 Thay các số liệu và đặt phản lực liên kết thay cho các gối tựa, ta có hình sau:
 Xác định phản lực tại các gối tựa:
- Theo các điều kiện cân bằng ta có:
+ Tổng lực theo phương ngang bằng 0:
0 0
B
X H
= ⇔ =
∑
+ Tổng momen đối với điểm B bằng 0:
/ 0 1,5 2 1 2 0
D
M B P q M V
= ⇔ × + × × + − × =
∑
2 12 1,5 4 2 1 4 15
D D
V V
⇔ = × + × × + ⇔ =
kN
+ Tổng momen đối với điểm D bằng 0:
/ 0 3,5 2 1 2 0
B
M D P q M V
= ⇔ × − × × + + × =
∑
2 12 3,5 4 2 1 4 19
B B
V V
⇔ = − × + × × − ⇔ = −
kN

(1)
( )
x
M z
.
- Viết điều kiện cân bằng đối với phần thanh được giữ lại:
(1)
( ) 0
z
Z N z
= =
∑
(1)
( ) 0
y
Y Q z P= − =
∑
(1)
1
/ ( ) 0
x
M k M z Pz
= − =
∑
Suy ra:
(1)
( ) 0
z
N z =
(1)

Tương tự, ta có:
(2)
( ) 0
z
Z N z= =
∑
(2)
( ) ( 1,5) 0
y B
Y Q z P V q z= − + + − =
∑
( )
( )
2
(2)
2
1,5
/ ( ) 1,5 0
2
x B
z
M k M z Pz V z q
−
= − + − + =
∑
Suy ra:
(2)
( ) 0
z
N z =

(3)
( )
y
Q z
và
(3)
( )
x
M z
.
Trang 3
Tương tự, ta có:
(3)
( ) 0
z
Z N z
= =
∑
( )
(3)
( ) 3,5 0
y D
Y Q z q z V= − − + =
∑
( )
( )
2
(3)
3
3,5

= − + −
 Phân tích các biểu thức nội lực:
(1) Đoạn AB:
+ N
z
không tồn tại trong toàn đoạn.
+ Q
y
là hằng số: Q
y
= P = 12 kN
+ M
x
là đường bậc nhất:
(1)
( )
x
M z Pz=
Tại A (z = 0), ta có:
(1)
(0) 0
x x
M M
= =
Tại B (z = 1,5), ta có:
(1)
(1,5) 12 1,5 18
x x
M M= = × =
kNm

( )
2
(2)
1,5
( ) 1,5
2
x B
z
M z Pz V z q
−
= − − −
Tại B (z = 1,5), ta có:
(2)
(1,5) 12 1,5 18
x x
M M= = × =
kNm
Tại C (z = 2,5), ta có:
( )
( )
2
(2)
2,5 1,5
(2,5) 12 2,5 19 2,5 1,5 4 9
2
x x
M M
−
= = × − − − =
kNm

+ N
z
không tồn tại trong toàn đoạn.
+ Q
y
là đường bậc nhất:
( )
(3)
( ) 3,5
y D
Q z q z V
= − −
Tại C (z = 2,5), ta có:
( )
(3)
(2,5) 4 3,5 2,5 15 11
y y
Q Q= = − − = −
kN
Tại D (z = 3,5), ta có:
(3)
(3,5) 15
y y
Q Q= = −
kN
+ M
x
là đường cong bậc hai:
( )
( )

(3)
( ) 3,5 3,5 4 15
3,5 0 0,25
4
x D
D
dM z q V
q z V z
dz q
− × −
= − − = ⇔ = = = −
m
Trang 5
Vậy cực trị nếu có cũng không thuộc đoạn CD.
2 (3)
2
( )
0
x
d M z
q
dz
= − <
Vậy bề lõm của M
x
quay về phía âm của biểu đồ.
So sánh các M
x
với nhau ta kết luận, M
x

0 0
D
X H= ⇔ =
∑
+ Tổng momen đối với điểm D bằng 0:
1 5 1 5
/ 0 1 0
2 3 2 3
o D D o
M D M q P M M M q P= ⇔ − × × + × + = ⇔ = − + × × −
∑
1 5 28
8 8 8
2 3 3
D
M⇔ = − + × × − = −
kNm
+ Tổng lực theo phương đứng bằng 0:
1 1 1
0 0 8 8 4
2 2 2
o D D o
Y q P V V q P= ⇔ − + + = ⇔ = − = × − = −
∑
kN
 Chia đoạn:
- Thanh chia thành 3 đoạn AB, BC và CD. Ta có hình như bên dưới:
Trang 8

Viết biểu thức nội lực cho từng đoạn thanh:

(1)
( ) 0
y
Y Q z
= =
∑
(1)
1
/ ( ) 0
x
M k M z M= − =
∑
Suy ra:
(1)
( ) 0
z
N z =
(1)
( ) 0
y
Q z =
(1)
( )
x
M z M
=
Trang 9
(2) Đoạn BC: Xét mặt cắt 2-2 với z bất kì (
0,5 1,5z≤ ≤
). Giữ lại phần thanh bên

y D
q z z
Y Q z P V
− −
= − + − =
∑
Với:
( )
2,5 1
( ) 1,5
1
o o
z
q z q q z
− −
= = −
( ) ( )
( )
( )
(2)
2
2,5 1 2,5 1
/ ( ) ( ) 2,5 1
2 3
2,5 0
x D
D
z z
M k M z q z P z M
V z

q z
M z P z M V z
−
= − + − + − −
Trang 10
(3) Đoạn CD: Xét mặt cắt 3-3 với z bất kì (
1,5 2,5z
≤ ≤
). Giữ lại phần thanh
bên phải mặt cắt 3-3 và đặt vào trọng tâm O
3
của mặt cắt đó các thành phần nội
lực:
(3)
( )
z
N z
;
(3)
( )
y
Q z
và
(3)
( )
x
M z
.
Tương tự, ta có:
(3)

M z M V z
= − −

Phân tích các biểu thức nội lực.
(1) Đoạn AB:
+ N
z
không tồn tại trong toàn đoạn.
+ Q
y
không tồn tại trong toàn đoạn.
+ M
x
là hằng số với:
(1)
( ) 8
x x
M M z M= = =

kNm
(2) Đoạn BC:
+ N
z
không tồn tại trong toàn đoạn.
Trang 11
+ Q
y
là đường cong bậc 2:
( )
2

y y
Q Q
−
= = − + = −

kN
Xét cực trị của đường cong:
( )
(2)
( )
1,5 0 1,5
y
o
dQ z
q z z
dz
= − − = ⇔ =

m
Như vậy, điểm cực trị sẽ nằm trong đoạn BC, tại C (z = 1,5).
2 (2)
2
( )
0
y
o
d Q z
q
dz
= >

−
= = − + − + − − =

kNm
Tại C (z = 1,5), thì:
( )
( ) ( )
3
(2)
8 1,5 1,5
28 16
(1,5) 8 1,5 1,5 4 2,5 1,5
6 3 3
x x
M M
−
= = − + − + − − =

kNm
Vì trong đoạn BC, lực cắt Q
y
tại điểm B (z = 0,5) bằng 0 nên biểu đồ M
x
đạt cực
trị. Mặt khác, lực cắt Q
y
phân bố trong đoạn này luôn âm nên đường biểu diễn
M
x
quay bề lõm về phía trên.


kNm
Tại D (z = 2,5), ta có:
( )
(3)
28 28
(2,5) 4 2,5 2,5
3 3
x x
M M= = − − =

kNm
- Với những phân tích trên, ta tiến hành vẽ biểu đồ nội lực.
 Biểu đồ nội lực.
Trang 13
 Nhận xét:
+ Đoạn AB lực cắt không tồn tại  momen uốn là hằng số. Đoạn CD lực cắt là
hằng số  momen uốn là đường bậc nhất.
+ Đoạn BC có lực phân bố là đường bậc nhất  lực cắt là đường bậc hai 
momen uốn là đường bậc ba.
+ Tại C có lực tập trung P = 8 kN nên biểu đồ lực cắt có bước nhảy.
+ Tại A có momen tập trung M = 8 kNm nên biểu đồ momen uốn có bước nhảy.
Trang 14
 Thay các số liệu và đặt phản lực liên kết thay cho các gối tựa, ta có hình sau:
 Tính các phản lực H
A
, H
E
và V
D

3 3
2 2
A E
H H= − = − = −
kN
 Chia đoạn.
Chia khung thành 4 đoạn AB, BC, CD, và CE như hình bên dưới:
 Viết biểu thức nội lực cho từng đoạn thanh.
(1) Đoạn AB: Xét mặt cắt 1-1với tọa độ z bất kì (
0 1z≤ ≤
). Giữ lại phần thanh
bên trái mặt cắt 1-1 và đặt vào trọng tâm O
1
của mặt cắt đó các thành phần nội
lực:
(1)
( )
z
N z
;
(1)
( )
y
Q z
và
(1)
( )
x
M z
.

( )
y
Q z qz= −
2
(1)
( )
2
x
z
M z q
= −
(2) Đoạn BC: Xét mặt cắt 2-2 với z bất kì (
1 2z≤ ≤
). Giữ lại phần thanh bên
trái mặt cắt 2-2 và đặt vào trọng tâm O
2
của mặt cắt đó các thành phần nội lực:
(2)
( )
z
N z
;
(2)
( )
y
Q z
và
(2)
( )
x

N z H=
(2)
( )
y
Q z P qz
= −
Trang 17
( )
2
(2)
( ) 1
2
x
z
M z P z q
= − −
(3) Đoạn CD: Xét mặt cắt 3-3 với z bất kì (
2 3z
≤ ≤
). Giữ lại phần thanh bên
phải mặt cắt 3-3 và đặt vào trọng tâm O
3
của mặt cắt đó các thành phần nội lực:
(3)
( )
z
N z
;
(3)
( )

z
N z =
(3)
( )
y D
Q z V=
( )
(3)
( ) 3
x D
M z V z
= − −
(4) Đoạn EC: Xét mặt cắt 4-4 với z bất kì (
0 1z≤ ≤
). Giữ lại phần thanh phía
dưới mặt cắt 4-4 và đặt vào trọng tâm O
4
của mặt cắt đó các thành phần nội lực:
(4)
( )
z
N z
;
(4)
( )
y
Q z
và
(4)
( )

N z =
(4)
( )
y E
Q z qz H= −
2
(4)
( )
2
x E
z
M z q H z
= −

Phân tích các biểu thức nội lực.
(1) Đoạn AB:
+ N
z
là hằng số trong toàn đoạn với
(1)
57
( )
2
z z A
N N z H= = =
kN
+ Q
y
là đường bậc nhất:
(1)

x x
M M
= =
Tại B (z = 1) 
(1)
3
(1)
2 2
x x
q
M M
= = − = −
kNm
Xét cực trị của đường cong:
(1)
( )
0 0
x
dM z
qz z
dz
= − = ⇔ =

Như vậy, điểm cực trị sẽ nằm trong đoạn AB, tại A (z = 0).
2 (1)
2
( )
0
x
d M z

Q Q
= = − =

kN
Tại C (z = 2) thì:

(2)
(2) 18 3 2 12
y y
Q Q
= = − × =

kN
+ M
x
là đường cong bậc hai:
( )
2
(2)
( ) 1
2
x
z
M z P z q
= − −
Tại B (z = 1) 

( )
(2)
1 3

Như vậy, điểm cực trị nếu có sẽ không nằm trong đoạn BC.
2 (2)
2
( )
0
x
d M z
q
dz
= − <
Như vậy bề lõm của M
x
sẽ quay về phía âm của biểu đồ.
(3) Đoạn CD:
+ N
z
không tồn tại trong toàn đoạn.
+ Q
y
là hằng số với:
(3)
( ) 12
y y D
Q Q z V= = =

kN
+ M
x
là đường bậc nhất:
( )

Q z qz H= −
Tại E (z = 0) thì:

(4)
63
(0)
2
y y
Q Q= = −

kN
Tại C (z = 1) thì:

(4)
63 57
(1) 3 1
2 2
y y
Q Q= = × − = −

kN
+ M
x
là đường cong bậc hai:
2
(4)
( )
2
x E
z

sẽ quay về phía dương của biểu đồ.
- Với những phân tích trên, ta tiến hành vẽ biểu đồ nội lực.
 Biểu đồ nội lực.
Biểu đồ lực cắt Q
y
và momen uốn M
x
được biểu diễn ở bên dưới.
Trang 22
Xét cân bằng tại nút C:
Ta thấy rằng, nút C đã cân bằng.
 Nhận xét:
+ Đoạn CD không có lực phân bố  lực cắt là hằng số  momen uốn là đường
bậc nhất. Đoạn AC và EC có lực phân bố đều  lực cắt là đường bậc nhất 
momen uốn là đường cong bậc hai.
Trang 23
+ Tại B có lực tập trung  biểu đồ lực cắt có bước nhảy. Tại C có momen tập
trung  biểu đồ momen uốn có bước nhảy.
 Đặt số liệu, hệ trục tọa độ và kí hiệu các mặt phẳng chứa các thanh.
Ta thực hiện việc chia các mặt cắt theo các mặt phẳng, sẽ có được như hình bên
dưới.
Trang 24
 Viết các biểu thức nội lực (chỉ xét lực dọc N
z
, momen uốn M
x
và momen xoắn
M
z
).