GIẢI ĐÁP TOÁN CẤP 3

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
( Trang 1 – 11 ) ĐẠO HÀM
( Trang 13 – 16 )

GIỚI HẠN
( Trang 16 – 17 )
TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
( Trang 18 – 43 ) PHẦN 1

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
www.giasuminhtam.com
   


6)
a
a
a

 



7)
 
.ab a b

 

8)
a a
b b



 

 
 

Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.

   
 
  4) D =
3 2 1 2 3 2
4 .2 .2
   
5) E =



5 5 5
3
5
5
81. 3. 9. 12
3 . 18. 27. 6
6) F =
3 3
847 847
6 6
27 27
  

Giải:
1) A =
   
23

1
1 2
1
2
2
4
4 3
0,25 1 4
4
3
1 3 1
0,5 625 2 19. 3 2 5 19.
4 2 ( 3)



 

 
   
       
 
   

   
 
 3 3

5
10
10 52 2 2
81. 3. 9. 12 3 .3 .3 .2.3 3 1 3
3
3
3
3 . 18. 27. 6
3
3 .3.2 .3 .2 .3

    
 
 
 

6) F =
3 3
847 847
6 6
27 27
   . Ta áp dụng hằng đẳng thức :
   
3
3 3
3a b a b ab a b    

3
3 3 3 3
847 847 847 847 847 847

Vậy F = 3.

Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức có nghĩa):
1) A =
23
4
a a
2) B =
35
4
7
5
a b
b a
 
 
 
 
3) C =
1 1
1
1 1
2 2
4 4
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
: .
a b a b a
a b
b

5) E =
2
1 1
2
2 2
: 2
b b
a b b b
a a
 
 
  
 
 
 
 
 6) F =
2
1 1
3 3
3 3
3
: 2
a b
a b
b a
ab

1
2 2 2 2
2
1 1
2 2
a b a b
ab
a b
a b
  
 
 
 

 
 

 

 
  
9) I =
4 1
1
2
3 3
3
3
2 2
3

2) B =
35
1 5
4
35
1 4
7 4
1 1
4
5 5
7
5
a b b b b b a
b a a a a a b

 
 
   
 
 
 
       
   
 
   
 
       
 
   
       

   
 
 
 
    
  

 
 
 
 
 
 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1
2 2 2
2 4 4 4 4
1
. . . . 1
a b a a b a b a b a b a
b b a b
a a b
a a b a b
 
   
 

   
 
       
   
 
   
 
   


5) E =
     
2
2
2
1 1
2
2 2
2 2
: 2 : :
b b b b
a b b b a b b a b a b
a a
a a
   
 
 
        
 
 

     
 
2 2
1 1 1 1
3 3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 3
3
3 3
2
3 3 3 3
3 3
2
: 2 : . 1
a b a b
ab a a a b
a b ab
b a
ab ab ab ab
a b
   
 
   
  
 
   
    
 
 
 

a ab ab b
a a b b a b
 

  
 
 

8) H =
 
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
3 3 1 1 1 1
1 1
1
2 2 2 2 2 2
2 2
2
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
a b a a b b
a b a b a b
ab a b
a b
a b a b
a b a b

2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2
1
a b
a a b b
a b a b
 

 
 
 
 
   
 
   
   

9) I =
 
1
4 1
1 1
2 2
3 33
3 3
3 3
3
2 2 2 1 1 2







     
3 3 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2
3
3 3 3 3
2 2
2 2
3 3
3 3 3 3 3
3
3 3
2 2 2 2
. 0
2
2 2 2
2 4
a a b a a b a ab b
a
a a a a
a b
a b a ab b
a ab b
   

1
5 13 7 1 1
2
3 3
2 4 4 2
3 .5 :2 : 4: 5 .2 .3

 
   
   
 
    
   
   
   
 
   
 4) D =
7
2
4
0,75
7
6 (0,2)




a a a 2) B =
 
5 3 5( 5 1)
2 2 1
2 2 1
.a a
a
 



3) C =

1 9 1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b


 

 

4) D =
3 3
6 6
a b
a b

1) log 1 0
a
 2) log 1
a
a  3) log log log ( )
a a a
b c bc  4)
log log log
a a a
b
b c
c
 

5)
log
a
b
a b
6)
log log
log log
1
log log
a
a a
a
a
a
b b

a
b
a
b a b
a
b c c
c
c
b

  


 






Chú ý: +) Lôgarit thập phân :
10
log log lgb b b 

+) Lôgarit tự nhiên ( lôgarit Nêpe) : log ln
e
b b

(
2,71828e 

9
5) E=
1 1
log 27 log 81
1 125
2 9
5
25
 
6) F =


log 2 log 27
9 8
3 2 2
log 27 2

 7) G =


log 6 log 8
ln3
5 7
lg 25 49 e 
8) H =
1 1
log 3 log 2


 
2013 4 2 0,25 9 4
log log (log 256) log log (log 64)

13) M
3 4 5 6 7 8
log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 7

14) N

0 0 0 0
lg(tan1 ) lg(tan 2 ) lg(tan88 ) lg(tan89 )    Giải:
1) A =


1
3 2
6
3 3 3 3 3
2 2
3
2
2
1 2 1
log log 2 log log 2 log . log log 3 2
6 3 9

    
 
 

4) D =
 
3
3log 5
3
3
2
2
log 5
2log 3
3 3
5
9 3 3 5
 
  
 
 

5) E
 
2
3 4
1 1
log 27 log 81
2 8
1 1

3
log 3
log 2log 2
log 2 log 27 log 3
3
3
23
9 8
2 2 2
3
3 2 2 3 2 2 3 2 2
log 27 2 log 3 2 log 3 2
  
 
 
    
 
 
 
  
 
3
3
2
log 2 log 3
3
2 2

 
 
 
 

2 2 2
lg 6 8 3 lg10 3 2 3 1        

8) H =
   
2 2
1 1
2 2
log 6 log 8
log 3 log 2 log 6 log 8
3 2log99 2 2
6 8 3 2
9 4 10 3 2 99 3 2 99 6 8 99 1           
9) I =
   
2
2log 71
log 5 log 6
log 5 log 36 2log 71
2
3 2
4 3

7
2
1
4
4
log 2 0,25 .log
1 2log
log 2 0,25 0,5log1 2log
6 22 42
6 9
2 2
3
7
7
4 36 81 2 6 3



     2
7
log
6
4
log 7
4log
3
2

2
1
2
1 3 1
log log 8 log log 3 log log 2 log log log 1 0
2 2 2
 
 
 
 
 
 
 
       
 
 
 
 
  13) M
3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 8
1
log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 7 log 7.log 6.log 5.log 4.log 3.log 2 log 2
3
   

14) N


0 0 0 0 0 0 0
lg tan1 .cot1 lg tan 2 .cot 2 lg tan 44 .cot 44 lg tan 45    

lg1 lg1 lg1 lg1 0 0 0 0 0          Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
1) A =


2 3
4
5
log
a
a a a 2) B =




log log 2 log log log 1
a b a ab b
b a b b a   
3) C =
3
5
1
lg log
a
a a

Trang 7

Giải:
1) A =


1
1 16 4 14
4
4
2 3 2 3 2 24
5
5 5 5 5
14
log log . . log . log . log
5
a a a a a
a a a a a a a a a a a
 
 
   
 
 
    
   
 
 
   
 
 

b b
a
b b ab

 
 
     
 
    
2 2
log 1 log 1
log1
. 1 1 . 1 log 1 1 log
log 1 log log 1 log
a a
a
a a
a a a a
b b
b
b b
b b b b
 
 
        
 
 

 
 
2 2 4
2
2 2 2
2 2 2 2
3
2 2 2 2
log log 1
2
1
log 2 log log
1 2log log . log 1 8log
2
log . 3log 1 1 3log . 3log 1 1
a
a
a a a a
a a a a
a a a a

 
   

   2
2 2
2

2
3
33
log
a
a bc
x
a cb
 Giải: Cho
log 3
a
b 
;
log 2
a
c  

1) Với
3 2
x a b c


 
 
1
3 2 3 2
2

2
3
33
log
a
a bc
x
a cb


1 5 5
5 8
3
2 2
3
3 3 6
3 3 2
1 1 8
33
3
3 6 3
log log log log log log log
a a a a a a a
a bc a b c a c
x a b c
a cb
a b c b
      

 

3) C =
log 40
biết
2
3
1
log
5
a
 

 
 

4) D =
6
log (21,6) biết
2
log 3 a và
2
log 5 b
5) E =
35
log 28 biết
14
log 7 a và
14
log 5 b 6) F =
25
log 24 biết

log 7 c 10) J =
6
log 35 biết
27
log 5 a ;
8
log 7 b ;
2
log 3 c

Giải:
1) A =
20
log 0,16 biết
2
log 5 a . Ta có: A =
20
log 0,04
2
3
2
20
3 2
2 2
2
log
1 3log 52 1 3
5
log
5 log (2 .5) 2 log 5 2

3 3 3
25
2
3 3 3
1
1
log 15 log (3.5) 1 log 5
1
log 15
1
log 25 log 5 2log 5 2 1
2.
a
a
a
a
a



    

 3) C =
log 40
biết
2
3


C =

3
2 2 2
2 2 2
3
3
log 40 log (2 .5) 3 log 5 6 3
2
log40
3
log 10 log (2.5) 1 log 5 2 3
1
2
a
a
a
a

 
    
 
 4) D =

35
log 28 biết
14
log 7 a và
14
log 5 b
Ta có:
 
14
7 7
1 1
log 7
log 2.7 1 log 2
a   



7
1 1
log 2 1
a
a a

   
7 7
14 7 7
7 7

a
b
a b
a




    
 


www.giasuminhtam.com
TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com
GV: Lienxo86Trang 9

6) F =
25
log 24 biết
6
log 15 a và
12
log 18 b
Ta có:
2 2 2
6
2 2

1 2
(2 log 3) 1 2log 3 ( 2)log 3 1 2 log 3
2
b
b b b
b

         


Từ (1) 
     
2 2 2 2
1 2 2 1
log 5 1 log 3 log 3 1 log 3 1
2 2
b b a ab
a a a a a
b b
   
         
 

 F =
 
3
2
2 2
25
2

lg3 a
và
lg2 b
.
Ta có:
10
lg2 lg 1 lg5 lg5 1
5
b b
 
      
 
 


G =
 
 
 
125
3
lg 3.10
lg30 1 lg3 1
log 30
lg125 3lg5 3 1
lg 5
a
b
 
   

2
1
5
3
2 3
2
2
49
7
log log
2log 7 349 2.2 3 12 9
8
2
log
1 1
8
log 5
log 5
log 5
3 3
ab ab
b
b
  
    

9) I =
140
log 63
biết

 
   
    10) J =
6
log 35
biết
27
log 5 a
;
8
log 7 b
;
2
log 3 c2 2 2
27 2
2 2
2 2
8 2
2
log 5 log 5 log 5
log 5 log 5 3
log 27 3log 3 3
log 7 log 7
log 7 log 7 3

3
log
b
a
b
a
biết log 3
a
b  . 2) B =
1 9 1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b


 

 
biết
2013 2a  
;
2 2012b  www.giasuminhtam.com
TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com
GV: Lienxo86


b a
b
b a
a b b
a b
a a
     
   
 
   
      
 
2log 2log 3
1 1 1 2 3 3 3
log 2 3 log 2 log 2 3 log 2 3
1 1
3 3 2
3
2 log
a a
a a a a
a
b b
b b b b
b



 
 
   
1 1
1 9 1 3
2 2
4 2
4 4 2 2
1 5 1 1 1 1
4 4 2 2 4 2
1 1
1 1 2013 2 2 2012 1
1 1
a a b b
a a b b
a b a b
a a b b a a b b


 
 
 
             
   Ví dụ 6: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
1)
log log
log ( )

1
log ( 2 ) 2log 2 (log log )
2
a b a b   
5) Nếu
1
1 lg
10
b
a


;
1
1 lg
10
c
b


thì
1
1 lg
10
a
c


6) Nếu
12

1)
log log
log ( )
1 log
a a
ac
a
b c
bc
c



. Ta có:


 
log
log log log
log ( )
1 log log log log
a
a a a
ac
a a a a
bc
b c bc
bc
c a c ac


a c
c b c b b a



  


    

(đpcm) 3) Nếu
2 2
4 9 4a b ab 
thì
2 3 lg lg
lg
4 2
a b a b 


Ta có:
 
2
2
2 2 2 2
2 3
4 9 4 4 12 9 16 2 3 16

4) Nếu
2 2
4 12a b ab  thì
2013 2013 2013 2013
1
log ( 2 ) 2log 2 (log log )
2
a b a b   

Ta có:
 
2
2
2 2 2 2
2
4 12 4 4 16 2 16
4
a b
a b ab a ab b ab a b ab ab

 
          
 
    
2
2013 2013 2013 2013 2013 2013
2

10
c
b


thì
1
1 lg
10
a
c



Ta có:
1 1
1 lg 1 lg
1 1 lg 1
10 lg lg10 lg 1
1 lg lg lg
b b
a
a a b
b a a
 

       

(1)


12
log 18a  ;
24
log 54b  thì:
5( ) 1ab a b  

Ta có:


 
 
2
2
2 2
12 2 2 2
2
2 2
2
log 2.3
log 18 1 2log 3
1 2
log 18 2 log 3 1 2log 3 log 3
log 12 2 log 3 2
log 2 .3
a
a a
a


         

1 2 1 3
1 2 3 1 3 2 5( ) 1
2 3
a b
a b b a ab a b
a b
 
           
 
(đpcm)

7)
2 2
log log
a a
b c
c b


Ta có :
2
2 1 2 2
2 2
log log log log log log
a a a a a a
b b c c c c
c c b b b b

 
       


;
2 2
log log
b b
c c
a c
c a

;
2 2
log log
c c
a a
b a
a b
2
2 2 2 2 2 2 2
log .log .log log .log .log log .log .log 1 1
a b c a b c a b c
b c a b c a b c a
c a b b c a b c a
b c a c a b c a b
 
    
 
 

25
log 5 5
2) B =
2 1
8
log 8.log 4
3) C =
 
1
3
5
1
log .log 5 5
9

4) D =
5
3 2log 4
5

5) E =
3 27
1
log 2 2log 3
2
9

6) F =
3
2

1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
  11) J

252 4 4
16 5
1 1
log 49log 3 log 9 log 9
1
log 25 log 3
(27 5 )(81 8 )
3 5 .5
 



12) K
2
6 6 1 3
2
1
1
log 5 log 2log 3
3 7 9
1 1
log log 27 log 16 9 4 log tan
3 12 4

1
2
log 28
biết
7
log 2 a 2) B =
6
log 16 biết
12
log 27 a . 3) C =
49
log 32 biết
2
log 14 a

4) D =
54
log 168
biết
7
log 12 a
và
12
log 24 b
5) E =
30
log 1350
biết
30
log 3 a

a
b  . 2) B =
 
 
3
log log
c a
a b c
c biết log 5
a
b  và log 3
a
c 

Bài 5: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

1)
log
1 log
log
a
a
ab
c
b
c
 

2) Nếu
2 2 2

2
a b a b   

www.giasuminhtam.com
TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com
GV: Lienxo86Trang 13

II. ĐẠO HÀM
1)
 


 
1
1
1
'
' . '
'
'
n
n n
x x
u u u
u
u
n u

e e




  






3)
 
 
 
 
1
log '
ln
' '
log ' ln '
ln
1
ln '
a
a
x
x a
u u

3 1 cos sin
5
x x
x x
y e e
 
   3)


2
2 2
x
y x x e  

4)




2 2
2
ln 1 log 1y x x x     5)
3 2
lny x 6)
2
4
log
4
x
y

9)
ln(2 1)
2 1
x
y
x




10)
x x
x x
e e
y
e e





11)


2
3
ln 1 log (sin 2 )y x x x   

12)
log (2 1)

  
 
(áp dụng công thức


1
'
'
n
n n
u
u
n u


)
2)
3 1 cos sin
5
x x
x x
y e e
 
  
3 1 cos sin 3 1 cos sin
' 3. ( sin cos ).5 ln5 3 (sin cos ).5 ln5
2



2 2
2
ln 1 log 1y x x x    

 
2
2
2 2 1
'
1
1 ln 2
x x
y
x
x x

 

 

5)
3 2
lny x 
3
3 4
1
2.(ln ).
2

8
'
4
16 ln 2
ln 2
4
x
y
x
x
x

  

 

 

 

www.giasuminhtam.com
TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com
GV: Lienxo86Trang 14

7)
1
log

x
x
x x
x
x
x
y
x x x
x x
x
x x x
  
 


 
 
 
    
  


8)
ln 1 ln
1 ln
x x
y
x x

 




 
 
 
2 1
. 2 1 .ln 2 1
2 ln 2 1
2 1
2 1
'
2 1
2 1 2 1
x x
x
x
x
y
x
x x
  
 


  

 

10)


11)


2
3
ln 1 log (sin 2 )y x x x   

2
2 2
1
2cos2 1 2cot2
1
'
sin 2 ln3 ln3
1 1
x
x x
x
y
x
x x x


    
  

12)




13)
1
(2 1)
x
y x

 

     
1
ln ln 2 1 1 ln 2 1
x
y x x x

     
(*)

 


2 1
'
ln 2 1
2 1
x
y
x
y x


y e x


2)
' 1
y
xy e
 
với
1
ln
1
y
x
 

 

 

3)
' ( ln 1)xy y y x 
với
1
1 ln
y
x x

 
4)

sin
x
y e x



Ta có:


   
' sin cos cos sin
sin
'' cos sin sin cos 2 cos
x x x
x
x x x
y e x e x e x x
y e x
y e x x e x x e x
  

  

    

 

       



Trang 15

Ta có:
 
2
1
ln
1
1
1
' 1 1
1
1 1
1 1
ln ' ' 1
1
1 1
1
1
1
y
y
x
x
xy
x
x x
y y xy e
x x
e e

với
1
1 ln
y
x x

 
. Ta có:
 
 
 
2 2
1
1
1
1
'
1 ln
1 ln 1 ln
x
x
y y
x x
x x x x x
 
 
 
 
 
   



 

   

 
 

   
 

   
 
 

(đpcm)
4)
2
' '' 0y xy x y   với
sin(ln ) cos(ln )y x x 

Ta có:
 
2 2
1 1 cos(ln ) sin(ln )
' cos(ln ) sin(ln )
sin(ln ) cos(ln )
1 1
sin(ln ) cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )

' '' sin(ln ) cos(ln ) cos(ln ) sin(ln ) 2cos(ln ) 0y xy x y x x x x x         (đpcm)
5)
2 2 2
2 ' 1x y x y 
với
1 ln
(1 ln )
x
y
x x




Ta có:
   
 
 
   
2
2 2 2
2 2 2
1 1
. 1 ln 1 ln . 1 ln
1 ln ln 1 ln
1 ln
'
1 ln 1 ln 1 ln
x x x x x
x x x

2
2 2 2
2
2 2 2
2 1 ln
1 ln
2 ' 2 .
1 ln 1 ln
2 1 ln
1 ln 1 ln
1 . 1 1
(1 ln ) (1 ln )
1 ln
x
x
x y x
x x x
x
x x
x y x
x x x
x




 
 



2
1
1
1
2 1
' 1 .
2
1
1
x
x
x
x x
y x x x
x
x x


 
 
    
 

 
 

=





2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
' ln ' 1 ln 1 1 ln 1
2 1 2ln 1 1 ln 1
xy y x x x x x x x x x x
y x x x x x x x x x x

            




           

2 ' ln 'y xy y  
(đpcm)
www.giasuminhtam.com
TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com
GV: Lienxo86Trang 16

B. BÀI LUYỆN Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
3 2


6)
2
(sin cos )
x
y x x e 

7)


1 ln lny x x  8)
ln( 1)
1
x
y
x




9)
2
ln(cos )
x
y e x

10)
2 2
ln 1y x x  11)
2

y y e 
với
( 1)
x
y x e 

3)
''' 13 ' 12 0y y y  
với
4
2
x x
y e e

 
4)
'cos sin '' 0y x y x y  
với
sin x
y e

5)
'' 2 '
x
y y y e  
với
2
1
2
x

x
x x
x e
x
 
 
   
 
 
2)
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x



3)
0
1
lim 1
x
x
e
x




 
 

 
3)
ln 1
lim
x e
x
x e



4)
0
lim
sin
x x
x
e e
x



5)
3
0
ln(1 )
lim
2

8)
0
ln(1 2 )
lim
tan
x
x
x



9)
10
lg 1
lim
10
x
x
x



Giải:
1)
1
lim
1

1
x t
 

(1 )
;
x t
x t
  



   


1
1
1
1 1 1 1 1
lim 1 lim lim
1.
1 1 1
1 1 1
t
t t
t t t
L

L
x x
 
 

   
  
   
 
   
Đặt
3 1
3 2
2
;
x t
x t
x t

   




   
6
6 3 3

L
x e





Đặt
; 0
x t e
t x e
x e t
 

  

 


3
0 0 0
ln ln 1
ln( ) ln 1 1
lim lim lim .
t t t
t e t
t e e
e e
L
t

x x
x x x x x
x
e
e e e e e
e
L
x x
x x e x x e
x e
x x

    

   
      
5)
3 3 3 2
5
3
0 0 0
3
2
ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )
lim lim lim . 1.0 0
2
2 2
.
x x x
x x x x

 
 
 
  
    
 
 
 
 
 

7)
 
 
 
7
0 0 0
1 1 1
1 1
lim lim lim . 1 1 1.0 0
1 1
x
x x
x x x
e x
e e
L x
x x
x
  

 
 
 

9)
9
10
lg 1
lim
10
x
x
L
x





Đặt:
9
0 0 0
10
lg lg 1
10
lg( 10) lg10 1 1
10 10
10 lim lim lim .
10; 0
10 10


Tính các giới hạn sau:
1)
1
1
lim 1
x
x
x
x


 

 
 
2)
2
0
1
lim
3
x
x
e
x


3)
1
www.giasuminhtam.com
TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com
GV: Lienxo86Trang 18

IV. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC

*) Tính đơn điệu: *) Các bất đẳng thức:
1)
0 1
log log
b c
a a
a a
a b c
b c


    



2)

 


 









và
0 1
1
log 0
1
0 1
a
a
b
b
a
b
  






A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Không dùng bảng số và máy tính hãy so sánh các cặp số sau:
1)
 
3
0,01

và
1000
2)
2 2
2

 
 
 
và
3
2

 
 
 
3)
4

và
1
3
0,7 8)
3
2 và
2
3 9)
0,4
log 2 và
0,2
log 0,34
10)
2 1
2
2log 5 log 9
2

và
626
9
11)
6
log 1,1
3
và
6
log 0,99
7
12)

3
0,01

và
1000
. Ta có:
 
 
3
3
2 2 3 3
0,01 10 10 ; 1000 10
2 3 3



  






 
3
0,01 1000

 
2)
2 2

3 1
và
3
3 1

. Ta có:
   
1 1
3
4
4 3
3 1 3 1 ; 3 1 3 1
1 1
0 3 1 1;
4 3

     




   



3
4
3 1 3 1   

4)

1
. Ta có:
5
0
2
5
0
5 5
2
1
7 7
5
0 1
7


 


   
  

   
   

 



7)



5 1
6 3
0,7 0,7 

8)
3
2
và
2
3 . Ta có:
 
 
3
6 2
3
3
3
2
2 2 8
3 3 3 9

 




  


2 1
2
2

và
626
9

Ta có:
2log 5 log 9
25
2 1
log
log 25 log 9
2
9
2 2 2
25
2 2 2
9


  
625 626
9 9
 



2log 5 log 9


   

 

   



12)
1
3
1
log
80
và
1
2
1
log
15 2

Ta có:
   
1
1 3 3
3
3
1 1
1




13)
2011
log 2012 và
2012
log 2013
Ta luôn có :




1
log 1 log 2
n n
n n

   với
1n 
(*) . Thật vậy :
+) Ta có :
         
2 2
1 1
1 2 1 2 1 log 1 log 2
n n
n n n n n n n n
 
          

n n
 
 
)
+) Từ (1) và (2)
   
1 1 1 1
2 2 log .log 2 1 log .log 2
n n n n
n n n n
   
          
1 1
1
1
log 2 log 1 log 2
log
n n n
n
n n n
n
 

      
(đpcm)
Áp dụng (*) với 2011n  
2011


  

với
0 1a 

(*)

.Thật vậy :…
(các bạn xem phần chứng minh ở ý 13) hoặc cách khác ở Ví dụ 4 ý 4) )
Áp dụng liên tiếp (*) ta được :

3 4 5 6 7 8 9 10
log 4 log 5 log 6 log 7 log 8 log 9 log 10 log 11       hay
3 10
log 4 log 11 (đpcm)
Ví dụ 2: Xác định dấu của các biểu thức sau: A
5 15
1 0,3
3
log 3.log 4
14 7
log .log
5 2


B =
3
1
log 2 log 5

1 14 14
0 1; 1 log 0
3 5 5
7 7
0 0,3 1; 1 log 0
2 2
   


   


    




    

 A
5 15
1 0,3
3
log 3.log 4
14 7
log .log
5 2

0
B =

log
6
6
2
5
1 1 5
6 6
6 6 2



   
   
   
   
3
3 3
5 125
2 8
 
 
 
 
. Mặt khác:
3 3
31 124
2 8

Mà:
3 3


Ví dụ 3: Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần:
1) 2 ;
 
64
5
log
3
4
2 ;
6
2

;
log 2
9
3
2 2)
4
2log 5;
3
log
4

;
2
4
log
3
;

2
5
5
1 55
log
3log
loglog
2
6
2643
4
4
2 2 4
4
5 5
2 2 2 2
4 4
 
    
 
 
;
log 2
3
log 2 log
9 3
3 3 3 2
1
2
2

log
643
4
2 2
(2)
Từ (1) và (2) :
 
5
log 2
log
9
643 3
6
4
2 2 2 2

  

thứ tự giảm dần là:
log 2
9
3
2 ;
6
2


;
2


4

Ta có:
4 2
2log 5 log 5 ;
2 2
2
4 4 16
log 2log log
3
3 3
  ;
2
9 32
3
1 1 1
log log log
4 2 2
 
 
 
 

Mà:
3 3
3 2
2 2
1 1
log log
2 4 2 4

1 4
log log 2log 5 log
4 4
3

  

thứ tự giảm dần là:
2
4
log
3
;
4
2log 5

;
3
log
4


;
9
1
log
4Ví dụ 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

với 0 1a 

5)
log log log
3
3
b c a
c a b
a b c abc   với
, ,a b c
dương và khác 1.

Giải: 1)
ln ln
ln
2 2
a b a b 
 với
1a 
;
1b 
.
Vì
1a 
;
1b 

nên
ln a
,

a b a b  
(2)
Từ (1) và (2)


2
1
ln ln ln
2 4
a b
a b

  
hay
ln ln
ln
2 2
a b a b 


(đpcm)
2) log log
a a c
b b

 với
, 1a b 
và 0c 
Vì
, 1a b 

1 a b 
và
0c 

Ta có : log log ( )
a a c
b b c

 

log 1 log ( ) 1 log log
a a c a a c
b b c
b b c
a a c
 

      
 Với
1 a b 
và
0c 
1
b b c
a a c

  

www.giasuminhtam.com
TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com
GV: Lienxo86Trang 22

4)
1
log ( 1) log ( 2)
a a
a a

  

với 0 1a 
Theo kết quả ý 3) ta có :
log log ( )
a a c
b b c

 
với
1 a b 
và
0c 

Áp dụng với
1b a 
và


       (1)
Vì
, 1a b 
nên áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm log
b
a và log
a
b ta được :

log log 2 log .log 2
a b a b
b a b a   (2)
Từ (1) và (2)
2
log
log
2 2
c
b
b a
a c c c  
hay
log
log
2
c
b
b a
a c c 

c
a b
b c a
a b c a b c     (*)
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có :
3
3a b c abc  
(2*)
Từ (*) và (2*)
3
log
log log
3
c
a b
b c a
a b c abc   
(đpcm)

Ví dụ 5: Không sử dụng máy tính hãy chứng minh rằng:
1)
2 3
5
2 log 3 log 2
2
  
2)
1 3
2
1

2
2 2
2log 3 5log 3 2 0   




2 2
2log 3 1 log 3 2 0    (*)
Mặt khác :
2
2
2log 3 1 0
log 3 2 0
 



 

(*) đúng
2 3
5
log 3 log 2
2
  
(2)
Từ (1) và (2)
2 3
5

1
log 3 log 2
2
   
(đpcm)
www.giasuminhtam.com
TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com
GV: Lienxo86Trang 23 Ví dụ 6: Chứng minh rằng các hàm số:
1)
2 2
( )
2
x x
y f x


 
đồng biến trên 

2)


2
( ) 3 1

2 2
( )
2
x x
y f x


 
đồng biến trên 

(đpcm)

2)


2
( ) 3 1
x
y f x x x   

Ta có:
 
   
2 2
2 2
1
'( ) 3 ln3 1 3 1 3 1 ln3
1 1
x x x
x


2
( ) 3 1
x
y f x x x   
nghịch biến trên 

(đpcm)
Ví dụ 7: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1)
1
'( ) ( ) 0f x f x
x
 
với
3
( ) ln
f x x x
 2)
'( ) 0f x 
biết
2 1 1 2
( ) 2 7 5
x x
f x e e x
 
   

1
'( ) ( ) 0f x f x
x
 
với
3
( ) ln
f x x x


Điều kiện :
0x 
Ta có:
 
3 2 3 2
1
( ) ln '( ) 3 ln . 3ln 1f x x x f x x x x x x
x
        
2 3 2
1 1
'( ) ( ) 0 3ln 1 . ln 0 4ln 1 0f x f x x x x x x x
x x
         0x 

 
   
Ta có:
2 1 1 2 2 1 1 2
( ) 2 7 5 '( ) 2 4 7
x x x x
f x e e x f x e e
   
       

 
2
2 1 1 2 2 1 2 1 2 1
2 1
4
'( ) 0 2 4 7 0 2 7 0 2 7 4 0
x x x x x
x
f x e e e e e
e
    

            


2 1
2 1
1
2
4

e
x 

www.giasuminhtam.com
TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com
GV: Lienxo86Trang 24

3)
'( ) '( )
f x g x

biết
( ) ln( 5)f x x x  
;
( ) ln( 1)g x x 

Điều kiện :
5x 
Ta có:
1 4
( ) ln( 5) '( ) 1
5 5
x
f x x x f x
x x

      

f x g x

biết
2 1
1
( ) .5
2
x
f x


; ( ) 5 4 ln5
x
g x x 

Ta có:
2 1 2 1
1
( ) .5 '( ) 5 ln5
2
x x
f x f x
 
  
;


( ) 5 4 ln 5 '( ) 5 ln5 4ln5 5 4 ln5
x x x
g x x g x      

1y x 
4)
2
(3 9)
x
y

 

5)
2
3
log ( 3 )y x x 
6)
2
4 4
log 2012
x x
y
 

7)
1
3
log ( 3) 1y x  

8)
 
2
3

 

 Giải:
1)
2
2
( 4)y x

 
. Điều kiện :
2
2
4 0
2
x
x
x
 

  



 TXĐ:
( ; 2) (2; )D    

2)


5)
2
3
log ( 3 )y x x 
. Điều kiện :
2
0
3 0
3
x
x x
x


  





TXĐ:
( ;0) (3; )D   

6)
2
4 4
log 2013
x x
y

  

  

 



TXĐ:
 
\ 1;2;3D  
7)
1
3
log ( 3) 1y x  
Điều kiện :
1 1 1
3 3 3
1 1 10
log ( 3) 1 0 log ( 3) 1 log 0 3 3
3 3 3
x x x x             


TXĐ:
10
3;
3
D
 

2
3
3 0
1
1
3 2 0
1
2
2 3
3 0
2
3
3
3 2 3
7
3
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x











 


   












TXĐ:




 



 
 
   
2 2
2 2
0,5
11
2
3 8 3 8
2
11
2 8 0 2 8 0
4
2
1 1
log 1 0
2
x
x x x x
x
x x x x x
x
x

x 

10)
2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
 


 

 
. Đkiện :
2 2 2
1 5 5 5 5 5
5
1 1 1
log log 0 0 log 1 log 1 log log 5
3 3 3
x x x
x x x
 
  
      

x
x
x x
x
x
    


 





   


 

     
 

 

 
 


 


1 3
( ) 2 2
x x
f x
 
 
4)
2 2
sin cos
( ) 5 5
x x
f x  

Giải: 1) ( ) 3
x x
f x
 
 Cách 1: Ta có:
2
1 1 1 1 1
4 4 2 4 4
x x x x x
   
           
   
   1
4 4

1
lim ( ) lim 3 lim 0
3
x x
x x
x x x
f x
 

  
  

bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
4
max ( ) 3f x 
khi
1
4
x 

www.giasuminhtam.com
TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com
GV: Lienxo86