TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932
E mail: -
Trang
1

-

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. Lý thuyết
Đường tròn lượng giác

sin
tan
cos
 
x
x
x

cos
cot
sin
 
x
x
x

Bảng giá trị của các góc đặc biệt:

)

90
0
(
2

)

sin


0

1
2

2
2

3
2

1

cos


1



1
3

0

Hằng đẳng thức lượng giác


 
     

 
      
 
 
    
 

 
        
 

 
       

2 2
2
2
2

 
 
 
 
  
 
  
  

Hai cung đối nhau

và

-




 
 
 
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
  
  
  
  
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Hai cung phụ nhau

và
2




sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan



và

+




 
 
 
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
  
  
  
  
  
  
 
 

Hai cung hơn kém
nhau




Công thức lượng giác

1. Công thức cộng:
 cos(a–b)=cosa.cosb+sina.sinb
 cos(a+b)=cosa.cosb–sina.sinb
 sin(a–b)=sina.cosb–cosa.sinb
 sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb
 tan(a–b)=
tan tan
1 tan .tan


a b
a b

 tan(a+b)=
tan tan
1 tan .tan


a b
a b


2. Công thức nhân đôi:
 sin2a=2sina.cosa
1

sin
2
0



3
2

cos
0 TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932
E mail: -

a
a

Hệquả

3
3sin sin 3
sin
4
 





3
cos 3 3cos
cos
4
 




5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan
2
x
:
sinx=
2


Hệ quả:
Công thức tính sin2x, cos2x,tan2x theo t=tanx:
sin2x=
2
2
1
t
t

cos2x=
2
2
1
1
t
t



 tan2x=
2
2
1
t
t

cot2x=
2
1

2 2
 
   
 
   
   


a b a b
sina sinb 2cos sin
2 2
 
   
 
   
   


sin( )
tan tan ( , , )
cos .cos 2

    
a b
a b a b k k Z
a b





sin cos 2sin( ) 2 ( )
4 4
    a a a cos a
 


cos sin 2 ( ) 2sin( )
4 4
     a a cos a a
 

7. Công thức biến đổi tích thành tổng
 
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b
    
 
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
    

 
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b

 
 

b.
cos 0,6


và

thuộcvàogócphântư
thứIV
c.
tan 5


và

thuộcvàogócphầntưthứ
III
d.
cot 10

 
và

thuộcvàogócphầntư
thứII
Rút gọn biểu thức
   
sin sin sin




2 sin 2 sin 4
2 sin 2 sin 4
D


 

 

 
 
 
2
1 os
tan sin
sin
c
E

 
 
 
 
   
  
   
   


  
  
 


sin sin 3 sin 5
os + os3 os5
H
c c c

Chứng minh đẳng thức lượng giác
a.


 
os a-b
cot cot 1
os a+b co t cot 1
c
a b
c a b






e.

 
 
 
 
2
2 os2x-sin4x
tan
2 os2x+sin4x 4
c
x
c

f.


sin x-y
t anx-tany=
cosx.cosy

4 4
6 6
sin cos 1 2
sin cos 1 3
 
 

0 0 0 0
16sin10 .sin30 .sin 50 .sin 70 1


8 4 tan 2 tan tan cot
8 16 32 32
   
   

1 1 1 1
cot cot16
sin 2 sin 4 sin 8 sin16
x x
x x x x
    

3 0 2 0
8sin 18 8sin 18 1
 

 
4 4
1
sin cos 3 cos 4
4
x
 
  

 

   
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau
1.




3 3
1 cot sin 1 tan cos sin cos
     
   

2.
2 2
2
2
sin 2cos 1
sin
cot
 


 


3.
2 2

 
 
 

6.
1 cos 1 cos 2
1 cos 1 cos sin
 
  
 
 
 

7.
sin sin 2
tan
1 cos cos2
 

 


 

8.
1 cos cos2
cot
sin 2 sin
 





12.
2 4 6 1
cos cos cos
7 7 7 2
  
  

13.
3 3 3
sin 2 .sin 6 cos 2 .cos6 cos 4
x x x x x
 

14.
0 0 0 0
tan 20 .tan40 .tan 60 .tan80 3


15.
2 5 8 3
tan tan tan tan cos
6 9 18 3 3 9
    
   

16.
7


19.
0 0 0 0
tan 5 .tan 55 . tan 65 .tan 75 1

Chứng minh các đẳng thức sau không
phụ thuộc vào x
 
   
   
   
   
sin os
4 4
A x c x

 
   
   
   
   
os sin
6 3
B c x x

 
   

4 4
4 sin cos os4x
F x x c

4 4 2 2 2
2 cos sin sin .cos 3sin
G x x x x x
   

2 cot 1
tan 1 cot 1
x
H
x x

 
 





4 2 4 2 2 2
sin 1 sin cos 1 cos 5sin .cos 1
I x x x x x x
     






Áp dụng công thức lượng giác trong
tam giác
Bài tập 1: Chứngminhrằng:

ABCvớiR
làbánkínhđườngtròncủa

ABC,rlàbán
kínhđườngtrònnộitiếp

ABC,taluôn
có
4 .sin sin sin
2 2 2
A B C
r R

Bài tập 2: Chứngminhrằng:

ABCcân
khivàchỉkhithỏamãnđẳngthức
tan tan 2cot
2
A
B C 

Bài tập 3: Cho

ABCvớibagócnhọn

ABCvuông
khivàchỉkhithỏamãnđẳngthức
2 2 2
sin sin sin
A B C
 

Bài tập 6: Trong

ABCcócácgóclàA,
B,Cvàcáccạnhlàa,b,c.Chứngminh
rằng:


2 2
2
sin
sin
A B
a b
C c




Bài tập 7: ChotamgiácABC.Chứngminh
rằng
cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C



2 2 2 2 2 2
sin sin sin 3
A B C cos A cos B cos C
    
ChứngminhrằngtamgiácABClàtamgiác
đều
Bài tập 12: TínhgócCcủatamgiácABC
nếu:




1 cot 1 cot 2
A B
  

Bài tập 13: Cho tam giác ABC. Chứng
minhrằngnếu
2
2
tan sin
tan sin
B B
C C

, thì tam giác ABC vuông
hoặccân.
Bài tập 14: Chứng minh rằng tam giác



,
a b
 theo thứ tự lập thành cấp số
cộng.Tínhgiátrịcủabiểuthức

cot cot
2 2
A C
P 

Bài tập 16: Cho tam giác ABCcóba góc
thỏa mãn điều kiện
sin cos sin cos sin cos 1
A A B B C C
     
.
ChứngminhrằngtamgiácABClàtamgiác
vuông
Bài tập 17: ChoA,B,Clàbagóccủatam
giácABC.Chứngminhrằng
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
  

Bài tập 18: ChotamgiácABCcóbacạnh
tươngứngvớicác góclàa,b,cvàđường
caoứngvớigócAlà

2
sin sin sin
3
S R A B C
  
thìtamgiác
ABClàtamgiácđều
Bài tập 21: ChotamgiácABCthỏamãn
điềukiện
sin sin 2sin
2 2 2
A C B



Chứngminhrằng
1
tan tan tan tan
2 2 2 2 3
A B B C
 

Bài tập 22: Chứngminhrằngvớimọitam
giácABCtađềucó
     
cot cot cot 0
2 2 2
C A B
a b b c c a
     

B C C A B A
  

Bàitập25:ChotamgiácABCtrongđó
cot ,cot ,cot
2 2 2
A B C
theothứtựđólậpthành
cấpsốcộng.Chứngminhrằng
cot .cot 3
2 2
A C




Để thực hiện tốt các bài tập này học sinh cần
nắm vững các kiến thức sách giáo khoa và
các bài tập trong đó. Bạn cũng có thể tham
khảo tất cả các bài hướng dẫn giải trên
Xuctu.com thông qua hình ảnh hoặc Video.
Chương trình được thực hiện bởi Xuctu.com
website chuyên nghiệp về toán học kết hợp với
Trung tâm giáo viên & gia sư tại Huế.

Biên soạn: Nguyễn Quốc Tuấn