WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 1 -WWW.VNMATH.COM
CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Phép biến hình .
ª ĐN : Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác đònh được một điểm duy nhất
M của mặt phẳng , điểm M gọi là ảnh của M qua phé
f
p biến hình đó .
ª Kí hiệu : f là một phép biến hình nào đó và M là ảnh của M qua phép f thì ta viết : M = f(M) hay
f(M) = M hay f : M M hay M M . Điểm M gọi là tạoII
12 2 1
ª
ảnh .
f là phép biến hình đồng nhất f(M) = M , M H .
Điểm M gọi là điểm bất động , kép , bất biến .
f ,f là các phép biến hình thì f f là phép biến hình .
Nếu H l
à một hình nào đó thì tập hợp các điểm M= f(M), với M H, tạo thành một hình H được gọi là
ảnh của H qua phép biến hình f và ta viết : H = f(H) .
x = 2x 1
1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = .
y = y + 3
Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4)
Giải :
a) A = f(A) = (1;5)
b) B =
I
11 22
11 1 1
22 22
Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y )
Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) .
f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y )
I
I
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 2 -WWW.VNMATH.COM
22 22
21 21 21 21
12
Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y )
Nếu x x thì M N MN . Vậy : f không phải là phép dời hình .
(Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách) .
6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm ảnh của đường
thẳng ( ) : x 3y 2 = 0 qua phép biến hình f .
Giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
I
Qua M ( 4;1)
x+ 4 y 1
( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ ( ):x 6y 2 0
61
VTCP : M N (6; 1)
22
7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x
I
I
22
2) + (y 3) = 4
8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 3 -WWW.VNMATH.COM
b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
yy1 yy1
Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) (
I
) : x2y40
Cách 2: Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N .
( ) // ( ) .
Lấy M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)
Vì ( ) // ( ) ( ):x + 2y m = 0 (m 5) . Do : ( ) M (2;1) m = 4 ( ):x 2y 4 0
c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
I
22 22
x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
yy1 yy1
Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = 2 (x 4) (y 3) 2
M (x ;y
I
d) Dùng biểu thức toạ độ
x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
y y1 yy1
I
22 2 2 2 2
x y (x + 3) (y 1) (x + 3) (y 1)
Vì M(x;y) (E) : + = 1 + = 1 M (x ;y ) (E ) : + = 1
32 3 2 3 2
9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3
I
22
2
22 2
= 0.
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x .
11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( ; 3y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ?
2
A. f (O) = O (O là điểm bất biến) B. Ảnh của A Ox thì
I
ảnh A = f(A) Ox .
C. Ảnh của B Oy thì ảnh B = f(B) Oy . D. M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9)
ĐS : Chọn D . Vì M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9)
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 4 -WWW.VNMATH.COM
Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ĐN : Phép tònh tiến theo vectơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M sao cho MM u.
u
y= y + b
I
3 Tính chất :
ĐL: Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì .
HQ :
1. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
2. Biến một tia thành tia .
3. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
5. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
6. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .
Biến 7. tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )II
8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó .
(Tâm biến thành tâm : I I , R = R )
I PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM
Cách 3
II
: Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) M , N (H )IB, BÀI TẬP
1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M của điểm M(3; 2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) .
Giải
x32 x5
Theo đònh nghóa ta có : M = T (M) MM u (x 3;y 2) (2;1)
u
y21 y 1
3 Trong mpOxy . Tìm ảnh A ,B lần lượt của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (3;1) .
Tính độ dài AB , A B .
Giải
Ta có : A= T(A) (5;4) , B= T(B)
uu
12
12
(4;2) , AB = |AB| 5 , A B = |A B | 5 .
4 Cho 2 vectơ u ;u . Gỉa sử M T (M),M T (M ). Tìm v để M T (M) .
12 1 u 2 u 1 2 v
Giải
Theo đề : M T (M) MM u , M T (M ) M M
1u 1 1 2u 1 12
u .
Giải Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) .
uu
qua A (1; 1)
x1t
Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts :
u
y12t
VTCP : A B = (1;2)
6 Đường thẳng cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh
của qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 1; 2) .
Giải
Vì : A T (A) (0; 2) ,
u
22
ủa đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) 4 qua phép tònh tiến theo vectơ u = (1; 3) .
Giải
x = x + 1 x = x 1
Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là :
u
y= y 3 y = y+ 3
Vì : M(x;y) (
22 22 22
C) : (x + 1) (y 2) 4 x (y 1) 4 M (x ;y ) (C ) : x (y 1) 4
22
Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : x (y 1) 4
22
9 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 1 qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 2;4) .
x= x 2 x = x+ 2
Giải : Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là :
u
y= y 4 y = y 4
22 22 22
Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) 1 (x 1) (y 2) 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 1
22
Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : (x 1) (y 2) 1
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 6 -WWW.VNMATH.COM
Vì I là trung điểm của AC nên :
D =
x12 x 3
DD
T(I) IDBI D(3;4)
BI
y22 y4
DD
Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) .
11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d . Hãy chỉ ra một
phép tònh tiến
II
13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động
trên đường tròn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC.
Giải
Gọi J là trung điểm cạnh AB . Khi đó d
ễ thấy J cố đònh và IM JB .
Vậy M là ảnh của I qua phép tònh tiến T . Suy ra : Quỹ tích của M là
JB
ảnh của đường tròn (C) trong phép tònh tiến theo vectơ JB
2
14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T là phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n)
và (P ) là ảnh của (P) qua phép tònh tiến đó . Hãy viết phương trình của
222
Vậy : Ảnh của (P) qua phép tònh tiến T là (P ) : y = a(x m) n y = ax 2amx am n .
u
15 Cho đt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectơ u 0 để = T ( ) .
u
Gi
ải : VTCP của là a = (2; 6) . Để : = T ( ) u cùng phương a . Khi đó : a = (2; 6) 2(1; 3)
u
chọn u = (1; 3) .
16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( 5;2) , C( 1;0) . Bi
ết : B = T (A) , C = T (B) . Tìm u và v
uv
để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ?
Giải
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 7 -WWW.VNMATH.COM
T
u+v
C(x ;y ) . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5)
x11 x 2
Do đó : K =T (K) KK (1;5) K (2;7) .
uv
y25 y7
Tương tự : M (4;4) , N (3;2) .
18 Trong hệ trụ
uu
ùp tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) .
HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 2 ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = 2 .
Ta thấy : R = R = 2 nên có phép tònh tiến theo vectơ u
= (4;1) biến (C) thành (C ) .
20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) và B :2x y 5 = 0 . Tìm tập
hợp đỉnh C ?
Giải
Vì OABC là hình bình hành nên : BC
111
AB AB AB
222
, và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I .
111 123123
HD :
Xét phép tònh tiến : T biến A C,C B,B A .
1111
AB
2
TTT
AB C C BA ;O O ;I I .
11 1 1 1 2 1 2
III
III
OO II OO II .
12 12 12 12
Lý luận tương tự : Xét các phép tònh tiến T ,T suy ra :
11
BC CA
22
OO II và OO II OO II,OO II OOO III (
o
Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 .
Đònh lý hàm cos trong MCD :
3
222 22
MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12. 36
2
MD = 6cm .
1
Ta có : MD = CD và MC = MD 3 MDC là tam giác
2
đều
MCD là nửa tam giác đều DMC 90 và MDA 30 .
Vậy : MDA MAD MAB 30 AMD là tam giác cân tại M .
a
M a thì Đ (M) M a là đường trung trực của MMaa
Đ(M) M thì Đ(M) M
aa
Đ (H) H thì Đ (H ) H , H là ảnh của hình H .
d
ĐN : d là trục đối xứng của hình H
Đ
(H) H .
Phép đối xứng trục hoàn toàn xác đònh khi biết trục đối xứng của nó .
Chú ý : Một hình có thể không có trục đối xứng ,có the
å
có một hay nhiều trục đối xứng .
g tâm trọng tâm )
6. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )
7. Góc thành góc bằng nó .
I
I
a
PP : Tìm ảnh M = Đ (M)
1. (d) M , d a
2. H = d a
3. H là trung điểm của MM M ?
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 9 -WWW.VNMATH.COM
a
min
min
Tìm M ( ) : (MA+ MB)
Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối với ( ) :
1) gọi A là đối xứng của A qua ( )
2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B
Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( )
min
Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với ( ) :
M ( ), thì MA + MB AB
Ta có: (MA+MB) = AB M = (AB) ( )
B . BÀI TẬP
Đ
Đ
Oy
Ox
1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(2;1) đối xứng qua Ox , rồi đối xứng qua Oy .
HD : M(2;1) M (2; 1) M ( 2; 1)
2 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(a;b) đối xứng qua Oy , rồi đối xứ
II
ĐĐ
ab
ĐĐ
ab
tđ(m;y) tđ(
M (5; 4) [ vẽ hình ] .
4 Cho 2 đường thẳng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0).
Tìm M : M(x;y) M (x ;y ) M (x ;y ).
x2mx
HD : M(x;y) M
yy
II
cắt aK aK(2;1)
1
M( 1;5) d M, a d: x y 4 0 H(1/ 2;7/ 2):tđiểm của MM M Đ (M) (2;2)
KM : x 4y + 6 = 0
a
a
a
8 Tìm b = Đ (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y + 3 = 0 .
HD : a Ox = K( 3;0) .
39
M O(0;0) Ox : M = Đ (M) = ( ; ) .
55
b KM : 3x + 4y 9 = 0 .
9 Tìm b = Đ (Ox) với đườ ng thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 .
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 10 -WWW.VNMATH.COM
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay)
Cách 2 : K= a Ox K(3;0)
P(0;1) a Q = Đ (P) = (0; 1)
b KQ : x 3y 3 = 0 .
a
11 Cho 2 đường thẳng ( ) : x 2y + 2 = 0 , (a) : x 2y 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .
PP : / /a
Cách 1 : Tìm A,B A ,B A B
Cách 2 : Tìm A A / / , A
a
22
( ) và (C ) là ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục a .
Qua M( 3;2)
a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) :
a
+ (d) (a) (d) : 2x y + m = 0 . Vì (d) M( 3;2) m = 4 (d):2x y 4 = 0
x1
2
M ( 1; 2)
1y2
0(2y)
2
b) Tìm ảnh ( ) :
13
Vì ( ) cắt (a
12
)K= ()(a)
x + 3y 8 = 0
Toạ độ của K là nghiệm của hệ : K (2; 2)
x2y + 2 = 0
E
11
y(yy)1(3y)
22
Q
Q
1
Q(1; 1)
y1
Qua K(2;2)
x2 y2
+ ( ) (KQ) : ( ): 3x y 4 0
Đ
a
a
22
22
+ Tâm I = Đ [I( 3; 2)] ( ; )
(C )
55
R = 2
BK : R = R = 2
22
(C ) : (x ) (y ) 4
55
I
22
22
Đ
Ox
16 Cho điểm M(2; 3), đường thẳng ( ) : 2x + y 4 = 0, đường tròn (C) : x y 2x 4y 2 0.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng qua Ox .
xx
HD : Ta có : M(x;y) M (
yy
Ox
Đ
Ox
17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x y+3 = 0 . Tìm ảnh của a qua Đ .
xx xx
Giải : Ta có : M(x;y) M
yyyy
Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 0 2(x ) ( y )+3 = 0 2x y +3 = 0 M (
I
Đ
Oy
x ;y ) (a ) : 2x y + 3 = 0
Vậy : (a) (a ) : 2x y + 3 = 0
I
WWW.VNMATH.COM
- 12 -WWW.VNMATH.COM
22
a
a
19 Trong mpOxy cho đthẳng (a) : 2x y 3 = 0 , ( ) : x 3y 11 = 0 , (C) : x y 10x 4y 27 = 0 .
a) Viết biểu thức giải tích của phép đối xứng trục Đ .
b) Tìm ảnh của điểm M(4; 1) qua Đ .
aa
22
Đ
a
c) Tìm ảnh : ( ) = Đ ( ),(C ) Đ (C) .
Giải
a) Tổng quát (a) : Ax + By + C=0 , A B 0
Gọi M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM (x x;y y) cùng phương VTPT n = (A;B) MM tn
x
I
22
22 22
Đ
a
B
2A(Ax + By + C) 2B(Ax + By + C)
x x ;y y
Giải
15
Vì ( ) và ( ) cắt nhau . Do đó trục đối xứng (a) của phép đối xứng biến ( ) thành ( ) chính
51
là đường phân giác của góc tạo bởi ( ) và ( ) .
1
2
12
x y 5 0 (a )
| x 5y 7 | | 5x y 13|
Từ đó suy ra (a) :
x y 1 0 (a )
1 25 25 + 1
Vậy có 2 phép đối xứng qua các trục ( ) : x y 5 0 , ( ):x y 1 0
ĐS : A (1;5), B (4;6) và C( 3;1)
24 Xét các hình vuông , ngũ giác đều và lục giác đều . Cho biết số trục đối xứng tương ứng của mỗi
loại đa giác đều đó và chỉ ra cách vẽ các trục đối xứng đó .
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 13 -WWW.VNMATH.COM
ĐS :
Hình vuông có 4 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng
đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .
Ngũ giác đều co
ù 5 trục đối xứng ,đó là các đường thẳng đi qua đỉnh đối diện và tâm của ngũ giác đều .
Lục giác đều có 6 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng đi
qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .
d
25 Gọi d là phân giác trong tại A của ABC , B là ảnh của B qua phép đối xứng trục Đ . Khẳng đònh
nào sau đây sai ?
A. Nếu AB < AC thì B ở trên cạnh AC .
A B CII
. Khẳng đònh nào sau đây không sai ?
A. A,B,C đường tròn (O, R = OC) .
B. Tứ giác OABC nội tiếp .
C. ABC cân ở B
D. ABC vuông ở B
12
HD : A. Không sai . Vì d là trung trực của AB OA = OB , d là trung trực
của BC OB = OC OA = OB = OC A,B,C đường tròn (O, R = OC) .
Các câu B,C,D có thể sai .
27 Cho ABC có hai trục đối xứng . Khẳng đònh nào sau đây đúng ?
A. ABC là vuông B. ABC là vuông cân C. ABC là đều D. ABC là cân .
HD: Gỉa sử ABC có 2trục đối xứng là AC và BC
o
HD : Chọn D . Vì : ABC có trục đối xứng khi ABC cân hoặc đều
Vì A 110 90 ABC cân tại A , khi đó :
180 A 180 110
B C 35
22
29 Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng nhất ?
A. Hình chữ nhật B. Hình vuông C. Hình thoi D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn B. Vì : Hình vuông có 4 trục đối xứng .
30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ?
A. Hình chữ nhật B. Hình vuông C. Hình thoi D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn D. Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng .
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 14 -WWW.VNMATH.COM
31 Trong các hình sau , hình nào có 3 trục đối xứng ?
A. Hình thoi B. Hình vuông C. đều D. vuông cân . ĐS : Chọn C. Vì : đều có 3 trục đối xứng .
32 Trong các hình sau , hình nào có nhiều hơn 4 trục đối xứng ?
A. Hình vuông B. Hình thoi
ABE = AB F B B
biết AB = AB
I
Đ
AE
ĐĐ
AAE
EC = EC
Mặt khác : C C
AC = AC = a 2
BAB
Ngoài ra : AD = AD và D AE DAE 90
II
Đ
BC
Đ
BC
CC
Vậy : Đường tròn ngoại tiếp KBC Đường tròn ngoại tiếp HBC
I
I
a
36 Cho ABC và đường thẳng a đi qua đỉnh A nhưng không đi qua B,C .
a) Tìm ảnh ABC qua phép đối xứng Đ .
b) Gọi G là trọng tâm ABC , Xác đònh G là ảnh của G qua phép đối xứng Đ
a
.
a
a
a
a
Giải
a) Vì a là trục của phép đối xứng Đ nên :
A a A Đ (A) .
B,C a nên Đ : B B,C C sao cho a là trung trực của BB ,CC
- 15 -WWW.VNMATH.COM
38 (SGK-P13)) Cho góc nhọn xOy và M là một điểm bên trong góc đó . Hãy
tìm điểm A trên Ox và điểm B trên Oy sao cho MBA có chu vi nhỏ nhất .
Giải
Gọi N = Đ (M) và P = Đ (M) . Khi
Ox Ox
đó : AM=AN , BM=BP
Từ đó : CVi = MA+AB+MB = NA+AB+BP NP
( đường gấp khúc đường thẳng )
MinCVi = NP Khi A,B lần lượt là giao điểm của NP với Ox,Oy .
39 Cho ABC cân tại A với đường cao AH . Biết A và H cố đònh . Tìm tập hơ
ï
p
điểm C trong mỗi trường hợp sau :
a) B di động trên đường thẳng .
b) B di động trên đường trò
n tâm I, bán kính R .
Giải
a) Vì : C = Đ (B) , mà B nên C với = Đ ( )
AH AH
I
ĐN :Điểm I là tâm đối xứng của hình H Đ (H) H.
I
Chú ý : Một hình có thể không có tâm đối xứng .
I
Đ
2 Biểu thức tọa độ : Cho I(x ;y ) và phép đối xứng tâm I : M(x;y) M Đ (M) (x ;y ) thì
oo I
x= 2x x
o
y2yy
o
3 Tính chất :
1. Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giư
I
õa hai điểm bất kì .
2. Biến một tia thành tia .
Giải :
x13 x 4
a) Gỉa sử : A Đ (A) IA IA (x 1;y 2) ( 3;1) A (4;1)
I
y2 1 y1
Cách : Dùng biểu thức toạ độ
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 16 -WWW.VNMATH.COM
2 Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I :
1) ( ): x 2y 5 0,I(2; 1) ( ): x 2y 5 0
2) ( )
: x 2y 3 0,I(1;0) ( ):x 2y 1 0
3) ( ):3x 2y 1 0,I(2; 3)
I
I
Vì M(x;y) x 2y 5 0 (4 x ) 2( 2 y ) 5 0 x 2y 5 0
M (x ;y ) : x 2y 5 0
Đ
Vậy : ( ) ( ) : x 2y 5 0
Cách 2: Gọi = Đ ( ) song song
I
I
: x + 2y + m = 0 (m 5) .
|5| | m |
E
2
(P ):y = 2x x 3
HD:a) Co ù 2 cách giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ .
Đ
Cách 2: Tìm tâm I I ,R R (đa õ cho) .
b) Tương tự .
4 Cho hai điểm A và B .Cho biết phép biến đổi M thàn
I
h M sao cho AMBM là một hình bình hành .
Đ
Đ
ĐĐ
M N ; N P ; P Q . CMR : M Q .III I
AA A
HD :
Do (I ;R) tiếp xúc với (I ;R) tại A , nên :
12
ĐĐ Đ
M N ;I I MI NI MI NI (1)
121 212
II I
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 17 -WWW.VNMATH.COM
BB B
CC C
Do (I ;R) tiếp xúc với (I ;R) tại B , nên :
23
c) Gọi P = DE FG . Chứng minh P ở trên đường thẳng AH .
d) Chứng minh : CD BP, BF CP .
e) Chứng minh : AH,CD,BF đồng qui .
DF DF DF DF
DF
HD :
a) Do : BAD 45 và CAF 45 nên ba điểm D,A,F thẳng hàng .
ĐĐĐĐ
Ta có : A A ; D D ; F F ; C G ;
Đ
B E (Tính chất hình vuông ).
Vậy : Tập
hợp 6 điểm B,C,F,G,E,D co ù trục đối xứng chính là đường thẳng DAF .
b) Qua phép đối xứng trục DAF ta có : ABC = AEG nên BAC AEG.
Nhưng : BCA AGE ( 2 đối xứng = )
2AB
6 Cho hai điểm A và B và gọi Đ và Đ lần lượt là hai phép đối xứng tâm A và B .
AB
a) CMR : Đ Đ T .
BA
b) Xác đònh Đ Đ .
AB
HD : a) Gọi M là một điểm bất kỳ , ta có :
M
A
B
Đ
M:MA AM
Đ
M M : MB BM . Nghóa là : M = Đ Đ (M), M (1)
BA
I
I
AM nên MA M A 0 . Suy ra : MM 2AB M T (M), M (2)
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 18 -WWW.VNMATH.COM
2AB
2BA
Từ (1) và (2) , suy ra : Đ Đ T .
BA
b) Chứng minh tương tự : Đ Đ T .
AB
7 Chứng minh rằng nếu hình (H) có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì
(H) có tâm đối xứng .
HD : Dùng hình thoi
Gỉa sử hình (H) có hai trục đối xứng vuông góc với nhau
2O 2
8 Cho
N
ABC có AM và CN là các trung tuyến . CMR : Nếu BAM BCN = 30 thì ABC đều .
HD :
Tứ giác ACMN có NAM NCM 30 nên nội tiếp đtròn tâm O, bkính R=AC và MON 2NAM 60 .
Đ
Xét : A B (O)II
1 ĐN : Trong mặt phẳng cho một điểm O cố đònh và góc lượng giác . Phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M sao cho OM = OM và (OM;OM ) = được gọi là phép quay tâm O với
Phép quay hoàn toàn xác đònh khi biết tâm và góc quay
Kí hiệu : Q .
O
góc quay .
Chú ý : Chiều dương của phép quay chiều dương của đường tròn lựơng giác .
2k
Q phép đồng nhất , k
(2k+1)
Q phép đối xứng tâm I , k
2 Tính chất :
ĐL : Phép quay
(O; )
/
1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) . Tìm M = Q (M) .
(O ; )
HD :
x = rcos
Gọi M(x;y) . Đặt : OM = r , góc lượng giác (Ox;OM) = thì M
y = rsin
Q
//
Vì : M M . Gọi M (x ;y ) thì đoI
(O; )
(I; )
oo
(I; )
oo
Đặc biệt :
Q
x = x cos ysin
//
M M
y = xsin ycos
Q
xx = (xx)cos (yy)sin
/
oo o
M M
yy = (xx)sin (yy)cos
I(x ;y )
oo o
Q
M
I(x ;y )
I
I
Q
///
Giải . Gọi : M(x;y) M (x ;y ) . Ta có : OM = 2 2, (Ox; OM) I
=
x = rcos( +45 ) rcos .cos45 rsin .sin45 x.cos45 y.sin45
/
Thì M
y = rsin( +45 ) rsin .cos45 r cos .sin 45 y.cos45 x.sin45
(O;45 )
(O;45 )
(O;45 )
Q
/
a) A(2;2) A (0 ;2 2)
Q
/
Tâm I(1;0)
Tâm I ?
b) Vì (C) : (C ) :
Bk : R = 2
Bk : R = R = 2
Q
22 2 2
/22
I(1;0) I ( ; ) . Vậy : (C ) : (x ) + (y ) =
22 2 2
I
I 4
x= xcos ysin
33
Ta có f : M(x;y) M (x ;y ) với f là phép quay Q
(O; )
y= xsin ycos
3
33
I
4 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : 2x y+1= 0 . Tìm ảnh của đường thẳng qua :
a) Phép đối xứng tâm I(1; 2). b) Phép quay Q .
(O;90 )
Giải
a) Ta có : M (x ;y ) = Đ (M) thì biểu thức
I
x2x x2x
tọa độ M
y4y y4y
Vì M(x;y) ( ) : 2x y+1= 0 2(2 x ) ( 4 y ) 1 0 2x y 9 0
M (x ;y ) ( ): 2x y 9 0
(
Q
x rcos( 90 ) rsin y x y
M
= rsin y x
y rsin( 90 ) rcos x
Vì M(x;y) ( ) : 2(y ) ( x ) + 1 = 0 x 2y + 1 = 0 M (x ;y ) ( ): x 2y 1 0
Q
Vậy : ( )
I
I
(O;90 )
(O;90 )
Q
1
Cách 3 : Vì ( ) ( ) ( ) ( ) mà hệ số góc : k 2 k
2
Q
M(0;1) ( ) M (1;0) ( )
Qua M (1;0)
6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy . Tìm phép quay Q biến điểm A( 1;5)
thành điểm B(5;1) .
OA OB 26
HD : Ta có : OA ( 1;5) và OB (5;1)
OA.OB 0 OA OB
B = Q
(
(A) .
O ; 90 )
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 21 -WWW.VNMATH.COM
7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M(4;1) . Tìm N = Q (M) .
(O ; 90 )
HD :
Vì N = Q (M) (OM;ON) 90 OM.ON = 0 4x+y = 0 y= 4x (1)
(O ; 90 )
OA OB 3
o
333
B( ; ).
B
222
433343
b) Cho A(4;3) . Tìm B = Q (A) B ( ; )
(O;60 )
22
22
9 Cho đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 4 . Tìm (C ) = Q (C) .
(O ; 90 )
22
HD : Tìm ảnh của tâm I : Q (I) I ( 2;3) (C ):(x 2) (y 3) 4 .
(O ; 90 )
22
10 Cho đường tròn (C) : (x 2) (y 2 3) 5 . Tìm (C ) =
Tìm ảnh của A và (d) qua phép quay Q .
(O ; 90 )
HD :
Ta có : A(2;0) Ox . Gọi B = Q (
(O ; 90 )
A) thì B Oy và OA = OB .
Vì toạ độ A,B thoả mãn pt (d) : x + y 2 = 0 nên A,B (d) .
Do B = Q (A) và tương tự Q (A) = C( 2;0)
(O ; 90 ) (O ; 90 )
xy xy
nên Q (d) = BC (BC) : 1
(O ; 90 )
xy 22
CC
1 xy20
Giải
a) Vì OA = OB = OC và AOC BOC COA 120 nên Q : A B,B C,C A
(O;120 )
b) Q : ABC ABC
(O;120 )
II I
16 [CB-P19] Cho hình vuông ABCD tâm O .
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay Q .
(A ; 90 )
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay Q
(O ; 90 )
HD : a) Gọi E = Q (C) thì AE=AC va
(A ; 90 )
ø CAE 90 nên AEC
vuông cân đỉnh A , có đường cao AD . Do đó : D là trung điểm của EC .
b) Ta có : Q (B) C và Q (B) C Q (BC) CD.
(O ; 90 ) (O ; 90 ) (A ; 90 )
OE
(O;60 )
(O;60 ) (O;60 ) (O;60 )
OE OE OE
, góc 60 và phép
tònh tiến T .
HD :
Gọi F = T Q . Xét :
Q(O)O,Q(A)B,Q(B)C .
T(O)E,T(B)O,T(C)D
Vậy : F(O) = E , F(A) = O ,
F(B) = D F( OAB) = EOD
19 Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương , O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó . I là
trung điểm của AB .
a) Tìm ảnh của AIF qua phép quay Q .
(O ; 120 )
b) Tìm ả
nh của AOF qua phép quay Q .
(E ; 60 )
= BN và MBN 60 BMN là tam giác đều .
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 23 -WWW.VNMATH.COM
21 [ CB-1.17 ] Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC . Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó .
Dựng về phía ngoài của ABC hình vuông ABEF . Chứng minh rằng : E chạy
trên nửa đ
ường cố đònh .
HD : Gọi E = Q (A) . Khi A chạy trên nửa đường tròn (O) ,
(B;90 )
E sẽ chạy trên nửa đường tròn (O ) = Q [(O)] .
(B;90 )
22 Cho đường (O;R) và đường thẳng không cắt đường tròn . Hãy
dựng ảnh của ( ) qua phép quay Q .
(O ; 30 )
24 Cho hai đường tròn (O) và (O ) bằng nhau và cắt nhau ở A và B .
Từ điểm I cố đònh kẻ cát tuyến di động IMN với (O) , MB và NB cắt
(O ) tại M và N . Chứng minh đường thẳng
M N luôn luôn đi qua một
điểm cố đònh.
Giải
Xét phép quay tâm A , góc quay (AO; AO ) = biến (O) thành (O ) .
Vì MM và NN qua B nên (AO;AO ) = (AM;AM ) = (AN;AN ) .
Qua phép quay Q : MI
(A; )
M , N N và do đó
Q
MN M N
Đường thẳng MN qua điểm cố đònh I nên đường thẳng M N qua
điểm cố đònh I là ảnh của I qua Q
(A; )
BG BE
và
BC) 90 (BG;BE) 90
Q:A C,GEQ:ABG CBE
(B; 90 ) (B; 90 )
b) Q :AG CE Q : M N BM BN và (BM;BN) = 90
(B; 90 ) (B; 90 )
BMN vuông cân tại B .
II
I
26 Cho ABC . Qua điểm A dựng hai tam giác vuông cân ABE và ACF . Gọi M là trung điểm của BC
và giả sử AM FE = H . Chứng minh : AH là đường cao của AEF .
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 24 -WWW.VNMATH.COM
HD :
Xét phép quay Q : Kéo dài FA một đoạn AD = AF .
(A;90 )
BJ = Q (AI) . Tâm O = ttrực của AB cung chứa góc 45 đi
(O;45 )
qua A,B BJ = Q (AI)
(O;45 )
28 [CB-1.18] Cho ABC . Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ,ACMN,ABEF
và gọi O,P,Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng .
a) Gọi D là trung điểm của AB . Chư
ùng minh rằng : DOP vuông cân tại D .
b) Chứng minh rằng : AO PQ và AO = PQ .
HD :
a) Vì : AI = Q (MB) MB = AI và MB AI .
(C;90 )
Mặt khác : DP
1
BM , DO
2
AI
DP = và DO DOP vuông cân tại D .
90 90
H Q (A) BH Q (BA)
BB
90 90 90
Vì : Q (A) H,Q (C) F Q (AC) HF .
BB B
90 90
Mà : F là trung điểm của AC , Q (F) M là trung điểm của HF . Do đó : Q (BP) BM
BB
.
90
b) Vì : Q (BP) BM BP BM,BP BM .
B
11
Mà : BM = DF và BM // DF (Đường trung bình của HDF ). Do đó : BP = DF , DF BP .
22
WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
- 25 -WWW.VNMATH.COM
(B;60 ) (B;60 )
31 Cho ABC . Về phía ngoài tam giác , dựng ba tam giác đều
BCA ,ACB ,ABC . Chứng minh rằng : AA ,BB ,CC đồng quy .
111 111
HD :
QQ
Gỉa sử AA CC I . Xét : A C,A C
11 1 1
AA
1
II
I
(B;60 )
Q
CC (A A;CC ) 60 AJC 60 (1)
111 1
Lấy trên CC điểm E sao cho : IE = IA . Vì EIA 60 EIA đều .
1
13
CI BI và DCI ABI 45 . Mà DC // AB CI BI
31 3 1 31
Q
Vậy : I I II II và II II .
3 1 21 23 21 23
Lý luận tương t
I
I
ự , ta có : I I I I là một hình vuông .
1234
Vấn đề 6 : HAI HÌNH BẰNG NHAU
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ĐL : Nếu ABC và A B C là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến ABC thành A B C .
2 Tính chất :
1. Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình .
2. Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia .
B. BÀI TẬP
1 Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi E,F,H,I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
AB,CD,BC,EF. Hãy tìm một phép dời hình biến AEI thành FCH .
HD :
Thực hiện liên tiếp phép tònh tie
án theo AE và phép đối xứng qua đường thẳng IH
Copyright: Tài liệu đại học ©