Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Những kiến thức lượng giác đặc biệt là phương trình lượng giác (PTLG) là
một bộ phận quan trọng trong chương trình toán THPT nói chung và trong Đại số
và giải tích 11 nói riêng. Trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng thường
xuyên có mặt dạng toán giải PTLG, trong đó loại PTLG có điều kiện thường làm
cho học sinh bối dối. Đa số các em gặp khó khăn trong khâu kết hợp nghiệm của
phương trình hệ quả với điều kiện của phương trình ban đầu.
Đặc thù của PTLG thường là có vô số nghiệm và công thức nghiệm cho một
PTLG có thể có những hình thức biểu diễn khác nhau. Dung lượng kiến thức ở
phần này tương đối lớn, số lượng tiết học trên lớp chỉ đảm bảo cho các em nắm
vững kiến thức cơ bản. Để giải quyết tốt các đề bài PTLG có điều kiện ở mức độ
thi đại học và cao đẳng, học sinh cần tìm tòi thêm và phải liên hệ tốt với kiến
thức về công thức lượng giác.
Nhằm giúp đỡ học sinh có kỹ năng tốt trong việc kết hợp nghiệm với điều
kiện của PTLG có điều kiện qua đó có được những phương án giải quyết tối ưu
và trọn vẹn cho mỗi bài toán PTLG có điều kiện, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề:
“RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN”
2. Mục đích nghiên cứu
Chuyên đề nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng tiếp cận vấn đề từ nhiều
góc độ khác nhau từ đó chọn được một phương pháp kết hợp nghiệm với điều
kiện phù hợp nhất đối với mỗi bài toán PTLG cụ thể. Qua đó có thể rút ngắn
đáng kể thời gian để có được lời giải trọn vẹn, ngắn gọn, mạch lạc.
3. Phương pháp nghiên cứu
+ Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học.
+ Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của học
sinh trong quá trình giải quyết bài toán phương trình lượng giác có điều kiện. Từ

2 0
cos 0
a
sin a
a
=

= ⇔

=

sin 0
2 0
cos 0
a
sin a
a
≠

≠ ⇔

≠

2
sin 0 cos 1a a= ⇔ = ±
;
2
sin 1 cos 0a a= ⇔ =
2
os 0 sin 1c a a= ⇔ = ±

 
⇔
 
≠ − ≠ −
 
3
Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH
Khi đó
( )
1 sin os2 sin
1
4
cos
1 t anx
2
x c x x
x
π
 
+ + +
 ÷
 
=
+

( ) ( )
cos 1 sinx cos2 2.sin cos sin cos
4
x x x x x x
π

2sin sin 1 0
1
1
sin
sin /
2
2
.2
1
6
sin
7
2
.2
6
x x x c x x x x x
x L
x x
x x
x x L
x x
x
x t m
x k
x k Z
x k
π
π
π
π


= +


Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B)
Giải phương trình
cot sin 1 tan .tan 4
2
x
x x x
 
+ + =
 ÷
 
Lời giải: Điều kiện
cos 0
sinx 0 sin2x 0
os 0
2
x
x
c


≠

≠ ⇔ ≠




sinx sinx cos
cos . os
2
x x
x c
x x
x
x
x c
 
+
 ÷
+ = ⇔ + =
 ÷
 ÷
 
4
Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH
( )
( )
2 1
4 sin 2 /
sin 2 2
2 .2
.
6
12
5 5
2 .2 .
6 12

Giải phương trình
1 1 2
cos sin 2 sin 4x x x
+ =
Lời giải:
Điều kiện
2
cos 0 sin 1 sin 1 sin 1
sin2x 0 sinx 0 sinx 0 sinx 0
sin 4 0 os2 0
1 2sin 0
2
sin
2
x x x x
x c x
x
x



≠ ≠ ± ≠ ± ≠ ±
 

   
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
   
   
≠ ≠
− ≠

Đối chiếu với điều kiện ta được
( )
.2
1
6
sin
5
2
.2
6
x k
x k Z
x k
π
π
π
π

= +

= ⇔ ∈


= +


Vậy phương trình có nghiệm là
( )
.2
6

c x
x x
π π
+
=
   
− +
 ÷  ÷
   
Lời giải:
Điều kiện
sin 0
4
os 0 sin 2 0
4 2
os2 0 sin 2 1
sin 0 sin 2 0
4 2
os 0
4
x
c x x
c x x
x x
c x
π
π π
π π
π



Nhận thấy
tan .tan 1
4 4
x x
π π
   
− + =
 ÷  ÷
   
, do đó phương trình đã cho trở thành
4 4 4 2 4 4 2
2
1
sin 2 os 2 os 4 1 sin 4 os 4 2 os 4 os 4 1 0
2
sin 2 0
os 4 1 sin 4 0
os2 0
x c x c x x c x c x c x
x
c x x
c x
+ = ⇔ − = ⇔ − − =
=

⇔ = ⇔ = ⇔

=



= = ±

+ − = ⇔ − = ⇔ ⇔


=
=



Đối chiếu điều kiện ta được
( )
sin 2 1 2 .2 .
2 4
x x k x k k Z
π π
π π
= ⇔ = + ⇔ = + ∈
6
Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH
Các bài tập tương tự
1/
2 3
2
2
os os 1
os2 tan
os
c x c x

− − =
 ÷
 
(2003_D);
5/
( )
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x− = −
(2004_B).
7
Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH
2. Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập
2.1 Kiến thức cơ sở
+ Các nhận xét về tính chu kì của hàm số lượng giác
( )
sin 2 sink
α π α α
+ = ∀
;
( )
s 2 osco k c
α π α α
+ = ∀
;
( )
tan tank
α π α α
+ = ∀
;
( )


Với
2
k
x
π
=
thì
( )
5
os5 os os 2 os 0 2
2 2 2
k k k
c x c c k c k m m Z
π π π
π
   
= = + = ≠ ⇔ = ∈
 ÷  ÷
   
Với
20 10
k
x
π π
= +
thì
os5 os 0
4 2
k

Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH
( )
( )
( )
( )
2 2 2
sin 1 sin 2 os2 2 2 sin .cos 1 2sin .cos 2 os 1 2 2 cos
cos 0 /
2cos sinx cos 2 0
sinx cos 2 *
x x c x x x x x c x x
x t m
x x
x
+ + = ⇔ + + − =

=
⇔ + − = ⇔

+ =


Giả sử
sin 0 cos 1x x= ⇔ = ±
, khi đó
( )
* 0 1 2⇔ ± =
(vô lí)
Do đó phương trình tương đương với
cos 0




Vậy phương trình có nghiệm là
( )
2
2
4
x k
k Z
x k
π
π
π
π

= +

∈


= +


Ví dụ 3: Giải phương trình
( )
1
3sinx 2cos 3 1 t anx
cos
x

− =
⇔ + − − = ⇔

+ − =


( )
1 cos 1x⇔ =
thoả mãn điều kiện, do đó ta được
2 ,x k k Z
π
= ∈
Tiếp theo giả sử
os 0 sin 1c x x= ⇔ = ±
, thay vào (2) ta được
3 1 0± − =
(vô lí)
Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện.
Giải (2) ta được
1
ar os 2
13
x cc k k Z
α π
= ± + ∈
,
(với
2 3
os ; sin
13 13

sin
tan 1 2 4
x
x
x
π
+
 
= +
 ÷
+
 
Lời giải: Điều kiện
os 0 sin 1c x x≠ ⇔ ≠ ±
Khi đó
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2
tan t anx 2 2 2 2
sin os tan t anx sinx cos
tan 1 2 4 2 2 2
1
sin cos .sinx sinx cos 2sinx sinx cos sinx cos 0
2
sinx cos 2sinx 1 0 *
x

π π π
π π π
= + = + = + ∈
Ví dụ 5: Giải phương trình
tan5 .tan 2 1x x =
Lời giải: Điều kiện
( )
( )
( )
1
os5 0
10 5
,
os2 0
2
4 2
x m
c x
m n Z
c x
x n
π π
π π

≠ +

≠


⇔ ∈

5 2
m t
t Z t m t
+ −
∃ ∈ = ⇔ = +
Lại do
,t m Z∈
nên
1
: 2 1
2
t
s Z s t s
−
∃ ∈ = ⇔ = +
Từ đó
7 3k s
= +
. Suy ra
14 7
x k
π π
= +
với
7 3k s
≠ +
thoả mãn phương trình
+ Đối chiếu điều kiện (2)
11
Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH

2/
2sin c otx 2sin 2 1x x+ = +
;
3/
sinx.cot5x
1;
os9xc
=
4/
( )
2
4
4
2 sin 2 .sin 3
tan 1 ;
cos
x x
x
x
−
+ =
5/
( )
2
1
4cos 3 sin 3 .
2
x x− =
12
Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH

dấu “x”) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu “o”). Những điểm đánh dấu
“o” mà không trùng với những điểm đánh dấu “x” chính là những điểm thoả mãn
điều kiện.
3.2 Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D)
Giải phương trình
sin2x +2cos sinx 1
0
tanx + 3
x − −
=
Lời giải: Điều kiện
( )
t anx 3
3
,
cos 0
2
x m
m n Z
x
x n
π
π
π
π

≠ − +



π
π
π
− − = ⇔ + − + =

= −
= − +



⇔ + − = ⇔ ⇔


=

= ± +




13
Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác
(như hình bên) ta được nghiệm của phương trình
là
( )
2
3
x k k Z
π
π

Lời giải: Điều kiện
( )
2
2
4
sinx ,
3
2
2
4
x m
m n Z
x n
π
π
π
π

≠ +


≠ ⇔ ∈


≠ +


Khi đó phương trình đã cho trở thành
( )
( )

Lời giải: Điều kiện
sin 3 0 3
3
x x k x k
π
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
Khi đó
sin sin 2
1 sin sin 2 sin3 0
sin 3
2sin 2 .cos sin 2 0
x x
x x x
x
x x x
+
= − ⇔ + + =
⇔ + =
( )
sin 2 0
sin 2 2cos 1 0
1
cos
2
x
x x
x
=


2
3
x k
x k
π
π
π

=

⇔


= ± +


Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác
Ta được nghiệm của phương trình là
2
x k
π
π
= +
.
Các bài tập tương tự
1/
sinx sin 2 sin 3
3
cos os2 os3
x x

( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sinx 1 sinx
x x−
=
+ −
(đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2009, khối A).
15
O
x
2
π
−
y
2
π
3
π
3
π
−
2
3
π
4
3
π
π
Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH

Do thời gian có hạn nên chuyên đề chỉ đề cập những phương pháp cơ bản về kết
hợp nghiệm với điều kiện của phương trình lượng giác có điều kiện. Chuyên đề
có thể nghiên cứu để mở rộng với các bài toán giải hệ phương trình lượng giác
hoặc hệ lượng giác hỗn hợp, cũng như các phương trình kết hợp giữa hàm số
lượng giác và các hàm số mũ, lôga rít và hàm số dưới dấu căn…
16
Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH
C. KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY
Trong quá trình giảng dạy tôi đã đem các vấn đề trên áp dụng vào hai buổi
dạy tăng cường (sau khi đã dạy cho học sinh phương pháp giải phương trình
lượng giác). Kết quả cụ thể như sau:
Nội dung kiểm nghiệm
Lớp 11A4 (chưa được
học tăng cường)
Lớp 11A3
(đã được học tăng
cường)
Kiểm tra:
Giải phương trình
4
3 os8
4 os 4
tan tan
4 4
c x
c x
x x
π π
+
=

05/42 học sinh không
thể giải quyết trọn
vẹn bài toán do kết
hợp nghiệm theo
phương pháp biểu
diễn trên đường tròn
đơn vị và dẫn đến
thừa hoặc thiếu
nghiệm.
Không có học sinh nào
giải quyết trọn vẹn bài
toán theo phương pháp
biểu diễn nghiệm và điều
kiện thông qua cùng một
hàm số lượng giác.
05/42 học sinh giải quyết
trọn vẹn các bài toán
theo phương pháp kết
31/42 học sinh giải
quyết trọn vẹn bài
toán nhờ phương
pháp biểu diễn
nghiệm và điều kiện
thông qua cùng một
hàm số lượng giác
cos2x
.
04/42 học sinh giải
17
Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH

20
Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH
MỤC LỤC
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG 1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN 1
A. MỞ ĐẦU 1
“RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG 1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN” 1
4. Phạm vi nghiên cứu 1
5. Điểm mới của chuyên đề 2
B. NỘI DUNG 3
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN:3
1. Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương
trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác: 3
1.2 Một số ví dụ minh hoạ: 3
2. Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập 8
3. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG) 13
II. Một số chú ý khi áp dụng chuyên đề vào thực tế 16
III. Hướng phát triển chuyên đề: 16
E. TÀI LIỆU THAM KHẢO 20
MỤC LỤC 21
21