KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác:

Bảng giá trị của các góc đặc biệt:
Góc
GTLG
0
0
(0)
30
0
(
6
π
)
45
0
(
4
π
)
60
0
(
3
π
)
90
0
(
2

 
+ = + α ∀α ≠ + π ∈
 ÷
α
 
+ = + α ∀α ≠ π ∈
α
2 2
2
2
2
2
sin cos 1 R
tan .cot 1 k ,k Z
2
1
1 tan k ,k Z
cos 2
1
1 cotg k ,k Z
sin
Hệ quả:
• sin
2
x = 1-cos
2
x ; cos
2
x = 1- sin
2

1 tan .tan
+
−
a b
a b

2. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa ⇒
1
sina.cosa= sin2
2
a
 cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2 sin
2
a
tan2a =
2
2tan
1 tan−
a
a
3. Công thức nhân ba:
 sin3a = 3sina – 4sin
3

 sinx =
2
2
1
t
t+
 cosx =
2
2
1
1
t
t
−
+

 tanx =
2
2
1
t
t−
 cotx =
2
1
2
t
t
−
6. Công thức biến đổi tổng thành tích

2 2
+ −
   
− =
 ÷  ÷
   

sin( )
tan tan ( , , )
cos .cos 2
±
± = ≠ + ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π
π

sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
+
+ = ≠ ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π


sin( )

[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
b a a b a b
• = − + +
• = − − +
• = + + −
• = + − −
1
sinα
2
π
0
π
3
2
π


 Phương trình sinx = a có nghiệm khi và
chỉ khi – 1 ≤ a ≤ 1 hay
a
≤ 1 và vô
nghiệm khi và chỉ khi
a 1
a 1
< −


>

hay
a
>1.
Các trường hợp đặc biệt :
 sinx = 0
⇔
x = k
π
 sinx = 1
⇔
x =
2
π
+ k
2p
 sinx = – 1
⇔

v + k2
π
 Nếu u, v tính bằng độ thì :
cosu = cosv
⇔
u =
±
v + k.360
o
 Phương trình cosx = a có nghiệm khi và
chỉ khi – 1 ≤ a ≤ 1 hay
a
≤ 1 và vô
nghiệm khi và chỉ khi
a 1
a 1
< −


>

hay
a
>1.
 Cho a ∈ [− 1; 1] thì arccosa là góc α ∈
[ ]
;−π π
sao cho cosα = a. Khi đó
phương trình: cosx = a
⇔

π
 Nếu u, v tính bằng độ thì
tanu = tanv
⇔
u = v + k.180
o
 Phương trình tanx = a luôn luôn có nghiệm
với mọi giá trị của a.
 Cho a bất kỳ, ký hiệu arctana là góc thuộc
α ∈
;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
sao cho tanα = a.
Khi đó, ph tr tanx = a
⇔

x = arcta + k.π
DẠNG 4 : cotu = cotv
⇔
u = v + k
π
 Nếu u, v tính bằng độ thì
cotu = cotv
⇔
u = v + k.180

π
π
≠ +
; t=cotu
( )≠u k
π
Giả sử giải tìm được t
1
; t
2
thoả đ/k thì phải
giải tiếp:sinu=t
1
; sinu=t
2
(hoặc cosu=t
1
; cosu=t
2
...)
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx
Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c (2)
(a,b,c
, , , 0)R a b c∈ ≠
Phương pháp giải:
Chia hai vế của PT cho
2 2
a b+
,
(1)

u = 0 (3) (hoặc
vế phải = d
0)≠

Phương pháp giải:
B1: Xét
2
u k
π
π
= +
có thỏa phương trình không?
B2: Nếu
2
u k
π
π
= +
không thỏa phương trình ta
chia 2 vế của phương trình cho cos
2
u
≠
0. Ta có
PT bậc 2 : atan
2
u+btanu+c = 0 trở về dạng 3
5/ Phương trình lượng giác đối xứng:
Dạng: a(sinx ± cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4)
(a,b,c

t
at b c bt at c b
(4
’
)
2
Giải PT (4
’
) ta sẽ tìm được giá trị t thoả đ/k, thế
vào (*) giải tiếp tìm ra nghiệm x của
3