Chương 3

CHUỖI FOURIER
VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER
Nội dung
•
Một số dạng tín hiệu quan trọng
•
Khái niệm hàm tuần hoàn
•
Chuỗi Fourier
•
Tích phân Fourier – Biến đổi Fourier
•
Phân tích phổ tín hiệu
Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng

Tớn hiu xung vuụng gúc (t)

Hm dc (Ramp function)

Hm bc nhy n v u(t)

Hm xung lc n v

Tớn hiu Sgn(t)

Tớn hiu xung tam giỏc

Hm m suy gim


1

2
1
1
0
)()( ttx =







<
>
==
2
1
t, 1
2
1
, 0
)()(
t
ttx
c
0
)(.)(
b



<

=
at
att
atr
,0
,
)(
K
1

Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng
Hm bc nhy n v u(t)
0
)(tu
1
1/2



<
>
===
0t, 1
0t, 0
)(1)()( ttutx
0





;)(.)(.

)(
)(1
)(1)()( t
dt
td
ttud
t
o

===

x(t). (t) = x(0).(t)
x(t).(t t
0
) = x(t
0
). (t t
0
)
)0()().( xdtttx =






x(t)*(t - t
0
) = x(t-t
0
)
Hm xung lc n v
1
(t)
0
t
1)(
0t,
0t, 0
)(
=



=

=



dtt
t




0
Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng
Tớn hiu Sgn(t) Tớn hiu xung tam giỏc
1
1
0
)tSgn()t(x
=
t





<
=
>
==
0t,1
0t,0
0t,1
)t(Sgn)t(x
t
1
1
1
0
)()( ttx =



0;)(1)1()( >=



tetx
t
x(t)
0
X
Hm m suy gim Hm m tng dn
Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng
0,
2
.)( >













=



2



0
X
Xung hm m Tớn hiu xung cosin
Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng
Tớn hiu sin suy gim theo hm m
Tớn hiu Gausse
|
|
-1
1
1
2
)(
t
etx


=
2
t
e)t(x

=
X
-X
-t

Cp phõn b (t) chn l






++= )
2
1
()
2
1
(
2
1
)(|| ttt







+= )
2
1
()
2
1

Tớnh cht phõn b lc
( )


=
=
n
ntnxttx )().().(

( )


=
=
n
ntxttx )()(
( ) ( )
tt =
( ) ( )
tnt =+


=
=







t
. . . .
. . . .
2
T
T
T
2
T

)(tx
0
t
. . . . . .
T
X
2T
-T
-T

Moọt soỏ daùng tớn hieọu quan troùng
Tớn hiu Sinc
Tớn hiu Sinc
2

Sinc(t)
1
0
0









=

==
0,1
0,
sin
)()(
0
0
0
t
t
t
t
tSinctx



Sinc
2
(t)
1
0

=

==
0,1
0,
)(
sin
)(
2
0
0
2
0
2
t
t
t
t
tSinctx



Ví dụ
Khaựi nieọm haứm tuan hoaứn
Khỏi nim Lu ý

Khụng phi tt c cỏc hm tun hon u cú
chu k c bn

Nu = n2/2p thỡ 2/ = 2p/n l chu k c bn

nxbnxa
a
p
xn
b
p
x
b
p
x
b
p
xn
a
p
x
a
p
x
aa
p
xn
b
p
xn
aa
nn
n
nn
ππππππ

+
ndt
p
tn
a
π
0sin )(
2pd
d
=
∫
+
dt
p
tn
b
π
nmdt
p
tn
p
tm
c ≠=
∫
+
;0cos.cos )(
2pd
d
ππ
0;cos )(

∫
+
;0sin.sin )(
2pd
d
ππ
0;sin )(
2pd
d
2
≠=
∫
+
npdt
p
tn
g
π
Định lý Dirichlet
•
Nếu f(t) là hàm tuần hoàn, bị chặn và có một số điểm xác định không liên tục trong một chu kỳ của
nó thì khi đó chuỗi Fourier của f(t) sẽ hội tụ đến f(t) tại tất cả những điểm mà f(t) liên tục. Còn tại
những điểm mà f(t) không liên tục, chuỗi Fourier của nó sẽ hội tụ đến giá trị trung bình của giới
hạn trái và giới hạn phải của f(t) tức nếu tại điểm t=t
0
hàm số bị gián đoạn thì:
2
)()(
2
)(lim)(lim

++=
1
0
sincos
2
1
)(
n
nn
p
tn
b
p
tn
aatf
ππ













==

tf
p
b
dt
T
tn
tf
T
dt
p
tn
tf
p
a
dttf
T
dttf
p
a
2
2
2
0
2
sin)(
2
sin)(
1
2
cos)(

−
=
p
p
n
dt
p
tn
tf
p
a
π
cos)(
1
∫
−
=
p
p
n
dt
p
tn
tf
p
b
π
sin)(
1
Ví dụ

dttf
p
dttf
p
a
0
0
).(
2
).(
1
∫∫
==
−
pp
p
n
dt
p
tn
tf
p
dt
p
tn
tf
p
a
0
cos)(