Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng
Trang 14 1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)
· x
0
là một nghiệm của (1) nếu "f(x
0
) = g(x
0
)" là một mệnh đề đúng.
· Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
· Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.
Chú ý:
+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức
Px
1
()
thì cần điều kiện P(x)
¹
0.
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức
Px
()
thì cần điều kiện P(x)
³

– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.
· Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ
quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a) x
xx
55
312
44
+=+

b) x
xx
11
515
33
+=+
++

c) x
xx
2
11
9
11
-=-


11
=

f) xxx
2
123
=-+

Bài 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a) xxx
2
3(32)0
+=
b) xxx
2
1(2)0
+ =

c)
x
x
xx
1
2
22
=

d)
xx
x

-=-

Bài 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a)
xx
xx
11
=

b)
xx
xx
22
11

= c)
xx
xx
22
=

d)
xx
xx
11
22


b)
mxmmx
(3)(2)6
-+=-+
d) mxmxm
2
(1)(32)
-+=-

e) mmxxm
22
()21
-=+-
f)
mxmxm
2
(1)(25)2
+=+++

Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c:
a)
xaxb
baab
ab
(,0)

-=-¹
b)
abxabbx
(2)2(2a)

+-=-

c)
mxxmxmx
2
(2)(1)()
++=+ d) mmxxm
22
()21
-=+-

Bài 4.
a)
II. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0
ax + b = 0 (1)
Hệ số Kết luận
a
¹
0 (1) có nghiệm duy nhất
b
x
a
=-

b
¹
0
(1) vô nghiệm
a = 0
b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x

axbxc
2
0
++=
khi và chỉ khi
chúng thoả mãn các hệ thức
b
Sxx
a
12
=+=-
và
c
Pxx
a
12
==
.
VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình
axbxc
2
0
++=

Để giải và biện luận phương trình
axbxc
2

+=
d) mxmxm
2
(1)2(1)20
+ +-=

e) mxmx
2
(1)(2)10
-+ =
f) mxmxm
2
2(3)10
-+++=

Bài 2. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại:
a) xmxmx
2
3
10;
2
-++==-
b)
xmxmx
22
230;1
-+==

c) mxmxmx
2

(1) có 2 nghiệm phân biệt
b
x
a
1,2
2
D
-±
=
D
= 0
(1) có nghiệm kép
b
x
a
2
=-
D
< 0
(1) vô nghiệm

Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai
Trang 17

VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình axbxca
2
0(0)
++=¹
(1)


ï
>
í
ï
>
î

·
(1) có hai nghiệm âm
Û
P
S
0
0
0
D
ì
³
ï
>
í
ï
<
î

Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì
D
> 0.
-+++=

g)
xxm
2
410
-++=
h) mxmxm
2
(1)2(4)10
+++++=

Bài 2.
a)
VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et
1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số
Ta sử dụng công thức
bc
SxxPxx
aa
1212
;
=+=-==
để biểu diễn các biểu thức đối

Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x
1
và x
2
.
3. Lập phương trình bậc hai
Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng:

xSxP
2
0
-+=
, trong đó S = u + v, P = uv. Bài 1. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:
A =
xx
22
12
+
; B =
xx
33
12
+

xx
2
2150
=
e)
xx
2
2520
-+=
f)
xx
2
3520
+-=

Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng
Trang 18

Bài 2. Cho phương trình: mxmxm
2
(1)2(1)20
+ +-=
(*). Xác định m để:
a) (*) có hai nghiệm phân biệt.
b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia.
c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.
Bài 3. Cho phương trình: xmxm
2
2(21)340
-+++=

+-=-
c) A = mmm
2
(24)(1645)
++-

d) m
127
6
±
= e) xmmxm
222
2(881)(34)0
-+-++=

Bài 4. Cho phương trình: xmxmm
22
2(1)30
+-=
(*).
a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại.
b) Khi (*) có hai nghiệm x
1
, x
2
. Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập đối với m.

22
22sin2cos
aa
+=+
(a là tham số).
a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi a.
b) Tìm a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN.
Bài 7. Cho phương trình:
a)
Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai
Trang 19


ABABAB
.0
+=+Û³
·
ABABAB
.0
-=+Û£

· ABABAB
.0
+=-Û£
· ABABAB
.0
-=-Û³

2. Cách giải
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
· Dạng 1:
fxgx
()()
=
C
fx
fxgx
fx
fxgx
1

³
ï
Û
é
=
í
ê
ï
=-
ë
î

· Dạng 2:
fxgx
()()
=
[ ] [ ]
C
fxgx
1
22
()()
Û=
C
fxgx
fxgx
2
()()
()()
é

2
45417
=-
f)
xxx
2
41745
-=

g) xxxx
12324
++=+
h) xxx
12314
-+++-=
i)
xxx
122
-+-=

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
xx
4747
+=+
b)
xx
2332
-=-
c)

2
4320
+++=
e) xxx
2
442110
=
f) xxx
2
63100
++++=

Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) mx
15
-=
b) mxxx
12
-+=+
c)
mxxx
21
+-=

d)
xmxm
322
+=- e) xmxm
2
+=-+

gx
2
()()
()0
ì
ï
=
í
³
ï
î

Dạng 2:
fxgx
fxgx
fxhaygx
()()
()()
()0(()0)
ì
=
=Û
í
³³
î

Dạng 3: afxbfxc
()()0
++=
Û

=+³
.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
xx
233
-=-
b)
xx
5108
+=-
c) xx
254
=

d)
xxx
2
128
+-=-
e)
xxx
2
242
++=-
f) xxx
2

d)
xxxx
2
(5)(2)33
+-=+

e) xx
22
1131
++=
f) xxxx
2
284(4)(2)0
-+ +=

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) xx
111
+ =
b) xx
3712
+-+=

c) xx
22
972
+ =
d) xxxx
22
3583511

13(1)(3)1
-+ =
d) xxxx
72(7)(2)3
-++ +=

e) xxxx
14(1)(4)5
++-++-=
f) xxxxx
2
321492352
-+-=-+-+

g)
xxxx
2
2
11
3
+-=+-
h) xxxx
2
999
+-=-++

V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN
Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai
Trang 21



Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
xxxx
21050
1
23(2)(3)
+=-
-+-+
b)
xxx
xxx
1121
221
+-+
+=
+-+

c)
xx
xx
211
322
++
=
+-
d)
xx
x
2

x
1
3
2
-+
=
+
b)
mxm
xm
2
3
+-
=
-
c)
xmx
xxm
1
2
1

+= d)
xmx
xx
3
12

VI. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng
Trang 22
1. Cách giải:
txt
axbxc
atbtc
2
42
2
,0
0(1)
0(2)
ì
ï
=³
++=Û
í
++=
ï
ỵ

2. Số nghiệm của phương trình trùng phương
Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.
· (1) vơ nghiệm Û
vônghiệm
cónghiệmképâm


· (1) có 4 nghiệm Û
cónghiệmdươngphânbiệt
(2)2

3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn
· Dạng 1:
xaxbxcxdKvớiabcd
()()()(),
++++=+=+

– Đặt
txaxbxcxdtabcd
()()()()
=++Þ++=-+

– PT trở thành: tcdabtK
2
()0
+ =

· Dạng 2:
xaxbK
44
()()
+++=

– Đặt
ab
tx

PT Û
axbxc
x
x
2
2
11
0
ỉưỉư
++±+=
ç÷
ç÷
èø
èø
(2)
– Đặt txhoặctx
xx
11
ỉư
=+=-
ç÷
èø
với t
2
³
.
– PT (2) trở thành: atbtcat
2
20(2)
++-=³

f)
xx
42
780
+-=

Bài 2. Tìm m để phương trình:
i) Vơ nghiệm ii) Có 1 nghiệm iii) Có 2 nghiệm
iv) Có 3 nghiệm v) Có 4 nghiệm
a) xmxm
422
(12)10
+-+-=
b) xmxm
422
(34)0
-++=

c)
xmxm
42
8160
+-=

VII. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a

432
635623560
-+-+=

g)
xxxx
432
410
+-++=

Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)

Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng
Trang 24
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

axbyc
abab
axbyc
2222
111
1122
222
(0,0)
ì
+=

2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các
phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các
phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
543
798
ì
-=
í
-=
î
b)
xy
xy
211
548
ì
+=
í
-=
î
c)
xy
xy

11
25
ì
+=
ï
í
ï
-=
î
f)
xy
y
31
5x23
ì
ï
-=
í
+=
ï
î

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
18
18
54
51

xyxy
2732
7
23
4548
1
23
ì
+=
ï
ï
-+
í
ï
-=-
ï-+
î

d)
xy
xy
26315
56411
ì
-++=
í
+=
î
e)
xyxy

b)
mxmy
mxmy
(2)5
(2)(1)2
ì
+-=
í
+++=
î
c)
mxym
mxym
(1)231
(2)1
ì
-+=-
í
+-=-
î

d)
mxmy
mxmym
(4)(2)4
(21)(4)
ì
+-+=
í
-+-=

2
ì
+-=-
í
-=+
î
b)
mxy
xmym
1
4(1)4
ì
-=
í
++=
î
c)
mxy
xmym
33
210
ì
+-=
í
+-+=
î

VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
Xét D Kết quả
D

= 0 Hệ có vô số nghiệm

Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai
Trang 25

Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận.
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.
a)
mxym
xmym
21
225
ì
+=+
í
+=+
î
b)
mxmy
mxmy
6(2)3
(1)2
ì
+-=
í
=
î
c)
mxmym

xya2
ì
+=+
í
+=
î

d)
abxabya
abxabyb
()()
(2)(2)
ì
++-=
í
-++=
î
e)
axbyab
bxayab
22
2
ì
+=+
í
+=
î
f)
axbyab
bxbyb

xyz
328
26
36
ì
++=
ï
++=
í
ï
++=
î
c)
xyz
xyz
xyz
327
2438
35
ì
-+=-
ï
-++=
í
ï
+-=
î

Bài 8.
a)
Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng
Trang 26

1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
· Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
· Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
· Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
2. Hệ đối xứng loại 1
Hệ có dạng: (I)
fxy
gxy
(,)0
(,)0
ì
=
í
=
î
(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
· Đặt S = x + y, P = xy.
· Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.

î

· Biến đổi (3) về phương trình tích:
(3) Û
xygxy
().(,)0
-=
Û
xy
gxy
(,)0
é
=
ê
=
ë
.
· Như vậy, (I) Û
fxy
xy
fxy
gxy
(,)0
(,)0
(,)0
é
ì
=
í
ê

· Khi x
¹
0, đặt
ykx
=
. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương
trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y).

Chú ý: – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để
giải (sẽ học ở lớp 12).
– Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm
xy
00
(;)
thì
yx
00
(;)

cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì
xy
00
=
. IX. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

()49
3484
ì
-=
í
+=
î

d)
xxyyxy
xy
22
32360
23
ì
-+++-=
í
-=
î
e)
xy
xyxy
3410
3()9
ì
-+=
í
=+-
î
f)

-+=
î
i)
xy
xxyy
22
25
7
ì
-=
í
++=
î

Bài 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xy
xym
22
6
ì
+=
í
+=
î
b)
xym
xyx
22
22

xxyy
22
4
13
ì
+=
í
++=
î
c)
xyxy
xyxy
22
5
8
ì
++=
í
+++=
î

d)
xy
yx
xy
13
6
6
ì
+=


Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xyxym
xym
22
32
ì
++=
í
+=-
î
b)
xym
xyxymm
222
1
23
ì
+=+
í
+=
î
c)
xym
xyxym
(1)(1)5
()4
ì
++=+

-=+
ï
î
c)
xxy
yyx
3
3
2
2
ì
ï
=+
í
=+
ï
î

d)
y
xy
x
x
yx
y
34
34
ì
-=
ï

ï
î
f)
xy
y
yx
x
2
2
1
2
1
2
ì
=+
ï
ï
í
ï
=+
ï
î

Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xxmy
yymx
2
2
3

ï
+=-
í
+=-
ï
î

Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xxyy
22
22
31
3313
ì
ï
-+=-
í
-+=
ï
î
b)
xxyy
xxyy
22
22
241
3227
ì

+-=
í
=
ï
î
e)
xxyy
xxyy
22
22
239
455
ì
ï
-+=
í
-+=
ï
î
f)
xxyy
xxyy
22
22
3840
5760
ì
ï
-+=
í

ï
î
c)
xxyym
yxy
22
2
4
34
ì
ï
-+=
í
-=
ï
î

Bài 9. Giải các hệ phương trình sau:
a)
Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng
Trang 28

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
mxmxm

x
2
21
1
-=+
-

c)
mxm
x
xx
211
21
11
-+
=

d)
xxm
123
-+-=

Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
xxm
2
212150
+-=
b) xmxm
22

i) PT có hai nghiệm trái dấu
ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt
iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt
iv) PT có hai nghiệm phân biệt
xx
12
,
thoả: xx
33
12
0
+=
; xx
22
12
3
+=

a) xmxmm
2
2(2)(3)0
+-=
b) xmxm
22
2(1)0
+-+=

c) xmxm
22
2(1)20

+ =
b) xmxmm
2
2(2)(3)0
+-=

c) mxmxm
2
(2)2(1)20
+ +-=
d) xmxm
22
2(1)20
-++-=

Bài 7. Giải các phương trình sau:
a) xx
22
612
+-=
b) xx
22
1131
++=

c) xx
1617823
+=-
d) xxx
2

c) xxx
34213
+ =+
d) xxxx
22
33363
-++-+=

e) xxx
22335
+ =-
f) xxx
33524
=-

g) xxx
222114
+++-+=
h) 811 +-=-+ xxx
Bài 9. Giải các phương trình sau:
Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai
Trang 29

a) xxxx
21212
+ =
b)
x
xxxx
3

22
2535236
+++=-

Bài 10. Trong các hệ phương trình sau:
i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.
a)
mxym
xmya
21
221
ì
+=+
í
+=-
î
b)
mxym
xmym
3
21
ì
+=
í
+=+
î

c)
xym

î
b)
xy
xxyy
22
4224
5
13
ì
ï
+=
í
-+=
ï
î
c)
xyyx
xy
22
33
30
35
ì
ï
+=
í
+=
ï
î


22
11
3()28
ì
++=
í
+++=
î

Bài 12. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
xy
xy
22
22
1
()(1)5
1
()(1)49
ì
++=
ï
ï
í
ï
++=
ï
î

11
4
11
4
ì
+++=
ï
ï
í
ï
+++=
ï
î
d)
xy
xy
xy
xy
22
2
3
11
1
()(1)6
ì
+=
ï
ï
++
í

ì
+=
ï
ï
í
æö
ï
++=
ç÷
ï
èø
î

Bài 13. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxy
yyx
2
2
32
32
ì
ï
=+
í
=+
ï
î
b)
xxy

yx
x
2
2
1
2
1
2
ì
=+
ï
ï
í
ï
=+
ï
î
e)
xy
x
yx
y
2
2
3
2
3
2
ì
+=

=
ï
î

Bài 14. Giải các hệ phương trình sau:
a)