85
KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA HỆ HAI BẬC TỰ DO CÓ CẢN

NCS. NGUYỄN ĐẮC HƯNG

Tóm tắt: Việc khảo sát dao động của hệ hai bậc tự do có cản là thiết lập và giải hệ phương
trình vi phân cấp hai không thuần nhất. Đây là vấn đề khá phức tạp, nên người ta chỉ tìm nghiệm
riêng mà chưa tìm được nghiệm tổng quát. Trong công trình này, tác giả trình bày cách thiết lập và
giải bài toán nói trên và tìm nghiệm tổng quát của bài toán dưới dạng giải tích. Kết quả này là cơ
sở nghiên cứu bài toán hạ chìm kết cấu là vật rắn tuyệt đối vào đất bằng cách ghép hai máy rung.

Đặt vấn đề
Trong các tài liệu [1], [2], [3], [4] đã có một
số tác giả nghiên cứu bài toán dao động của hệ
có hai bậc tự do và ứng dụng của nó vào bài
toán hạ chìm kết cấu được coi là vật rắn tuyệt
đối vào đất bằng cách ghép. Nhưng các tác giả
chưa tìm được nghiệm tổng quát của bài toán
dưới dạng giải tích tường minh. Trong công
trình này, chúng tôi tiếp tục khảo sát bài toán
dao động của hệ có hai bậc tự do và tìm nghiệm
tổng quát dưới dạng giải tích tường minh.
Thiết lập bài toán
1. Mô tả bài toán
Hệ dao động gồm hai máy rung khối lượng
m
1
, m
2
đặt trên hệ lò xo có đó cứng là C

Áp dụng phương trình Lagrange loại II, ta có:
i
ii
Q
q
T
q
T
dt
d






)(

i=1,2 (1)
T: động năng của hệ:
2
22
2
11
2
1
2
1
qmqmT


2
1
qqCqC 

(4)
 : hàm hao tán của hệ.
2
1
2
122
2
11
2
1
)(
2
1
2
1
qkqqq



(5)
Q
i
p
(i=1,2) là các lực cưỡng bức suy rộng:
Q
1

cos)()(
)()(
212212222
2112211
1221111


(7)
2.2. Giải hệ phương trình vi phân chuyển
động (7)
Điều kiện đầu : q
1
(0) = h
1
; q
2
(0) = h
2
;

h
2
h
1
C
1

1

2

2
, α
1
, α
2,
C
1
, C
2
, P
1
, P
2
, k, ω,
h
1
, h
2
là các hằng số không âm.
Biến đổi hệ (7) về dạng sau:
 





tPqqCqqqm
tPPqCqkqmqm











22
1
0


k
B
;










22
1
0
cc

F


cos
cos)2(
2
21

2.2.1. Tìm nghiệm tổng quát của hệ thuần
nhất tương ứng
Hệ thuần nhất tương ứng của (8) là:
0 CQQBQA

(9)
Tìm Q = Ze
λt
với
0
2
1











222
2
22
2
2
111
2
2
)(
cmc
mckm
CBA




↔
0
234
 dcba

(12)
Trong đó:

;
.
;
.
21
221221221





(13)
Giải (12) theo phương pháp Ferrary để
tìm λ
Lập phương trình phụ trợ:
y
3
– by
2
+ (ac –4d)y + (4bd –a
2
d – c
2
) = 0 (14)
Áp dụng công thức Cardano để tìm một
nghiệm của (14) ta được:
3
32
3
32
0
2742
27423
pqq
pqq
b
y





0)
2
()
2
(
0)
2
()
2
(
0
2
0
2


y
a
y
a

với
0
2
4
yb


















22
221
2
2
1
1
(17)
b. Trường hợp λ là một nghiệm thực, kép
của phương trình đặc trưng.
Khi đó Q
1
như (17), nghiệm


2
1
tu
tu
tu
.

87
Đạo hàm Q
2

theo t và thay
222
,, QQQ

vào (9) ta có:
0)2(
111
 uBQQAuAQ



(18)






0

11
1
)(
2
)(
2
zm
zz
G
zmzm
zk
G




(19)
Giải phương trình (a), (b). ta được:
1
1
1
1
G
e
dteu
tG
tG





tG
tG
e
G
z
e
G
z
Q
)(
2
2
)(
1
1
2
2
1


(20)
c. Trường hợp λ là cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng λ
1,2
= α ± iβ
Thì





)sin(cos
)()(
)2()(
222
2222
2
2
2
2
2
222
2222
2
2
2
2
1
tite
ic
micmm
Q
tite
ic
micmm
Q
t
t





Thì
);sin(cos
1
tite
iNM
iLH
Q
t















);sin(cos
2
tite
iNM
iLH
Q

)sincos(
)sincos(
;
12
11
12
11
1
tNtMeq
tLtHeq
q
q
Q
t
t
















+ C
2
Q
2
+ C
3
Q
3
+ C
4
Q
4

Với C
1
, C
2
, C
3
, C
4
là các hằng số được xác định từ điều kiện đầu của bài toán.
2.2.2 Tìm nghiệm riêng của hệ không thuần nhất
 





tPqqCqqqm



sincos
sincos
;
222
111
2
1

Với a
1
, a
2
, b
1
, b
2
được xác định nhờ ma trận sau đây:
(22)

88











mcc
pmcc
mmck
ppkmmc
(23)
Đặt A
1
=
)(
22
2
zxvuzcxuv 
A
2
=
)(
22
2
zxyuxcuvz 

B
1
=
xuvvuyuz 
2
B
2
=

2
C
1
– B
1
C
2
; D
2
= A
1
C
2
– A
2
C
1
; (25)
;
1
1
D
D
a 

;
2
2
D
D

, C
2
, C
3
, C
4
là các hằng số. Q
1
, Q
2
, Q
3
, Q
4
là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất.









2
1
q
q
Q

tbtaekCekCekCekCq
t
t
tt
t
t
tt








sincos
sincos
22443322112
11443322111
4321
4321
(27)
Trong đó:
22
222
2
cl
cmk
ii
iii





244332211
144332211
224321
114321
bllll
bkkkk
ahllll
ahkkkk
(29)
3.2. Trường hợp thứ hai: ∆
1
>0, ∆
2
= 0
Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm đơn λ
1
, λ
2
và một nghiệm kép λ
3
= λ
4





G
k
CekCekCekCq
tGttt
tGt
tt





sincos
sincos
22
)(
32
3
43322112
11
)(
31
3
43322111
323321
313321
(30)
(26)

89
Trong đó:

, C
3
, C
4
được xác định nhờ ma trận hệ số là:


























kkk
ah
G
l
lll
ah
G
k
kkk
(32)
3.3. Trường hợp thứ ba: ∆
1
= ∆
2
= 0
Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm kép λ
1
= λ
2
và λ
3
= λ
4


















tbtae
G
l
CelCe
G
l
CelCq
tbtae
G
k
CekCe
G
k
CekCq
tGttGt
tGttGt





11
111
)(
2
)(
2
lm
kl
G
lmmk
kk
G









(34)
C
1
, C
2
, C
3
, C
4


2323
32
3
33121
12
1
11
1313
31
3
33111
11
1
11
22
32
3
3
12
1
1
11
31
3
3
11
1
1
)()(

3.4. Trường hợp thứ tư: ∆
1
>0, ∆
2
< 0
Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực đơn λ
1
,λ
2
và cặp nghiệp phức α ± iβ












tbtatMtNeC
tNtMeCelCelCq
tbtatHtLeC
tLtHeCekCekCq
t
t
tt
t

2
2
cmmH 

;

22
2

mL22
cM


;

2
N
(37)
C
1
, C
2
, C
3
, C
4
được xác định nhờ ma trận hệ số là:

1
=0, ∆
2
< 0
Phương trình đặc trưng có nghiệm thực kép λ
1
=λ
2
và cặp nghiệm phức α ± iβ






















tGt










sincos)sincos(
)sincos(
sincos)sincos(
)sincos(
224
3
)(
12
1
2112
114
3
)(
11
1
2111
1211
1111
(39)











2121
12
1
11
1111
11
1
11
22
12
1
1
11
11
1
1
)(
)(
bMNNMG
G








tbtatMtNeCtNtMeC
tMtNeCtNtMeCq
tbtatHtLeCtLtHeC
tHtLeCtLtHeCq
tt
tt
tt
tt








sincos)sincos()sincos(
)sincos()sincos(
sincos)sincos()sincos(
)sincos()sincos(
22
**
4
2
*
2
*
cM 

;
C
1
, C
2
, C
3
, C
4
được xác định nhờ ma trận hệ số là:

91











21
kPP

21
,, hh

là hằng số dương, nên nghiệm λ
1
, λ
2
,
λ
3
, λ
4
có giá trị âm. Do đó thành phần dao động
tự do của
2211
,,, qqqq

sẽ tiến dần tới 0, khi đó
hệ làm việc trong chế độ bình ổn.
Mô hình của bài toán trong bài báo này phức
tạp hơn các bài toán trong [1], [2] [3], [4].
Phương pháp giải bài toán cũng có sự thay đổi
bằng cách đưa hệ phương trình vi phân cấp hai
thuần nhất dạng tổng quát về phương trình bậc 4
tổng quát và sử dụng phương pháp Ferrary để
tìm nghiệm tổng quát của bài toán dưới dạng
giải tích tường minh và xét tới caá trường hợp


Ngêi ph¶n biÖn: PGS.TS. Khæng Do·n §iÒn