Phương trình lượng giác
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos
2
a – sin
2
a
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos
2
a –1
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin
2
a
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa
tan(a + b) = tan2a =
tan(a - b) =
3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos
2
a =
1 2
2
cos a+
sin
2
a =
4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
cosa + cosb = 2.cos .cos
cosa - cosb = -2.sin .sin
sina + sinb = 2.sin .cos

1
os sinb= sin( ) sin( )
2
c a a b a b
+ − −
6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
x
ra
d
-π
- - - - - - -
0
π
đ
ộ
-180
o
-150
o
-135
o
-120
o
-
90
o
-60
o
-45
o

1
Phương trình lượng giác
tan 0 1 || - -1
-
0 1 || - -1
-
0
cot || 1 0
-
-1 - || 1 0
-
-1 - ||
II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1.Phương trình sinx=a.( -1≤ a ≤ 1)
sinx = a ⇔
arcsina+k2
arcsina+k2
x
x
π
π π
=


= −

; k ∈ Z +sinx = sinα ⇔
+k2
+k2
x

α π
α π
=


= −

; k ∈ Z ( a = cosα)
cosx = 0 ⇔ x = + kπ; k ∈ Z
cosx = 1 ⇔ x = k2π; k ∈ Z
cosx = -1 ⇔ x = π+ k2π; k ∈ Z
3.Phương trình tanx=a.
TXĐ:
\ ,
2
k k
π
π
 
+ ∈
 
 
¢¡
+
t anx=a x=arctana+k ,k
π
⇔ ∈¢
+
tanx=tan x= +k ,k
α α π

⇔ ∈¢
+
cotx=cot x= +k ,k
α α π
⇔ ∈¢

cotx=1 x= ,
4
cotx=-1 x=- ,
4
t x=0 x= ,
2
k k
k k
co k k
π
π
π
π
π
π
⇔ + ∈
⇔ + ∈
⇔ + ∈
¢
¢
¢
III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
1.Phương trình a.sinx+bcosx=c (
2 2

+

NguyÔn trung tiÕn tr êng
thpt kiÕn an
2
Phương trình lượng giác
phương trình trở thành:
2 2
sinx os osx sin
c
c c
a b
α α
+ =
+

2 2
sin( )
c
x
a b
α
⇔ + =
+
*Chú ý
+Phương trình có nghiệm khi
2 2 2
c a b≤ +
+Nếu
. 0, 0a b c≠ =

asinx+bcosx=0

⇔


+Nếu
0, 0,cos 0a c x≠ ≠ ≠
:
2 2
2 2 2
sin sinxcosx cos
(1) 0
cos cos cos
x x
a b c
x x x
⇔ + + =

2
tan t anx+c=0a x b⇔ +
BÀI TẬP.
Bài 1.Giải các phương trình:
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
π
− =
b)
2

π
= +
b)
2
2cos 3 cos 0x x+ =
cos 0
2
,
3
5
cos
2
2
6
x
x k
k
x
x k
π
π
π
π

=

= +


⇔ ⇔ ∈

x k
π π
π
− = +

⇔
2 2
9 3
k
x
π π
= +

d)
2 2
sin sin 2 2cos 2x x x
+ + =

⇔
sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0
sin 0
tan 2 arctan 2
x x k
x x k
π
π
= =
 
⇔ ⇔
 

thpt kiÕn an
3
Phương trình lượng giác
b)
2
2sin sin 1 0x x
− − =
2
2
sin 1
2 ,
1
6
sin
2
7
2
6
x k
x
x k k
x
x k
π
π
π
π
π
π


(5 )
4
x
π
+
= - 1
⇔
5 2
4 2
x k
π π
π
+ = − +
⇔
3 2
20 5
k
x
π π
= − +

d)
2 2
3sin sin 2 cos 3x x x+ + =

2
2sin cos 2cos 0 2cos (sin cos ) 0x x x x x x⇔ − = ⇔ − =

2
cos 0

cos2 3sin 2 0x x+ − =
2 2
1 2sin 3sin 2 0 2sin 3sin 1 0x x x x⇔ − + − = ⇔ − + =
2
2
sin 1
2 ,
1
6
sin
2
5
2
6
x k
x
x k k
x
x k
π
π
π
π
π
π

= +

=


⇔ + =

⇔
2
2
6 4
12
,
3 7
2 2
6 4 12
x k
x k
k
x k x k
π π
π
π
π
π π π
π π


+ = +
= +


⇔ ∈



2
2
6 4
12
,
3 11
2 2
6 4 12
x k
x k
k
x k x k







= +
= +







= + = +


2 n 3 n 5 0ta x ta x + =
tan 1
4
,
5
5
tan
arctan( )
2
2
x
x k
k
x
x k




=
= +






=

= +

2cos 3sin 2x x+ =
Bi 4.Gii cỏc phng trỡnh:
a.
tan cot 2x x+ =
b.
2
(3 cot ) 5(3 cot )x x+ = +
c.
3(sin3 cos ) 4(cos3 sin )x x x x =
d.
2 2
4sin 3 3sin 2 2cos 4x x x+ =
e.
2 2 2 2
sin sin 2 sin 3 sin 4 2x x x x+ + + =
f.
4 2
4sin 12cos 7x x+ =
Bi 5. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau :
a)
2 cot(5 ) 0
8
x

=
b)
2
2cos 3 cos 0x x+ =
c)
3 sin 3 cos3 2x x =

2
2cos 3 cos 0x x+ =

cos 0
3
cos
2
x
x
=
=


2
5
2
6
x k
x k




= +
= +

c)
3 sin 3 cos3 2x x =

Nguyễn trung tiến tr ờng

π π
= +

d)
2 2
sin sin 2 2cos 2x x x
+ + =

⇔
sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0
⇔
sin 0
tan 2
x
x
=
=

⇔
arctan 2
x k
x k
π
π
=
= +

Bài 6. giaûi phöông trìnhlöôïng giaùc :
a)
3

sin
2
x
x
=
= −

⇔
2
2
2
6
7
2
6
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
= +
= − +
= +

c)
sin 5 cos5 2x x

d)
2 2
3sin sin 2 cos 3x x x
+ + =
⇔
cos 0
tan 1
x
x
=
=

⇔
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +

Câu 3(3đ) : Giải các phương trình sau:
a.
2sin 1 0− =x
b.
2cos 3 0− =x
c.

cos cos
6
=x
π
2
6
⇔ = ± +x k
π
π
c)
2
2sin 3sin 1 0− + − =x x
sin 1
1
sin
2
=



=

x
x

0.25đ*2
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ
2

2 2 2
− =x x
5
2
12
11
2
12
π
π
π
π

= +



= +


x k
x k
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
Câu 4(3đ) : Giải các phương trình sau:
NguyÔn trung tiÕn tr êng
thpt kiÕn an
6
Phương trình lượng giác


x k
x k
π
π
π
π
b)
cos cos
3
=x
π
2
3
⇔ = ± +x k
π
π
c)
2
2sin 3sin 1 0− + − =x x
sin 1
1
sin
2
=



=


π
π
π
π
π
d)
3 1 2
sin cos
2 2 2
+ =x x
2
12
7
2
12

= +



= +


x k
x k
π
π
π
π
0.25đ*2

= +


x k
x k
π
π
π
π
b)
cos cos
4
=x
π
2
4
⇔ = ± +x k
π
π
c)
2
4cos 3cos 1 0− − =x x
cos 1
1
cos
4
=




2 2 2
− =x x
5
2
12
11
2
12
π
π
π
π

= +



= +


x k
x k
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
Câu 6(3đ) : Giải Phương trình
a.
3 sin cos 2x x− =
b.
cos2 3sin 2 0x x


= +



= +


x k
x k

NguyÔn trung tiÕn tr êng
thpt kiÕn an
7
Phương trình lượng giác
b
2
2sin 3sin 1 0− + − =x x

sin 1
1
sin
2
=



=

x

x l

c.
4
6
x k
x k
π
π
π
π

= +



= +


Câu 7
a.
cos2 3sin 2 0x x+ − =
b.sin
2
x +3sinx cosx -5 cos
2
x= 0
c.2 cos
2
x -3cosx +1 =0

π
π

= +



= +



= +


x k
x l
x l

b
sin cos , 2 2t x x t= − − ≤ ≤

2
1
sin .cos
2
t
x x
−
=

c.
π
π
π
=



= ± +

2
2
3
x k
x k

câu 8. a. Giải các Phương trình sau:
2cos x 1 0
3
π
 
+ + =
 ÷
 
b.sin
2
x +3sinx cosx -5 cos
2

1
sin .cos
2
t
x x
−
=
(0,25)
PT ⇔

2
12 11 0t t− + − =
(0,25)

( )
1
11
t
t loaïi
=


=

(0,25)
2
2
2
x k
x k



2
2
2
6
x k
x k
b. x=k360
0

c.
π
π
π
π

= +



= +


5
24
13
24
x k
x k

x k
x k
c.
π
π
= +



= − +

arctan2
1
arctan( )
2
x k
x k

Câu 11(2đ) : Giải Phương trình
a.
3 sin cos 2x x− =
b.
cos2 3sin 2 0x x+ − =
1a)
3 1 2
sin cos
2 2 2
− =x x

sin sin

1b)
2
2sin 3sin 1 0− + − =x x

NguyÔn trung tiÕn tr êng
thpt kiÕn an
9
Phương trình lượng giác

sin 1
1
sin
2
=



=

x
x
(0,25)
⇔
2
2
2
6
5
2
6

2

Đáp án : a.
sin(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5)
6 6 18 3
k
x x k x
π π π π
π
− ≠ ⇔ − ≠ ≠ +
b.
7
2 2
3 4
24
(0.25*4)
5 11
2 2
3 4 24
x k
x k
x k x k
π π
π
π
π
π π π
π π



k
x x k x
π π π π π
π
− ≠ ⇔ − ≠ + ≠ +

cos 1
4
3
3
cot
cot
2
2
x
x k
x
x arc k
π
π
π

=
= +


 
 
=
 




+ = + = − +




c.

2
cos2 1
4cos 2 3cos2 1 0
1
cos2
4
2 2
1 1 1
2 arccos( ) 2 arccos( )
4 2 4
x
x x
x
x k x k
k Z
x k x k
π π
π π
=


84 7
x k
x x
x k
π π
π π

= +

− = − ⇔


= +


Bài 2.
3(sin5 cos ) 4(sin cos5 )x x x x− = +

3sin5 4cos5 4sin 3cosx x x x⇔ − = +

3 4 4 3
sin5 cos5 sin cos
5 5 5 5
x x x x⇔ − = +

sin5 cos cos5 sin sin sin cos cosx x x x
α α α α
⇔ − = +
,
3 4


= + +
− = − + +


⇔ ⇔




− = − + − + = +




Bài 3.
3
3sin3 3cos9 1 4sin 3x x x− = +

3
(3sin3 4sin 3 ) 3cos9 1x x x⇔ − − =

sin9 3cos9 1x x⇔ − =

sin(9 ) sin
3 6
x
π π
⇔ − =


π
≠ ⇔ ≠ +

sin 2
(1) sin 2 cos2 4cos 0
cos cos
x
x x x
x x
⇔ − − + − =

2 2
sin 2sin cos cos2 cos 2(2cos 1) 0x x x x x x⇔ − − + − =
2
sin (1 2cos ) cos2 cos 2cos2 0x x x x x⇔ − − + =
sin cos2 cos2 cos 2cos2 0x x x x x⇔ − − + =
cos2 (sin cos 2) 0x x x⇔ + − =

cos2 0
sin cos 2( )
4 2
x
x k
x x vn
π π
=

⇔ ⇔ = +

+ =


cos3 cos( )
3
x x
π
⇔ = +

6
12 2
x k
x k
π
π
π π

= +

⇔


= − +


C2
2
(*) 8sin cos 3sin cosx x x x⇔ = +

2
8(1 cos )cos 3sin cosx x x x⇔ − = +
3


Bài 6.
9sin 6cos 3sin 2 cos2 8x x x x+ − + =

2
6sin cos 6cos 2sin 9sin 7 0x x x x x⇔ − + − + =
6cos (sin 1) (sin 1)(2sin 7) 0x x x x⇔ − + − − =
(sin 1)(6cos 2sin 7) 0x x x⇔ − + − =
sin 1
6cos 2sin 7
x
x x
=

⇔

+ =


2
2
x k
π
π
⇔ = +
Bài 7.
sin 2 2cos2 1 sin 4cosx x x x+ = + −
2
2sin cos 2(2cos 1) 1 sin 4cos 0x x x x x⇔ + − − − + =
2

(2sin 1)(2cos sin 3) 0x x x⇔ − + − =
NguyÔn trung tiÕn tr êng
thpt kiÕn an
12
Phương trình lượng giác
2sin 1 0
2cos sin 3,( )
x
x x vn
− =

⇔

+ =


2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +


x k
x
x k
π
π
π
π

= +

+ = ⇔


= +


2
2
cos sin 1 cos( )
4 2
2
2
x k
x x x
x k
π
π
π
π
=

2 10 0t t⇔ − − =

2
5
2
t
t
= −


⇔

=

5
:
2
t+ =
loại
7
2: 2cos(2 ) 2
6 12
t x x k
π π
π
+ = − − = − ⇔ = +
Bài 11.
3
2cos cos2 sin 0x x x+ + =


1 2sin cos 2(sin cos ) 0x x x x+ + + + =

2
(sin cos ) 2(sin cos ) 0x x x x⇔ + + + =
(sin cos )(sin cos 2) 0x x x x⇔ + + + =

sin cos 0x x⇔ + =
tan 1
4
x x k
π
π
⇔ = − ⇔ = − +
Bài 12.
2
1 cos2
1 cot2
sin 2
x
x
x
−
+ =
(*) Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
2

sin 2 cos2 1
x
x x
=

⇔

+ = −

cos2 0
4 2
x x k
π π
+ = ⇔ = +
sin 2 cos2 1x x+ + = −

sin(2 ) sin( )
4 4
x
π π
⇔ + = −

4
2
x k
x k
π
π
π
π

π π
π π

= +

⇔


= − +


Bài 14.
3 3
1
1 sin 2 cos 2 sin 4
2
x x x+ + =
2 sin 4 2(sin 2 cos2 )(1 sin 2 cos2 ) 0x x x x x⇔ − + + − =
(2 sin 4 ) (sin 2 cos2 )(2 sin 4 ) 0x x x x⇔ − + + − =
(2 sin 4 )(sin2 cos2 1) 0x x x⇔ − + + =

sin 2 cos2 1x x⇔ + = −
NguyÔn trung tiÕn tr êng
thpt kiÕn an
14
Phương trình lượng giác
2
sin(2 )
4 2
x

cos sin
x x
x x
x x
⇔ − = +
2 2
sin 3cos 4sin cos (sin 3 cos ) 0x x x x x x⇔ − − + =
(sin 3cos )(sin 3cos ) 4sin cos (sin 3cos ) 0x x x x x x x x⇔ − + − + =
(sin 3cos )(sin 3cos 4sin cos ) 0x x x x x x⇔ + − − =
sin 3cos 0
sin 3cos 4sin cos 0
x x
x x x x

+ =
⇔

− − =


sin 3cos 0 tan 3
3
x x x x k
π
π
+ + = ⇔ = − ⇔ = − +
sin 3cos 4sin cos 0x x x x+ − − =
2sin2 sin 3cosx x x⇔ = −
1 3
sin 2 sin cos

π
= − +
4 2
9 3
x k
π π
= +
Bài 16.
3 3
sin cos sin cosx x x x+ = −
2 3
sin (sin 1) cos cos 0x x x x⇔ − + + =
2 3
sin cos cos cos 0x x x x⇔ − + + =
2
cos ( sin cos cos 1) 0x x x x⇔ − + + =
2
cos 0
sin cos cos 1
x
x x x
=

⇔

− + = −

cos 0
2
x x k

1 1 1
(1 cos2 ) [1 cos(2 )]
4 4 2 4
x x
π
⇔ + + − + =
2 2
(1 cos2 ) (1 sin 2 ) 1x x⇔ + + + =

sin 2 cos2 1x x⇔ + = −
NguyÔn trung tiÕn tr êng
thpt kiÕn an
15
Phương trình lượng giác
3
cos(2 ) cos
4 4
x
π π
⇔ − =

2
2
4
x k
x k
π
π
π
π

,
8 2
x k
k
x k
π π
π π

= − +

⇔ ∈


= +


¢
Bài 19.Cho phương trình:
2 2
2sin sin cos cosx x x x m− − =
(*)
a.Tìm m sao cho phương trình có nghiệm.
b.Giải phương trình khi m = -1.
Giải.

1 1
(*) (1 cos2 ) sin 2 (1 cos2 )
2 2
x x x m⇔ − − − + =
sin 2 3cos2 2 1x x m⇔ + = − +

2 2
x k
x k
α α π
α π α π
+ = +

⇔

+ = − +

2
x k
x k
π
π
α π
=


⇔

= − +

Bài 20. Cho phương trình:
2
3
5 4sin( )
6tan
2

6tan
6tan cos 3sin 2 ,cos 0
1 tan
α
α α α α
α
= = ≠
+
5 4cos
(*) 3sin 2
sin
x
x
α
−
⇔ =

3sin 2 sin 4cos 5x x
α
⇔ + =
(**)
a. khi
4
π
α
= −
phương trình trở thành:
3sin 4cos 5x x− = −

3 4


2
cos 0
sin 2 1
α
α
≠

⇔

≥


2
cos 0
sin 2 1
α
α
≠

⇔

=


cos2 0
4 2
k
π π
α α

3cos 4sin 1
x x
x x
+ + =
+ +
k.
cos7 cos5 3sin 2 1 sin 7 sin5x x x x x− = −
l.
4 4
4(cos sin ) 3sin 4 2x x x+ + =
m.
2 2
cos 3sin 2 1 sinx x x− = +
n.
4sin2 3cos2 3(4sin 1)x x x− = −
p.
2
(2 3)cos 2sin ( )
2 4
1
2cos 1
x
x
x
π
− − −
=
−
q.
2

m
x x
+ +
=
− +
(*)
a.Giải phương trình khi
1
3
m =
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1.
cos3 sin3
5(sin ) 3 cos2
1 2sin 2
x x
x x
x
+
+ = +
+
(1)
Điều kiện:
1
12
sin 2 ,
7
2
12

x x x x x
x
+ − + +
=
+
(sin3 sin ) cos
5
1 2sin2
x x x
x
+ +
=
+

2sin2 cos cos
5
1 2sin 2
x x x
x
+
=
+
(2sin 1)cos
5
1 2sin 2
x x
x
+
=
+

(*) (4cos 2 3cos2 )cos2 1 0x x x⇔ − − =

4 2
4cos 2 2cos 2 1 0x x⇔ − − =
2
cos 2 1x⇔ =

sin 2 0x⇔ =

2
x k
π
⇔ =
NguyÔn trung tiÕn tr êng
thpt kiÕn an
18
Phương trình lượng giác
Cách 2:
1
(*) (cos8 cos4 ) 1 0
2
x x⇔ + − =

cos8 cos4 2 0x x⇔ + − =
2
2cos 4 cos4 3 0x x⇔ + − =

cos4 1x⇔ =

2

+ + − − − =
2 2 2 2 2
1 3
(sin cos ) 2sin cos [sin(4 ) sin 2 ] 0
2 2 2
x x x x x x
π
⇔ + − + − + − =
2
1 1 3
1 sin 2 ( cos4 sin 2 ) 0
2 2 2
x x x⇔ − + − + − =
2 2
1 1 1 1
sin 2 (1 2sin 2 ) sin 2 0
2 2 2 2
x x x⇔ − − − + − =
2
sin 2 sin 2 2 0x x⇔ + − =
sin 2 1x⇔ =
4
x k
π
π
⇔ = +
Bài 4.
2
5sin 2 3(1 sin )tanx x x− = −
(1)

1 sin
x
x
x
⇔ − =
+

2
2sin 3sin 2 0x x⇔ + − =

1
sin
2
x⇔ =
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


⇔ + − + = +
NguyÔn trung tiÕn tr êng
thpt kiÕn an
19
Phương trình lượng giác
2 2
sin cos
2(sin cos )[3 4(sin sin cos cos )]
sin cos
x x
x x x x x x
x x
+
⇔ + − − + =
sin cos
2(sin cos )( 1 4sin cos ) 0
sin cos
x x
x x x x
x x
+
⇔ + − + − =
1
(sin cos )( 2 8sin cos ) 0
sin cos
x x x x
x x
⇔ + − + − =
2
(sin cos )(4sin 2 2) 0

= −


4
12
7
12
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π

= ± +



⇔ = − +



= +


Bài 6.
2

⇔ = ± +
Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm:
,
4
x k k
π
π
= + ∈¢
Bài 7.
3 3 1
cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x x x x
x x− =
1 1 1
cos (cos2 cos ) sin (cos2 cos )
2 2 2
x x x x x x⇔ + + − =
2
cos cos2 cos sin cos2 sin cos 1x x x x x x x⇔ + + − =
2
cos2 (sin cos ) 1 sin sin cos 1 0x x x x x x⇔ + + − − − =
cos2 (sin cos ) sin (sin cos ) 0x x x x x x⇔ + − + =
(sin cos )(cos2 sin ) 0x x x x⇔ + − =
2
(sin cos )( 2sin sin 1) 0x x x x⇔ + − − + =
2
sin cos 0
2sin sin 1 0
x x

2 2
6 6
x k
x k
x k x k
π
π
π
π
π π
π π

= − +



⇔ = − +



= + ∨ = +


Bài 8.
3
4cos 3 2sin 2 8cosx x x+ =

3
4cos 6 2sin cos 8cos 0x x x x⇔ + − =
2

π
π
π
π

= +



⇔ = +



= +


Bài 9.
cos(2 ) cos(2 ) 4sin 2 2(1 sin )
4 4
x x x x
π π
+ + − + = + −
2cos2 cos 4sin 2 2 2 sin 0
4
x x x
π
⇔ + − − + =
2
2(1 2sin ) 4sin 2 2 2sin 0x x x⇔ − + − − + =
2

Điều kiện:
sin 0x x k
π
≠ ⇔ ≠
2
4 2
cos cos
(1) 3 2 2 (2 3 2)
sin sin
x x
x x
⇔ + = +
Đặt:
2
cos
sin
x
t
x
=
phương trình trở thành:
2
2
3 (2 3 2) 2 2 0
2
3
t
t t
t


π
⇔ = ± +
NguyÔn trung tiÕn tr êng
thpt kiÕn an
21
Phương trình lượng giác
2
cos
2 : 2
sin
x
t
x
+ = =

2
cos 2(1 cos )x x⇔ = −

2
2 cos cos 2 0x x⇔ + − =

2
cos
2
x⇔ =

2
4
x k
π

4cos 2 6cos 2 0x x⇔ + + =
cos2 1
1
cos2
2
x
x
= −


⇔

= −


2
3
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= ± +

x


=

−

⇔ =


+

=



2
1 17
arccos 2
8
1 17
arccos 2
8
x k
x k
x k
π
π
π
π

(1 sin 2 ) sin 2
2 8
x x= − −

2 4
1
1 sin 2 sin 2
8
x x= − +
NguyÔn trung tiÕn tr êng
thpt kiÕn an
22
Phương trình lượng giác
2 4 2
1
(*) 16(1 sin 2 sin 2 ) 17(1 sin 2 )
8
x x x⇔ − + = −

4 2
2sin 2 sin 2 1 0x x⇔ + − =
2
1
sin 2
2
x⇔ =

2
1 2sin 2 0x⇔ − =


không thỏa mãn với mọi k
Do đó
cos
2
x
không là nghiệm của phương trình nên:
5
3
(*) sin cos 5cos sin cos
2 2 2 2
x x x x
x⇔ =
1 5
3
(sin3 sin 2 ) cos sin
2 2
x x x x⇔ + =
3 3
3sin 4sin 2sin cos 5cos sin 0x x x x x x⇔ − + − =
2 3
sin (3 4sin 2cos 5cos ) 0x x x x⇔ − + − =
3 2
sin (5cos 4cos 2cos 1) 0x x x x
⇔ − − + =
sin 0
cos 1
1 21
cos
10
1 21

x k
x k
x k
π
π
π
π
=


=


− +
⇔
= ± +



− −
= ± +


Vậy,phương trình có nghiệm:
2x k
π
=
,
1 21
arccos 2

⇔
 
≠
≠ +
 


Ta có:
cos sin 2
cot tan2
sin cos2
x x
x x
x x
+ = +
cos2 cos sin 2 sin
sin cos2
x x x x
x x
+
=
cos
sin cos2
x
x x
=
cos
2
(1) 2sin cos 4cos
sin cos2

2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= ± +


Vậy,phương trình có nghiệm:
2
x k
π
π
= +
,
6
x k
π
π
= ± +
Bài 16.

1 21
4
t
t
=


⇔
−

=



4 5
cos 1
5 2
x
x k
π
+ = ⇔ =

4 1 21 5 1 21 5
cos arccos
5 4 4 4 2
x
x k
π
− −
+ = ⇔ = ± +

x k
x
x k
π
π
π
π
π

≠
≠ +


 
⇔
 
− ≠
 
≠ +



3
(tan 1)
(1) tan 1
3
(1 tan )
x
x
x

=


⇔

= +

NguyÔn trung tiÕn tr êng
thpt kiÕn an
24
Phương trình lượng giác
C2: Đặt:
4
t x
π
= −
Bài 18.
4 4
sin 2 cos 2
4
cos 4
tan( )tan( )
4 4
x x
x
x x
π π
+
=
− +


− ≠


⇔ ⇔ ≠


+ ≠


1 tan 1 tan
tan( )tan( ) . 1
4 4 1 tan 1 tan
x x
x x
x x
π π
− +
− + = =
+ −
4 4 4
(1) sin 2 cos 2 cos 4x x x⇔ + =

2 2 4
1 2sin 2 cos 2 cos 4x x x⇔ − =
1
2 4
1 sin 4 cos 4
2
x x⇔ − =

x x
x x
− − + =
(*)
Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
Ta có:
cos2 cos
1 cot2 cot 1
sin 2 sin
x x
x x
x x
+ = +

cos2 sin sin 2 sin
sin 2 cos
x x x x
x x
+
=

cos
2
2sin cos
x

2
sin 2
2
x⇔ =

2
1 2sin 2 0x⇔ − =
cos4 0x⇔ =

8 4
x k
π π
⇔ = +
Vậy,phương trình có nghiệm:
8 4
x k
π π
= +
NguyÔn trung tiÕn tr êng
thpt kiÕn an
25