Chương III: VECTO – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vec tơ:
Phương pháp chung: Sử dụng các quy tắc đã biết:
1. Quy tắc trung điểm: Với điểm M tùy ý và điểm I là trung điểm của AB ta luôn có:
0IA IB+ =
uur uur r
và
( )
1
2
MI MA MB= +
uuur uuur uuur

2. Quy tắc ba điểm:
2.1
AB AC CB= +
uuur uuur uuur
( xen điểm C )
2.2
AC AB BC− =
uuur uuur uuur
( hiệu hai vec tơ cùng gốc )
3. Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD luôn có:
AC AB AD= +
uuur uuur uuur
4. Quy tắc trọng tâm tam giác: Với điểm M tùy ý và điểm G là trọng tâm của
ABC∆
ta luôn có:

0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r

' ' ' '
.ABCD A B C D
. Chứng minh rằng:
a)
' '
AC CC CB CD= − −
uuuur uuuur
uuur uuur
b) Đường chéo
'
AC
cắt các
' '
CB D∆
và
'
A BD∆
lần lượt tại trọng tâm
1
G
của
' '
CAC∆
, trọng tâm
2
G
của
'
ACA∆
mà

∆
là:
. . . 0GD GA GD GB GD GC+ + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 6: Cho tứ diện ABCD.
a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh:
, ,BC IJ AD
uuur uur uuur
đồng phẳng.
b) Lấy hai điểm M, N thỏa
3.AM MD=
uuuur uuuur
và
3.BN NC=
uuur uuur
. Chứng minh
, ,AB MN DC
uuur uuuur uuur
đồng phẳng.
Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Lấy điểm
M AD∈
và
điểm
N BC
∈
sao cho
.MA k MD=
uuur uuuur
và
( )

r
b) Hai tam giác
' ' '
,PQR P Q R∆ ∆
có cùng trọng tâm.
Bài 10: Cho
ABC∆
vẽ các hình bình hành ABEF và ACHK nằm trong hai mặt phẳng khác nhau và
khác với mặt phẳng (ABC).
a) Chứng minh ba vec tơ
, ,FK EH BC
uuur uuur uuur
đồng phẳng.
b) Gọi I, J, L lần lượt là trung điểm của FK, EH, BC chứng minh AIJL là hình bình hành.
c) Chứng minh
, ,CH LJ BE
uuur uur uuur
đồng phẳng.
Bài 11: Cho hình lập phương
' ' ' '
.ABCD A B C D
.
a) Chứng minh
'
BD AC⊥
.
b) Tính góc hợp bởi AC và
'
DA
.

' ' ' '
.ABCD A B C D
Trong các bài toán có nhiều câu hỏi, có thể sử dụng kết hợp để chứng minh bằng cách dùng các tính
chất:
a) Chứng minh:
( )
( )
a
a b
b
α
α
⊥ 

⇒ ⊥

⊂


b) Dùng định lý ba đường vuông góc (thuận – đảo)
c) Chứng minh:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
b
a b
a
a
α β

a
α
⊥
.
2) Chứng minh a // b và
( )
b
α
⊥
, suy ra
( )
a
α
⊥
.
3) Chứng minh
( )
α
//
( )
β
và
( )
a
β
⊥
, suy ra
( )
a
α

α β α
α γ
∩ = ∆

⊥ ⇒ ∆ ⊥


⊥

Dạng 4: Tính góc giữa hai mặt phẳng:
Phương pháp chung:
Trong thực hành để tính góc
θ
giữa hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
có giao tuyến
∆
; ta vẽ mặt phẳng
( )
γ
vuông góc với
∆
tại O.
( ) ( )
( ) ( )
·

·
AHB
θ
=
.
(hoặc kẻ
BH AH⊥ ∆ ⇒ ⊥ ∆
)
Dạng 5: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
Phương pháp chung: Dùng một trong các phương pháp sau:
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng
( )
α
.
2) Chứng minh:
( )
α
3) Gọi
( )
α
và
( )
α
là hai vec tơ pháp tuyến của
( )
α
và
( )
α
. Chứng minh:

( )
,d A
α
như là đường cao của tứ diện. Tính thể tích của tứ diện theo
hai cách, suy ra
( )
( )
,d A
α
2) Loại 2: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Xét mặt phẳng
( )
α
qua điểm A và
( )
α
⊥ ∆
tại H thì
( )
,d A AH∆ =
3) Loại 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng cheo nhau:
-
( )
1 2
,d IJ∆ ∆ =
với IJ là đoạn vuông góc chung của
1
∆
và
2

vuông tại D. Chứng minh
( )
AB SAD⊥
.
b) Đáy ABCD là hình thoi và SA = SC. Chứng minh:
( )
AC SBD⊥
.
c) Đáy ABCD là hình chữ nhật,
SBCV
vuông tại B và
SCDV
vuông tại D. Chứng minh
( )
SA ABCD⊥
.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD.
a) Đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC ; SB = SD. Chứng minh
( )
SO ABCD⊥
.
b) Đáy ABCD là hình chữ nhật và SA = SB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng
minh
( )
CD SIJ⊥
.
Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một
và OA = a, OB = b, OC = c.
a) Gọi H là trực tâm của
ABCV

và
HK AI⊥
2) Qua A vẽ mặt phẳng
( )
α
vuông góc với SC tại I. Mặt phẳng
( )
α
cắt SB, SD lần lượt tại H và K.
Chứng minh
( )
AH SBC⊥
và tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.