Trần Só Tùng Đại số 11
I. HỆ THỨC CƠ BẢN
1. Đònh nghóa các giá trò lượng giác:
cos
sin
tan
' cot
OP a
OQ a
AT a
BT a
=
=
=
=
Nhận xét:
•
, 1 cos 1; 1 sin 1a a∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤
α
• tana xác đònh khi
,
2
a k k Z≠ + ∈
π
π
,
• cota xác đònh khi
,a k k Z≠ ∈
π
2. Dấu của các giá trò lượng giác:
Cung phần tư

 ÷
 
π
sin( ) sina a− = −
cos( ) cosa a− = −
π
cos sin
2
a a
 
− =
 ÷
 
π
tan( ) tana a− = −
tan( ) tana a− = −
π
tan cot
2
a a
 
− =
 ÷
 
π
cot( ) cota a− = −
cot( ) cota a− = −
π
cot tan
2

2
π
sin( ) sina a+ = −
π
sin cos
2
a a
 
+ =
 ÷
 
π
cos( ) cosa a+ = −
π
cos sin
2
a a
 
+ = −
 ÷
 
π
tan( ) tana a+ =
π
tan cot
2
a a
 
+ = −
 ÷

π
2
π
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2

1
3
3
0
3
3
−
–1 0
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+

a
−
= =
−
2. Công thức hạ bậc: 3. Công thức nhân ba:
4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan
2
a
:
Đặt:
tan ( 2 )
2
a
t a k= ≠ +
π π
thì:
2
2
sin
1
t
a
t
=
+
;
2
2
1
cos

− =
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
sin( )

π π
2. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
 
= − + +
 
 
= − − +
 
 
= − + +
 
Trang 3
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos

a
a
−
=
+
=
−
=
+
Đại số 11 Trần Só Tùng
Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
siny x=
: Tập xác đònh D = R; tập giá trò
1, 1T
 
= −
 
; hàm lẻ, chu kỳ
0
2T =
π
.
* y = sin(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
π
* y = sin(f(x)) xác đònh

 
 
π
π
; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T =
π
.
* y = tan(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
=
π
* y = tan(f(x)) xác đònh
( )f x⇔

( )
2
k k Z≠ + ∈
π
π
coty x=
: Tập xác đònh
{ }
\ ,D R k k Z= ∈
π
; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0

.
Trang 4


Trần Só Tùng Đại số 11
Bài 1. Tìm tập xác đònh và tập giá trò của các hàm số sau:
a/
2
sin
1
x
y
x
 
=
 ÷
−
 
b/
siny x=
c/
2 siny x= −
d/
2
1 cosy x= −
e/
1
sin 1
y
x

1
tan 1x −
Bài 2. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số:
a/ y =
2sin 1
4
x
 
+ +
 ÷
 
π
b/
2 cos 1 3y x= + −
c/
siny x=
d/
2
4sin 4sin 3y x x= − +
e/
2
cos 2sin 2y x x= + +
f/
4 2
sin 2cos 1y x x= − +
g/ y = sinx + cosx h/ y =
3sin2 cos2x x−
i/ y =
sin 3 cos 3x x+ +
Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:

2
siny x=
d/
sin2 cos
2
x
y x= +
e/
tan cot3y x x= +
f/
3 2
cos sin
5 7
x x
y = −
g/
2sin . cos3y x x=
h/
2
cos 4y x=
i/ y = tan(−3x + 1)
ĐS: a/
.
π
b/ 6π. c/
.
π
d/ 4π. e/ π. f/ 70π. g/ π. h/
.
4

– Vẽ đồ thò trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.
– Rồi suy ra phần đồ thò còn lại bằng phép tònh tiến theo véc tơ
0
. .v k T i=
r r
về bên trái
Trang 5
Đại số 11 Trần Só Tùng
và phải song song với trục hoành Ox (với
i
r
là véc tơ đơn vò trên trục Ox).
2/ Một số phép biến đổi đồ thò:
a/ Từ đồ thò hàm số y = f(x), suy ra đồ thò hàm số y = f(x) + a bằng cách tònh tiến đồ thò y
= f(x) lên trên trục hoành a đơn vò nếu a > 0 và tònh tiến xuống phía dưới trục hoành a
đơn vò nếu a < 0.
b/ Từ đồ thò y = f(x), suy ra đồ thò y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thò y = f(x) qua
trục hoành.
c/ Đồ thò
( ), nếu f(x) 0
( )
-f(x), nếu f(x) < 0
f x
y f x

≥
= =


được suy từ đồ thò y = f(x) bằng cách giữ

, .
2
 
 ÷
 
π
π
Ví dụ 2: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cosx.
– Tập xác đònh: D = R.
– Tập giá trò:
1, 1 .
 
−
 
– Chu kỳ: T = 2π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2 :
 
 
π
Trang 6
1
3
2
π
−
−π
2
π
−

2π
5
2
π
y = cosx
–1
y
x
x0y
1
0
–1
0 0
x0



 
Trần Só Tùng Đại số 11
– Tònh tiến theo véctơ
2 .v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = cosx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
– Hàm số nghòch biến trên khoảng
0,
2
 

= ∞
π
:
2
x⇒ = ±
π
là tiệm cận đứng.
– Chu kỳ: T = π.
– Bảng biến thiên trên
,
2 2
 
−
 ÷
 
π π
:
– Tònh tiến theo véctơ
.v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = tanx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác đònh D.
Ví dụ 4: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cotx.
– Tập xác đònh: D = R
{ }
\ ,k k Z∈
π

–∞


3
2
π
−
π
2
π
−

2
π
π
3
2
π
2π
5
2
π




2− π
3
2
π



Ví dụ 7: Vẽ đồ thò hàm số y = 1 + cosx.
– Vẽ đồ thò y = cosx.
– Từ đồ thò y = cosx, ta suy ra đồ thò
1 cosy x= +
bằng cách tònh tiến đồ thò
cosy x=
lên
trục hoành 1 đơn vò.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 
 
π
:
Trang 8
y
x
–2π
3
2
π
−
3
2
π
2π
2
π

0
12
2
π
−
O
y = 1 + cosx
y
x
−
π
2
π
π
3
2
π
y = cosx
2
1
–1
Trần Só Tùng Đại số 11
Ví dụ 8: Vẽ đồ thò y = sin2x.
– y = sin2x có chu kỳ T = π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 
 
π
:

y = sin2x
–1
x02x0y = sin2x
0
–1
01
0
x02x0y = cos2x
–1
01
0
–1
O
y
x
2
π
4
π

2
π
4
π





3





3
2
π




−π
3
4
π
−
2
π
−
4
π
−
4
π
2
π
3
4
π
π

 
π
có chu kỳ T = 2π.
Trang 11





 














3
2
π






4
π
2
π




3
4
π
−
2
π
−
−π
5
4
π 3
2
π
π

4
π
−
3
2

π
−
4
π
−
−π

4
π
2
π 3
4
π
π
5
4
π

  
2
1
1−
2−


3
4
π
−
2


   
4 3
3

4 3
3

2
π
−
3
π
−
4
π
−
6
π
−
6
π
3
π
2
π

Trần Só Tùng Đại số 11
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = sinα

= − +

π
π π
c/
sin sin sin sin( )u v u v= − ⇔ = −
d/
sin cos sin sin
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π
e/
sin cos sin sin
2
u v u v
 
= − ⇔ = −
 ÷
 
π
Các trường hợp đặc biệt:
sin 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π
sin 1 2 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈

cos sin cos cos
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π
e/
cos sin cos cos
2
u v u v
 
= − ⇔ = +
 ÷
 
π
Các trường hợp đặc biệt:
cos 0 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π
cos 1 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π

cos 1 2 ( )x x k k Z= − ⇔ = + ∈
π π
2 2
cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈

 
= − ⇔ = +
 ÷
 
π
Các trường hợp đặc biệt:
tan 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π
tan 1 ( )
4
x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈
π
π
4. Phương trình cotx = cotα

cot cot ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈
α α π
cot arccot ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈
π
Các trường hợp đặc biệt:
cot 0 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π

cot 1 ( )
4
x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈
π

2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
•
cot 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách
sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trò của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô đònh.
Trang 14
Trần Só Tùng Đại số 11
Bài 1. Giải các phương trình:
1)
cos 2 0
6
x
 
+ =
 ÷
 
π
2)
cos 4 1
3
x
 

π
6)
sin 2 1
6
x
 
+ = −
 ÷
 
π
7)
( )
1
sin 3 1
2
x + =
8)
( )
0
2
cos 15
2
x − =
9)
3
sin
2 3 2
x
 
− = −

 
π
14)
cot 2 1
3
x
 
− =
 ÷
 
π
15) cos(2x + 25
0
) =
2
2
−
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
( ) ( )
sin 3 1 sin 2x x+ = −
2)
cos cos 2
3 6
x x
   
− = +
 ÷  ÷
   
π π

− = +
 ÷  ÷
   
π π
8)
cot 2 cot
4 3
x x
   
− = +
 ÷  ÷
   
π π

9)
( )
tan 2 1 cot 0x x+ + =
10)
( )
2
cos 0x x+ =
11)
( )
2
sin 2 0x x− =
12)
( )
2
tan 2 3 tan2x x+ + =
13)

− ≤ ≤
2
cos cos 0a x b x c+ + =
t = cosx
1 1t
− ≤ ≤
2
tan tan 0a x b x c+ + =
t = tanx
( )
2
x k k Z≠ + ∈
π
π
2
cot cot 0a x b x c+ + =
t = cotx
( )x k k Z≠ ∈
π
Đại số 11 Trần Só Tùng
Nếu đặt:
2
sin sin : 0 1.t x hoặc t x thì điều kiện t= = ≤ ≤
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) 2sin
2
x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin
2
x – 4cosx – 1 = 0
3) 4cos

= 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
3) 4cos
2
(2 – 6x) + 16cos
2
(1 – 3x) = 13 4)
( )
2
1
3 3 tan 3 3 0
cos
x
x
− + − + =
5)
3
cos x
+ tan
2
x = 9 6) 9 – 13cosx +
2
4
1 tan x+
= 0
7)
2
1
sin x
= cotx + 3 8)
2

π
.
Bài 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc
( )
;−
π π
.
Bài 5. Giải phương trình :
4 4 4
5
sin sin sin
4 4 4
x x x
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
π π
.
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
• Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
ta được:
(1) ⇔
2 2 2 2 2 2
sin cos

a b
⇔ − = =
+
α β
• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
Trang 16
Trần Só Tùng Đại số 11
2 2 2
2 2
1 .
c
a b c
a b
≤ ⇔ + ≥
+
• (2)
2 ( )x k k Z⇔ = ± + ∈
α β π
Cách 2:
a/ Xét
2
2 2
x
x k k= + ⇔ = +
π
π π π
có là nghiệm hay không?
b/ Xét
2 cos 0.
2

tan .
2
x
t=
Ghi chú:
1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2
.a b c+ ≥
3/ Bất đẳng thức B.C.S:
2 2 2 2 2 2
.sin .cos . sin cosy a x b x a b x x a b= + ≤ + + = +
2 2 2 2
sin cos
min max tan
x x a
y a b và y a b x
a b b
⇔ = − + = + ⇔ = ⇔ =
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
cos 3sin 2x x+ =
2)
6
sin cos
2
x x+ =
3)
3 cos3 sin3 2x x+ =
4)

3
x x
 
= −
 ÷
 
π
5) sin5x + cos5x =
2
cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)
2
+ 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx – 2cosx = 2 2)
3
cosx + 4sinx –
3
= 0
3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5
Bài 4. Giải các phương trình sau:
Trang 17
Đại số 11 Trần Só Tùng
1) 2sin
4
x
 
+
 ÷
 
π

Lưu ý: cosx = 0
2
sin 1 sin 1.
2
x k x x⇔ = + ⇔ = ⇔ =±
π
π
• Khi
cos 0x ≠
, chia hai vế phương trình (1) cho
2
cos 0x ≠
ta được:
2 2
.tan .tan (1 tan )a x b x c d x+ + = +
• Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
2
( ) . 0a d t b t c d− + + − =

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1 cos2 sin2 1 cos2
(1) . . .
2 2 2
x x x
a b c d
− +
⇔ + + =
.sin2 ( ).cos2 2b x c a x d a c⇔ + − = − −
(đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x
và cos2x)

8)
( ) ( )
2 2
2 1 sin sin2 2 1 cos 2x x x− + + + =
9)
( ) ( )
2 2
3 1 sin 2 3sin .cos 3 1 cos 0x x x x+ − + − =

10)
4 2 2 4
3cos 4sin cos sin 0x x x x− + =
11) cos
2
x + 3sin
2
x +
2 3
sinx.cosx – 1 = 0
12) 2cos
2
x – 3sinx.cosx + sin
2
x = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1) sin
3
x + 2sin
2
x.cos

 
= ± = ≤
 ÷
 
m
π
2 2
1
1 2sin .cos sin .cos ( 1).
2
t x x x x t⇒ = ± ⇒ = ± −
• Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình
này tìm t thỏa
2.t ≤
Suy ra x.
Lưu ý dấu:
•
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
   
+ = − = +
 ÷  ÷
   
π π
•
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
   

( )
3 sin cos 2sin2 3x x x+ + = −
4)
( )
( )
1 2 1 sin cos sin2x x x− + + =
5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6)
( )
( )
1 2 sin cos sin2 1 2x x x+ + − = +
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
( )
sin2 4 cos sin 4x x x− − =
2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
3)
( )
( )
1 2 1 sin cos sin2x x x− + − =
4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0
5) sin2x +
2 sin 1
4
x
 
− =
 ÷
 
π
6)

2
3) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x = 1 4) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x =
3
2
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1) sin
6
x + cos
6
x =
1
4
2) sin
8
x + cos
8

2
x
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin
2
3x
8) sinx + sin2x + sin3x =
2
(cosx + cos2x + cos3x)
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0
3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos
2
x + 1
Bài 5. Giải các phương trình sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos
2
2x = sin
2
2x + sinx
Bài 6. Giải các phương trình sau:
1) sin
3
x + cos
3
x +
1
sin2 .sin
4