Một số bài toán hình học không gian, giải bằng phương pháp toạ độ và vector
1. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA=a, OB=b, OC=c. Tính
chiều cao của tứ diện kẻ từ O.
2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên các cạnh AA’, BC, C’D’ lần lượt
lấy các điểm M, N, P sao cho AM=CN=D’P=t, với 0<t<a. Chứng minh rằng mp(MNP)
song song với (ACD’) và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
3. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCD là những tam giác vuông đỉnh
O. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA),
(OAB). Bằng phương phương pháp tọa độ , hãy chứng minh :
a. Tam giác ABC có ba góc nhọn;
b. Cos
2
α+Cos
2
β+Cos
2
γ=1
4. Cho hình hộp đứng ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có đáy là hình thoi.Biết AC = 2; BD = 4;AA
/
= 4
a.Xác định góc và khoảng cách giữa AD
/
và BD.

/
= 3.
a. Điểm M
∈
AA
/
, mặt phẳng (BMD
/
) cắt hình hộp chữ nhật theo thiết diện là
hình gì ?
b. Trong trường hợp nào thiết diện là hình chữ nhật.
c. Tìm vị trí của M để thiết diện là bé nhất.
9. [ Bài 5 trang 60 SGK HH 12 ]: Cho hình lập phương ABCD. A
/
B
/
C
/
D
/
có cạnh bằng a.
Trên B
/
C
/
và CD lấy các điểm M và N sao cho B
/
M = CN = x ( 0
≤
x

/
song song với mặt phẳng
(ABB
/
A
/
).
11. [Bài 7 trang 60 SGK HH 12 ]: Cho tứ diện ABCD; P và Q lần lượt là trung điểm
của AB và CD; Hai điểm M; N lần lượt chia 2 đoạn thẳng BC và AD theo cùng tỷ
số k. Chứng minh bốn điểm P, Q, M, N cùng thuộc một mặt phẳng.
12:[Bài 6 trang 112 SGK HH 12]: ho hình lập phương: ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có cạnh bằng a.
a. CMR đường chéo A
/
C vuông góc với mặt phẳng ( AB
/
D
/
).
b. CMR giao điểm của đường chéo A
/
C và mặt phẳng ( AB
/

cạnh a. Các
điểm M thuộc AD
/
và N thuộc DB sao cho AM = DN = k ( 0 < k < a
2
).
a. Tìm k để MN ngắn nhất.
b. CMR MN luôn song song với mặt phẳng ( A
/
D
/
CB ) khi k biến thiên.
c. Khi MN ngắn nhất, CMR MN là đường vuông góc chung của AD
/
và DB, và
MN
song song với A
/
C.
14: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A
1
B
1
C
1
có các cạnh đều bằng a. Trên AB
1
và
BC
1

M.
16: Cho hình lập phương ABCD A
/
B
/
C
/
D
/
cạnh a.trên đoạn thẳng BD và AD
/
lần lượt lấy
2 điểm thay đổi M và N, sao cho DM = AN = x ( 0
≤
x
≤
a
2
). Chứng minh rằng
MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
17: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của BC và CC’, góc giữa AB và mặt phẳng (AMN) bằng 30
0
;
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (AMN) là 2. Tính thể tích của lăng trụ .
18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cạnh AB = AD = 2 ; AA’ = 3.
Gọi M ; N ; K lần lượt là trung điểm các cạnh AA’; AD; AB. Điểm P thuộc BB’ sao
cho BP = 1.
a. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (MNK) và mặt phẳng (A’DP) .
b. Hình chiếu của D’P trên mặt phẳng (MNK) cắt mặt phẳng (ABCD) tại I, tính

1
. Tính góc
giữa hai đường thẳng MP và C
1
N.
23:[ĐHCĐ- B- 2003]: Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A
/
B
/
C
/
D
/
có đáy ABCD là một
hình thoi cạnh a, góc BAD = 60
0
. Gọi M là trung điểm của cạnh AA
/
và N là trung
điểm của cạnh CC
/
. Chứng minh rằng 4 điểm B
/
, M, D, N cùng thuộc một mặt
phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA
/
theo a để tứ giác B
/
MDN là hình vuông.
……………………