Trêng THPT Ng« QuyÒn GV: Hµ C«ng Th¬
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A / Lý thuyết:
•Nếu
,lim 0 lim 0
n n n n
u v n v u< ∀ = ⇒ =
•
lim c c=
•
lim lim
n n
u L u L= ⇒ =
•
3
3
lim lim
n n
u L u L= ⇒ =
;
•
lim , 0 0,lim
n n n
u L u n L u L= > ∀ ⇒ > =
•
2
1
1 1 1
...
1
u

lim 0
k
c
n
=
3
lim ; lim ; lim ; n n n= +∞ = +∞ = +∞
lim
n
q = +∞
nếu
1q >
;
*
lim ,
k
n k N= +∞ ∈
lim
n
u = ±∞
,
lim
n
v = ±∞ lim
n
u = ±∞
,
lim 0
n
v L= ≠ lim 0

u
v
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
+
−
+
−
+∞
−∞
−∞
+∞
+
+
−
−

3
4
lim
5 8
n
n n
+
+ +
4.
( ) ( )
( )
3
2 1 3 2
lim
6 1
n n n
n
+ +
+
5.
2
1
lim
2
n
n
+
+
6.
2

( )
2
3
2 1 3 2
lim
6 1
n n n
n
+ +
+
Bài 2 tìm các giới hạn sau:
1.
2
1
lim
2 3
n
n
+
+
2.
2 1
lim
2 2
n
n
+
+ +
ds2
3.

3
2
1 1
lim
3 2
n
n
+ −
+ −
7.
3
2 3
2
1
lim
1 3
n n n n
n n
+ + +
+ +
Bài 3 tìm các giới hạn sau:
1.
( )
lim 1n n+ −
ds0
2.
(
)
2 2
lim 5 1n n n n+ + − −

8.
( )
3 3
lim 1n n− +
ds0
9.
3
3
2
1
lim
1
n n
n n
+ −
+ −
10.
(
)
3 3 2 2
lim 3 1 4n n n n− + − +
Bài 4 tìm các giới hạn sau:
1.
1 4
lim
1 4
n
n
−
+

+ −
+
5.
2
2
3 4 1
lim
2
n
n n
n
− + +
Bài 5 tìm các giới hạn sau:
1.
sin
lim
1
n
n
π
+
2.
2
sin10 cos10
lim
2
n n
n n
+
+

ds1/3
4.
1 1 1
lim ...
1.2 2.3 ( 1)n n
 
+ + +
 
+
 
ds1
5.
1 1 1
lim ...
1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n
 
+ + +
 
− +
 
Bài 7 Tính các tổng sau:
1.
1 1
1 ...
2 4
S = + + +
2.
1 1 1
1 ...
3 9 27

1
lim 0
x
x
→±∞
=
1
lim 0
k
x
x
→±∞
=

lim
k
x
x
→+∞
= +∞

, 2
lim
, 2 1
k
x
k l
x
k l
→−∞

0
lim .
x x
f x g x
→
0L
>
+∞ +∞
−∞ −∞
0L
>
+∞
−∞
−∞
+∞
- 2 -
( )
0
lim
x x
f x
→
( )
0
lim
x x
g x
→
Dấu của g(x)
( )

x
x
x
→
−
−
2.
( )
2
1
lim 3 1
x
x x
→
+ +
3.
2
3
9
lim
4
x
x
x
→
−
+
4.
2
2

lim 2 3 5
x
x x
→
− − +
đs-9
4.
( ) ( )
0
lim 3 2
x
x x
→
− +
đs-6
5.
1
5 2
lim
1
x
x
x
→
+
+
đs7/2
6.
2
2

+
đs
+∞
2.
( )
3
lim 2
x
x x
→−∞
+
đs
−∞
3.
2
2
5 3 1
lim
2 3
x
x x
x
→+∞
+ +
+
đs5/2
4.
2
2
5 3 1

x
→−∞
+ +
+
đs1/2
7.
2
3 1
lim
2 3
x
x
x
→+∞
+
+
đs0
8.
2
3 1
lim
2 3
x
x
x
→−∞
+
+
đs0
9.

x
x x
x
→+∞
+ +
+
đs
+∞
12.
2
2 2
lim
1
x
x x
x
→−∞
+ +
+
đs
−∞
13.
2
lim 2
x
x x
→+∞
+
đs
+∞

x
x x x
x x
→±∞
+ −
+ −
đs
1
2
17.
2
2
3 4
lim
4 1
x
x x
x x
→±∞
+ +
+ −
đs5 , -1
18.
2 2
9 1 4 2
lim
1
x
x x x
x

x
→
 
+
−
 
−
 
 
đs
−∞
3.
3
5 2
lim
3
x
x
x
−
→
+
−
đs
−∞
4.
3
5 2
lim
3

x
x x
x
+
→
+ +
−
đs
+∞
Bài 5 Tìm các giới hạn sau::
Cho hàm số :
( )
2
2 3 1 , 2
3 7 , 2
x x x
f x
x x

+ − ≥
=

+ <


Tìm các giới hạn sau:
1.
( )
1
lim

=

+


Tỡm cỏc gii hn sau:
1.
( )
0
lim
x
f x

2.
( )
3
lim
x
f x

3.
( )
1
lim
x
f x

Bi 7 Tỡm cỏc gii hn sau::(dng
0
0

2
2
3 2
lim
2
x
x x
x x

+

s1/2
4.
2
2
2
3 2
lim
6
x
x x
x x

+
+
s1/5
5.
3 2
2
1


+
s2x
8.
4 2
3 2
3
6 27
lim
3 3
x
x x
x x x


+ + +
s-36/5
9.
5
3
1
1
lim
1
x
x
x

+
+

Bi 8 Tỡm cỏc gii hn sau::(dng
0
0
)
1.
1
1
lim
1
x
x
x



s1/2
2.
2
3
1 2
lim
9
x
x
x

+

s1/24
3.

2
x
x x
x x

+ +

s1/12
6.
3
2
4 2
lim
2
x
x
x

+
+
s1/3
Bi 9Tỡm cỏc gii hn sau:(dng
0
0
)
1.
3
2
1
1



s1/9
4.
3
2
1
1
lim
3 2
x
x
x

+
+
s-2/3
5.
3
1
7 2
lim
1
x
x
x

+

s1/2

x

+ + +
9.
0
9 16 7
lim
x
x x
x

+ + +
10.
( )
3
2
3
2
1
2 1
lim
1
x
x x
x

+

Bi 10:Tỡm caực giụựi haùn sau
1.

lim 1
x
x x
+
+
5.
+
x
lim
(
xxx 5
2
+
) (ẹs:-5/2)
6.

x
lim
(
1
22
+
xxx
) (ẹs:1/2)
- 4 -
Trêng THPT Ng« Qun GV: Hµ C«ng Th¬
7.
(
)
32 3

3
1
1 3
lim
1 1
x
x x
→
 
−
 
− −
 
3.
2 2
1
1 1
lim
3 2 5 6
x
x x x x
→
 
−
 
− + − +
 
BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x
0

x
khi x

−
≠

−


=

tại x
0
=5
3.
( )
2 3
2
2 7 5
khi 2
3 2
1 khi 2
x x x
x
f x
x x
x

− + −
≠


+
=


= −


tại x
0
= -1
5.
( )
1 2 3
khi 2
2
1 khi 2
x
x
f x
x
x

− −
≠

=

−



tại x
0
=2
7.
( )
2
khi 4
5 3
3
khi 4
2
x
x
x
f x
x

−
≠


+ −
=


=


tại x


+ > −

tại x
0
= -1
10.
( )
2
0
1 0
x khi x
f x
x khi x

<

=

− ≥


tại x
0
=0
11.
( )
5
khi 5
2 1 3

x
+ −
=
−
tại x
0
=2
13. f(x)=
5
1
4
−
++
x
xx
tại x
0
= 5
14. Chứng minh các hàm số
a)
( )
2
2 3
khi 1
1
4 khi 1
x x
x
f x
x



+
=


= −


liên tục trên R
c)
( )
2
2
7 4
khi 3
5 6
3
khi 3
4
x
x
x x
f x
x

+ −
≠



1-a 2
a x khi x
f x
x khi x

≤

=

>


- 5 -