Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email:
CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN KÉP
1. Các tính chất.
•
( ) ( ) ( ) ( )
, , , ,
D D D
f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy± = ± 
 
∫∫ ∫∫ ∫∫
.
•
( ) ( )
. , . ,
D D
k f x y dxdy k f x y dxdy=
∫∫ ∫∫
.
• Nếu
1 2
D D D= ∪
với D
1
và D
2
không có điểm chung thì :
( ) ( ) ( )
1 2
, , ,
D D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +

= =
 
 
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
.
*) Chú ý :-Trong biểu thức (1) khi tính
( )
,
d
c
f x y dy
∫
thì ta coi x là hằng số.
- Trong biểu thức (2) khi tính
( )
,
b
a
f x y dx
∫
thì ta coi y là hằng số.
- Nếu
( ) ( ) ( )
, .f x y g x h y=
và
: ,D a x b c y d≤ ≤ ≤ ≤
thì:
( ) ( ) ( )
, .
b d

 
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 Trường hợp 3:
( ) ( ) ( )
{ }
1 2
, : ,D M x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤
và
( )
,z f x y=
liên tục trên D thì:

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
, . , , (4)
x y x y
d d
D c x y c x y
f x y dxdy dy f x y dx f x y dx dy
 
= =
 
 
 

, ,x y u v
D D→
.
Page 1
BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com
Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email:
 Bước 4: Tính
( ) ( )
( )
'
, , , . .
D
I f x u v y u v J dudv=
∫∫
4. Tích phân trong tọa độ cực.
DÊu hiÖu nhËn biÕt:
( )
,
D
f x y dxdy
∫∫
mà D chứa biểu thức:
2 2
2 2
2 2
;
x y
x y
a b
+ +

ϕ
ϕ ϕ
−
= = = ⇒ =
.
 Xác định
( ) ( )
'
, ,x y r
D D
ϕ
→
.
 Tính
( )
'
cos , sin . .
D
I f r r rdrd
ϕ ϕ ϕ
=
∫∫
 Trường hợp 1: Gốc cực O nằm ngoài miền D.
x
y
(D)
O
Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền
(D). Giả sử là:
1

( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2
, .r r r r r r
ϕ ϕ ϕ ϕ
→ = = <
suy
ta cận r:
( ) ( )
1 2
r r r
ϕ ϕ
≤ ≤
.
Vậy:
( ) ( )
1 2
1 2
':D
r r r
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
≤ ≤



≤ ≤


(Tính theo r

ϕ
≤ ≤
 Vậy
( )
0 2
':
0
D
r r
ϕ π
ϕ
≤ ≤



≤ ≤


.
 Trường hợp 3: Gốc cực O nằm trên biên của miền D.
Page 2
BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com
Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email:
(D)
x
y
O
( )
( )
0

ϕ ϕ ϕ
≤ ≤
Thay
cos
sin
x r
y r
ϕ
ϕ
=


=

vào biên D
Vậy:
( )
1 2
':
0
D
r r
ϕ ϕ ϕ
ϕ
≤ ≤



≤ ≤
