Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp
Chuyên đề 6 ƠN TẬP LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
TĨM TẮT GIÁO KHOA
A. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Đơn vò đo góc và cung:
1. Độ:

bẹtgóc
0
1 Góc
180
1
=
2. Radian: (rad)

rad
0
180
π
=
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:

Độ 0
0
30
0
45
0
60
0

5
π
π
π
2
II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Đònh nghóa:
2. Đường tròn lượng giác:
1
x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),(
∈+=
πα
kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α
.
y
x
o
180
O

CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2
DB,
k ,
2
2
- D
2k
2
2
B
2k
III. Đònh nghóa hàm số lượng giác:

1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x
'
Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y

tan
cot
OP
OQ
AT
BU
α
α
α
α
=
=
=
= b. Các tính chất :
2
+
−
x
y
O
C
A
B
D
+
−
x

t
1
−
Q
B
T
α
M
α
A
P
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin
Trục cotang
+
−
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp
• Với mọi
α
ta có :
1 sin 1 hay sin 1
α α
− ≤ ≤ ≤
1 cos 1 hay cos 1
α α
− ≤ ≤ ≤
•
tan xác đinh


)( Zk ∈
IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt
-
3
-1
-
3
/3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'
-
3
-1
-
3
/3
1
1
-1
-1
-

2
/2
-
3
/2
3
/2
2
/2
1/2
3
/2
2
/2
1/2
A
π
/3
π
/4
π
/6
3
/3
3
B
π
/2
3
/3

4
π
3
π
2
π
3
2
π
4
3
π
6
5
π
π
π
2
sin
α
0
2
1
2
2
2
3
1
2
3

1
3
kxđ
3−
-1
3
3
−
0 0
cot
α
kxđ
3
1
3
3
0
3
3
−
-1
3−
kxđ kxđ
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1. Cung đối nhau :
và -
α α
(tổng bằng 0) (Vd:
6

ππ
,…)
4. Cung hơn kém
2
π
:
và
2
π
α α
+
(Vd:
3
2
&
6
ππ
,…)

5. Cung hơn kém
π
:
và
α π α
+
(Vd:
6
7
&
6

c
π α α
π α
α
α
π
α
α
α
π
− =
− = −
− = −
− = −
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém
2
π

4
Đối cos
Bù sin
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
tan( ) cot
2
cot( ) tan

π
α
π
α α
α
α
π
α
+ = −
+
+ −
+ = −
=
=

5. Cung hơn kém
π
:

tan(
cos( ) cos
sin( ) s
) tan
co
in
t( ) cot
π α
π α α
π
α

+ =

2
2
2
2
1
1 tan =
cos
1
1 cot =
sin
tan . cot = 1
α
α
α
α
α α
+
+

Ví dụ: Chứng minh rằng:
1.
4 4 2 2
cos x sin x 1 2 sin x cos x+ = -
2.
xxxx
2266
cossin31sincos −=+
Chứng minh

5
Phụ chéo
Hơn kém
2
π
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém
π
tang , cotang
Chuyờn LTH THPT Chuyờn Nguyn Quang Diờu- ng Thỏp

cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tan +tan
tan( + ) =
1 tan .tan
tan tan
tan( ) =
1 tan .tan






2 cos
4
2 2
2) cos sin 2 cos sin
2 2
2 cos cos si
4
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ = +a a a a
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
p p
ổ ử
ữ
ỗ
= +a a
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
p
ổ ử
ữ

ố ứ
p
ổ ử
ữ
ỗ
= +a
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
3. Coõng thửực nhaõn ủoõi:

2 2
2
2
4 4
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
cos sin
sin2 2sin .cos
2tan
tan2
1 tan






cossin
=
4
cos33cos
cos
3


+
=
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
α α α
α α α
= −
= −

5. Công thức hạ bậc:2 2 2
1 cos 2 1 cos2 1 cos2
cos ; sin ; t an
2 2 1 cos 2
-a a a
= = =a a a

cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − − +
= + + −

8. Công thức biến đổi tổng thành tích :

cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan

3sinsin3
sin
3
αα
α
−
=
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
π π
α α α α
π π
α α α α
+ = − = +
− = + = − −

4 4
6 6
cos 4
cos sin
cos 4
c
3
os sin
4
5 3

π
π π
π π

⇔



⇔ ⇔ ±


⇔ ≠ +
⇔ ≠
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và
Zk
∈
)
Ví dụ : Giải phương trình:
1.
sin3 sin( 2 )
4
x x
π
= −
2.
4
3
cos)
4
cos(

Rm
∈∀
)
* Gpt : sinx = m (1)
• Nếu
1m >
thì pt(1) vô nghiệm
• Nếu
1m ≤
thì ta đặt m = sin
α
và ta có

x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
α π
α
π α π

⇔ ⇔


* Gpt : cosx = m (2)
• Nếu
1m >
thì pt(2) vô nghiệm
• Nếu
1m ≤
thì ta đặt m = cos

thì

(4) cotx = cot x = +k
δ δ π
⇔ ⇔
Các trường hợp đặc biệt:sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x k
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π π
π
π
π

=+

Ví dụ:
9
+
−
x
y
O
C
A
B
D
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp
Giải các phương trình:
1)
4 4
1 cos sin 2cos2x x x+ − =
3)
024sin)cos(sin4
44
=−++ xxx

2)
6 6
sin cos cos4x x x+ =
4)
3 3
1
sin .cos cos .sin

x
+ = +
(
6
x k
π
π
= +
)
3)
2
tan sin
3 4cos
tan sin 2
x x x
x x
+
=
−
(
2
2
3
x k
π
π
= ± +
)
4)
3

+
(
4
x k
π
π
= − +
)
2. Dạng 2:

2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
tan tan 0
cot cot 0
a x b x c
a x b x c
a x b x c
a x b x c
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
(
0a ≠
)
Cách giải:

1 3cos cos 2 cos3 2sin sin 2x x x x x
+ + = +
6)
0
sin22
cos.sin)sin(cos2
66
=
−
−+
x
xxxx

Bài tập rèn luyện
1)
sin3 cos3
5 sin cos2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 
(
2
3

12 12
x k x k
π π
π π
= − + = +
)
4)
( )
2
2sin 3 2 cos 2cos 1
1
1 sin 2
x x x
x
+ − −
=
+
(
2
4
x k
π
π
= +
)
3. Dạng 3:

cos sin (1) ( a;b 0)a x b x c+ = ≠

(Phương trình bậc nhất đối với cosx và sinx)

∈
thì :

2 2
2 2
c
(2) cosx.cos + sinx.sin =
a
c
cos(x- ) = (3)
a
b
b
α α
α
⇔
+
⇔
+
Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.

Chú ý :

2 2 2
Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a b c⇔ + ≥

Ví dụ : Giải các phương trình :
1)
+ = −cos 3sin 1x x
2)

3 cos 3sin sin 4cos cos 4sinx x x x x x+ = + + +
(
2
2 ; 2
3
x k x k
π
π π
= + =
)
3)
( )
6 6
3 3
4 sin cos sin4 1
2
x x x+ + =
(
;
4 2 12 2
k k
x x
π π π π
= + = − +
)
11
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp
4)
1 3
8sin

π π
π π
= + = +
)
d. Dạng 4:

2 2
sin sin .cos cos 0 (a;c 0)a x b x x c x+ + = ≠
(1)
(Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos)
Cách giải 1:
p dụng công thức hạ bậc :
2 2
1 cos2 1 cos2
sin và cos
2 2
x x
x x
− +
= =
và công thức nhân đôi :
1
sin .cos sin2
2
x x x=
thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )
Chia hai vế của pt (1) cho
2
cos x

cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
t x x x t
π
= + = − ≤ ≤
Do
2
2
t 1
(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
x x x x
−
+ = + ⇒
• Thay vào (1) ta được phương trình :

2
1
0
2
t
at b c
−
+ + =
(2)
• Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt:
2 cos( )
4
x t
π

- =
b. Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các đònh lý sau đây:

A=0
. 0
B=0
A B

= ⇔


hoặc
A=0
. . 0 B=0
C=0
A B C


= ⇔



Ví dụ : Giải các phương trình :
a.
2 2 2
sin sin 2 sin 3 2x x x+ + =

b.
3

1 1 7
4 sin x
3
sin x 4
sin x
2
æ öp
÷
ç
+ = -
÷
ç
÷
ç
æ ö
p è ø
÷
ç
-
÷
ç
÷
è ø
2)
( )
2 sin x 1 cos 2x sin 2x 1 2 cos x+ + = +
3)
3 3 2 2
sin x 3 cos x sin x cos x 3 sin x cos x- = -
Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau

2)
x
cot x sin x 1 tan x t an 4
2
æ ö
÷
ç
+ + =
÷
ç
÷
è ø
3)
cos 3x cos 2x cos x 1 0+ - - =
Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau
1)
2 2
cos 3x cos 2x cos x 0- =
2)
1 sin x cos x s in2x+ cos2x= 0+ + +
3)
4 4
3
cos x sin x sin 3x cos x 0
4 4 2
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ + - - - =