1
Hình giải tích_HHKg
Câu 1
(ĐH AN GIANG_00D)
Cho hình chóp tam giác OABC đỉnh O, dáy là tam giác đều ABC, AB=a, góc của các cạnh bên OA,
OB, OC với mặt phẳng đáy (ABC) bằng nhau và bằng
o
45
.
1. CMR : OA=OB=OC.
2. Hy tính thể tích của hình chóp theo a.
Câu 2
(ĐH AN GIANG_01B)
Cho hình lập phơng
1 1 1 1
ABCD.A B C D
có các cạnh bên
1 1 1 1
AA ,BB ,CC ,DD
và độ dài cạch
AB=a. Cho các điểm M, N trên cạnh
1
CC
sao cho
1
CM MN NC= =
. Xét mặt cầu (K) đi qua bốn điểm:
A,
1
B

(P ) : x 2y 2z 3 0+ + + =2
(P ) : x 2y 2z 7 0+ + + =

Viết phơng trình mặt cầu có tâm I trên đờng thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng
1 2
(P ),(P )
.
Câu 4
(ĐH AN NINH_99A)
Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA=x, BC=y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
1. Tính thể tích hình chóp theo x và y.
2. Với x, y nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất?
Câu 5
(ĐH AN NINH_00A)
Cho góc tam diện Oxyz và
1
8
đờng tròn đơn vị
2 2 2
x y z 1
+ + =
,
x 0, y 0,z 0
trong góc
tam diện ấy. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với
1
8

(ĐH BK HN_97A)
Trong không gian với hệ toạ độ đề các trực chuân Oxyz cho M(1;2;-1) và đờng thẳng (d) có phơng
trình :

x 1 y 2 z 2
3 2 2
+
= =


Gọi N là điểm đối xứng của M qua đờng thẳng (d). Hy tính độ dài MN.
Câu 8
(ĐH BK HN_98A)
Trong không gian với hệ tọa độ đề các trực chuẩn Oxyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có
phơng trình:

x 1 2t
(d) : y 2 t (P) : 2x y 2z 1 0
z 3t

= +


= + =


=


1. Tìm toạ độ các điểm thuộc (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó tới (P) bằng 1.

R 18=
(điểm M không thuộc mặt phẳng (ABC)). Xét tam giác có độ dài các cạnh
bằng độ dài các đoạn thẳng MA, MB, MC. Hỏi tam giác ấy có đặc điểm gì?
Câu 10
(ĐH BK HN_01A)
Trong không gian với hệ trục toạ độ đề các trực chuẩn Oxyz cho bốn điểm A(1;0;0), B(1;1;0),
C(0;1;0), D(0;0;m) với m là tham số.
1. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AC và BD khi m=2.
2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BD. Tìm các giá trị của tham số m để diện tích tam giác
OBH đạt giá trị lớn nhất.
Câu 11
(PV BC TT_98A)
Trong không gian Oxyz cho đờng trẳng () có phơng trình :

3

2x y 1 0
x y z 1 0
+ + =


+ =


và đờng thẳng () có phơng trình
3x y z 3 0
2x y 1 0
+ + =


1 2
x 1 t x 0
(d ) : y 0 (d ) : y 4 2t '
z 5 t z 5 3t '

= + == = = + = +1. CMR hai đờng thẳng chéo nhau.
2. Gọi đờng vuông góc chung của
1
(d )
2
và (d )
là MN (
1
M (d ),

2
N (d
)). Tìm toạ độ của M,N
và viết phơng trình tham số của đờng thẳng MN.
Câu 17
(HV BCVT_99A)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phơng ABCD.
1 1 1 1
A B C D4
mà D(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a;0),
1
D (0;0;a)
. Gọi M là trung điểm của AD, N là tâm của hình vuông
1 1
CC D D
. Tìm bán kính của mặt cầu đi qua các điểm B,
1
C
, M, N.
Câu 18
(HV BCVT_00A)
Trong không gian cho hai đờng thẳng :

1 2
x 3 y 1 z 1 x 7 y 3 z 9
( ) : ( ) :
7 2 3 1 2 1

= = = =

MM MM
+

đạt đợc giá trị nhỏ nhất, biết
1
M (3;1;1)
và
2
M (7;3;9)
.
Câu 19
(HV BCVT_01A)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB=a, AD=2a,AA=a.
1. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AD và BC.
2. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số
AM
3
MD
=
. Tính khoảng cách từ M đến (ABC).
3. Tính thể tích tứ diện ABDC.
Câu 20
(ĐH Dợc HN_98A)
Cho A(0;1;1) và hai đờng thẳng
1 2
(d ),(d )1 2
x y z 2 0


CB, N

CD) và đặt CM=m, CN=n. Tìm
một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với nhau một góc
o
45
.
Câu 22
(ĐH Đà Lạt_99B)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với đáy. Độ dài các cạnh
AB=a, AD=b, SA=2a. Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện gì? Tính
diện tích thiết diện ấy.
Câu 23
(ĐH Đà Lạt_01D)
Cho hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 27, diện tích toàn phần bằng 9a và các cạnh lập thành cấp số
nhân.
1. Tính các cạnh của hình chữ nhật khi a=6.
2. XĐ a để tồn tại hình hộp chữ nhật có các tính chất nêu trên.
Câu 23
(ĐH Đà Nẵng_01A)
Cho mặt phẳng (P) có phơng trình
x 2y 3z 14 0
+ =
và điểm
M(1;-1;1)

1. Hy viết phơng trình mặt phẳng qua M và song song với (P).
2. Hy tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (P).
3. Hy tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua (P).

Câu 27
(ĐH GTVT_98A)
Viết phơng trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu có phơng trình
2 2 2
x 2x y 4y z 6z 2 0
+ + =
và song song với mặt phẳng (P) có phơng trình 4x+3y-12z+1=0.
Câu 28
(ĐH GTVT_99A)
Trong hệ toạ độ đề các Oxyz cho mặt phẳng (P) có phơng trình
16x 15y 12z 75 0
+ =
.
1. Lập phơng trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với (P).
2. Tìm tọa độ tiếp điểm H của (P) với (S).
3. Tìm điểm đối xứng của gốc tọa độ O qua (P).
Câu 29
(ĐH GTVT_00A)
Cho hình lập phơng ABCD.ABCD, các cạnh của nó có độ dài bằng 1. Trên các cạnh BB, CD,
AD lần lợt lấy các điểm M, N, P sao cho: BM=CN=DP=a(0<a<1). CMR:
1.
MN a.AB AD (a 1)AA'= + +


2.
AC'

vuông góc với mặt phẳng (MNP).
Câu 30
(ĐH GTVT_01A)

phơng trình.

x z 3 0
(d) : (P) : x y z 3 0
2y 3z 0
+ =

+ + =

=


Tìm phơng trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (P).
Câu 86
(ĐH QGHCM_98D)
Cho hai nửa đờng thẳng Ax, By chéo nhau và vuông góc với nhau, có AB là đờng vuông góc
chung, AB=a. Talấy các điểm M trên Ax, N trên By với AM=x, BN=y.
1. CMR các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông.
2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABMN theo a, x, y.
Câu 87(ĐH QGHCM_01A)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh A, SA vuông góc với (ABCD),
SA a 2=
. Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc ACM bằng

. Hạ SN vuông góc với CM.
1. Chứng minh rằng N luôn thuộc một đòng tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo a và

.
2. Hạ AH vuông góc với SC, AK vuông góc với SN. Chứng minh SC vuông góc với (AHK) và tính độ
dài HK.

2. Tính độ dài đoạn HK.
3. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK.
Câu 91
(ĐH SPHN I_01B)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB=a, AD=2a,
AA' a 2=
, M là một điểm thuộc đoạn
AD, K là trung điểm của BM.
1. Đặt AM=m (
0 m 2a <
). Tính thể tích khối tứ diện AKID theo a và m, trong đó I là tâm của hình
hộp. Tìm vị trí của điểm M để thể tích tứ diện đó đạt giá trị lớn nhất.
2. Khi M là trung điểm của AD:
a) Hỏi thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (BKC) là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó theo
a.
b) CMR đờng thẳng BM tiếp xúc với mặt cầu đờng kính AA.
Câu 92
(ĐH SPHN II_98A)

14
Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đờng thẳng có phơng trình tơng ứng:

x 2 t
x 2z 2 0
(d) : y 1 t (d ') :
y 3 0
z 2t
= +

+ =


+ =


=


Chứng minh rằng
1 2
(d ),(d )
và A cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 94
(ĐH SPHN II_01A)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đờng cao SH và mặt phẳng
( )
đi qua A vuông góc với cạnh
bên SC. Biết mặt phẳng
( )
cắt SH tai
1
H
mà
1
SH 1
SH 3
=
và cắt các cạnh bên SB, SC, SD lần lợt tại B, C,
D.
1. Tính tỉ số diện tích thiết diện ABCD và diện tích đáy hình chóp.
2. Cho biết cạnh đáy hình chóp bằng a. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.


(P) : x 2y z 3 0 + + =
.
Câu 96
(ĐH SP Quy Nhơn_99D)
Trong không gian cho hai đờng thẳng có phơng trình:

1 2
x 1 3t
x y 0
(d ) : (d ) : y t
x y z 4 0
z 2 t
= +

+ =


=

+ =


= +


1. Hy chứng tỏ hai đờng thẳng
1 2
(d ),(d )
chéo nhau.

tròn. Tìm tâm và bán kính của đờng tròn đó.
2. Trong hệ toạ độ đề các Oxyz cho A(-1;2;3) và các mặt phẳng
(P): x+2=0 và (Q): y-z-1=0
Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A vuông góc với cả (P) và (Q).
Câu 50
(ĐH Luật HCM_01A)
Trong không gian với hệ tọa độ đề các vuông góc Oxyz cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm
M(m;0;0), N(0;n;0) thay đổi sao cho m+n=1 và m>0, n>0.
1. CMR thể tích hình chóp S.OMAN không phụ thuộc vào m và n.
2. Tính khoảng cách từ A đến (SMN). Từ đó suy ra (SMN) tiếp xúc với một mặt cầu cố định.
Câu 51
(ĐH Mỏ Địa Chất_98A)
Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz xét đờng thẳng có phơng trình
x y 4 z 1
( )
4 3 2
+
= =


Và mặt phẳng có phơng trình x-y+3z+8=0(P)
Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của
( )
trên (P).
Câu 52
(ĐH Mỏ Địa Chất_99A)
Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho mặt cầu (C) đờng thẳng
( )
và măt phẳng
(Q) lần lợt có phơng trình:

1
x 2 y 3 z 3
(d ) :
1 1 2

= =


Và đờng phân giác trong BM nằm trên đơng thẳng
2
(d )
có phơng trình:

2
x 1 y 4 z 3
(d ) :
1 2 1

= =


Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Câu 54
(HVNgân Hàng_98D)
Trong không gian cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz và cho tam giác vuông cân OAB, vuông góc
tại O, nằm trong mặt phẳng (xOy) mà đờng thẳng AB song song với trục Ox và AB=2a. Xác định toạ độ
điểm A, điểm B, biết rằng A có hoành độ x>0 và tung độ y>0. Viết phơng trình chính tắc của mặt phẳng đi
qua điểm C(0;0;c), c>0, vuông góc với đờng thẳng đi qua O và trọng tâm G của tứ diện OABC.

9


=

+ + =


= +


1. Chứng minh (
1
D
) và
2
(D )
chéo nhau.
2. Tính khoảng cách giữa (
1
D
) và
2
(D )
.
3. Viết phơng trình đờng thẳng
( )
đi qua điểm M(1;1;1) và cắt đồng thời cả (
1
D
) và
2

=


Tính khoảng cách giữa A và B.
Câu 59
(ĐH Ngoại Ngữ_01D)
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2a;0;0), C(0;2a;0), D(0;0;2a), B(2a;2a;0), (a>0) .
1. Gọi E là trung điểm của đoạn BD, hy tìm toạ độ giao điểm F của đoạn thẳng OE với mặt phẳng
(ACD).
2. Tính thể tích hình chóp D.OABC
3. Tìm toạ độ điểm O đối xứng với O qua đờng thẳng DB.
Câu 60
(ĐH Ngoại Thơng_98A)
Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần lợt lấy các điểm A, B, C.
1. Tính diện tích tam giác ABC theo OA=a, OB=b, OC=c.
2. Giả sử A, B, C thay đổi nhng luôn có OA+OB+OC+AB+BC+CA=k (k:hằng số). Hy xác định giá
trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC.
Câu 61
(ĐH Ngoại Thơng HCM_01A)
Cho hình lập phơng ABCD.ABCD có cạnh bằng a. Giả sử M và N lần lợt là trung điểm của BC
và DD.
1. Chứng minh MN song song với (ABD).
2. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng BD và MN theo a.

10
Câu 62(ĐH NN I_97A)
Cho hai điểm A(1;2;3) và B(4;4;5) trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz .
1. Viết phơng trình đờng thẳng AB. Tìm giao điểm P của nó với mặt phẳng xOy. Chứng tỏ rằng với
mọi điểm Q thuộc mp(xOy), biểu thức
QA QB


= +

+ =


= +


1. CMR hai đơng thẳng (d) và (d) chéo nhau.
2. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng đó.
3. Hai điểm A, B khác nhau và cố định trên một đờng thẳng (d) sao cho
AB 117=
. Khi C di động
trên (d), tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC.
Câu 64
(HV QHQT_97A)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD với AA=a, AB=b, AD=c. Tính thể tích tứ diện ACBD
theo a, b, c.
Câu 65
(HV QHQT_98A)
Cho hình lập phơng ABCD.ABCD với cạnh bằng a.
1. Hy tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA và BD.
2. CMR đờng chéo BD vuông góc với mặt phẳng (DAC).
Câu 66
(HV QHQT_99A)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.
1. Giả sử I là một điểm thay đổi trên cạnh CD. Hy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB là
nhỏ nhất.
2. Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt