CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH CÓ
CHỨA THAM SỐ
Trong đề thi đại học những năm gần đây phần nhiều các bài tập câu 4b về phương trình , hệ phương trình
có sử dụng phương pháp hàm số . Sau đây tôi xin giới thiệu một vài kĩ năng sử dụng phương pháp đó
Ta thường gặp một số dạng toán sau:
*Sử dụng tính đơn điệu đưa 2 dạng cơ bản là f(x)=g(m) và f(x)=f(y) với f(t) là hàm đơn điệu.
*Sử dụng việc khảo sát sự biến biến thiên để tìm điều kiện có nghiệm hoặc biện luận số nghiệm của
phương trình hoặc hệ phương trình.
Trong quá trình làm 2 dạng trên nhiều trường hợp ta phải đánh giá dấu của đạo hàm dựa vào phương pháp
hàm số hoặc sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc : Côsi , Bunhiacopxki,..
Bài1 . Chứng minh rằng với mọi m>0 phương trình sau luôn có nghiệm
2
2
2
x mx 2
log 2x x mx 2 1
2x 1
 
+ +
= − + + −
 ÷
 ÷
−
 
(1)
Giải
Vì
2
x mx 2 0+ + ≥
nên

= + > ∀ ∈ +∞
do đó hàm số f(x) đồng biến trên
( )
0;+∞
mà
2
x mx 2 0;2x 1 0+ + > − >
nên phương trình (2)
2
x mx 2 2x 1⇔ + + = −
(3)
Với
1
x
2
>
thì
( )
2 2
1
3 x mx 2 4x 4x 1 m 3x 4
x
⇔ + + = − + ⇔ = − −
(4)
Xét hàm số : g(x)=
1 1
3x 4 ; x ;
x 2
 
− − ∈ +∞

3 2
1 1 1
x 3 x 6 x a
x x x
     
+ + + − + =
 ÷  ÷  ÷
     
Đặt
1
t x
x
= +
thì x
2
–tx+1=0 , để tồn tại x thì
2
t 4 0 t 2∆ = − ≥ ⇔ ≥
Phương trình trở thành : t
3
+ 3t
2
-9t = a + 6 (2)
Để ý rằng với
t 2
t 2
= −


=

t 1
y’ 3t 6t 9 0
t 3
=

= + − = ⇔

= −

BBT
t -∞ -3 -2 1 2 +∞
y’ + 0 - 0 +
y

27
22
-∞
+∞
2
Từ BBT ta có 2) có đúng 1 nghiệm t sao cho |t| >2
a 6 27 a 21
a 6 2 a 4
+ > >
 
⇔ ⇔
 
+ < < −
 
.
KL: giá trị của a thoả mãn

.
Giải
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882
Do
π
x 0;
3
 
∈


 
nên phương trình tương đương với :
2 3 3
tgxsin x x m− =
.
Xét hàm số
( )
2 3
f x =tgxsin x x−

( )
2 2 2
f ' x tg x 2sin x 3x= + −
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 số ta có
( )
( ) ( )
( )
2
2

g ' x 2cos x 2 3 cos x cos x 3 0; x 0;
cos x cos x 3
 
= + − ≥ − = ∀ ∈


 
nên hàm đồng biến trên nửa khoảng
π
0;
3
 


 
hay g(x)>g(0)=0,
π
x 0;
3
 
∀ ∈


 
.
Như vậy ,
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2

f(x) bằng phương pháp hàm số hoặc sử dụng bất đẳng thức.
+Nếu với yêu cầu “tìm điều kiện để phương trình có k nghiệm “ thì thông thường ta hướng tới
việc khảo sát sự biến thiên của hàm f(x).
Bài viết của tôi còn một điều chưa làm được đó chính là “ khi nào , gặp dạng toán như nào” thì sử dụng
phương pháp này , rất mong được các bạn cùng trao đổi để bài viết được tốt hơn.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 . Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
2 2
x x 1 x x 1 m+ + − − + =
HD : xét sự biến thiên của hàm
2 2
y x x 1 x x 1= + + − − +
Bài 2 . Tìm a để phương trình
2
ax 1 cos x+ =
có đúng 1 nghiệm
π
x 0;
2
 
∈
 ÷
 
HD :
2
2
2 2
x x
2sin sin
1 cos x 1

 
= ∈
 ÷
 
Bài 3. Chứng minh rằng với
m R∀ ∈
hệ sau luôn có nghiệm duy nhất
3 2 4
2 2 2 3
yx m y (1)
x y 2y xπ y (2)

= +


+ = −


HD : để ý từ hệ suy ra được
x y 0≥ >
( ) ( )
2
2
π
1 y x yπ x y
y
⇔ + = ⇔ = −
thay vào phương trình (1) và đặt
t y=
được phương trình :