Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyên đề 8: HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARÍT
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:
•
n
n thừa số
a a.a a=
123

(n Z ,n 1,a R)
+
∈ ≥ ∈
•
1
a a=

a
∀
•
0
a 1=

a 0
∀ ≠
•
n
n

a
−
= =
2. Các tính chất :
•
m n m n
a .a a
+
=
•
m
m n
n
a
a
a
−
=
•
m n n m m.n
(a ) (a ) a= =
•
n n n
(a.b) a .b=
•
n
n
n
a a
( )

nghòch biến trên
R

• Đồ thò hàm số mũ :
Minh họa:
• Đạo hàm của hàm số mũ:

( )
'
x x
e e=

( )
' .ln
x x
a a a=

( )
' . '
u u
e e u=
(với u là một hàm số)
( )
' . ln . '
u u
a a a u=
(với u là một hàm số)
170
a>1
y=a

-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
y=2
x
y=
1
x
y
y
x
1
O
O
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a

•
a
log 1 0=
•
a
log a 1=
•
M
a
log a M=
•
log N
a
a N=
•
a 1 2 a 1 a 2
log (N .N ) log N log N= +
•
1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N
= −
•
a a
log N .log N
α
= α

=171
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
4. Hàm số logarít: Dạng
a
y log x=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
+
=D R
• Tập giá trò
=T R
• Tính đơn điệu:
* a > 1 :
a
y log x=
đồng biến trên
+
R
* 0 < a < 1 :
a
y log x=
nghòch biến trên
+
R
• Đồ thò của hàm số lôgarít:

=
(với u là một hàm số)

( )
1
log '
ln
a
x
x a
=
và
( )
1
log '
ln
a
x
x a
=
( )
'
log '
.ln
a
u
u

-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
y=log
2
x
x
y
x
y
f(x)=ln(x)/ln(2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2

⇔
M = N
2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a
M
< a
N

⇔
M > N (nghòch biến)
3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a
M
< a
N

⇔
M < N (đồng biến )
4. Đònh lý 4: Với 0 < a
≠
1 và M > 0;N > 0 thì : log
a
M = log
a
N
⇔
M = N
5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log
a
M < log
a
N

1)
x 1 2x 1
9 27
+ +
=

2)
2
x 3x 2
2 4
− +
=
3)
x x 2 x 1 x 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 2
+ + +
+ = −

Ví du 2ï : Giải các phương trình sau
1)
x 10 x 5
x 10 x 15
16 0,125.8
+ +
− −
=

2)

x x
5 2 6 5 2 6 10+ + − =
6)
322
2
2
2
=−
−+− xxxx

7)
027.21812.48.3 =−−+
xxxx

8)
07.714.92.2
22
=+−
xxx
173
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
9)
2 2
x x 2 x 1 x 2
4 5.2 6 0
+ − − + −
− − =
10)
3 2cosx 1 cosx
4 7.4 2 0

(
)2±=x
6)
xxx
8.21227 =+
(x=0)
3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x

2)
0422.42
2
22
=+−−
−+ xxxxx
3)
2x 1 x 1 x
5 7 175 35 0
+ +
+ − − =
4)
x 3 6 x 3 4
2 x 1 2 x 1
x .2 2 x .2 2

5. Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có
không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) .
( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))
Phương pháp chiều biến thiên hàm số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 3
x
+ 4
x

xxx
(x=2) 2)
x
x
−= 32
(x=1)
174
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
Dạng cơ bản:
a
log x m=
(1)
•
m∀ ∈¡
:
m
a
log x m x a= ⇔ =
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng :
a a
log M log N=
(đồng cơ số)
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2
2 1
2
1
log log (x x 1)

2
2
xxx −=++−
(
141;11 +−=−= xx
)
4)
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log x 3 log x 1 log 4x
2 4
+ + − =

( )
x 3; x 3 2 3= = − +
5)
( ) ( ) ( )
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+ − = − + +

( )
x 2; x 1 33= = −

x 25
log 125x .log x 1=
6)
x x x
16 64
log 2.log 2 log 2=
7)
2
5x 5
5
log log x 1
x
+ =
8)
( )
( )
( )
3
log 9 x 2 3
x 2 9 x 2
−
− = −
3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,
Ví dụ : Giải phương trình sau :
log x 2.log x 2 log x.log x
7 7
2 2
+ = +
175
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

log (x x 6) x log (x 2) 4− − + = + +

2)
( )
6
log x
2 6
log x 3 log x+ =
3)
( )
2 3
log 1 x log x+ =
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N
(
, ,≤ > ≥
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

3 6x
4x 11
2
x 6x 8
1) 2 1
1
2) 2
2


2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

x x
2x 1 x
1) 9 2.3 3
2) 5 5 4
+
< +
> +

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x x 2
2 3.(2 ) 32 0
+
− + <

2)
x 3 x
2 2 9
−
+ ≤

3)
2x 4 x 2x 2
3 45.6 9.2 0
+ +
+ − ≤

VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
a a
log M log N<
(
, ,≤ > ≥
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
2 2
log (x x 2) log (x 3)+ − > +
2)
2
0,5 0,5
log (4x 11) log (x 6x 8)+ < + +
3)
2
1 3
3
log (x 6x 5) 2log (2 x) 0− + + − ≥
4)
( )
1 1 2
2 4
log x 2log x 1 log 6 0+ − + ≤
5)
1 3
2
x 1

( )
x
x 3
log log 9 72 1− ≤
6)
)12(log12log4)1444(log
2
555
++<−+
−xx
7)
( ) ( )
x 2x 1 x
1 1
4 2
log 4 4 log 2 3.2
+
+ ≥ −
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số
Ví dụ : Giải bất phương trình sau :
1)
2
2 2
log x log x 2 0+ − ≤
2)
log x 4
2
x 32
+
<

2
2
2
>
+
+
x
x
(
2
1
8
1
<< x
)
177
Chuyờn LTH Hunh Chớ Ho boxmath.vn
VII. HE PHệễNG TRèNH:
Vớ duù : Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh
1)
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3lo g (9x ) log y 3

+ =


=


log)(log
22
4
4
1
yx
y
xy
7)
y
3
3 4 x
( x 1 1)3
x
y log x 1


+ =



+ =

3)





=





=+
=
3
644.2
yx
yx
9)
x 4 y 3 0
log x log y 0
4 2
+ =
=



5)



=+
=+
4loglog2
5)(log
24
22
2

622;2 −== xx
)
3)
)2(loglog
37
+= xx
(x=49)
4)
)2(loglog
75
+= xx
(x=5)
5)
072.32.5
35
13
=+−
−
−
x
x
(x=1)
6)
3
28
12
2
1
log4log232log +=−
−

−
+
x
x
x
x
(
2,
2
1
== xx
)
9)
xxxx 26log)1(log
2
2
2
−=−+
(
2,
4
1
== xx
)
10)
x
x
x
4
4




<






112
2
1
2
1
36
(
1101 >∨<<∨−< xxx
)
4)
0128
8
1
4
1
13
≥−




22
loglog2 >−
(
2
4
1
<≤ x
)
7)
1)93(loglog
9
<−
x
x
(
10log
3
>x
)
8)
)13(log
1
)3(log
1
2
2
4
−
<
+

2
3 2
log
2
x x
y
x
− −
=
+
2.
3 8
0,3
2
log ( 1)
2
2 8
x x
x
y
x x
− − −
− −
= +
− −
DẠNG 2: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số
Bài 1: Với giá trò nào của m thì phương trình sau có nghiệm:
0)12.(44 =−−
xx
m

Bài 1: Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2 2
log x 1 log x 1 log 7 x 1 (1)- + + - - =
Bài giải:
Điều kiện:
x 1 0 x 1
x 1 0 x 1 1 x 7
7 x 0 x 7
ì ì
ï ï
- > >
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
+ > > - < <Û Û
í í
ï ï
ï ï
ï ï
- > <
ï ï
ï ï
î î
Khi đó:

( ) ( ) ( ) ( )
( )

- = -Û
- = - +Û
+ - =Û
é =
ê
Û
ê
= -
ê
ë
So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là
x 3=
Bài 2: Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log x 2 3 log 4 x + log x 6 (1)
2
+ - = - +
Bài giải:
Điều kiện:
x 2 0 x 2
6 x 4
4 x 0 x 4
x 2
x 6 0 x 6
ì ì
ï ï

1 1 1
4 4 4
1 1 1
4 4 4
1 1
4 4
2
2
1 3 log x 2 3 3log 4 x 3 log x 6
log x 2 1 log 4 x log x 6
log 4 x 2 log 4 x x 6
4 x 2 4 x x 6
x 2 x 8
4 x 2 4 x x 6 x 6x 16 0

4 x 2 4 x x 6
x 1 33
x 2x 32 0
+ - = - + +Û
+ - = - + +Û
+ = - +Û
+ = - +Û
é
é
= = -Ú
é
+ = - + + - =
ê
ê
ê

x 5 0
ì
+ > ì
> -
ï
ï
ï
ï
Û
í í
¹
- ¹ï ï
ï ï
î
î
Khi đó:

( ) ( )
( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
2
2
1 log x 2 log x 5 log 8

ê
ï
ê
ï
í
í
í
= - =Ú
ï
ê
ê
ï
ï
ï
+ - = - - =
î
ê
ê
ï
ï
ï
î î
ê
ê
Û Û Û
ì - < <
ê
ê
ì ì
- < < - < <

ê
é
=
ê
ê
ê
ê
Û
ê
±
ï
ê
ï
ê
=
ï
ê
ï
ê
ë
í
ê
ï
ï
ê
ï
ï
î
ë
Vậy nghiệm của phương trình (1) là

ï
Û
í í
-¹
+ ¹ï ï
ï ï
î
î
Khi đó:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
1 log x 2 x 5 log 8
x 2 x 5 8
x 3 x 6
x 2 x 5 8 x 3x 18 0

3 17
x 2 x 5 8
x 3x 2 0
x
2

ê
ê
±
ê
=
ê
ë
182
Chuyờn LTH Hunh Chớ Ho boxmath.vn
Bi 5: Gii phng trỡnh:
( )
4 2
2x 1
1 1
log x 1 log x 2
log 4 2
+
- + = + +
(1)
Bi gii:
iu kin:
x 1
x 1 0
1
2x 1 0
x
2
x 1
2x 1 1
x 0

> -
ù ù
ợ
ù
ợ
Khi ú:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2
1 1 1 1
1 log x 1 log 2x 1 log x 2
2 2 2 2
log x 1 2x 1 log 2 x 2
x 1 2x 1 2 x 2
x 1
2x 3x 5 0
5
x
2
- + + = + +
- + = +
- + = +
ộ = -
ờ

- = - =
t
t
2
t log x x 2= =ị
, phng trỡnh (2) tr thnh:
( )
( )
( )
2
2
t
log 6
2 1 t
1 t t t log 6 t
2
t t
t t t
2
t t
4 2 2.3 4.4 2 18.9
3 3
4.4 6 18.9 4 18
2 2
3 3
18 4 0
2 2

+
+

2 9
t 2
3 1
(loai)
2 2
ộ
ổử
ữ
ờ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ờ
ố ứ
ờ
= -
ờ
ổử
ờ
ữ
ỗ
= -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ờ

x 3
>
ì
ï
ì
ï
ï
>
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
¹ Û ¹
í í
ï ï
ï ï
ï ï
¹
ï ï ¹
ï
î
ï
î
Khi đó:
( )
( )
3 3

3
1
log x 1 x
3
= - =Û
• Với
t 4=
ta được pt :
3
log x 4 x 81= =Û
So với điều kiện ta được nghiệm của pt(1) là
1
x ; x 81
3
= =
Bài 8: Giải phương trình:
( )
( )
x x+ 1
3 3
log 3 - 1 .log 3 - 3 = 6
(1)
Bài giải:
Điều kiện:
− > ⇔ > ⇔ >
x x
3 1 0 3 1 x 0
Khi đó:
( )
( ) ( )

x x x
3 3
1 28 28
log 3 1 3 3 1 3 x log
27 27 27
• Với
=t 2
:
( )
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
x x x
3 3
log 3 1 2 3 1 9 3 10 x log 10
Các nghiệm tìm được thỏa điều kiện.
Vậy pt(1) có hai nghiệm là
= =
3 3
28
x log ; x log 10
27
Bài 9: Giải phương trình:
=
x 7
log 7x . log x 1
(1)
184
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Bài giải:
Điều kiện:
>

+ = ⇔ ⇔ ⇔ =
 
 ÷
 
+ − =
 
+ =
 ÷



 

2
2
t 0
t 0
1 1
1 .t 1 t 1
1 1
t t 2 0
2 t
1 .t 1
2 t
• Với
=t 1
:
= ⇔ =
7
log x 1 x 7

 
− ≠ ⇔ ≠ ⇔
  
≠
  

+ > > −
 
 
≠
+ ≠




2
1
x 1 x
2
2x x 1 0
1
x
2x 1 0
1
2
x
2
2x 1 1 x 1
x 1
x 1 0 x 1


+ = ⇔ − + = ⇔

=


2
t 1
2
t 3 t 3t 2 0
t 2
t
• Với
=t 1
:
( )
−
+ = ⇔ + = − ⇔ =
2x 1
log x 1 1 x 1 2x 1 x 2
(thỏa điều kiện)
• Với
=t 2
:
( ) ( )
−
=


+ = ⇔ + = − ⇔ − = ⇔

Bài giải:
Điều kiện:
< <

− +
> ⇔

>


2
0 x 1
x 3x 2
0
x 2
x
Khi đó:

( )
− +
⇔ ≥
− +
⇔ ≤
− +
⇔ ≤
<

⇔

− ≤ ≤ +

 
<
 ÷
+
 
2
0,7 6
x x
log log 0
x 4
(1)
Bài giải:
Điều kiện:
+ + 
> >
− < < −
 

+ −
 
+ +
⇔ ⇔ > ⇔ > ⇔

 
>
+ +
+ +

 


− < < −

− −
⇔ > ⇔

>
+


2 2
0,7 6 0,7 6
2 2
6 6
2
x x x x
1 log log log 1 log 1
x 4 x 4
x x x x
log log 6 6
x 4 x 4
4 x 3
x 5x 24
0
x 8
x 4
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
− < < −


>


3
x
4x 3 0
3
4
x
2x 3 0 3
4
x
2
Khi đó:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
⇔ − ≤ + +
⇔ − ≤ +
⇔ − ≤ +
⇔ − − ≤
⇔ − ≤ ≤
2
3 3
2
3 3
2
2
1 log 4x 3 2 log 2x 3
log 4x 3 log 9 2x 3
4x 3 9 2x 3

 ÷
 
2
2 2 2
2x x
x 2x x 2x x 2x
1
9 2 3 9 2.3 3 0
3
Đặt
−
= >
2
x 2x
t 3 (t 0)
, bpt trở thành:
− − ≤ ⇔ − ≤ ≤
2
t 2t 3 0 1 t 3
Do
>t 0
nên ta chỉ nhận
< ≤0 t 3
Với
< ≤0 t 3
:
−
< ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ +
2
x 2x 2 2

 
 
⇔ + < +
 
⇔ + < +
⇔ − + <
⇔ < < ⇔ < <
x x 2
5 2 5
x x 2
5 5
x x 2
x x
x
1 log 4 144 log 16 log 5 2 1
log 4 144 log 80 2 1
4 144 80 2 1
4 20.2 64 0
4 2 16 2 x 4
Vậy bpt(1) có tập nghiệm là
( )
=S 2;4
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải bất phương trình:
+
 
≥
 ÷
+
 

− − ≤
2 2
2x 4x 2 2x x 1
2 16.2 2 0
Heát
188