − + =

≤ <

Ta có f
’
(t)=-6t+2, f
’
(t)=0
⇔
t=
1
3
Bảng biến thiên
t 0
1
3
1
f

−
, tuy nhiên lúc đó điều kịên của ẩn phu sẽ thay đổi theo

1 2
1 1 [1; )
1 1
x
t
x x
+
= + > ⇒ ∈ +∞
− +
Từ đó ta lại được một hàm số mới vớí tập xác
định tương ứng .
-Một số phương trình sau khi đặt ẩn phụ thì việc tìm được điều kiện chuẩn
cho ẩn phụ đôi khi lại phải dùng đến việc khảo sát hàm số .Ta xét bài toán sau:
VD19 :Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 2nghiệm dương

2 2
4 5 4x x m x x− + = + −
( ĐH GTVT-2001) (1)
Lg:
Đặt t=
2
4 5x x− +
, t
’
(x)=
2
2

Tìm m để phương trình t
2
+t-5=m có nghiệm t
( )
1; 5∈
Ta có f
’
(t)=2t+1>0
∀
t
( )
1; 5∈
nên hàm số đồng biến .Ta có bảng biến thiên
t 1
5
f
’
(t) +

5
f(t)
-3
Từ bảng biến thiên ta có
3 5m− < <
VD 20 ( ĐH A-06):Chứng minh rằng với mọi tham số m dương thì
Nguyễn Văn Cường THPT Mỹ Đức A -Hà Nội
15
phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt
2
2 8 ( 2)x x m x+ − = −

Xét f(x)=
3 2
6 32x x+ −
với x>2, f
’
(x)=3x
2
+12x>0
(2; )x∀ ∈ +∞
Bảng biến thiên
x 2
+∞
f
’
(x) +

+∞
f(x) 0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với m>0 (1) luôn có 1 nghiệm x>2 .
VD21 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2
2 2( 4) 5 10 3 0x m x m x− + + + + − =
(*)
Lg:
2
(*) 2 2( 4) 5 10 3x m x m x⇔ − + + + = −
, Đk
3x ≥

2 5
.
x x
f x
x
x
x x
f x
x
x
− +
=
−
=

− +
⇔ = = ⇔

=
−

Bảng biến thiên
x -3 4
+∞ f
’
(x) - 0 +


Nếu
0x
≠ ⇒
m=
2
'
2
3 4 1 1 1 1
3 4 ( ), ( ) 3 0
2
x x
x g x g x x
x x x
+ −
= + − = = + > ∀ ≥ −
Nên g(x) luôn đồng biến .Ta có bảng biến thiên sau

x -1/2 0
+∞

g
’
(x) + +

+∞

+∞
g(x) 9/2
−∞
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm khi

+ ; Với x
≠
0 (1)
⇔

2
6x 9x
m
x
+ −
= −
. Xét hàm số :
f(x) =
2
6x 9x
x
+ −
trên
(
]
{ }
;3 \ 0−∞
có f
’
(x) =
2
2
9x
x
+

2
0 2
t t
m f t
t
t

− + +
= =

+


≤ ≤

Ta có f
’
(x)=
2
2
4
( 2)
t t
t
− −
+
,
Nguyễn Văn Cường THPT Mỹ Đức A -Hà Nội
17
Bảng biến thiên

'
2 3 2 2 3 2
3 3 4 3 3 4
( )
1 2 1 1 2 1
x x x x
f x x
x x x x x x
 
− + +
= − = − +
 ÷
− + + − + +
 
Xét hàm số g(x)=
3 2
2 1x x+ +
trên
1
;1
2
−
 
 
 
,g
’
(x) =3x
2
+4x=0 khi x=0

1 2 1
x
x x x
x x x
+
 
− + ≤ + ≤ + ⇔ ≤ + ≤ ⇒ + > ∀ ∈ −
 
 
− + +

Vậy f
’
(x)=0 khi x=0 .ta có bảng biến thiên

x -1/2 0 1
f
’
(x) + 0 -
1
f(x) -4
3 3 22
2
−
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi
3 3 22
4
2
m
−

2
=1+2
(1 )x x−
Đk:
0 1x≤ ≤
Đặt
( )
[ ]
'
1 1 1
1 , ( ) 0 0;1
2 2
(1 )
x x
t x x t x x
x x
− −
= − + = = ⇔ = ∈
−
Lập bảng biến thiên ta có
1 2t≤ ≤
Bài toán quy về tìm m để phương trình g(t)= 2t
3
-t
2
=2m+1 trên
1; 2
 
 
g

2 2
(*) 1 3 0
2 1 2 1
x x
m
x x
⇔ − − =
+ +
Đặt
2
4 4
2 1 1 1 1
, 0 0;
1
2 1
2 2
1
2
2
2
x
t t t
x
x
x
x
x
 
= = ≤ = ≥ ⇒ ∈
 

1 1 2 2 1
0; , ( ) (3 ) 0 0;
3
2 2
t f t t
t t
   
∈ = − = ⇔ = ∈

  
   
Bảng biến thiên
t 0 2/3
4
1
2
Nguyễn Văn Cường THPT Mỹ Đức A -Hà Nội
19
f
’
(t)

+∞

4
2 3 2−
f(t)
9
4
−

x x x x
m m
x x x x
+ + + +
− = ⇔ − =
mà
2
4
2 1 1
2
2 2
x
x
x x
+
= + ≥
(BĐT Cô si)
Đặt t=
2
2 1
2
x
x
+

(
4
2 :t

∈ +∞

4
2
0 3/2
+∞

f
’
(t) - 0 +

4
2 3 2−

+∞

+∞
f(t)
9
4
−

−∞

Dựa vào bảng biến thiên ta vẫn tìm được
9
4
m = −
hoặc
4
2 3 2m > −
thoả mãn

4x
x
−
=0
⇔
x=2
0
lim ( ) , lim ( )
x
x
f x f x
+
→+∞
→
= +∞ = +∞
( )
0;
f( ) (2) 4 2Min x f t
+∞
⇒ = = ⇒ ≥
Khi đó (1) trở thành
( )
2 2
'
2
2 2 3
( ) .(t 2), ( ) 0 3
1
1
t t t t

4
3t t m+ − =
(*)
Nhận thấy với mỗi nghiệm không âm của phương trình (*) có đúng một nghiệm
của phương trình đã cho .Do đó phương trình đã cho có đúng một nghiệm khi
phương trình (*) có đúng một nghiệm
Xét hàm số
4
4
( ) 3 , 0f t t t t= + − ≥
ta có
3
'
4
4 3
4
( ) 1 0. (0) 3, lim ( ) 0
( 3)
x
t
f t f f t
t
→+∞
= − < = =
+
Bảng biến thiên t 0 +
∞
f
’
(t) -

4 16 4 16 0x x m x x m⇔ + + = ⇔ + + − =
Đặt f(x) =
4
4 16x x m+ + −
,f
’
(x) = 4(x
3
+1), f
’
(x) =0
⇔
x=-1
Bảng biến thiên

x -
∞
-1 +
∞

f
’
(x) - 0 +
f(x) -
∞
+
∞
m-19
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm thoả mãn x
1

t t t
f t t f t t
t t t
− ≤ ≤ − ≤ ≤
 
 
= ≤ ≤ ⇔ = ≤ ≤
 
 
− ≥ ≥
 
Bảng biến thiên
t 0 1 3
f
’
(t) - +
+
∞

4
f(t)
2 2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
2 m< ≤
4 thoả mãn yêu cầu
Bài tập tương tự :
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1 6 8 1 6 8
6
x m

≤ ≤
77 100m
hoặc
< ≤
19 28m
VD32 : Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm

4
4
13 1 0x x m x− + + − =
(*) (Dự bị B-07)
Lg:

4
4
3 2
1
(*) 13 1
4 6 9 1 (1)
x
x x m x
x x x m
≤

⇔ − + = − ⇔

− − − = −

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường thẳng y=-m cắt đồ thị hàm số
Nguyễn Văn Cường THPT Mỹ Đức A -Hà Nội


-1/2 1
f(x) + 0 -
3/2
f

(x) -

-12
T bng bin thiờn ta cú
3 3
2 2
12 12
m m
m m

= =



< >

Tho món yờu cu bi toỏn
VD 33 Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

2 2
1 1x x x x m+ + + =
Lg: Xét hàm số
2 2
1 1y x x x x= + + +

+ + +
2 2
2
lim lim 1; lim 1.
1 1
x x x
x
y y
x x x x
BBT

x
- +
y +
y 1
-1
Vậy phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1.
VD34: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực
+ = +2 1x x m
Giải:
Đặt
1; 0t x t= +
. Phơng trình đã cho trở thành:
Nguyn Vn Cng THPT M c A -H Ni
23
2t=t
2
-1+m m=-t
2
+2t+1


( ) ( )
3 tan 1 sin 2cos sin 3cosx x x m x x+ + = +
( *)
Hd: Cô lập tham số ,đặt tanx=t
2
3 1
3
t
t m
t
+
⇒ + =
+
( Đs: m>2)
www.vnmath.com
II-Phương trình mũ
Để giải một phương trình mũ thì có nhiều phương pháp khác nhau để tiếp cận
lời giải .Bài viết này tôi chỉ đề cập đến một góc nhỏ ,đó là nhìn từ quan điểm hàm
Nguyễn Văn Cường THPT Mỹ Đức A -Hà Nội
24
số để tiếp cận lời giải một số phương trình, mà theo quan điểm riêng của tôi nếu
tiếp cận theo hướng khác thì rất khó .
VD35 : Giải phương trình sau
2
2 2
1 1 2
1 1
2 2
2

2 2
x x x x
x x x x
x x
x x x
− − − −
−
 
− −
− = − ⇔ − =
 ÷
 

2
2 2
1 1 2
2
2 2
1 1 1 1 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
− −
 
− −
 
⇔ + = +

VD 36 : Giải phương trình sau
2 2 3
3cos 4cos
2 2 7cos3
x x x x
x
+ +
− =
Lg:
Biến đổi phương trình như sau

2 2 3 2 2 3
3cos 4cos 3cos 4cos 3
2 2 7cos3 2 2 7(4cos 3cos )
x x x x x x x x
x x x
+ + + +
− = ⇔ − = −

( ) ( )
2 2 3
3cos 2 4cos 2 3
2 7 3cos 2 7 4cos
x x x x
x x x x
+ +
⇔ + + = + +
(*)
xét hàm số
'

− =
+
Lg:
Đk
{ }
| 0; 3D R= −
,
Biến đổi phương trình như sau

Nguyễn Văn Cường THPT Mỹ Đức A -Hà Nội
25