N TT NGHIP SVTH: Nguyn Ngc Hựng Cng

ti : Hỡnh hc Fractal Trang 1
LI NểI U

Trong nhng nm gn õy, toỏn hc v khoa hc t nhiờn ó bc lờn
mt bc thm mi, s m rng v sỏng to trong khoa hc tr thnh mt cuc
th nghim liờn ngnh. Cho n nay nú ó a khoa hc tin nhng bc rt
di. Hỡnh hc phõn hỡnh ó c ụng o mi ngi chỳ ý v thớch thỳ nghiờn
cu. Vi mt ngi quan sỏt tỡnh c mu sc ca cỏc cu trỳc phõn hỡnh c s
v v p ca chỳng to nờn mt s lụi cun hỡnh thc hn nhiu ln so vi
cỏc i tng toỏn hc ó tng c bit n. Hỡnh hc phõn hỡnh ó cung cp
cho cỏc nh khoa hc mt mụi trng phong phỳ cho s thỏm him v mụ hỡnh
hoỏ tớnh phc tp ca t nhiờn. Nhng nguyờn nhõn ca s lụi cun do hỡnh
hc phõn hỡnh to ra l nú ó chnh sa c khỏi nim li thi v th gii thc
thụng qua tp hp cỏc bc tranh mnh m v duy nht ca nú.

Nhng thnh cụng to ln trong cỏc lnh vc ca khoa hc t nhiờn v k
thut dn n s o tng v mt th gii hot ng nh mt c ch ng h
v i, trong ú cỏc quy lut ca nú ch cũn phi ch i gii mó tng bc
mt. Mt khi cỏc quy lut ó c bit, ngi ta tin rng s tin hoỏ hoc phỏt
trin ca cỏc s vt s c d oỏn trc chớnh xỏc hn nhiu, ớt ra l v mt
nguyờn tc. Nhng bc phỏt trin ngon mc y lụi cun trong lnh vc k
thut mỏy tớnh v s ha hn cho vic iu khin thụng tin nhiu hn na ca
nú ó lm gia tng hy vng ca nhiu ngi v mỏy múc hin cú v c nhng
mỏy múc tng lai. Nhng ngy nay ngi ta ó bit chớnh xỏc da trờn ct
li ca khoa hc hin i l kh nng xem xột tớnh chớnh xỏc cỏc phỏt trin
tng lai nh th s khụng bao gi t c. Mt kt lun cú th thu c t
cỏc lý thuyt mi cũn rt non tr ú l : gia s xỏc nh cú tớnh nghiờm tỳc
vi s phỏt trin cú tớnh ngu nhiờn khụng nhng khụng cú s loi tr ln nhau
m chỳng cũn cựng tn ti nh mt quy lut trong t nhiờn. Hỡnh hc phõn


Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn thầy T.S Huỳnh Quyết Thắng đã
tận tình hướng dẫn, chỉ dạy giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đề tài
nghiên cứu này.

Em cũng xin chân thành cảm ơn q thầy cơ khoa cơng nghệ thơng tin
đã tận tình giảng dạy, trang bị cho chúng em những kiến thức cần thiết trong
suốt q trình học tập, và em cũng xin gởi lòng biết ơn đến gia đình, cha, mẹ,
và bạn bè đã ủng hộ, giúp đỡ và động viên em trong những lúc khó khăn.

Đề tài được thực hiện trong một thời gian tương đối ngắn, nên dù đã hết
sức cố gắng hồn thành đề tài nhưng chắc chắn sẽ khơng thể tránh khỏi những
thiếu sót nhất định. Rất mong nhận được sự thơng cảm và đóng góp những ý
kiến vơ cùng q báu của các Thầy Cơ, bạn bè, nhằm tạo tiền đề thuận lợi cho
việc phát triển đề tài trong tương lai.

Sinh viên thực hiện
Nguyễn Ngọc Hùng Cường.

ng dng trong khoa hc c bn ................................................................. 13

I.4 Cỏc kin thc c s ca hỡnh hc phõn hỡnh .............................................. 13
I.4.1 o Fractal ....................................................................................... 13

I.4.2 Cỏc h hm lp IFS ............................................................................. 17

Chng II : MT S K THUT CI T HèNH HC PHN HèNH. .......... 21
II.1 H ng Von Kock ................................................................................ 21
ng hoa tuyt Von Kock-Nowflake ........................................................ 21

ng Von Kock-Gosper ........................................................................... 26

ng Von Kock bc hai 3-on ................................................................ 28

ng Von Kock bc hai 8-on ................................................................ 30

ng Von Kock bc hai 18-on............................................................... 32

ng Von Kock bc hai 32-on............................................................... 33
ng Von Kock bc hai 50-on............................................................... 35

Generator phc tp ...................................................................................... 38

II.2 H ng Peano ...................................................................................... 44
ng Peano nguyờn thu ........................................................................... 44

ng Peano ci tin................................................................................... 45

Tam giỏc Cesaro .......................................................................................... 49

2
................................ 85

Gii thut lp ngu nhiờn ............................................................................ 86

II.7 Tp Mandelbrot ........................................................................................ 88
t vn .................................................................................................. 98

Cụng thc toỏn hc ...................................................................................... 88

Thut toỏn th hin tp Mandelbrot ............................................................. 89

II.8 Tp Julia ................................................................................................... 94
t vn .................................................................................................. 94

Cụng thc toỏn hc ..................................................................................... 94

Thut toỏn th hin tp Julia ........................................................................ 95

II.9 H cỏc ng cong Phoenix...................................................................... 97
Chng III : GII THIU V NGễN NG CI T V KT QU
CHNG TRèNH. ........................................................................................... 100
III.1 Gii thiu v ngụn ng ci t ............................................................... 100
III.2 Kt qu chng trỡnh ............................................................................. 111
TI LIU THAM KHO ................................................................................. 116
PHN HèNH.

I.1 S RA I CA Lí THUYT HèNH HC PHN HèNH:

S ra i ca lý thuyt hỡnh hc phõn hỡnh l kt qu ca nhiu thp k
n lc gii quyt cỏc vn nan gii trong nhiu ngnh khoa hc chớnh xỏc,
c bit l vt lý v toỏn hc. Mt cỏch c th, lý thuyt hỡnh hc phõn hỡnh
c xõy dng da trờn 2 vn ln c quan tõm nhng thp niờn u th
k 20. Cỏc vn ú bao gm:
Tớnh hn n ca cỏc quỏ trỡnh phỏt trin cú quy lc trong t
nhiờn.
S m rng khỏi nim s chiu v o trong lý thuyt hỡnh
hc Euclide c in.
TNH HN N CA CC QU TRèNH PHT TRIN Cể QUY
LUT TRONG T NHIấN:

Cỏc cụng thc lp cú dng:
X
n+1
=f(X
n
)
thng c s dng trong cỏc ngnh khoa hc chớnh xỏc mụ t cỏc quỏ
trỡnh lp i lp li cú tớnh xỏc nh. Cỏc quỏ trỡnh c xỏc nh bi cụng thc
trờn, trong ú f th hin mi liờn h phi tuyn gia hai trng thỏi ni tip nhau
X
n
v X
n+1
, c quan tõm c bit. Cỏc kho sỏt trong nhng thp niờn gn

là lượng dân số khởi điểm (của một quốc gia, một thành
phố,…).
- P
n
là lượng dân số có được sau n năm phát triển.
Ta có quan hệ sau:

Để ý là nếu dân số phát triển đều, tức là R không đổi từ năm này sang
năm khác, từ (1) ta sẽ có:
P
n+1
= f(P
n
) = (1+R)P
n

Do đó sau n năm, lượng dân số khảo sát sẽ là:
P
n
= (1+R)
n
.P
o

Công thức này chỉ ra sự gia tăng dân số theo hàm mũ là một điều không
thực tế. Vì vậy Verhulst đề nghị R thay đổi cùng với lượng dân số được khảo
sát. Một cách cụ thể, Verhust cho R tỉ lệ với tốc độ phát triển dân số theo môi
Pn+1 - Pn
R = , ∀n > 0 (1)
P
n

N - P
n

R = r (2)
N

P
n+1
- P
n
N - P
n

= r
P
n
N
P
n+1
- P
n

N P

Đề tài : Hình học Fractal Trang 7

Suy ra:
P
n+1
= P
n
+ rP
n
(1 – P
n
)
Phương trình này được gọi là phương trình dân số Verhust. Rõ ràng
phương trình được xác định rất đơn giản. Do đó, kể từ khi được đưa ra người ta
áp dụng mà khơng nghi ngờ gì về tính ổn định của nó. Tuy nhiên khi May khảo
sát phương trình này thì với r thay đổi trong phạm vi khá lớn, ơng đã khám phá
ra sự bất ổn định về tỉ lệ phát triển dân số theo mơi trường P
k
.
Các kết quả quan sát chi tiết cho thấy khi số lần lặp n trở nên khá lớn ta
có các trường hợp sau:
- Với 0 < r < 2: Dãy (P
n
) tiến đến 1, tức là sự phát triển dân số đạt
mức tối đa.
- Với 2 < r < 2,449: Dãy (P
n
) dao động tuần hồn giữa hai giá trị,
tức là sự phát triển dân số biến động giữa hai mức xác định. Hình
vẽ (I.1) minh hoạ cho trường hợp r = 2.3 và P

Thời gian
Hình vẽ I.2 với r = 2.5
- Với r > 2.570: Dãy (P
n
) khơng còn tuần hồn nữa mà trở nên hỗn
độn, theo nghĩa các giá trị của dãy được chọn một cách hồn tồn
xác định nhưng khơng có thể dự đốn chính xác. Hình vẽ (I.3)
minh hoạ trường hợp r = 3.0 và P
o
= 0.1

THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 8
Dân số

Thời gian
Hình vẽ I.3 với r = 3.0 và P
o
= 0.1

trong các tiến trình có chu kỳ lần lượt được nhân đơi và khác với tiến trình
Verhulst. Do đó giá trị này ngày nay được gọi là hằng số phổ dụng
Feigenbaum (trong lý thuyết hỗn độn).

□ SỰ MỞ RỘNG KHÁI NIỆM SỐ CHIỀU VÀ ĐỘ ĐO TRONG LÝ
THUYẾT HÌNH HỌC EULIDE CỔ ĐIỂN:

Vào các năm 1890 & 1891, trong khi tìm kiếm các đặc trưng bất biến
của các đối tượng hình học qua các phép biến đổi đồng phơi trong lý thuyết
topo, các nhà tốn học Peano & Hilbert đã phát minh ra các đường cong có
tính chất rất đặc biệt. Đó là các đường cong khơng tự cắt theo một quy luật
được chỉ ra bởi Peano và Hilbert, chúng lấp đầy mọi miền hữu hạn của mặt
phẳng. Hình học Euclide cổ điển quan niệm các đường cong như vậy vẫn chỉ là
r
n
- r
n-1

δ
n
=
r
n+1
- r
n

THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 9

và độ dài của các dạng fractal cơ sở. Chính với định nghĩa về số chiều này, bài
tốn số chiều khơng ngun mới được giải quyết một cách hồn chỉnh. Có thể
nói cơng trình của Benoit B.Mandelbrot đã chính thức khai sinh lý thuyết hình
học phân hình sau hơn nửa thế kỷ nghiên cứu liên tục.

I.2 SỰ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYỂT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH:

Kể từ khi ra đời một cách chính thức vào năm 1982 cho đến nay, lý
thuyết hình học phân hình học phân hình đã phát triển một cách nhanh chóng.

Sau khi đặt nền móng cho lý thuyết phân hình, Mandelbrot cùng với các
nhà tốn học khác như A. Douady và J.Hubbard đã phát triển lý thuyết về các
mặt fractal. Các kết quả đạt được chủ yếu tập trung ở các tính chất của các cấu
trúc fractal cơ sở như tập Mandelbrot và tập Julia. Ngồi ra các nghiên cứu
cũng cố gắng tìm kiếm mối liên hệ giữa các cấu trúc này, ví dụ như mối liên hệ
giữa tập Mandelbrot và Julia.
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 10

Dựa trên các cơng trình của Mandelbrot (trong những năm 1976, 1979,
1982) và Hutchinson (1981), vào các năm 1986, 1988 Michael F.Barnsley và
M.Begger đã phát triển lý thuyết biểu diễn các đối tượng tự nhiên dựa trên cơ
sở lý thuyết về các hệ hàm lặp IFS. Các hệ hàm lặp này bao gồm một bộ hữu
hạn các phép biến đổi affine cho phép với sự giúp đỡ của máy tính tạo nên hình
ảnh các đối tượng trong tự nhiên. Theo lý thuyết này hình học Euclide cổ điển
rất có hiệu lực trong việc biểu diễn các đối tượng nhân tạo như một tồ nhà,
một cổ máy nhưng lại hồn tồn khơng thích hợp cho việc biểu diễn các đối
tượng của thế giới thực vì đòi hỏi một lượng q lớn các đặc tả cần có. Nếu

anmation video… nhanh chóng đạt đỉnh cao của nó. Cơng nghệ này đòi hỏi sự
mơ tả các hình ảnh của máy PC với sự phong phú về chi tiết và màu sắc với sự
tốn kém rất lớn về thời gian và cơng sức. Gánh nặng đó hiện nay đã được giảm
nhẹ đáng kể nhờ các mơ tả đơn giản nhưng đầy đủ của lý thuyết fractal về các
đối tượng tự nhiên. Với hình học phân hình khoa học máy tính có trong tay
một cơng cụ mơ tả tự nhiên vơ cùng mạnh mẽ.
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 11

Ngồi các ứng dụng trong lĩnh vực giải trí, hình học phân hình còn có
mặt trong các ứng dụng tạo ra các hệ đồ hoạ trên máy tính. Các hệ này cho
phép người sử dụng tạo lập và chỉnh sửa hình ảnh, đồng thời cho phép tạo các
hiệu ứng vẽ rất tự nhiên hết sức hồn hảo và phong phú, ví dụ hệ phần mềm
thương mại Fractal Design Painter của cơng ty Fractal Design. Hệ này cho
phép xem các hình ảnh dưới dạng hình hoạ véctơ cũng như sử dụng các ảnh
bitmap như các đối tượng. Như đã biết, các ảnh bitmap hiển thị hết sức nhanh
chóng, thích hợp cho các ứng mang tính tốc độ, các ảnh véctơ mất nhiều thời
gian hơn để trình bày trên màn hình (vì phải được tạo ra bằng cách vẽ lại)
nhưng đòi hỏi rất ít vùng nhớ làm việc. Do đó ý tưởng kết hợp ưu điểm của hai
loại đối tượng này sẽ giúp tiết kiệm nhiều thời gian cho người sử dụng các hệ
phần mềm này trong việc tạo và hiển thị các ảnh có độ phức tạp cao.

□ ỨNG DỤNG TRONG CƠNG NGHỆ NÉN ẢNH:

Một trong những mục tiêu quan trọng hàng đầu của cơng nghệ xử lý
hình ảnh hiện nay là sự thể hiện hình ảnh thế giới thực với đầy đủ tính phong
phú và sống động trên máy tính. Vấn đề nan giải trong lĩnh vực này chủ yếu do
u cầu về khơng gian lưu trữ thơng tin vượt q khả năng lưu trữ của các thiết

tồn tại một điểm bất động x
r
sao cho:
X
r
= f(x
r
)
Micheal F.Barnsley đã mở rộng kết quả này cho một họ các ánh xạ co
f.Barnsley đã chứng minh được với một họ ánh xạ như vậy vẫn tồn tại một
“điểm” bất động x
r.
. Để ý rằng với một ánh xạ co, ta ln tìm được điểm bất
động của nó bằng cách lấy một giá trị khởi đầu rồi lặp lại nhiều lần ánh xạ đó
trên các kết quả thu được ở mỗi lần lặp. Số lần lặp càng nhiều thì giá trị tìm
được càng xấp xỉ chính xác giá trị của điểm bất động. Dựa vào nhận xét này,
người ta đề nghị xem ảnh cần nén là “điểm bất động” của một họ ánh xạ co.
Khi đó đối với mỗi ảnh chỉ cần lưu thơng tin về họ ánh xạ thích hợp, điều này
làm giảm đi rất nhiều dung lượng cần có để lưu trữ thơng tin ảnh.
Việc tìm ra các ảnh co thích hợp đã được thực hiện tự động hố nhờ q
trình fractal một ảnh số hố do cơng ty Iterated System đưa ra với sự tối ưu về
thời gian thực hiện. Kết quả nén cho bởi q trình này rất cao, có thể đạt tỷ lệ
10000: 1 hoặc cao hơn. Một ứng dụng thương mại cụ thể của kỹ thuật nén phân
hình là bộ bách khoa tồn thư multimedia với tên gọi “Microsoft Encarta”
được đưa ra vào tháng 12/1992. Bộ bách khoa này bao gồm hơn 7 giờ âm
thanh, 100 hoạt cảnh, 800 bản đồ màu cùng với 7000 ảnh chụp cây cối, hoa
quả, con người, phong cảnh, động vật,… Tất cả được mã hố dưới dạng các dữ
liệu fractal và chỉ chiếm xấp xỉ 600Mb trên một đĩa compact.

Ngồi phương pháp nén phân hình của Barnsley, còn có một phương

c x k d ca cỏc tin trỡnh c kho sỏt, qua ú tỡm ra c cỏc c trng
hoc cỏc cu trỳc tng t nhau trong cỏc ngnh khoa hc khỏc nhau. Hỡnh hc
phõn hỡnh ó c ỏp dng vo nghiờn cu lý thuyt t tớnh, lý thuyt cỏc phc
cht trong hoỏ hc, lý thuyt tỏi nh chun v phng trỡnh Yang & Lee ca
vt lý, cỏc nghim ca cỏc h phng trỡnh phi tuyn c gii da trờn
phng phỏp xp x liờn tip ca Newton trong gii tớch s, Cỏc kt qu thu
c gi vai trũ rt quan trng trong cỏc lnh vc tng ng.

I.4 CC KIN THC C S CA Lí THUYT HèNH HC PHN
HèNH:

I.4.1 O FRACTAL:

S chiu Hausdorff ca mt tp hp A

R
n
:
Cho trc cỏc s thc dng s v . Gi h
s
(A) l o Hausdorff s-
chiu ca tp A thỡ h
s
(A) c xỏc nh bi:
H
s
(A) = lim h
s

(A)

h
S
(A) =
khi s < D
H
(A)
Giỏ tr D
H
(A) c gi l s chiu Hausdorff ca tp A.
Núi cỏch khỏc:
D
H
(A) thỡ h
S
(A) cú th l mt s thc dng 0 hay .
nh ngha ny gi vai trũ quan trng trong lý thuyt hỡnh hc phõn
hỡnh hin i nhng khụng cú tớnh thc tin vỡ vic xỏc nh s chiu theo nh
ngha ny rt phc tp ngay c vi trng hp tp A rt n gin. Do ú, xut
phỏt t nh ngha ny, Mandelbrot ó a ra khỏi nim s chiu fractal tng
quỏt d xỏc nh hn vi ba dng c bit ỏp dng cho tng loi i tng (tp
A) c th. Sau õy chỳng tụi s trỡnh by cỏc nh ngha v cỏc dng c bit

h
s

(A) = inf diam(U
i
)
s

Xột mt khi lp phng c chia thnh 27 khi lp phng nh
hn vi t l ng dng 1/3. Ta cú s chiu ca t ng dng ca
khi lp phng c xỏc nh bi: Hai vớ d trờn cho thy nh ngha s chiu t ng dng phự hp vi
nh ngha thụng thng ca hỡnh hc Euclide.

S CHIU COMPA:

S chiu c xỏc nh theo nh ngha ny c ỏp dng cho cỏc
ng cong khụng phi l cỏc ng cong t ng dng hon ton (nh cỏc
ng b bin, cỏc con sụng,), nhng cú th s dng nhiu n v khỏc nhau
xỏc nh di ca chỳng.

nh ngha:
log N
D
S
=
log 1/r


Xột mt ng cong khụng t ng dng. Biu din s o ca ng
cong trờn h to log / log vi:
- Trc honh: th hin logarit ca chớnh xỏc trong phộp o chiu
di ng cong. chớnh xỏc c c t bi 1/s, vi s l n v
o di. õy giỏ tr s cng nh thỡ chớnh xỏc ca phộp o
cng ln.
- Trc tung: th hin logarit ca di u o c ng vi mt n
v o s.
- d: l h s gúc ca ng thng hi qui dựng xp x cỏc giỏ tr
o u o c da trờn phng phỏp bỡnh phng cc tiu. Ta cú
quan h:
log u = d . log (1/s + b), b l h s t do.
Khi ú s chiu compa D
C
c xỏc nh bi:
D
C
= 1 + d
Vớ d:

Xột ng cong 3/2 c xõy dng theo k thut initiator / generator
ch ra bi hỡnh v sau:
= k ng vi giỏ tr trờn trc
tung l: log
4
2
k
= k / 2. Do ú ta xỏc nh c d = 0.5.
Vy: D
C
= 1 + 0.5 = 1.5 generator
initiator

generator
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 16
□ SỐ CHIỀU BOX-COUNTING:


fractal đã cho.

□ SỐ CHIỀU BOX-COUNTING TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI SỐ
CHIỀU HAUSDORFF: Định nghĩa:
Gọi N
δ
(A) là giá trị nhỏ nhất của các tập hợp có khả năng phủ A và có
đường kính tối đa là δ. Khi đó ta có:

log
2
N(2
– (k+1)
) – log
2

hạngsố các bởi
s
)
i
diam(U hạngsố các thay cách bằng
này tác thao hóagiản đơn counting- boxchiều Số .
s
)
i
diam(U
1 i
hạn
vô tổng đònh xác việc là Hausdorff chiều số tính khiyếu chủ khănKhó
δ
Σ
∞
=
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 17


Định nghĩa 1:
Khoảng cách từ một điểm x ∈ X đến một tập B ∈ H(X) được xác định
bởi:

Định nghĩa 2:
Khoảng cách từ một tập A ∈ H(X) đến một tập B ∈ H(B) được xác định
bởi:

Định nghĩa 3:

i,)
i
diam(U và A của hạn hữumột phủ là ...} ,
2
U,
1
U {
: đó trong
}
s

1i
{ inf
s
. (A)N
: vì hơngiản đơn (A)
B
D đònh xác nhiên Tuy
. (A)

=
=
∞====
<∞
>
→
→
=





δ
δΣδ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ

{ }
B y : y)d(x, min B)d(x, ∈=
{ }
A x : B)d(x, max B)d(x, ∈=

c xác
đị
nh
b
ở
i:
V
ớ
i các
đị
nh ngh
ĩ
a trên ta có
đị
nh lý:

Định lý về sự tồn tại của các IFS Fractal:

Ta có (H(X), h) là m
ộ
t không gian metric
đầ
y
đủ
. H
ơ
n n
ữ
a n
ế

ể

đượ
c
đặ
c t
ả
nh
ư
sau:
A = [ x
∈
X :
∃
m
ộ
t dãy Cauchy [ x
n

∈
A
n
] h
ộ
i t
ụ
v
ề
x]


s
ố
co c
ủ
a w. Khi
đ
ó:
d(w(x), w(y))
≤
s.d(x,y) <
ε

Khi và ch
ỉ
khi:
D(x,y) <
δ
=
ε
/ s
T
ừ

đ
ó suy ra
đ
i
ề
u ph
ả

ả
s
ử
S là m
ộ
t t
ậ
p con compact khác r
ỗ
ng c
ủ
a X. Khi
đ
ó ta có:
w(S) = [w(x) : x
∈
S] là m
ộ
t t
ậ
p khác r
ỗ
ng. Ta ch
ứ
ng minh w(S)
compact. Xét [ y
n
= w(x
n
) ] là m

ộ
t dãy con [x
n
] h
ộ
i t
ụ
v
ề
m
ộ
t
đ
i
ể
m x’
∈
S, nh
ư
ng do
tính liên t
ụ
c c
ủ
a w suy ra
đượ
c [ y
Nn
= f (x
Nn

đề
3 sau
đ
ây ch
ỉ
ra cách t
ạ
o m
ộ
t ánh x
ạ
co trên không gian metric
(H(X), h) d
ự
a trên m
ộ
t ánh x
ạ
co trên (X,d).

Bổ đề 3:

Gi
ả
s
ử
w: X
→
→→
→

T NGHI
Ệ
P SVTH: Nguy
ễ
n Ng
ọ
c Hùng C
ườ
ng

Đề
tài : Hình h
ọ
c Fractal Trang 19
W(B) = [w(x): x
∈
B], v
ớ
i B thu
ộ
c H(X) c
ũ
ng là m
ộ
t ánh x
ạ
co trên
(H(X), h(d)) v
ớ
i h

c H(X).
Ta có:

d( w(B), w(C)) = max [ min [ d(w(x), w(y)): y
∈
C ] : x
∈
B ]

≤
max [ min [ s.d(x,y) : y
∈
C ]: x
∈
B ]
= s.d(B, C)
M
ộ
t cách t
ươ
ng t
ự
:
d( w(C), w(B))
≤
s.d(C, B)

Do
đ
ó:

c c
ơ
b
ả
n
để
n
ố
i k
ế
t các ánh x
ạ
co
trên (H(X), h) thành các ánh x
ạ
co m
ớ
i trên (H(X), h):

Bổ đề 4:
Ký hi
ệ
u [w
n
] là các ánh x
ạ
co trên (H(X), h) v
ớ
i các h
ệ

ạ
co v
ớ
i h
ệ
s
ố
co s = max s
n
.
1
≤
n
≤
N
Ch
ứ
ng minh:
K
ế
t qu
ả
trên
đượ
c ch
ứ
ng minh b
ằ
ng qui n
ạ

úng v
ớ
i N = k. Ta ch
ứ
ng minh kh
ẳ
ng
đị
nh
đ
úng
v
ớ
i N = k + 1. Th
ậ
t v
ậ
y, ta có:
C)s.h(B,
C)}.h(B,
2
s , C).h(B,
1
s { max
(C))}
2
w , (B)

ườ
ng

Đề
tài : Hình h
ọ
c Fractal Trang 20
V
ậ
y W là ánh x
ạ
co v
ớ
i N = k +1.
Do
đ
ó theo ngun lý qui n
ạ

t b
ộ

h
ữ
u h
ạ
n các ánh x
ạ
co w
n
v
ớ
i h
ệ
s
ố
co t
ươ
ng
ứ
ng s
n
, n = 1, 2,…, N. Ta ký hi
ệ
u
IFS thay cho c
ụ
m t
ừ

t qu
ả
chính c
ủ
a m
ộ
t IFS:
Định lý IFS:
Định nghĩa 2:
Đ
i
ể
m b
ấ
t

T
max(ss co số hệvới H(X) trên
co xạ ánh là Wcó cũng ta , 2 N với nạp quithuyết giả do nhưng
(B)
1k
wT(B) W(B)
:viết thể có Vậy .
n
s
kn 1
max
T
s co số hệvới H(X) trên
co xạ ánhmột là T có ta nạp quithuyết giả do thì
n
w
k
1n
TĐặt
(B)
1k
w(B)
n
w
k
1n
(B)
n
w
1k

n
W
n
lim A bởitrước cho được và
(A)
n
w
N
1n
W(A)A
: với H(X) A động điểm bấtmột nhất duy có này xạ Ánh
H(X) CB, , C)B, s.h( W(C)), h(W(B)
: là tức , s co số hệvới h(d)), (H(X)
đủ đầy metric gian khôngtrên co xạ ánhmột là H(X) B đó trong
(B)
n
w
N
1n
W(B)
: bởiđònh xác H(X) H(X)
: Wđổi biến phépđó Khi . s co số hệvới N}, ... 1,2,n,
n
w{X; IFSmột Xét
∈
∞→
=
=
∪==
∈

ầ
n này chúng ta s
ẽ
cùng nhau th
ả
o lu
ậ
n các fractal
đượ
c phát
sinh b
ằ
ng cách s
ử
d
ụ
ng
đệ
qui initiator / generator v
ớ
i k
ế
t qu
ả
là các hình t
ự

đồ
ng d
ạ

c sau:

Trong
đ
ó:
N: Là s
ố

đ
o
ạ
n th
ẳ
ng.
R: Là s
ố
chi
ề
u dài c
ủ
a m
ỗ
i
đ
o
ạ
n.

đượ
c thay th
ế
b
ở
i m
ộ
t generator, mà là t
ậ
p
liên thơng c
ủ
a các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng t
ạ
o nên b
ằ
ng cách
đ
i t
ừ

đ
i
ể

ướ
i
vng hay m
ộ
t l
ướ
i t
ạ
o b
ở
i các tam giác
đề
u). Sau
đ
ó m
ỗ
i
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng c
ủ
a hình
m
ớ
i
đượ
c thay th

ng:

□
ĐƯỜNG HOA TUYẾT VON KOCK-NOWFLAKE:

Đườ
ng hoa tuy
ế
t
đượ
c xây d
ự
ng b
ở
i nhà tốn h
ọ
c Helge Von Kock vào
n
ă
m 1904.
Ở

đ
ây chúng ta b
ắ
t
đầ
u v
ớ
i initiator là m

ầ
n b
ằ
ng nhau. Sau
đ
ó thay th
ế
m
ộ
t
ph
ầ
n ba
đ
o
ạ
n gi
ữ
a b
ằ
ng tam giác
đề
u và b
ỏ

đ
i c
ạ
nh
đ

thành ba ph
ầ
n b
ằ
ng nhau và l
ặ
p lai các b
ướ
c nh
ư
trên.
Ta th
ấ
y q trình xây d
ự
ng là t
ự

đồ
ng d
ạ
ng, ngh
ĩ
a là m
ỗ
i ph
ầ
n trong 4
ph
ầ






=
R
N
D
1
log
)log(
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ
ÁN T
Ố
T NGHI
Ệ
P SVTH: Nguy
ễ
n Ng
ọ
c Hùng C
ườ
ng

Đề
tài : Hình h
ọ
c Fractal

ng ban
đầ
u là 1) và s
ố

đ
o
ạ
n th
ẳ
ng c
ủ
a generator N = 4. Do
v
ậ
y s
ố
chi
ề
u fractal c
ủ
a
đườ
ng hoa tuy
ế
t là:


ho
ạ
này g
ồ
m m
ộ
t
s
ố
hàm thao tác chính sau:

♦
Hàm Point (X1, Y1, X2, Y2):

Hàm này tính góc gi
ữ
a con rùa và tr
ụ
c x (t
ứ
c là tính góc gi
ữ
a
đ
o
ạ
n
th
ẳ
ng có hai

if((X2-X1)= = 0)
if(Y2 > Y1)
Theta= 90;
else
Theta = 270;
else
Theta= atan((Y2 -Y1) / (X2 -X1)) * Temp;
if (X1 > X2)
Theta += 180;
return Theta;

♦
♦♦
♦
Hàm Turn (Angle, Turtle-Theta):
Hàm này

c
ộ
ng thêm vào Turtle-Theta m
ộ
t góc Angle (t
ứ
c là quay con
rùa
đ
i m

cách
cài
đặ
t:

void Turn(double Angle, double &Turtle_Theta)

Turtle_Theta+=Angle; ♦
Hàm Step (Turtle-X, Turtle-Y, Turtle-R, Turtle-Theta):

2618,1
3log
4log
1
log
)log(
≈==






R
N
D
{

c. Chi
ề
u dài c
ủ
a m
ỗ
i b
ướ
c
là Turtle-R.
Ở

đ
ây hàm s
ử
d
ụ
ng v
ị
trí con rùa hi
ệ
n t
ạ
i có to
ạ

độ
(Turtle-X,
Turtle-Y) và góc
đị

đặ
t:

void Step(double &Turtle_X, double &Turtle_Y,
double Turtle_R, double Turtle_Theta)

Double Temp=PI/180;
Turtle_X+=Turtle_R*cos(Turtle_Theta* Temp);
Turtle_Y+=Turtle_R*sin(Turtle_Theta* Temp);

Gi
ả
s
ử
initiator g
ồ
m N
đ
i
ể
m, m
ỗ
i
đ
i
ể
m có to
ạ

độ

o ra c
ũ
ng gi
ố
ng nh
ư
v
ậ
y):
For(i= 0 ; i< N ;++i)
-Generator(x[i],y[i],x[i+1],y[i+1],Level);
V
ớ
i hàm –Generator t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i
đ
o
ạ
n mã nh
ư
sau:
//
Phát sinh họ đường Vonkock:
void Generator(CDC *pDC,double X1, double Y1, double X2,
double Y2, int Level,int NumLines,double

ĐỒ
ÁN T
Ố
T NGHI
Ệ
P SVTH: Nguy
ễ
n Ng
ọ
c Hùng C
ườ
ng

Đề
tài : Hình h
ọ
c Fractal
Trang 24
if (Level)
for (I=0; I<NumLines; I++)
X1=XPoints[ I ];
Y1=YPoints[ I ];
X2=XPoints[ I +1];
Y2=YPoints[ I +1];
Generator(pDC,X1,Y1,X2,Y2,Level,
NumLines,LineLen,Angles);

else
for (I= 0; I<NumLines; I++ )
pDC->MoveTo((int)XPoints[ I ], (int) YPoints [ I ]);

ở
m
ứ
c 3
c
ủ
a
đườ
ng Von Kock-Snowflake.

tài : Hình h
ọ
c Fractal
Trang 25 Level >0

Đ
S
và sau
đ
ó v
ẽ

đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
t
ừ
c
ặ
p t
ọ
a
độ
th
ứ
nh
ấ
t
đế
n th
ứ
hai, t
ừ
th

ng hoa
tuy
ế
t thì NumLines = 4).
Để
phát sinh ra các c
ặ
p t
ọ
a
độ
chúng ta s
ử
d
ụ
ng các
l
ệ
nh
đồ
h
ọ
a con rùa nh
ư

đ
ã mô t
ả

ở

ẽ
c
ủ
a generator b
ằ
ng cách tr
ướ
c tiên tính
chi
ề
u dài c
ủ
a m
ỗ
i
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng c
ủ
a generator c
ầ
n thay th
ế
(Line-Len chính là
1/R), sau
đ
ó l


đầ
u c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng này, và cu
ố
i cùng
quay
đ
i m
ộ
t góc thích h
ợ
p (có lúc góc quay là 0
0
).

Sau
đ
ó chúng ta l
ặ
p l
ạ
i quá trình sau

ị
trí m
ớ
i c
ủ
a
con rùa và quay
đ
i m
ộ
t góc thích h
ợ
p.
Ở

đ
ây góc quay
đượ
c l
ư
u tr
ữ
trong m
ả
ng
Angle.
Đố
i v
ớ
i

n
th
ẳ
ng b
ằ
ng Generator
K
ế
t Thúc
THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN