Chuyên đề: LG
1

Chuyên đề
LƢỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản
22
2
2
sin cos 1
sin
tan
cos 2
1
tan 1
2
cos
k
k


  


  



  

2. Công thức LG thường gặp
Công thức cộng:
 
 
 
sin sinacosb sinbcosa
cos cosacosb sinasinb
tan tan
tan b
1 tan tan
ab
ab
ab
a
ab
  


Công thức nhân:
2 2 2 2
3
3
3
2
sin 2 2sin .cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos

[sin(ab)+sin(a+b)]
Tổng thành tích:
sin sin 2sin cos
22
a b a b
ab



sin sin 2cos sin
22
a b a b
ab



cos cos 2cos cos
22
a b a b
ab



cos cos 2sin sin
22
a b a b
ab

  


2
2 2 2
2 1- 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
  
  3. Phương trìng LG cơ bản
* sinu=sinv
2
2
u v k
u v k






  

* cosu=cosvu=v+k2


* tanu=tanv  u=v+k

a


, ta được: sinx+tan

cosx=
cos
c
a



sinx
cos

+
sin

cosx=
cos
c
a



sin(x+

)=
cos
c

c
xx
ab



hay
 
22
sin sin
c
x
ab

  

ñaët
.
Cách 3: Đặt
tan
2
x
t 
.
3. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=0 (*).

Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện  t 
2
.

sin cos 2 sin 2 cos
44
sin cos 2 sin 2 cos
44
x x x x
x x x x


   
    
   
   
   
     
   
   
Löu y ùcaùc coâng thöùc :

Chuyên đề: LG
3

π kπ
π
x
xkπ
x
π π lπ
x x kπ x k l n
x
ππ
xkπ x nπ













        






 cos2x(sin
6
x–cos
6
x) = 0
 cos2x(sin
2
x–cos
2
x)(1+sin
2
x.cos
2
x) = 0
 cos2x = 0

2 ,( )
2 4 2
π π kπ
xkπ x k     

Ví dụ 3: Giải phương trình:
6 3 4
8 2 cos 2 2 sin sin3 6 2 cos 1 0x x x x   
(3).
Giải
Ta có:
3 3 3
22
2

Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác:
88
17
sin cos
32
xx
(4).
Giải
Ta có (4)
44
42
1 cos 2 1 cos2 17 1 17
(cos 2 6cos 2 1)
2 2 32 8 32
xx
xx

   
      
   
   Chuyên đề: LG
4
Đặt cos
2
2x = t, với t[0; 1], ta có
22
1

4 ,( )
2 8 4
π π π
xkπ x k k     

Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin
3
x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
Ta có (5)  2(1 cos
2
x)sinx + 2 – 2 cos
2
x + cosx – 1 = 0
 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0
 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)

x x k πk
x x x x
   



   


Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện
| | 2t 


Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 6. Giải phương trình:
|sin |
cos
x
πx
(6).
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do
|sin | 0,x 
nên
|sin | 0
1
x
ππ
, mà |cosx| ≤ 1.
Do đó
2 2 2
0
|sin | 0 ,( )
(6)
0
| cos | 1 ,( )
kn
xkπ k π n
x x kπk
x

Đặt
2
( )=cos
2
x
f x x 
. Dễ thấy f(x) = f(x),
x
, do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét
với x ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0  f(x)
đồng biến với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng
0;
2
π



thoả mãn
phương trình:
2
2
sin cos 2
n
nn
xx





=
2
2
2
n

Vậy x =
4

là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
BÀI TẬP
Giải các phƣơng trình sau:
1. cos
3
x+cos
2
x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:
2 ; 2
2
x k x n


  

2. tanx.sin
2
x2sin
2

2
x k x n x l

     
      
với
1
sin
4


.
6. sinx4sin
3
x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:
4
xk



.
7.
sin 3 sin2 .sin
44
x x x

   
  
   
   

sin
2
x
x
x



  






ĐS:
4
8
5
8
xk
xk
xk









  

11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS:
2
2 ( )
43
x k x k k


      

12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải
(1) 2sinxcosx+2cos
2
x–1=1+sinx–3cosx.
2cos
2
x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
2cos
2
x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đặt t=cosx, ĐK
1t 
, ta được: 2t
2
+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. =(2sinx+3)
2

x–sinx+cosx=0.
Đặt t=sinx, ĐK
1t 
.
2(1–2cosx)t
2
–t+cosx=0 … =(4cosx–1)
2
.
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(cos
2
x–sin
2
x)=0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
15. Giải phƣơng trình lƣợng giác:
 
2 cos sin
1
tan cot2 cot 1
xx
x x x



x
x x x

  


2sin .cos 2 sinx x x

 
2
2
4
cos
2
2
4
xk
xk
xk







   


  

xx
xx
x


(1)
Điều kiện:
sin 2 0x 

2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
(1)
sin2 2 cos sin
x
xx
x x x


  


2
2
1
1 sin 2
11
2


(cosx
)0
2
1 cos 2 cos 2sin .cos sin
2
x x x x x



    






(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0

sin2x = 1 hoặc tanx = 1.
18. Giải phƣơng trình:
 
 
3
sin2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3cos sinx 3 3 0x x c x c x x      
.
Giải
3
2 3 2
sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos2 8( 3.cos sin ) 3 3 0