PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÝ DO CHỌN GIẢI PHÁP
1.1.Cơ sở lí luận:
Toán học là một môn khoa học nói chung, chiếm một vai trò rất quan
trọng trong các trường học. Mục tiêu giáo dục THCS nhằm giúp học sinh củng
cố và phát triển những kết quả của tiểu học có trình độ học vấn phổ thông cơ
sở và những hiểu biết ban đầu. Quá trình học môn toán phải nhằm mục đích
đào tạo con người mà xã hội cần. Đất nước ta đã và đang bước vào kỉ nguyên
của khoa học thông tin, đòi hỏi mỗi chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ để
tìm ra những biện pháp tốt nhất làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ
thông, cơ bản thiết thực có kĩ năng thực hành toán, giúp cho học sinh phát
triển năng lực tư duy lôgic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khả
năng tưởng tượng và bước đầu hình thành nhân cách qua học môn toán. Hình
thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và có năng lực cần thiết như giáo dục
đề ra.
Toán học là môn khoa học có từ lâu đời, nó nghiên cứu về nhiều thể loại,
đa dạng và phong phú. Do đó trang bị cho học sinh những kiến thức toán học
không chỉ là trang bị cho học sinh các khái niệm, định nghĩa, quy tắc, tổng
quan, … Mà phải trang bị cho học sinh các kĩ năng và phương pháp giải bài
tập, vận dụng toán học vào thực tế cuộc sống. Bắt đầu từ năm lớp 6, học sinh
được làm quen với loại toán phân tích ra thừa số nguyên tố, loại toán này tiếp
tục được dạy kĩ hơn và mở rộng thành phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8,
lớp 9 và các cấp học tiếp theo. Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kì, thi học
sinh giỏi, thi tốt nghiệp, tuyển sinh vào các trường THPT.
1.2.Cơ sở thực tiễn:
Một số em chưa biết cách giải loại toán này, mà ta gọi là phương pháp. Đi
theo kết quả của bài toán “ phân tích thành nhân tử ” còn có các dạng toán:
1
Giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức, tìm giá trị của biến x để biểu thức nhận giá trị nguyên …
Vì vậy, phần trên mà không “ phân tích thành nhân tử ” được thì học
Lớp 8B ,C Trờng THCS Cao Rm - huyn Lng Sn- tnh Hũa Bỡnh.
4.2. Kho sỏt trc khi thc hin gii phỏp:
-kho sỏt các bài toán đơn giản trên cơ sở một vài phép biến đổi thuần tuý, cha
có khả năng phán đoán, định hớng đúng cho việc giải bài toán.
-kho sỏt các bài toán khú dn.
- kho sỏt về mặt phơng pháp các phơng pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng
đẳng thức và nhóm nhiu hng t.
- làm bài kiểm tra khảo sát chất lợng nh sau :
Lần 1: (15phút)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. A = 8x
3
+ 1
2. B = x + y + xy + y
2
Kết quả nh sau:
Tổng số
học sinh
Điểm
0 -> 2 3 -> 4 5 -> 6 7 -> 8 9 -> 10
TB
50 4 12 18 10 6 34
Lần 2: (20phút)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. A = (x+2)
2
- 6(x+2) + 9
2. B = x
3
- 2x
nh theo dừi, kim tra, ụn c nhc nh hc tp nh.
Phng phỏp chung gii bi toỏn cn cú nhng gi ý thy h tr cho
trũ, trũ t suy ngh tỡm ra li gii. Trc khi gii mt bi toỏn phi tỡm hiu
k ni dung yờu cu ca ờ bi: õu l cỏi cn tỡm? Cỏi ó cho? Ci phi tỡm
tha món iu kin cho trc hay khụng? Hay cha ? Hay tha? Tỡm ra
cỏch gii hp lớ nht.
Vic rỳt gn biu thc l mt trong nhng vn c bn ca phõn mụn i
s. Hc sinh phi tỡm hiu k cỏc dng biu thc khi a ra nú dng no,
tớnh giỏ tr ca biu thc hay chng minh biu thc, rỳt gn biu thc . . . Hc
sinh lỳng tỳng khi rỳt gn phi s dng phng phỏp phõn tớch a thc thnh
nhõn t, s dng cỏc phộp toỏn v tớnh cht ca cỏ phộp toỏn, hc sinh hay
nhm ln. Do vy giỏo viờn cn rốn luyn cho hc sinh cú k nng trỡnh by
li gii cho cỏc dng bi tp, giỳp phn no gii quyt c cỏc dng bi
tp v khc phc nhng vng mc trờn. Tụi a ra mt s gii phỏp v rốn
k nng gii cỏc bi tp phõn tớch a thc thnh nhõn t m tụi ó tỡm hiu,
tp hp c thụng qua thc t ging dy.
Mt s phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t:
4
Phơng pháp
nhóm nhiều
hạng tử
Các phơng
pháp đặc
biệt hoá
Các phơng
pháp phân
tích đa
thức
thành
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
0
= c(
c
a
n
x
n
+
c
a
n 1
x
n 1
+ +
c
a
0
) ( với c
0, c
1 ).
b) Định nghĩa 2
Giả sử P(x)
, n > 1, a
n
0, là một đa thức hệ số
nguyên . Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ớc của a
n
nh-
ng p là ớc của các hệ số còn lại và p
2
không phải là ớc của các số hạng tự do a
0
.
Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q.
2. CC PHNG PHP C BN
2.1. Phng phỏp t nhõn t chung
Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp này thờng làm nh sau:
-Tìm nhân tử chung ( nu cú )
6
-Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung, các nhân tử khác.
-Viết nhân t chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng
tử ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng.
VD1: phõn tớch a thc thnh nhõn t
2x
2
- 4x = 2x.x 2x.2 = 2x( x 2 )
*Chỳ ý:
-Khi phân tích bằng phơng pháp này ta dựa vào tính chất phân phối của phép
nhân đối với phép cộng các đa thức: A.B + A.C =A.(B +C) .
- Nhiu khi lm xut hin nhõn t chung ta cn i du cỏc hng t ( lu ý
5. Lập phơng của một hiệu: ( A - B )
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
6. Tổng hai lập phơng : A
3
+ B
3
=( A +B ).(A
2
- AB + B
2
)
7. Hiệu hai lập phơng : A
3
- B
3
=( A - B ).(A
2
+ AB + B
2
)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x
3
25x
4
+ 10x
2
y + y
2
= (5x
2
)
2
+ 2.5x
2
.y + y
2
= ( 5x
2
+ y)
2
7
2.3 Phng phỏp nhúm nhiu hng t
Khi sử dụng phơng pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi kết
hợp các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng ẳng thức hoặc xuất
hiện nhân tử chung của các nhóm rồi dùng các phơng phỏp đã biết để phân
tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x
2
+8xy - 3x - 6y
Giải
4x
2
Thờng đợc tiến hành theo các trình tự sau :
+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét
hơn
+ Nhóm hạng tử
+ Dùng hằng đẳng thức
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x
2
+ 2xy + y
2
- xz yz
Giải
x
2
+ 2xy + y
2
- xz yz = (x
2
+ 2xy + y
2
) (xz + yz) = (x+y).(x+y-z)
Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x
2
+ 4x- 2xy 4y + y
2
Gii
x
- 6x +9-1 = (x-3)
2
-1
2
=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4)
Cách 3 : x
2
- 6x + 8 = x
2
- 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2)
= (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4)
Cách 4 : x
2
- 6x + 8 = x
2
- 4x +4-2x+4=(x-2)
2
- 2(x-2)= (x-2)(x-4)
Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khỏc trong đó có 2 cách
thông dụng là :
Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp
nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
9
Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng
hiệu hai bình phơng
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
9x
2
+6x-8
- Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách
- Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x
2
+6x-8 thành nhân tử
Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8
+ Tích a.c =9.(-8) =-72
+ Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dơng có
giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)
-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12
Từ đó ta phân tích
9x
2
+6x-8 =9x
2
-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Ví dụ 4 : Khi phân tích đa thức x
2
x -6 thành nhân tử
Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6
+ Tích a.c =1.(-6) = -6
+ Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá
trị tuyệt đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)
-6 = 1.(-6) = 2.(-3)
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3
Từ đó ta phân tích
10
x
2
+ 4 = (x
4
+ 4 + 4x
2
) 4x
2
= (x
2
+2)
2
(2x)
2
= (x
2
+ 2x +2)( x
2
- 2x +2)
Ví dụ 6 : Phân tích đa thức 64a
2
+ b
4
thành nhân tử
Ta thấy 64a
4
=(8a
2
)
2
; b
4
2
- (4ab)
2
= (8a
2
+ b
2
-4ab)( 8a
2
+ b
2
+4ab)
3 . Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ)
Ví dụ 7 : Phân tích đa thức (x
2
+x)
2
+ 4x
2
+ 4x - 12 thành nhân tử
Ta có : (x
2
+x)
2
+ 4x
2
+ 4x - 12 = (x
2
+x)
2
*Chú ý : x
2
+ x+6 không phân tích đợc nữa trong phạm vi số hữu tỉ (vì tích
a.c = 6 = 1.6 =2.3 không có hai thừa số nào có tổng bằng 1 - cách 1 phần I)
Ví dụ 8 : Phân tích đa thức (x
2
+ 3x + 1) (x
2
+ 3x + 2)- 6 thành nhân tử
Giải Đặt (x
2
+ 3x + 1) = y
11
Ta có : (x
2
+ 3x + 1) (x
2
+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) 6
= y
2
+ y - 6 = y
2
+ 3y - 2y - 6
= (y + 3)(y - 2) = (x
2
+ 3x + 1 +3)( x
2
+ 3x + 1 -2)
= (x
2
3
+ 3x
2
-4 = x
3
- x
2
+ 4x
2
-4 = x
2
(x-1) +4(x-1) = (x-1)(x
2
+4x+4)
= (x-1)(x+2)
2
Cách 2: x
3
+ 3x
2
-4 = x
3
-1+ 3x
2
-3 =(x-1)(x
2
+ x +1) +3(x-1)(x+1)
=(x-1)( x
2
+ x +1 +3x+3) =(x-1)(x
-1 ; -
2
1
;- 3 ;-
2
3
Kiểm tra thấy x=
2
1
là một nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử
x-
2
1
hay 2x-1
Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung
2x-1
Ta có: 2x
3
- 5x
2
+ 8x-3 =2x
3
- x
2
-4x
2
+2x+6x-3
=x
2
(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x
Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3
Có thể giả thiết a>0 (vì nếu a<0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử). Do đó a=2 hoặc
a=1
Xét a=2 thì c=1 suy ra : 2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3
=> b có thể là
1 hoặc
3
Xét b=-1 thì m=3 => d=-2 thoả mãn các điều kiện trên.
=> a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3
Vậy 2x
3
-5x
2
+8x-3 = (2x-1)(x
2
-2x+3).
13
6 . Phơng pháp xét giá trị riêng
Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử
Giải
Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi b thì P= 0+ bc(b-
c) + bc(c-b) =0 ,nên p chia hết cho a-b. vai trò của a,b,c nh nhau trong đa thức
nên p chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa
thức chia (a-b)(b-c)(c-a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thơng là
hằng số k
ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)
Trong đẳng thức trên cho ta các biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta đ-
3
-b
3
-c
3
= k(a+b)(b+c)(c+a)
Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 . ta có :
(0+1+2)
3
-0 -1
3
-2
3
= k(0+1)(1+2)(2+0)
18 = 6 k => k=3
Vậy : (a+b+c)
3
-a
3
-b
3
-c
3
= 3(a+b)(b+c)(c+a)
*Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số và vai trò các biến nh nhau trong
đa thức thì ta sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng nh trên.
14
CHƯƠNG 3
BÀI TẬP RÈN KỸ NĂNG
“ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ”
Gi¶i: Ta cã: P = (2a
2
– 3ax)(5y +2b) – (6a
2
– 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a
2
– 3ax) – (6a
2
– 4ax))
= (5y + 2b)(- 4a
2
+ ax)
= (5y + 2b)(x – 4a)a
Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
B = 3x
2
(y – 2z ) – 15x(y – 2z)
2
Gi¶i: Ta thÊy c¸c h¹ng tö cã nh©n tö chung lµ y – 2z
Do ®ã : B = 3x
2
(y – 2z) – 15x(y – 2z)
2
= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))
=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)
Bµi 4 : ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
C = (2a
2
– 3ax)(5c + 2d) – (6a
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6xy
2
z – xyz
2
+ 3xy
= 3xy(x
2
– 2x –y
2
– 2yz – z
2
+ 1)
= 3xy((x
2
– 2x + 1) – (y
2
+ 2yz + z
2
))
= 3xy((x – 1)
2
– (y + z)
2
)
= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))
= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)
3
+ 3z
2
+ 2z +1
Giải: Ta có : A = 6z
3
+ 3z
2
+ 2z +1
= 3z
2
(2z + 1) + (2z + 1)
= (2z + 1)(3z
2
+ 1)
1.2 . Phơng pháp nhóm các hạng tử
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = xy
2
xz
2
+ yz
2
yx
2
+ zx
2
zy
2
Giải: Ta có : B = xy
(z y)
= x(y z)(y + z) yz(y z) x
2
(y z)
= (y z)((x(y + z) yz x
2
))
= (y z)((xy x
2
) + (xz yz)
= (y z)(x(y x) + z(x y))
= (y z)(x y)(z x)
Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A= 4x
5
+6x
3
+6x
2
+9
Giải: Ta có : A= 4x
5
+6x
3
+6x
2
+9
= 2x
3
(2x
2
+ 1)
= (x
2
+ 1)(x
4
+ 1)
Bµi 12: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
Gi¶i: Ta cã: B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
= (x
2
+ 2x + 1) – y
2
= (x + 1)
2
– y
2
=(x +1 – y)(x + 1 + y )
Bµi 13 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = x
2
+ 2xy + y
2
m + 3
– x – 1
= x
m + 3
(x + 1) – ( x + 1)
= (x + 1)(x
m + 3
– 1)
Bµi 16: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
P = x
2
(y – z) + y
2
(z - x) + z
2
(x – y)
Gi¶i: Khai triÓn hai sè h¹ng cuèi råi nhãm c¸c sè h¹ng lµm xuÊt hiÖn thõa
sè chung y - z
Ta cã : P = x
2
(y – z) + y
2
z – xy
2
+ xz
2
– yz
2
18
= x
2
– y
2
)
= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)
= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
= (y – z) (x – y)(x – z)
Bµi 17: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
Gi¶i: Ta cã : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc
2
+ c
2
a + abc – abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c
2
( a + b)
= ( a + b)(bc + ca + ab + c
2
)
= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))
= ( a + b)(b + c)(c + a)
Bµi 18: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: Q = a
2
b + ab
2
+ b
2
2
a + ca
2
+ abc)
= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)
= ( a + b + c)(ab + bc + ca)
Bµi 19: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c + ac
2
– 4b
2
c + 2bc
2
– 4abc
Gi¶i: Ta cã : A = 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c + ac
2
– 4b
2
(2x + y) + y
2
z
2
(z y) 4z
2
x
2
(2x + z)
Giải: Ta có : P = 4x
2
y
2
(2x + y) + y
2
z
2
(z y) 4z
2
x
2
(2x + z)
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(y
2
+ 8x
3
))
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(z(y 2x)(y + 2x) (y + 2x)(y
2
2xy +
4x
2
))
= (2x + y)( 4x
2
y
2
+ z
3
2xz
3
z
2
y
2
+ 2xyz
2
4x
1.3. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
Giải: Ta có : A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
= (x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4
) - x
2
b
2
+ b
4
Giải: Ta có : B = a
6
b
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
= (a
6
b
6
) + (a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
b
2
+ b
4
) a
2
b
2
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ b
2
)
2
a
2
b
2
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
2
)(a
2
b
2
+ 1)
Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
x + 1)
2
Giải: Ta có : M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
x + 1)
2
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) x
2
+ (x
x + 1)(x
2
+ 1)
Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
2x
2
z
2
- 2y
2
z
2
Giải: Ta có: A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
z
2
= (x
2
y
2
z
2
)
2
4y
2
z
2
= (x
2
y
2
z
2
2yz) (x
2
y
2
z
2
+ 2yz)
= (x
2
(y + z)
= 2x(4x
2
3(x
2
y
2
))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
Cách 2: A = (x + y)
3
+(x - y)
3
= ((x + y) +(x - y))((x + y)
2
(x + y)(x y) + (x y)
2
= 2x(2(x
2
+ y
2
) - (x
2
y
2
3
= (x – z)
3
+ (z – y)
3
+ 3(x – z)(z – y)((x – z) +
(z – y))
= - (z - x)
3
- (y - z)
3
+ 3(z – x)(y – z)
(x – y)
= 3(z – x)(y – z)(x – y)
Bµi 27: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = (a + b+ c) – (a
3
+ b
3
+ c
3
)
Gi¶i: Ta cã: A = (a + b+ c) –(a
3
+ b
3
+ c
3
)
= a
+ c
3
)
= 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a
2
+ ab + ac + bc)
= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)
= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bµi 28: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
P = x
8
– 2
8
Gi¶i: Ta cã : P = x
8
– 2
8
= (x
4
+ 2
4
) (x
4
4
+ 2
4
)(x
2
+ 2
2
)(x – 2)(x + 2)
Bµi 29: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
Q = (x
3
– 1) + (5x
2
– 5) + (3x – 3)
Gi¶i: Ta cã: Q = (x
3
– 1) + (5x
2
– 5) + (3x – 3)
= (x – 1)(x
2
+ x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)
= (x – 1)( x
2
+ x + 1 + 5x + 5 + 3)
22
= (x 1)( x
2
+ 6x + 9)
= (x 1)(x + 3)
-5x
3
+ 4x
= x(x
4
-5x
2
+4)=x( x
4
- x
2
-4x
2
+4)
=x[ x
2
(x
2
-1)-4(x
2
-1)]= x(x
2
-1) (x
2
-4)
=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)
M Là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên M
2;3;4;5
Vì M
Khi chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác ta có nhiều cách
chứng minh. ậ ví dụ 3 ta có thể chứng minh bằng cách thực hiện phép chia, số
d bằng 0 có thể dùng lợc đồ Hoocme tìm số d ( d 0 ). Hoặc chứng minh
nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia. Nhng cách làm đó dài,
hoặc đơn điệu hoặc phức tạp hơn so với cách làm trên ( áp dụng phân tích đa
thức thành nhân tử ) biến đổi đa thức thành tích khi đó biểu thức đã cho chia
23
hết cho nhân tử cho tích đó đã làm cho phép giải của bài toán nhanh hơn và lời
giải thông minh hơn.
2.2. Bi toỏn chng minh biu thc luụn dng,luụn õm, huc khụng
õm
Bài toán này kích thích t duy của học sinh phải đi tìm đờng lối giải và khi giải
phải nắm đợc kiến thức:
- Biểu thức luôn dơng ( lớn hơn 0 ) khi tử thức và mẫu thức cùng dấu
- Biểu thức không âm ( lớn hơn 0 ) khi biểu thức cho bằng luỹ thừa bậc chẵn
của biểu thức khác.
- Bên cạnh đó cần chú ý với trờng hợp biểu thức nguyên ta xét sự luôn luôn d-
ơng hoặc luôn âm của biểu thức dựa vào dấu của các nhân tử kết hợp với qui
tắc nhân dấu trong dấu nguyên.
Ví dụ 1 :
Cho biểu thức P = 4x
2
- 12x + 9 . Chứng minh rằng P không âm với mọi x
Giải : Ta có P = 4x
2
-12x + 9 = (2x)
2
-2.2x.3 +(-3)
2
= (2x-3)
xxxx
xxx
=
223
)1()1(
234
3
++++
xxxx
xxx
=
223
)1)(1(
234
3
++++
xxxx
xx
=
)1)(2(
)1()1(
22
22
+++
++
xxx
xxx
=
2
x và x
2
+2 > 0
x
Vậy M
0
x . Hay M không âm
x.
24
Với những bài toán này các em phải phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút
gọn biểu thức. Qua đó kỹ năng phân tích của các em đợc rèn luyện và phát
triển cùng với những kỹ năng giải toán khác
2.3. Bi toỏn rỳt gon v tớnh giỏ tr ca biu thc
Đây là bài toán áp dụng gần gũi nhất đối với việc phân tích đa thức thành
nhân tử. Đờng lối giải là vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để
thu thành nhân tử sau đó rút gọn thành nhân tử chung. ở đây cơ bản là rèn kỹ
năng phân tích đa thức thành nhân tử bên cạnh đó sử dụng một số tính chất
toán học khác để giải. Sự kết hợp đó có tác dụng rèn trí tuệ cho học sinh giúp
các em thấy sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức toán học phát triển trí tuệ
thông minh và t duy logickhoa học ở các em.
Ví dụ : Cho P =
78
7
5
+x
( với x
-1; x
-7)
b/ Tính giá trị của P với x=2001
Giải P =
7
5
+x
=
72001
5
+
=
2008
5
2.4. Bi toỏn chng minh ng thc
Loại toán này đờng lối giải là ta phải đi bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp ở
vế này đến kết quả là biểu thức đơn giản hơn ở vế kia nhng cũng có bài ta phải
biến đổi rút gọn ở cả hai vế để đi đến 1 kết quả giống nhau.
Thực chất của bài toán này là bài toán rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau :
78
55
2
++
2
x
x
=
)42)(1(
8
2
3
+
+
xxx
x
25
Copyright: Tài liệu đại học ©