TT Giỏo viờn & Gia s ti TP Hu - T: 0905671232 0989824932
E mail: -

Trang
1

-
Chng trỡnh hc trc tuyn trờn Xuctu.com

Thy giỏo: Nguyn Quc Tun- Email:

i s v gii tớch 11-Chng 5: o hm

o hm v ng dng ca o hm hm s

A. Lý thuyt

1. nh ngha v o hm
+ Cho hàm số
)(xfy
=
xác định trên tập xác định của nó và

o
x
TXĐ. ạo hàm của hàm số
)(xfy
=
)()(
oo
xfxfyyy ==
gọi là số gia tơng ứng của h/s tại
o
xo
xxx =
gọi là số gia của đối số tại
o
x

+ Hàm số
)(xfy
=
xác định trên tập xác định của nó và

o
x
TXĐ





(

o
xf

Với
(
)

o
xf
'
=


o
xx
lim
x
y


và
(
)
+
o
xf
'
=
+


x x
f x f x
y x f x
x x


= =
2) Các quy tắc tính đạo hàm

a.
'''
)(
vuvu =

b.
uvvuuv
'''
)(
+=

H qu :
''
.)(
ukku =
với k là hằng số

c.

,u l hm s khỏc 0

3. o hm ca hm s hp
nh ngha: Cho hm s
(
)
y f u
=
, trong ú u l hm s theo bin x. Khi ú ta cú
(
)
(
)
' ' . '
y f u u x
=

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
(
)
x
x
2
1
'
=

'1'
)( uuu
−
=
αα
α

2
'
'
1
u
u
u
−=







( )
( )
'
2
2
1
tan 1 cot
sin
x x
x
= − = − +

(
)
CosuuSinu
.
'
'
=

(
)
SinuuCosu
.
'
'
−=

( )
'

y f x x x
= = − +
tại
0
2
x
= −c.
( )
1
1
y f x
x
= =
+
tại
0
2
x
=

b.
(
)
3 2
y f x x
= = +
tại

(
)
3
4 2 cos
y x x x
= + −

c.
2
tan 2
x
y
x
=
+

d.
(
)
2 5
1 3
y x x x
= − +Bài tập 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau
a.
sin
y x
=

= −
 
 

f.
4 4
sin cos
y x x
= +

g.
1
sin 4
4
y x
=

h.
2
2.sin .cos2
y x x x
= +
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232 – 0989824932
E mail:

Câu 3(1,5đ): Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
x
x
y
2
3
1
−
+
=
tại điểm có
hoành độ x
0
= 2.
Câu 5(Nâng cao): Tìm tọa độ các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số
1
2
+
=
x
x
y
biết
tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B và tam giác OAB có diện
tích bằng
4
1
.
Câu 5(cơ bản): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = x

5
4
2
−
−
=
tại điểm có hoành độ x
0
= 1. Nguồn:

Chủ đề 3: Giải phương trình- Chứng minh đẳng thức-Bất đẳng thức liên quan đạo hàm
Bài tập 1: Chứng minh các hàm số sau có đạo hàm bằng 0
a.
( )
π π
   
= + − −
   
   
sin os
4 4
f x x c x
b.
( )
π π
   
= − − +

e.
( )
(
)
(
)
= + − +
6 6 4 4
2 sin cos 3 sin cos
f x x x x xf.
( )
(
)
= + −
4 4
4 sin cos os4x
f x x x cg.
( )
3
cos cos cos cos
3 4 6 4
f x x x x x
π π π π
       


Phương pháp:
+ Cho hàm số
(
)
y f x
=
có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm
(
)
(
)
0 0 0
;
M x y C
∈
có dạng
(
)
(
)
0 0 0
'
y y f x x x
− = −
.
Trong đó:
(
)
0 0 0

có dạng
(
)
(
)
0 0 0
'
y y f x x x
− = −

Do tiếp điểm của tiếp tuyến có hoành độ bằng 0 nên
0
0
x
=
;
0
2
y
=

Ta có :
( )
( )
2
1
'
1
f x
x

'
y y f x x x
− = −

Do tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng y = - x + 3 nên

( )
( )
( )
2
0
0 0
2
0
0
0
1
' 1 1 1 1
2
1
x
f x x
x
x
=

−
= − ⇔ = − ⇔ − = ⇔

=

)
0 0 0
;
M x y
có d
ạ
ng
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232 – 0989824932
E mail: -

Trang
5

-
(
)
(
)
0 0 0
'
y y f x x x
− = −

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4x – y + 10 = 0 nên
( )
( )
( )

= =
phương trình tiếp tuyến là:
( )
7 1
3
2 4
y x
− = − −

Với
0 0
5
1;
2
x y
= − = −
phương trình tiếp tuyến là:
( )
5 1
1
2 4
y x
+ = − +

4) BiÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn lµ -
1
9

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
(

1 1 1
' 1 9
2
9 9
1
x
f x x
x
x
=

−
= − ⇔ = − ⇔ − = ⇔

= −
−


Với
0 0
10
4;
3
x y
= =
phương trình tiếp tuyến là
( )
10 1
4
3 9

Bài tập 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
(
)
4 2
2 1
y f x x x
= = + −
. Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị hàm số (C) trong những trường hợp sau:
a. Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2.
b. Biết tiếp tuyến song song với trục hoành;
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232 – 0989824932
E mail: -

Trang
6

-
c. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
3

=
−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng
(
)
: 4 3 1 0
y x
∆ − + =

Đề thi Cao đẳng kỹ nghệ Sài Gòn
Cho hàm số
1
y x
x
= +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm những điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
Cao đẳng nhà trẻ mẫu giáo trung ương I
Cho hàm số
3
2
1
y
x
= +
−


2
2 3
2
m
x mx m
y C
x
+ + −
=
+

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm M tùy ý thuộc đồ thị đã vẽ ở câu a luôn tạo với các
đường tiệm cuận một diện tích không đổi.
Cao đẳng sư phạm (Khối B)
Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số mà từ đó tiếp tuyến của nó vuông góc với đường thẳng
y x
=

Cho hàm số
2
1
x x m
y
x
− +
=
−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các tiếp tuyến
của đồ thị hàm số tại A và B vuông góc với nhau
Cao đẳng sư phạm Hải phòng
Cho hàm số
(
)
3
3 1
y x x= − +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng
9 2013
y x
= − +

Cao đẳng 2005
Cho hàm số

1
1
6
y x
= −

Đại học Quốc Gia –TPHCM
Cho hàm số
3 2
1
y x mx
= + +
có đồ thị là (C
m
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng
(
)
: 1
y x
∆ = − +
tại ba điểm phân biệt
(
)
0;1 , ,
A B C
sao cho

-
Cho hm s
2
1
x
y
x
=
+

a. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s
b. Tỡm ta im M thuc (C), bit tip tuyn ca (C) ti M ct hai trc Ox v Oy ti A, B v
cú din tớch

OAB bng
1
4

thi i hc khi A-2009
Cho hm s
2
2 3
x
y
x
+
=
+

a. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s

độ x = 0
Bài 5.1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y =
2x + 1
biết hệ số góc của tiếp
tuyến là
1
3
.
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x
2
2x = 3 biết:
a) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng 4x - 2y + 5 = 0
b) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng x + 4y = 0
Bài 6. Cho hàm số y = f(x) =
3 2
2 7
x x 3
3 2
+

a) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(1;3).
b) Chứng minh rằng phng trỡnh f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 7. Cho hàm số y = x
3
3x
2
+ 2 (C)
1) Viết phơng trình tiép tuyến của (C) kẻ từ điểm A(0; 2)
2) Tìm trên đờng thẳng y = 2 các điểm để từ đó có thể kẻ đợc 2 tiếp tuyến vuông góc
với nhau.

x - 1
vµ tiÕp tuyÕn di qua ®iÓm C(0; 1)

Chủ đề 5: Đạo hàm cấp cao
Phương pháp : Lần lượt tính đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2, … Suy ra đạo hàm cấp n. Sau đó
chứng minh công thức đạo hàm tổng quát bằng phương pháp quy nạp toán học
Bài tập 1: Tính đạo hàm cấp n các hàm số sau đó rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp
toán học về công thức tổng quát của đạo hàm cấp n vừa tìm
a.
sin
y x
=

b.
( )
4
4
y x
= −

c.
1
2 1
y
x
=
+
d.
1
1

)
( ) ( )
(
)
'
3 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
3
2
2
' 1 3. 1 1 '
1
3. 1 1 3. 1
1 1
1
3
1
y x x x x x x
x x x
x x x x
x x
x x
x
 
= + + = + + + +
 

)
( )
(
)
(
)
( )
'
' 3 ' 3
3
2 2 2 2
2
2
2
3
2
3
2 2
2 2
2
3 3
2 2 2
2 2
3
2 2
2 2
1 . 1 1 1
1
'' 3 3
1

 
+ +
 
 
 
 
= =
 
 
+
+
 
 
 
 
 
 
+ +
 
+ − + +
 
+ +
 
=
 
+
 
 
 
 

( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
3 3
2 2 2
3
2 2
2 2 2
3 3
2 2 2
3
2
2 2
2
3

x x
x
x x
x x
x x x x
x x
x
x x
x x
+ + + − + +
+ + − + + =
+ + +
+ + + − + +
⇔ + − + + =
+ +
 
+ −
 
⇔ + + + − =
 
+ +
 
 
 
+ − + − +
 
⇔ + + =
 
+
 

⇔ =

Điều cần chứng minh vậy đẳng thức đúng.

b.
(
)
sin 2
y f x x
= =
thỏa mãn
( )
( )
2
2
1 2
n
n
n
y y
= −

Bài tập 3: Cho hai số A và B sao cho
( )
2
5
1 1 1
x A B
f x
x x x

ng minh r
ằ
ng:
" 2 ' 2 0.
+ − =
xy y
Cho hàm số
y = xsinx
. Chứng minh rằng:
2(y' sinx) x(y''+ y) = 0
− −
. (1,0 điểm)
Cho hàm số
y = xcosx
. Chứng minh rằng:
2(cosx y') + x(y''+ y) = 0
−
.
Cho hàm số y = x.cosx, chứng minh rằng: x.y – 2(y’ - cosx) + x.y” = 0