Chuyên đề: Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về tích vô hướng của hai vectơ

Tên đề tài:

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
- Mục tiêu dạy học của bộ môn toán nói chung, hình học nói riêng,
không chỉ đòi hỏi người giáo viên cần phải truyền đạt những tri thức mà còn
phải giúp cho các em rèn luyện các kĩ năng cơ bản, phát triển tư duy.
- Qua nhiều năm dạy học, qua nhiều đợt kiểm tra học kỳ I của khối 10,
bản thân tôi nhận thấy bài “ Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng ” là rất
quan trọng, nó chiếm trên hai phần ba số điểm của phần hình học trong bài
kiểm tra học kỳ I. Thể loại toán về “ tích vô hướng” vô cùng rộng lớn và
phong phú cả về thể loại, nội dung cũng như mức độ yêu cầu của từng thể loại.
Loại bài tập này vận dụng được cho nhiều đối tượng học sinh trong khối. Đặc
biệt, có một vài dạng được đánh giá là loại bài nhằm phát triển tư duy của học
sinh. Nó thường được đóng vai trò làm câu khống chế điểm 9, điểm 10 trong
đề thi hằng năm. Bên cạnh đó, bài học này là bài cuối cùng của học kỳ I nên
các em không có thời gian rèn luyện nhiều, chưa có đủ thời gian để “ ngấm”.
- Giúp cho các em học sinh mới bắt đầu chương trình toán lớp 10 thấy
được những kiến thức nào là trọng tâm, nắm vững được những dạng toán cơ
bản và phương pháp giải quyết các dạng toán ấy. Ngoài ra, các em còn được
tiếp cận với những kiến thức có tính nâng cao để chuẩn bị cho các kì thi sau
này.
- Để có những hiểu biết sâu sắc để truyền thụ cho học sinh về mảng
kiến thức liên quan đến “ tích vô hướng ” có hiệu quả nhất, chúng tôi chọn
chuyên đề nghiên cứu là “ Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về
tích vô hướng ”. Chuyên đề được trình bày thành năm dạng toán, mỗi dạng
toán có các yêu cầu cụ thể như sau:
+ Kiến thức cần nhớ: Phần này tóm tắt các khái niệm, định nghĩa, định

2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
A. NỘI DUNG
Vấn đề 1: Kiến thức cơ bản
Phương pháp
r
r
- Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, được xác định
r r r r
r r
bởi công thức a.b  a . b .cos a, b

 

- Các tính chất của tích vô hướng
r r r
Với ba vectơ a, b , c bất kỳ và mọi số k ta có:
r r rr
a.b  b .a
r r r
r r rr
a. b  c  a.b  a.c
r r
r r
r r
ka .b  k a.b  a. kb
r2
a 0
r2
r r
a 0a0

Bài toán 1: Cho ba điểm A, B, C phân biệt. So sánh giá trị của hai biểu thức
uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2
AB. AC và AB . AC . Khi nào thì chúng bằng nhau ?





Lời giải
uuur
uuur
uuur
uuur
Đặt AB  m, AC  n , góc giữa hai vectơ AB và AC là  . Khi đó
uuur 2 uuur 2
AB . AC  AB 2 . AC 2  m.n
uuur uuur 2
2
AB. AC   m.n.cos    m2 .n 2 .cos 2   m2 .n 2





Gv:Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

2


Bài toán 2: Cho ba vectơ a, b , c
r r r r rr
1) Đẳng thức a.b c  a b .c có đúng không ? Vì sao ?
r r r
r rr
2) Trong hai biểu thức a  b .c và a  b .c , biểu thức nào có nghĩa ?

 

 





Vì sao ?
Lời giải
r r r
r
r r
r r
1)
Ta có a.b là một số thực, chẳng hạn a.b  m, m  R . Khi đó a.b c  m.c
r
là một vectơ cùng phương với vectơ c .
rr
rr
Tương tự, b .c là một số thực, chẳng hạn b .c  n, n  R . Khi đó
r
r rr




Bài tập đề nghị
r
r r r
1) Cho ba vectơ a, b , c khác 0 . Trong trường hợp nào đẳng thức sau đây đúng
r r r r rr
a.b c  a b .c ?
r r
2) Trong trường hợp nào tích vô hướng a.b có giá trị dương, có giá trị âm,
bằng 0 ?
r r
3) Với hai vectơ a , b bất kì. Chứng minh:

 

 

Gv:Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

3


Chuyên đề: Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về tích vô hướng của hai vectơ




CB
r .uuu
r
2) AB.BC .
Lời giải
A

B

60
C

B'

0
0
ˆ
1) Tam giác ABC vuông tại A có Bˆ  60 nên C  30 , từ đó ta có
2
2
2
1
AB  BC  4 và AC  BC  AB  48 . Do đó AC  4 3
2
uuur uuur
.  CACB
. .cosC  48
Vậy CACB
uuur uuu
r

toán
r uuu2:
r Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng. Biết MN= 5, MP = 7. Tính
MN .MP .
Phân tích bài toán
Với giả thiết cho ba điểm M, N, P thẳng hàng thì sẽ có hai khả năng xảy ra:
uuuur
uuur
- Thứ nhất, điểm M nằm ngoài đoạn NP. Lúc đó 2 vectơ MN và MP cùng
hướng nên góc giữa chúng bằng 00 .
P

N

M

uuuur
uuur
- Thứ hai, điểm M nằm trong đoạn NP. Lúc đó 2 vectơ MN và MP ngược

hướng nên góc giữa chúng bằng 1800 .
N

P

M

Lời giải
Ta phân biệt hai trường hợp
uuuur uuur

uuur uur uuur
Ta có:
uuur JMuur JI
uur IM
uur uuur
uuur uur
và JN  JI  IN  JI  IM (vì IM , IN là hai vectơ đối nhau).
uuur uuur
uur uuur uur uuur
uur 2 uuur 2
Do đó JM .JN  JI  IM JI  IM  JI  IM  R 2  a 2 .







Bài tập đề nghị
Gv:Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

5


Chuyên đề: Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về tích vô hướng của hai vectơ

1) Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AC  b . Tính
uuur uuur uuur

Vấn đề 3: Tập hợp điểm thỏa một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài
Phương pháp: Đưa đẳng thức về các dạng sau:
uuuur
r
r
 Dạng 1: AM  kv . ( k thay đổi, A cố định, v không đổi )
r
Tập hợp các điểm M là đường thẳng qua A và cùng phương với v .
uuur uuur
 Dạng 2: MA  MB . (A,B cố định )
Tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
 Dạng 3: AM 2  k . ( k: hằng số, A cố định).
Nếu k < 0 thì tập hợp các điểm M là 
Nếu k = 0 thì tập hợp các điểm M là  A
Nếu k > 0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính R  k .
uuur
uuuur uuur
 Dạng 4: AM .BC  k ( A cố định, AB không đổi, k là hằng số )
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A và M trên đường thẳng BC.
Nếu k = 0 thì tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với BC tại F.
Nếu k  0 : Dùng công thức hình chiếu ta có:
uuuur uuur
uuur uuur
AM .BC  k  EF .BC  k

Gv:Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

6

uuur uuur uuur uuuur
1) MA  MB . MB  MC  0
uuur uuur uuur uuuur
2) MA.MB  MA.MC
uuur 2 uuur uuuur
3) MA  MB.MC







Lời giải
A

I

B

J

C

uuur uuur
uuur
1) Gọi I là trung điểm của AB. Ta có MAuuu
 rMBuuu
 ur2MI uuur
Tương tự,

A

F
M
I

B
E

Ta có:
uuur 2 uuur uuuur
MA  MB.MC
uuur 2
uuur uuur
 MA  ME  EB
uuur 2
uuur uuur
 MA  ME  EB
uuur 2 uuur 2 uuur 2
 MA  ME  EB
uuur 2 uuur 2 uuur 2
 EB  ME  MA
uuur 2
uuur uuur
 EB  ME  MA

C




uur BC 2
.
IF 
8EA
Lời bàn: Câu 3 này là dạng toán nâng cao, dành cho học sinh khá, giỏi.
Các em có dịp làm quen với các dạng bài tập này nhằm giúp cho các em có điều
kiện rèn luyện để nâng cao kĩ năng giải toán.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC.Tìm tập hợp các điểm M sao cho
uuur uuur uuuur uuur uuur
1) MA  MB  MC  MA  MB
uuur uuur uuuur
uuur uuur uuuur
2) MA  MB  MC  2MA  MB  MC
Lời giải
1)
Gv:Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

8


Chuyên đề: Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về tích vô hướng của hai vectơ

A

G

B


C
B

l

uuur uuur uuuur uuur uuur
 MA
CB
Ta có MA  MB  MC uuu
r 
uuu
r
AD

CB
Dựng điểm
D
sao
cho
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
Khi đó MA  MB  MC  MA  AD  MD (1)
Mặt khác:
uuur uuur uuuur
uuur uuur
uuur uuuur
uuur uuur
2MA  MB  MC  MA  MB  MA  MC  BA  CB (2)
uuuur uuur uuur
Từ (1), (2) và từ hệ thức đề bài cho ta được MD  AB  AC .
uuur uuur uur

Đặt AB  a , I là trung điểm của AB.
Ta có
uuur uuur
MA.MB  k
uuur uur uuur uur
 MI  IA . MI  IC  k
uuur uur uuur uur
 MI  IA . MI  IA  k










 MI 2  IA2  k
a2
 MI  k  IA  k 
4
2
a
*Nếu k 
thì tập hợp các điểm M là  .
4
a 2
*Nếu k 
thì tập hợp các điểm M là tập gồm một điểm M.


a2
 AB  a 
4
Tương tự như cách trên ta tìm được tập hợp các điểm M tùy theo k.
Từ (1) và (2) suy ra MI 2  k 

Bài tập đề nghị
uuur r
r
1) Cho a  0 , điểm A cố định.Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.a  k .
2) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức
MA2  MB2  MC 2  MD2  k (k  0) với A, B, C, D là bốn điểm cố định
cho trước.
3) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2  2MB2  k (k  R ) với A, B cố
định cho trước và AB  a .
Hướng dẫn
uuur
uuur r
Gọi C là điểm thỏa hệ thức CA  2CB  0  C cố định
Gv:Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

10


Chuyên đề: Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về tích vô hướng của hai vectơ

1

uuur 2
uuur uuur 2
Chú ý: AB 2  AB  MA  MB với điểm M tùy ý
-





Bài toán 1: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC
uuur uuur
vuông tại A là BA.BC  AB 2 .
Phân tích:
uuur uuur
uuur uuur
1)
Biến đổi tương đương đẳng thức BA.BC  AB 2 để đạt được AB. AC  0
hoặc BC 2  AB2  AC 2 .
2)
Viết giả thiết của
dạng các đẳng thức vectơ rồi biến đổi
uuurbài
uuurtoán dưới
2
tương đương để được BA.BC  AB
Lời giải
Cách 1:
Ta có
uuur uuur
BA.BC  AB 2

uuur uuur
 AC 2  AB 2  BC 2  2BA.BC
uuur uuur BA2  BC 2  AC 2
 BA.BC 
2
Do đó
uuur uuur
BA.BC  AB 2
BA2  BC 2  AC 2

 AB 2
2
2
 BC  AB2  AC 2
 ABC vuông tại A.





Cách 3:
vuông tại A.
ABC
uuu
r uuur
 AB. AC  0
uuur uuur uuur
 AB. AB  BC  0
uuur uuur
2




Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A, I là trung điểm của BC, J là hình
chiếu của I lên AC. M là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng AM  BJ .
Lời giải

Gv:Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

12


Chuyên đề: Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về tích vô hướng của hai vectơ

A

J

B

M
C

I



uuuur 1 uur uuur

1 uur uur uuur uur
 AI .IJ  AJ .IC
2









uur uur
( Vì BI  IC )

1
 IJ 2  IJ 2   0

2
Vậy AM  BJ


Bài toán 3:( Đề thi học kì I – Năm học 2012 -2013- Trường THPT
Nguyễn Hữu Cảnh ) Cho hình thang cân ABCD có hai cạnh đáy là AD và
uuur uuur uuur uuur
BC, BC = 2AD. Chứng minh 2 AB. AD  CB.CD  0 .

Lời giải

Gv:Nguyễn Thị Hồng Vân

uuurABC, lấy các điểm M, N, P sao cho
MB  2MC  NA  2 NC  PA  PB  0. Chứng minh rằng
uuuur
uuur
PM  3PN .

Lời giải
Ta có
uuuur uuur uuuur 1 uuur
uuur
PM  PB  BM  AB  2 BC
2
uuu
r
uu
u
r
uuur
1
 AB  2 BA  AC
2
uuur
3 uuur

AB  2 AC
2
uuur uuur uuur 1 uuur 2 uuur
AB  AC
Và PN  PA  AN 
2






Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

14


Chuyên đề: Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về tích vô hướng của hai vectơ



uuur 2
uuur uuur uuur
 AH  0  HD. AH  HB



4) Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngoài tam giác ABC các tam giác
vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng
minh rằng AM vuông góc với DE.
5) Cho tam giác ABC với ba trung tuyến là AD, BE, CF. Chứng minh rằng
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
BC. AD  CA.BE  AB.CF  0.
6) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là một điểm tùy ý. Chứng
uuur uuur
minh rằng MA.MB  OM 2  OA2 .
7) Cho tam giác ABC. Gọi P là trung điểm của AB và Q là một điểm trên cạnh

r
2) a  a 2  b 2
rr
a.b
a1b1  a2b2
r r
3) cos(a, b )  r r 
a .b
a12  a2 2 . b12  b2 2

 Cho hai điểm A( xA ; y A ), B( xB ; yB )
uuur
Khi đó AB  AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2

m

 3
Bài toán 1: Trong mặt phẳng 0xy cho A(4;6), B (1; 4), C  7;  . Chứng
 2
minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.

Lời giải
Gv:Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

15


Chuyên đề: Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về tích vô hướng của hai vectơ

Lời giải
Gọi H ( x, y) là trực tâm của tam giác ABC
Ta có
uuur uuur

AH

BC

 AH .BC  0
  uuur uuur

 BH  AC
 BH . AC  0
4

x

3x  5 y  8

9


3x  7 y  8
y  4

3

 4 4 
H ; 

uuur uuuur
 AB, MC cùng hướng
uuur
uuuur
 k  R* : AB  k MC

4  k (2)

(k  0)
2  k (3  m)
m  2

k  2
Vậy M (0;2).
c) Đáp số : H (6; 5)
Bài tập đề nghị
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(1;3), B( 5;5), C(-2;6).
uuur
uuur
r
r
a) Tìm tọa độ a thỏa a  4 AB  6 AC .
b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
2) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(-1;1), B(3;1), C(2;4)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I của đường tròn ngoại tiếp
uuur
uur
tam giác ABC. Hãy kiểm nghiệm lại hệ thức IH  3IG.

Vậy giá trị nhỏ nhất của MA  MB là 2 khi M(4;0).
B. BIỆN PHÁP
- Trong mỗi tiết dạy, giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập, lĩnh hội
kiến thức một cách chủ động, giúp cho các em thấy được nhu cầu nhận thức là
quan trọng.
- Giáo viên cần định hướng, hệ thống đối với mỗi đơn vị kiến thức.
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
- Toán học là môn khoa học mang tính trừu tượng cao, nhưng ta sử dụng các
phương pháp khác nhau trong khi dạy học thì học sinh hiểu bài một cách sâu sắc
hơn, dễ tiếp thu hơn, phát huy tính tích cực, chủ động lĩnh hội kiến thức của các
em học sinh.
- Do trong mỗi bài của sách giáo khoa bao gồm nhiều vấn đề lý thuyết khác
nhau nên việc phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập theo hướng nâng
dần mức độ phức tạp và rèn kĩ năng suy luận là rất cần thiết đối với học sinh. Để
từ đó các em học sinh tích cực chủ động trong học tập có điều kiện luyện tập khắc
sâu kiến thức.
- Qua quá trình giảng dạy, mỗi khi dạy một chủ đề mà mỗi giáo viên biết cách
phân loại và có phương pháp giải các bài toán thì học sinh sẽ tiếp thu bài học
nhanh hơn và rèn luyện được kĩ năng giải toán.
- Qua quá trình giảng dạy theo chương trình phân ban, tôi nhận thấy rằng các
tiết học tự chọn cho học sinh lớp 10 mà mỗi chủ đề đều nêu lại các kiến thức cơ
bản, phân loại và phương pháp giải các dạng toán, sau đó là các ví dụ minh họa
cụ thể và các bài toán áp dụng làm cho hiệu quả của giờ học tăng lên rõ rệt, đã
phát huy được tính tích cực chủ động xây dựng bài, rèn luyện kĩ năng giải toán
cho các em.
Gv:Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

18


Yếu

18

20,69

14

15,55

8

8,69

TB

40

45,97

43

47,77

46

50,00

Khá

sinh. Chất lượng dạy học của giáo viên được đánh giá qua sự đam mê và hiệu quả
vận dụng kiến thức của các em học sinh thông qua các bài kiểm tra. Vì vậy khi dạy
các bài tập dạng này, nhiệm vụ của giáo viên là không chỉ đơn thuần cung cấp
kiến thức cho các em mà phải hướng dẫn cho các em biết cách tư duy để tìm ra
con đường phải đi. Từ đó rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức một cách linh
hoạt, sáng tạo nhằm phát triển năng lực của mỗi học sinh.
Trong phạm vi chuyên đề này, tôi chỉ đề cập đến việc phân loại và
phương pháp giải các dạng bài toán về tích vô hướng của hai vectơ mà bản thân đã
sử dụng trong một số tiết dạy tự chọn và đạt được hiệu quả cao trong giờ học, tầm
hiểu biết của học sinh được nâng cao làm cho học sinh thấy kiến thức toán học có
mối quan hệ chặt chẽ với thực tiễn và khoa học kĩ thuật, tạo cho học sinh ý thức
vận dụng toán vào thực tế. Thiết nghĩ, mỗi giáo viên cần tìm tòi nhiều phương
pháp giảng dạy hơn nữa để đáp ứng nhu cầu học tập ngày càng cao của học sinh.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ khi dạy học sinh về mảng kiến
thức liên quan đến tích vô hướng. Tuy chưa đem lại hiệu quả cao cho toàn thể học
sinh song đối với bản thân là cả một quá trình tìm tòi, đúc kết qua nhiều năm đứng
lớp. Thiết nghĩ, mỗi giáo viên chúng ta thường xuyên gom nhặt, tích lũy, sắp xếp
khoa học và cùng nhau thảo luận, chia sẻ, mở rộng kiến thức thì kinh nghiệm dạy
ngày càng dày dặn hơn, hiệu quả dạy học bộ môn cũng từ đó được nâng lên.
Do trình độ giới hạn, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, mặc dù đã hết
sức cố gắng, xong sai sót là điều khó tránh khỏi, rất mong nhận được ý kiến đóng
Gv:Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

19


Chuyên đề: Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về tích vô hướng của hai vectơ