PHƯƠNG PHÁP
GIẢI MỘT DẠNG BẤT ðẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
TRONG TAM GIÁC

NGUYỄN LÁI
GV THPT chuyên Lương Văn Chánh
(Bài viết có bổ sung)

PHẦN I . (ðã ñược ñăng trong tạp chí TOÁN HỌC và TUỔI TRẺ số 357 tháng 3,2007)

Giả sử f(A,B,C) là biểu thức chứa các hàm số lượng giác của các góc tam giác ABC .
Giả sử các góc A,B,C thỏa mãn hai ñiều kiện:
1)






+
≥+
2
2)()(
BA
fBfAf
; hoặc









+
2
3
2
3
)(
π
π
C
ffCf
hoặc






+
≥
2
)().(
2
BA
fBfAf
(2)
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi C=

(4)
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.

Tương tự ta cũng có BðT với chiều ngược lại.
ðể minh họa cho phương pháp trên ta xét các bài toán sau ñây .
Thí dụ 1. Chứng minh rằng với tam giác ABC ta luôn luôn có

4
1 1 1 3. 2
1 sin 1 sin 1 sin 2 3
A B C
+ + ≥
+ + + +

Lời giải. Ta có:
( )
BABABA sinsin22
4
sinsin2
4
sin1
1
sin1
1
++
≥
++
≥
+
+

BA
+
+
(5) . ( Có dạng






+
≥+
2
2)()(
BA
fBfAf
) .
Tương tự
2
60
sin1
2
60sin1
1
sin1
1
00
+
+
≥

+
+
+
+
2
60
sin1
1
2
sin1
1
2
60sin1
1
sin1
1
sin1
1
sin1
1
00
C
BACBA
0
60sin1
4
+
≥
.
⇒

A B C
 
   
+ + + ≥ +
   
 
   
 

Lời giải . Ta có:
B
A
B
A
B
A
sin
sin
1
sin
1
sin
1
1)
sin
1
1)(
sin
1
1( +++=++









+−−
+
BABA

2
2
2
sin
1
1
)cos(1
2
1










2
)
2
sin
1
1(
BA +
+≥
(7) (Có dạng






+
≥
2
)().(
2
BA
fBfAf
).
Tương tự
2
00
)
2
60
sin

0
)
2
60
sin
1
1).(
2
sin
1
1(












+
+
+
+
C
BA
≥

sin
1
1








+=






+≥






+





2
cos ≥
+
BA
và
0
2
60
cos
0
>
+C
,Ta có
≥






−+
−=






+
−=

2
sin
2
sin
2
2
sin
2
sin
BABABA
BABA

4
sin
2
cos1
8
1
6
3
BABA +
=






+
−≥

2
60
sin
2
sin
0
6
0
66
+
≥+
CC
(10)
Cộng theo vế của (9) và (10) ta có:
≥








+
+
+
≥+++
6
0
66

2
sin
2
sin
2
sin
0
6666
=≥++
CBA
. (11)
Trường hợp tam giác ABC nhọn ,các BðT (9) , (10) và (11) luôn ñúng.
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ tam giác ABC ñều.
Thí dụ 4: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:
(cosA+sinA)(cosB+sinB)(cosC+sinC)
3
2 6
2 2
4 4
 
≤ +
 
 
 

Lời giải. Ta có
cosA+sinA)(cosB+sinB)(cosC+sinC)=
)
4
cos()


+
(*)
• Nếu Max
{
}
CBA ;;
≥
4
3
π
thì vế trái của biểu thức (*)không dương nên BðT ñã cho
luôn ñúng.
• Nếu Max
{
}
CBA ;;
<
4
3
π
thì
0)
4
cos(;0)
4
cos(;0)
4
cos( ≥−≥−≥− CBA
π

BA
+
−
π
(12) ( Có dạng






+
≤
2
)().(
2
BA
fBfAf
).
Tương tự
)
2
3
4
(cos)
3
4
cos()
4
cos(

ππ
π
πππππππ
−≤
+
−
+
−≤−−−−
C
BA
CBA

⇒
)
3
4
(cos)
4
cos()
4
cos()
4
cos(
3
π
π
π
π
π
−≤−−− CBA

+≤

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC ñều .
• Mời các bạn tiếp tục giải các bài toán sau theo phương pháp trên.
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC , ta ñều có
Bài 1 .
3 3 3
1
2 2 2
3
A B C
tg tg tg+ + ≥
.
Bài 2 .
1 1 1
3.2
sin sin sin
2 2 2
n
n n n
A B C
+ + ≥
( n là số thực dương) . .
Bài 3 .
cos cos cos
4 4 4
A B C
A B C+ +
2
(1 3

2
22
2
22












+
≥
+
B
tg
A
tg
B
tg
A
tg
.
Mặt khác:
2

BABA
BA
BA
BA
+
=
+
+
+
+
≥
+
+
−
+
=
+

Do ñó:
4
2
2
2
333
BA
tg
B
tg
A
tg

tgtg
C
tg
(15)
Cộng theo vế (14) và (15) ta có:
2
60
4)
4
60
4
(2
2
60
2
2
2
0
3
0
33
0
3333
tg
C
tg
BA
tgtg
C
tg

2 2 2
n
n n n
A B C
+ + ≥ ( n là số thực dương)
Lời giải . Ta có:
4
sin
2
)
2
cos1(
2
)
2
cos
2
(cos
2
)
2
sin
2
(sin
1
.2
2
sin
1
2

( Có dạng






+
≥+
2
2)()(
BA
fBfAf
)
Tương tự
4
60
sin
2
2
60
sin
1
2
sin
1
00
+
≥+
C







+
≥+++
4
60
sin
1
4
sin
1
2
2
60
sin
1
2
sin
1
2
sin
1
2
sin
1
0

0
n
n
nnn
CBA
=≥++

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC ñều.
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC , ta ñều có

cos cos cos
4 4 4
A B C
A B C+ +
2
(1 3)
4
π
≤ +
.
Lời giải . Ta luôn luôn có :
0)
4
cos
4
)(cos
4
4
( ≤−−
y

Do ñó:
)
4
cos
4
)(cos
2
(
4
cos
4
cos
BABAB
B
A
A +
+
≤+
=
8
cos
2
2)
8
cos
8
cos2)(
2
(
BABABABABA

C
C
8
3
cos
2
3
2
π
π
++ CC
(19).
Cộng theo vế (18) và (19) ta có:
4
cos
4
cos
B
B
A
A +
+
≤+
12
cos
3
4
cos
π
π

=4.
3
π
.
12
cos
π

⇒
4
cos
4
cos
4
cos
C
C
B
B
A
A ++
≤
12
cos
π
π
31(
4
2
+=

)cos()cos(
2
1
+−+≤−++ BABAsBABA
A-B)]=
=
2
1
cos(A-B)[cos(A+B)+1]=(cosAcosB+sinAsinB).
2
cos
2
BA
+

2
cossinsin)
2
cos1(coscos
22
BA
BA
BA
BA
+
≤
+
−⇒

⇔

BA
fBfAf
)
Tương tự (1+tgC)(1+tg60
0
)
2
0
)
2
60
1(
+
+≥
C
tg
(21)
Nhân theo vế (20) và (21) ta có
(1+tgA)(1+tgB)(1+tgC)(1+tg60
0
)
2
0
)]
2
60
1)(
2
1[(
+

π
.
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC ñều.
PHẦN III. (ðề xuất thêm cho phương pháp ñã nêu)
Trước tiên, ta giải bài toán ñơn giản quen thuộc sau ñây theo phương pháp trên
Chứng minh với mọi tam giác ABC ta luôn có
2
3
coscoscos ≤++ CBA
.
Giải theo thứ tự như trên:
Ta có:
2
cos2
2
cos
2
cos2coscos
BABABA
BA
+
≤
−
+
=+
(24)
(Có dạng




0
0
0
60cos4)
2
60
cos
2
(cos260coscoscoscos ≤
+
+
+
≤+++
CBA
CBA

⇒

2
3
60cos3coscoscos
0
=≤++ CBA
.
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC ñều.(?).
Rõ ràng cách chứng minh trên chỉ ñúng cho tam giác nhọn ,vì khi góc C
>
120
0


2
60
cos
2
60
cos260coscos
000
0
+
≤
−+
=+
AAA
A
(27) (ðúng)
Cộng vế theo vế của (26) và (27) ta có:
0
0
0
60cos4)
2
60
cos
2
(cos260coscoscoscos ≤
+
+
+
≤+++
ABC

+ ≥
 
 
hoặc
2
( ). ( )
2
A B
f A f B f
+
 
≥
 
 
(22)
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = B.
Thì ta sẽ có BðT :
( ) ( ) ( ) 3
3
f A f B f C f
π
 
+ + ≥
 
 
hoặc
3
( ). ( ). ( )
3
f A f B f C f

≤
−
+
=+

Có dạng






+
≤+
2
2)()(
BA
fBfAf
.
2
3
3
cos3
3
3)()()(coscoscos =






++






++






+
πππ
CBA

Lời giải :Giả sử
{
}
CBAMaxA ;;=
0
32
cos
3
<






+
+
=






++






+
32
cos2
2
cos
32
cos2
3
cos
3
cos
ππππ

3 2
π
= = −

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC ñều.
Thí dụ 3. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn luôn có

4
32
2.3
sin1
1
sin1
1
sin1
1
+
≥
+
+
+
+
+ CBALời giải . Giả sử
{
}
CBAMaxA ;;=
, Ta có:

+
.
⇒

BA sin1
1
sin1
1
+
+
+
≥
2
sin1
2
BA +
+

Có dạng






+
≥+
2
2)()(
BA

+
+
+
π
π
fCfBfAf
CBA

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC ñều.
Thí dụ 4. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:

3
3
2
1
sin
1
1
sin
1
1
sin
1
1







,
Ta có:
B
A
B
A
B
A
sin
sin
1
sin
1
sin
1
1)
sin
1
1)(
sin
1
1( +++=++

=++≥
2
)
sin.sin
1
(
sin.sin

+−−
+
BABA

2
2
2
sin
1
1
)cos(1
2
1












+
+=




Có dạng






+
≥
2
)().(
2
BA
fBfAf
.
3
3
3
3
2
1
3
sin
1
1
3
)().().()
sin
1
1)(





≥=+++⇒
π
π
fCfBfAf
CBA
.
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC ñều.

Thí dụ 5.(HSG 1992 bản B). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
(1 cos )(1 cos )(1 cos )
A B C
+ + +
.
Lời giải .Giả sử A = max(A,B,C)
0
)
cos(
≤
+
⇒
B
A
nên ta có
( )
BAAABABA

1
1)(cos)(cos)cos()cos(69
4
1
222
BABABABABABA
++++≥−−+++−++

( )
2
2
2
2
cos1)cos(3
4
1






+
+=++=
BA
BA
.
2
222
2

33222
=






+=
++
≥=+++
π
CBA
fCfBfAfCBA

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC ñều.