Trường THPT Đồng Phú Tài liệu ôn tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A -MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1 : Tìm tọa độ hình chiếu của M trên đường thẳng d và tọa độ điểm đối xứng của M qua
đường thẳng d.
Cho điểm
( )
0 0
;M x y
và đường thẳng
( )
2 2
: ax 0 0d by c a b+ + = + ≠
1-Tìm tọa độ hình chiếu của M trên đường thẳng d :
Cách giải :
-Lập phương trình đường thẳng d’ đi qua M và vuông góc d.
-Gọi H là hình chiếu của M trên d. Khi đó H là giao điểm của d’ và d. Tọa độ của H là
nghiệm của hệ phương trình gồm phương trình của d và phương trình của d’.
2-Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d :
Cách giải :
-Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M trên đường thẳng d.
-Vì M’ đối xứng với M qua đường thẳng d nên H là trung điểm của MM’. Dựa vào công thức
tọa độ trung điểm xác định tọa độ điểm M’.
Dạng 2 : Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đường thẳng :
(d
1
) : a
1
x + b
1
y + c

3. Viết pt đường thẳng qua điểm M và vuông góc với (∆)
Dạng 3 : Đường thẳng đối xứng
Dạng 3.1 : Viết phương trình đường thẳng (∆) đối xứng với đường thẳng (d
1
):a
1
x + b
1
y + c
1
= 0
qua đường thẳng (d
2
) : a
2
x + b
2
y + c
2
= 0
 Trường hợp (d
1
) // (d
2
) :
Cách 1 :
*B
1
: Lấy điểm M
0

p m n= +
 Trường hợp (d
1
) cắt (d
2
) :
CAÙCH 1 :
• B
1
: Tìm giao điểm M
0
(x
0
; y
0
) của hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
• B
2
: Lấy điểm M
1
∈ (d
1
) (M
1
≠ M
0

: phương trình đường thẳng (∆) qua điểm M
0
có dạng : a(x – x
0
) + b(y – y
0
) = 0
• B
3
: Lập p/t bậc hai hai ẩn a , b : cos [ (∆) ; (d
2
) ] = cos [ (∆) ; (d
1
) ] . chọn 1 trong hai số a
hoặc b tìm ẩn còn lại
Giáo viên : Nguyễn Văn Vĩnh Trang
1
Trường THPT Đồng Phú Tài liệu ôn tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Dạng 3.2 Cách viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm
I(a ; b) :
-Lấy điểm M’(x’ ; y’) đối xứng với M(x ; y) thuộc d qua điểm I.
Khi đó x = 2a – x’, y = 2b – y’.
-Thay x, y trên vào phương trình của d ta được phương trình theo x’, y’.
-Thay x’, y’ bởi x, y ta được phương trình của đường thẳng d’ cần tìm.
Dạng 4 : Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0

Giả sử biết tọa độ đỉnh A và phương trình hai đường trung tuyến BM và CN
Cách giải :
-Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, Tìm điểm D đối xứng với A qua G.
-Lập phương trình các đường thẳng đi qua D và song song với BM, CN.
-Tìm tọa độ các đỉnh B, C.
-Từ đó lập được phương trình các cạnh và các đường còn lại trong tam giác là việc rất đơn
giản.
3-Biết tọa độ đỉnh và phương trình hai đường phân giác :
Giả sử biết tọa độ đỉnh A và phương trình hai đường phân giác BE và CF
Cách giải :
-Tìm tọa độ hình chiếu của A trên các đường phân giác BE và CF.
-Tìm tọa độ điểm A’, A” đối xứng của A qua BE và CF.
-Vì A’, A” thuộc BC nên ta lập được phương trình của BC.
-Tìm tọa độ các đỉnh B, C.
-Từ đó lập được phương trình các cạnh và các đường còn lại trong tam giác là việc rất đơn
giản.
Dạng 5.2 : Biết tọa độ một đỉnh và phương trình các đường khác tính chất :
1-Biết tọa độ đỉnh A và phương trình đường cao BH và phân giác CE:
Cách giải :
-Viết phương trình cạnh AC vuông góc với BH và đi qua A.
-Xác định tọa độ điểm C là giao điểm của CE và AC.
-Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua CE.
-Viết phương trình cạnh BC đi qua A’ và C. Từ đó lập phương trình các đường còn lại trong
tam giác là việc rất đơn giản.
Giáo viên : Nguyễn Văn Vĩnh Trang
2
Trường THPT Đồng Phú Tài liệu ôn tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
2-Biết tọa độ đỉnh A và phương trình đường cao BH và trung tuyến CM:
Cách giải :
-Viết phương trình cạnh AC vuông góc với BH và đi qua A.

α
Cách giải :
-Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d. Lập phương trình của d có dạng
( )
0 0
y y k x x− = −
.
-Tính
osc
α
. Giải phương trình thu được tìm k.
-Kết luận phương trình của d.
Dạng 7 : Lập phương trình đường phân giác của tạo bởi hai đường thẳng d
1
và d
2
Cách giải : Giả sử phương trình của d
1
: a
1
x + b
1
y + c
1
= 0, d2 : a
2
x + b
2
y + c
2

( )
min MA MB AB+ =
khi
0
M M≡
là giao điểm của AB và d.
Vậy M
0
là điểm cần tìm.
2-Nếu A, B ở cùng bên so với d :
-Dựng A’ đối xứng với A qua d. Khi đó A’ và B khác bên so
với d nên bài toán trở về trường hợp trên :
Ta có :
' 'MA MB MA MB A B
+ = + ≥
( )
min 'MA MB A B+ =
khi
0
M M≡
là giao điểm của A’B và d.
Vậy M
0
là điểm cần tìm.
Giáo viên : Nguyễn Văn Vĩnh Trang
3
M
A
B
M

− = − ≤
ax 'm MA MB A B− =
khi
0
M M≡
là giao điểm của A’B và d.
Vậy M
0
là điểm cần tìm.
B-BÀI TẬP
LOẠI 1 : Tìm tọa độ điểm
Bài 1 : Cho tam giác ABC, M(0 ; 4) là trung điểm của cạnh BC, hai cạnh còn lại có phương trình là
2x + y – 11 = 0 và x + 4y – 2 = 0.
a.Tìm tọa độ đỉnh A.
b.Gọi C là điểm trên đường thẳng x + 4y – 2 = 0, N là trung điểm AC. Tìm điểm N rồi tìm tọa
độ B, C.
Bài 2 : Cho tam giác ABC có M(-2 ; 2) là trung điểm BC, cạnh AB có phương trình x – 2y – 2 = 0,
cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 3 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-1 ; -1) và có các cạnh AB : 4x + y + 15 = 0 và AC : 2x +
5y + 3 = 0.
a.Tìm tọa độ đỉnh A và tọa độ trung điểm M của BC.
b.Tìm tọa độ điểm B và viết phương trình cạnh BC.
Bài 4 : Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1 ; -3).
a.Biết đường cao BH : 5x + 3y – 25 = 0 và đường cao CK : 3x + 8y – 12 = 0. Tìm B, C.
b.Biết đường trung trực của AB là 3x + 2y – 4 = 0 và trọng tâm G(4 ; -2). Tìm B, C.
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông ở A, phương trình cạnh BC là : x – y -
3
= 0, các đỉnh A, B thuộc
trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 6 : Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(

thẳng
∆
sao cho MA + MB bé nhất.
Bài 10 : Cho hai điểm A(-7 ; 1), B(-5 ; 5) và đường thẳng
∆
: 2x – y + 5 = 0. Tìm điểm M trên đường
thẳng
∆
sao cho MA + MB bé nhất.
Bài 11 : Cho hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 4). Tìm điểm M trên trục hoành sao cho MA + MB bé nhất.
Bài 12 : Cho hai điểm A(4 ; 1), B(0 ; 4) và đường thẳng
∆
: 3x – y – 1 = 0. Tìm điểm M trên đường
thẳng
∆
sao cho
MA MB−
lớn nhất.
Bài 13 : Cho hai điểm A(-3 ; 2), B(2 ; 5). Tìm điểm M trên trục tung sao cho
MA MB−
lớn nhất.
Giáo viên : Nguyễn Văn Vĩnh Trang
4
M
A
B
M
0
0
0

,
2
d
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Bài 18 : Cho các đường thẳng
1
d
: x + y + 3 = 0 ,
2
d
: x – y – 4 = 0,
3
d
: x – 2y = 0. Tìm tọa độ điểm
M nằm trên đường thẳng
3
d
sao cho khoảng cách từ M đến
1
d
bằng hai lần khoảng cách từ M đến
2
d
.

LOẠI 2 : Lập phương trình đường thẳng.
Bài 1 : Cho tam giác ABC, đỉnh A(2 ; 2) và phương trình hai đường cao là 9x – 3y – 4 = 0; x + y – 2
= 0.
a.Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
b.Viết phương trình đường cao còn lại.

điểm Q đến đường thẳng đó bằng 3.
Bài 10 : Cho M(7 ; -2), N(4 ; -6). Lập phương trình đường thẳng qua điểm M và cách điểm N một
khoảng bằng 5.
Bài 11 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4 ; 1), phân giác trong của góc A có phương
trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh
A có hoành độ dương.
Bài 12 : Cho tam giác ABC có M(2 ; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường
cao qua đỉnh A lần lượt là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.
Bài 13 : Cho hai đỉnh đối diện của một hình vuông là A(-1 ; 3), C(6 ; 2). Viết phương trình các cạnh
của hình vuông đó.
Bài 14 : Cho hình vuông có một đỉnh A(-4 ; 5) và một đường chéo : 7x – y + 8 = 0. Lập phương
trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông.
Giáo viên : Nguyễn Văn Vĩnh Trang
5
Trường THPT Đồng Phú Tài liệu ôn tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Bài 15 : Cho hai đường thẳng
1
d
: 2x – y – 2 = 0 và
2
d
: 2x + 4y – 7 = 0.
a.Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi các đường thẳng đó.
b.Viết phương trình đường thẳng đi qua P(3 ; 1) cùng với hai đường thẳng
1
d
,
2
d
tạo thành

d
,
2
d
lần lượt tại A và B sao cho PA = PB. Viết phương trình đường thẳng d.
Bài 18 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2 ; 1) và tạo với đường thẳng d : 2x + 3y + 4
= 0 một góc bằng 45
0
.
Bài 19 : Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng
∆
: 3x – 4y + 1 = 0 và có
khoảng cách đến
∆
bằng 1.
Bài 20 : Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1 ; 3), đường cao BH nằm trên đường thẳng y = x, phân giác
trong của góc C nằm trên đường thẳng x + 3y + 2 = 0. Viết phương trình cạnh BC.

LOẠI 3 : Các bài toán về đường thẳng có liên quan đến khoảng cách.
Bài 1 : Lập phương trình đường thẳng đi qua M(4 ; 1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao
cho OA + OB nhỏ nhất.
Bài 2 : Lập phương trình đường thẳng đi qua M(3 ; 1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao
cho tam giác ABC cân tại A với A(2 ; -2).
Bài 3 : Lập phương trình đường thẳng đi qua A(27 ; 1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại M, N sao
cho độ dài MN ngắn nhất.
Bài 4 : Cho hai đường thẳng
1
∆
: x – y + 1 = 0,
2

∆
đi qua gốc tọa độ O và cắt đường tròn (C) :
( ) ( )
2 2
1 3 25x y− + + =
theo một dây cung có độ dài bằng 8.
Bài 7 : Cho đường tròn (C) :
2 2
2 4 4 0x y x y+ − + − =
có tâm I và điểm M(-1 ; -3). Lập phương trình
đường thẳng
∆
đi qua M cắt đường tròn (C) tại hai điểm A và B sao cho tam giác IAB có diện tích
lớn nhất.
(Hướng dẫn : Dùng hình vẽ bên và công thức
1
. sin
2
S IA IB I=
để giải).
Bài 8 : Cho đường tròn (C) :
2 2
1x y+ =
. Đường tròn (C’) có tâm I(2 ; 2) cắt đường tròn (C) tại hai
điểm A và B sao cho AB =
2
. Lập phương trình AB. (Hướng dẫn : Gọi H là hình chiếu của O trên
AB, tính OH và
( , )d O AB OH=
. Chú ý AB

B-MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1 : Các bài toán thiết lập phương trình đường tròn
I-Nhắc lại lý thuyết :
Người ta thường dùng hai dạng phương trình đường tròn sau
1)
( ) ( )
2 2
2
x a y b R− + − =
dưới dạng này đường tròn có tâm là
( )
;I a b
và bán kính R.
2)
2 2
2 2 0x y ax by c+ + + + =
, trong đó
2 2
a b c+ >
. Dưới dạng này đường tròn có tâm là
( )
;I a b− −
và bán kính
2 2
R a b c= + −
.
Giải sử cho đường tròn (C) :
( ) ( )
2 2
2

điểm H, M, N.
Bài 2 : Cho tam giác ABC, hai cạnh AB, AC theo thứ tự có phương trình x + y – 2 = 0, 2x + 6y + 3
= 0. Cạnh BC có trung điểm M(-1 ; 1). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 3 : Cho đường tròn (C) :
( )
2
2
4
2
5
x y− + =
và hai đường thẳng
1
∆
: x – y = 0,
2
∆
: x – 7y = 0. Viết
phương trình đường tròn tâm K nằm trên đường tròn (C) và đồng thời tiếp xúc với
1
∆
,
2
∆
.
Bài 4 : Cho hai điểm A(2 ; 0) và B(6 ; 4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành
tại điểm A và có khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5.
Bài 5 : Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng x = 5 và tiếp xúc với hai đường
thẳng
1

ABC.
Bài 10 : Cho hai điểm A(8 ; 0) và B(0 ; 6).
a) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC.
Giáo viên : Nguyễn Văn Vĩnh Trang
7
Trường THPT Đồng Phú Tài liệu ôn tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
b) Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.
Bài 11 : Cho hai đường thẳng
1
∆
: 4x – 3y – 12 = 0,
2
∆
: 4x + 3y – 12 = 0.
a) Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC có các đỉnh là giao điểm của
1
∆
,
2
∆
và trục Oy.
b) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Dạng 2 : Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
I-Lý thuyết : Cho đường tròn C(I , R) và đường thẳng
∆
. Đường thẳng
∆
là tiếp tuyến của đường
tròn C(I, R) thì ta có một số kết quả sau thường được dùng trong giải toán :


Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn :
2 2
2 4 20 0x y x y+ + − − =
biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng : x + y = 0.
Bài 4 :Cho đường tròn (C): (x - 1)
2
+ (y + 2)
2
= 9 và đường thẳng d: 3x - 4y + m = 0. Tìm m để trên
d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp
điểm) sao cho ∆PAB đều
Bài 5 : Cho đường thẳng d: x - y + 1 = 0 và đường tròn (C): x
2
+ y
2
+ 2x - 4y = 0. Tìm toạ độ điểm M
thuộc đường thẳng d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) tại A và B
sao cho góc AMB bằng 60
0
.
Bài 6 : Cho đường tròn
0662:)(
22
=+−−+ yxyxC
và điểm M(-3;1). Gọi T
1
, T
2
là các tiếp điểm

).
Bài 10: Cho hai đường tròn :
+ − = + + − − =
2 2 2 2
1 2
(C ):x y 10x 0, (C ): x y 4x 2y 20 0
Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
).
Bài 11: Cho hai đường tròn :
+ − − = + − + + =
2 2 2 2
1 2
(C ):x y 4x 5 0 (C ): x y 6x 8y 16 0
Giáo viên : Nguyễn Văn Vĩnh Trang
8
Trường THPT Đồng Phú Tài liệu ôn tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
).
Bài 12 : Cho hai đường tròn: (C
1
):
2 2
4 5 0x y y+ − − =
và (C

3
= = - =ị ị
o
.
Cỏch 2
Gi
OD
OA
e (1; 0)
OA
u e f
OB 1 3
f ;
OB 2 2
ỡ
ù
ù
= =
ù
ù
ù
= +ị
ớ
ù
ổ ử
ù
ữ
ỗ
= =
ù

> x
B
Gi I l tõm ng trũn ni tip
ABCD
v H l
hỡnh chiu ca I trờn Ox.
B (BC) Ox B(1; 0)= ầị
pt(BC) : 3x y 3 0- - =
y 3x 3 k 3= - = ị
ã
ABC 60 HBI=ị ị D
o
na u
BH IH 3 2 3= =ị
.
HA = IH = 2
ị
OA = OB + BH + HA
3 2 3 A(3 2 3; 0)= + +ị
AC Ox, C (BC) C(3 2 3; 6 2 3)^ + +ẻị
7 4 3 6 2 3
G ;
3 3
ổ ử
+ +
ữ
ỗ
ị
ữ
ỗ

Vẽ đường cao CH suy ra H là trung điểm AB.
C (d) C(2c 2; c)-Î Þ
Þ
H(2c – 2; 0)
Þ
B
Giải pt 1 ẩn AB = AC ta có kết quả.
Nhận xét
Nếu giải hệ AB = AC = BC với
A(1; 0), B(b; 0) và C(2c – 2; 0) sẽ gặp khó
khăn.
Bài toán 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 4x = 0 và đường thẳng
(d): x +
3
y – 4 = 0 cắt nhau tại A và B. Tìm tọa độ điểm M trên đường tròn (C) sao cho
ABMD

vuông.
Gợi ý
+ Giải hệ tìm tọa độ A và B.
+ Đường thẳng không qua tâm I của (C) nên
ABMD
chỉ có thể vuông tại A (hoặc B). Suy ra M đối
xứng A (hoặc B) qua I.
Bài toán 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x – 1)
2

a.
·
·
( )
tg ABM CBN tg45+ =
o
·
·
·
·
tgABM tgCBN
1
1 t gABM.t gCBN
+
=Þ Þ
-
đpcm.
b. Lập pt MN
Þ
d(B, MN) = 1.
Giáo viên : Nguyễn Văn Vĩnh Trang
11
Trường THPT Đồng Phú Tài liệu ôn tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Bài toán 7. Cho đường tròn
2 2
(C) : x y 2x 4y 0+ + - =
,
(d) : x y 1 0- + =
. Tìm tọa độ điểm M
trên (d) sao cho từ M vẽ được hai tiếp tuyến MA, MB với (C) và

1 1
2 1 1 2
2 2
I P R
R .I P R .I P
I P R
= =Þ
uur uuur
Þ
tọa độ P.
Lập tiếp tuyến qua P với 1
trong 2 đường tròn trên.
* Đối với bài toán tiếp tuyến
chung trong ta giải tương tự
chỉ cần để ý vector ngược
chiều.
Bài toán 9. Cho đường tròn
2 2
(C) : x y 4x 6y 12 0+ - + - =
và điểm M(1; 1). Lập phương trình
đường thẳng (d) đi qua M và cắt (C) tại A, B trong mỗi trường hợp sau:
a. Đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất.
b. Đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất.
c. MA = 2MB.
Giải tóm tắt
Ta có tâm I(2;–3) và bán kính R = 5. Dễ thấy điểm M ở trong đường tròn (C).
a. Đoạn AB có độ dài lớn nhất khi AB là đường kính, suy ra (d) đi qua I.
b. Đoạn AB có độ dài nhỏ nhất khi AB vuông góc với IM.
c. Ta có phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là:
MA.MB 8 MA.MB 8 MB 2 AB 6= - - = - = =Û Û Þ

ï
+ =
ï
î
có nghiệm thực.
Giải tóm tắt
Xét đường thẳng (d): mx + (m + 1)y – 2 = 0 và đường tròn
2 2
(C) : x y 4+ =
tâm O(0; 0), R = 2.
Suy ra hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (d) và (C) có điểm chung
2 2
2
d(O; (d)) R 2
m (m 1)
Û £ Û £
+ +
2
2m 2m 0 m 1 m 0.+ -Û ³ Û £ Ú ³
Bài toán 11. Cho hệ phương trình
2 2
(2m 1)x 2my 5m 8 0
x y 6x 8y 0
- + + + =ì
ï
ï
í
ï
+ + - =
ï

2
)
2 2 2
1 2 1 2
M (x x ) (y y ) AB .= - + - =Þ
Để M đạt giá trị lớn nhất thì (d) phải cắt (C) tại A, B phân biệt sao cho AB có độ dài lớn nhất.
Suy ra (d) đi qua tâm I hay:
11
(2m 1)( 3) 8m 5m 8 0 m .
7
- - + + + = = -Û
Bài toán 12. Cho hai đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
= 13 và (C
2
): (x – 6)
2
+ y
2
= 25 cắt nhau tại A(2 ; 3).
Lập phương trình đường thẳng qua A cắt hai đường tròn hai dây cung có độ dài bằng nhau.
Gợi ý
M là trung điểm đoạn nối hai
tâm
Từ đó suy ra (d) đi qua A và
vuông góc với MA.

Từ (1) và (2) suy ra pt AB : 4mx + 9(4 – m)y – 36 = 0.
+ Tìm điểm cố định của AB.
Bài toán 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): x + y – 3 = 0 và elip
2
2
x
(E) : y 1
4
+ =
. Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) có khoảng cách đến (d) ngắn nhất.
Gợi ý
+ Lập tiếp tuyến với (E) và song song (d) (có 2 tiếp tuyến).
+ Tìm tọa độ tiếp điểm (có 2 tiếp điểm).
+ Tính khoảng cách từ 2 tiếp điểm đến (d), suy ra M.
Bài toán 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip
2
2
x
(E) : y 1
4
+ =
và đường thẳng
(d) : y 2=
. Lập phương trình tiếp tuyến với (E), biết tiếp tuyến tạo với (d) một góc 60
0
.
Giải tóm tắt
+ (d) tạo với (d) một góc 60
0
nên (d) cũng tạo với trục hoành một góc 60

M M
2 2
2
M M
M
144
x
x 9y 36
180 180
13
x y M (C) : x y
36
13 13
9x 16y 144
y
13
ì
ï
=
ï
ì
+ =
ï
ï
ï
ï
+ = + =Þ Þ Þ Î
í í
ï ï
+ =

= +
.
Cách 1:
+ Khi A, B thuộc trục tọa độ thì
2
2
1 5 4
d (O, AB)
4 5
OH
= =Þ
(1).
+ Khi A, B không thuộc trục tọa độ ta có:
pt(OA): y = kx và (OB): y = –(1/k)x (do OA vuông với OB). Giải hệ pt OA, OB với (E) suy ra (1)
(đpcm).
Giáo viên : Nguyễn Văn Vĩnh Trang
14
Trng THPT ng Phỳ Ti liu ụn tp phng phỏp ta trong mt phng
Cỏch 2:
2 2
2 2 2
A A
A A A
2 2
2 2 2
B B
B B B
4 x 4 3x
y x y
4 4

2 2
A B
16 4 x x
x x
15
- +
=ị
(3).
( )
( )
2 2
A B
2 2 2
2 2 2 2
A B
A B A B
32 12 x x
1 4 4 5
4
OH 4 3x 4 3x
16 12 x x 9x x
+ +
= + = =ị
+ +
+ + +
(do (3)).
2
4
d (O, AB)
5

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
,
M
4
B 0;
y
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

OAB
M M
1 18
S OA.OB
2 x y
D
= =ị
(1).
(d) tip xỳc (E)
2 2

Gi M, N ln lt l 2 tip im. Ta cú phng trỡnh 2 tip tuyn ti M, N l:
(d
1
):
M M
2 2
x x y y
1
a b
+ =
v (d
2
):
N N M M N N
1 2
2 2 2 2 2 2
x x y y x y x y
1 n ; , n ;
a b a b a b
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
+ = = =ị
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

đường tròn tâm O bán kính R (b < R < a). Tọa độ A, B, C, D là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
R b
x y
x a m
1
a b
a b
a R
x y R
y b n
a b
ì
ï
-
ïì
ï
= ± = ±
ï
ï
+ =
ï
ï
ï

2
+ y – 2. Chứng
tỏ 2 parapol cắt nhau và lập phương trình đường tròn đi qua các giao điểm đó.
Bài toán 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parapol y = x
2
– 2x và (E): x
2
+ 9y
2
= 9. Chứng
tỏ 2 parapol cắt nhau và lập phương trình đường tròn đi qua các giao điểm đó.
Giáo viên : Nguyễn Văn Vĩnh Trang
16