Phơng trình Đờng thẳng và các bài toán liên quan
1. Phơng trình Đờng thẳng
1.1 Tóm tắt lý thuyết:
1. Quan hệ giữa hai đờng thẳng (nhắc lại):
Cho 2 đờng thẳng (d) và (d) có phơng trình lần lợt là: y = ax + b và y = ax + b. Khi
đó:
(d) // (d)

a = a và b

b.
(d)

(d)

a = a và b = b.
(d)

(d)

a.a = - 1.
2. Phơng trình đờng thẳng:
a. Qua 2 điểm phân biệt A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
):


b. Qua M(x
0
, y
0
), có hệ số góc k: y - y
0
= k( x x
0
).
c. Qua M(x
0
, y
0
) và có vtpt
),( BAn
: A(x - x
0
) + B(y - y
0
) = 0 (Phơng trình tổng
quát ).
d. Qua M(x
0
, y
0
) và có vtcp
),( bau
:
)(


=
=
ty
tx
4
23
(t

R). Chuyển (d) về dạng chính tắc và dạng tổng
quát.
5. Cho đờng thẳng (d): 2x+3y- 1= 0 . Chuyển (d) về dạng tham số và dạng chính tắc.
6. Cho (d) : 2x - 3y+ 3 = 0 và M(-5; 13).
a. Viết phơng trình đờng thẳng qua M song song với đờng thẳng (d).
b. Viết phơng trình đờng thẳng qua M vuông góc với (d) .
c. Xác định toạ độ hình chiếu H của M trên (d).
d. Xác định tọa độ của M đối xứng với M qua (d).
1
7. Cho M( 1; 1), N(3; 2), P(2;-1) là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của

ABC .Tìm
toạ độ các điểm A, B, C và trọng tâm G của

ABC.
8. Cho 3 điểm A(-2; 1), B(2; 5), C(4; 1).
a. Lập phơng trình các đờng cao qua A, B. Tìm tọa độ trực tâm H.
b. Lập phơng trình các đờng trung trực của AB, BC. Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp

ABC.
c. Tính chu vi và diện tích

14. (Đề 58 - Va) Lập phơng trình các cạnh của

ABC biết B(-4; -5) và 2 đờng cao có
phơng trình là (d
1
): 5x + 3y 4 = 0, (d
2
): 3x + 8y + 13 = 0.
15. (Đề 89 - Va) Cho

ABC, cạnh AB có phơng trình: 5x 3y + 2 = 0, các đờng cao
qua A, B lần lợt có phơng trình (d
1
): 4x 3y + 1 = 0, (d
2
): 7x + 2y 22 = 0. Lập ph-
ơng trình hai cạnh CA, CB và đờng cao thứ 3.
16. Lập phơng trình các cạnh của

ABC biết đỉnh C(3; 5), đờng cao và đờng trung tuyến
kẻ từ một đỉnh có phơng trình tơng ứng là (d
1
): 5x + 4y - 1 = 0, (d
2
): 8x + y - 7 = 0.
17. (ĐHVH - 98) Lập phơng trình các cạnh của

ABC biết đỉnh C(4; -1), đờng cao và
trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phơng trình tơng ứng là: (d
1

): y 1 = 0.
21. (ĐH Luật - 96) Lập phơng trình các cạnh của

ABC biết A(3; 1) và 2 đờng trung
tuyến có phơng trình (d
1
): 2x y 1 = 0, (d
2
): x 1 = 0.
22. (ĐHBK - 94) Phơng trình 2 cạnh của

ABC là (d
1
): 5x 2y + 6 = 0 và (d
2
): 4x +
7y 21 = 0. Viết phơng trình cạnh thứ 3 của

ABC biết trực tâm của tam giác là
gốc tọa độ.
23. Cho

ABC và M(-1, 1) là trung điểm của một cạnh, 2 cạnh còn lại có phơng trình
lần lợt là: (d
1
): x + y - 2 = 0 và (d
2
): 2x+6y+3 = 0. Xác định toạ độ các đỉnh của tam
giác.
24. (ĐHTM - 2000) Cho

b. Tìm tọa độ trọng tâm G của

ABC và tọa độ trung điểm M của BC.
c. Lập phơng trình đờng cao AP (P

BC) và tìm tọa độ điểm P.
27. Cho

ABC, biết BC có trung điểm M(-1; 1), cạnh (AB): x + y 2 = 0 và (AC): 2x
+ 6y + 3 = 0.
a. Xác định tọa độ các đỉnh của

ABC.
b. Viết phơng trình đờng trung trực của cạnh BC.
28. Cho

ABC có trọng tâm G(-2; -1), (AB): 4x + y + 15 = 0, (AC): 2x + 5y + 3 = 0.
a. Tìm tọa độ trung điểm M của BC.
b. Tìm tọa độ điểm B và viết phơng trình đờng thẳng BC.
c. Tính diện tích

ABC.
29. Cho 2 điểm A(1; 1), B(-1; 3) và đờng thẳng (d): x + y + 4 = 0.
a. Tìm điểm C

(d) sao cho C cách đều A và B.
b. Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và tính diện tích hình bình
hành đó.
c. Tìm điểm A đối xứng với A qua (d).
30. Cho 2 điểm A(-1; 2), B(3; 4). Tìm điểm C trên đờng thẳng (d): x 2y + 1 = 0 sao

):



+=
=
3'6
'3
ty
tx
a. Tìm tọa độ giao điểm A của (d
1
) và (d
2
).
b. Tìm cos(d
1
,d
2
) và phân giác góc tạo bởi (d
1
), (d
2
).
c. Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua P(2; -1) và tạo với (d
1
), (d
2
) một tam giác cân
đỉnh A.



=++
=++
0
0
222
111
CyBxA
CyBxA
. Từ số
nghiệm của hệ trên, ta xác định đợc vị trí tơng đối của (d
1
) và (d
2
).
2. Chùm đờng thẳng:
Định nghĩa: Tập hợp các đờng thẳng của mặt phẳng cùng đi qua một điểm I gọi là
một chùm đờng thẳng. Điểm I gọi là tâm của chùm.
Định lý: Giả sử hai đờng thẳng phân biệt của một chùm có phơng trình tổng quát lần
lợt là:
A
1
x + B
1
y + C
1
= 0. (1)
A
2

a. (d
1
):



=
+=
ty
tx
1
1
và (d
2
):



=
+=
uy
ux 2
, (t, u

R).
b. (d
1
):



ty
tx 2
và (d
2
):



=
+=
uy
ux
2
22
, (t, u

R).
3. Xét vị trí tơng đối giữa 2 đờng thẳng:
a. (d
1
):



=
+=
ty
tx
1
1

+=
ty
tx 2
và (d
2
): x - y + 2 = 0, (t

R).
4. Xét vị trí tơng đối giữa 2 đờng thẳng:
a. (d
1
): x + 2y + 1 = 0 và (d
2
): x + 4y + 3 = 0.
b. (d
1
): mx + y + 2 = 0 và (d
2
): x + my + m + 1 = 0.
c. (d
1
): 2x + my 5 = 0 và (d
2
): mx + 2y 2m 1 = 0.
5. Cho 2 đờng thẳng (d
1
): y = 3x 5, (d
2
): y = kx k
2

2
), hãy tìm giao điểm A của (d
1
), (d
2
) và tính diện tích hình giới hạn
bởi (d
1
), (d
2
) và 2 trục tọa độ.
(Đề 17 - Va) Cho 2 đờng thẳng: (d
1
):



=
=
1
1
3
2
ty
tx
và (d
2
):



> 0 và 2 đờng thẳng (d
1
): (a - b)x + y = 1, (d
2
): (a
2
- b
2
)x +
ay = b.
a. Xác định giao điểm của (d
1
) và (d
2
).
b. Tìm điều kiện của a, b để giao điểm đó thuộc trục hoành.
7. (Đề 136 - Va) Cho 2 đờng thẳng (d
1
): kx y + k = 0, (d
2
): (1 k
2
)x + 2ky (1 +
k) = 0.
a. CMR (d
1
) luôn đi qua một điểm cố định khi k thay đổi.
b. Xác định giao điểm (d
1
) và (d

): 5x 2y + 4 = 0 và song song với (d
3
): 2x y + 4 = 0.
12. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua giao điểm của 2 đờng thẳng (d
1
): 2x 3y + 5
= 0, (d
2
): x 2y 3 = 0 và vuông góc với (d
3
): x 7y 1 = 0.
13. Cho

ABC với các cạnh (AB): x y 2 = 0, (AC): 3x y + 5 = 0, (BC): x 4y
1 = 0. Viết phơng trình các đờng cao của

ABC.
14. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua giao điểm của 2 đờng thẳng (d
1
): x + 3y 8 =
0 và (d
2
): 3x 2y 2 = 0 đồng thời tạo với (d
3
): x y 1 = 0 một góc 45
0
.
15. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua giao điểm của 2 đờng thẳng (d
1
): 2x y + 1 =