Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm:
2010 - 2011

TTLT - 1A – Tan Hai

35

Chương 3:
DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
§1.
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC – DÃY SỐ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương pháp chứng minh quy nạp
1.1.
Khái niệm : Để chứng minh mệnh đề chứa biến
(
)
A n
là một mệnh đề đúng với mọi giá trị ngun dương
n
, ta thực hiện như sau:
• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với
1
n
=
.
• Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số ngun dương
n k
=
tuỳ ý

n k
= +
.
2. Dãy số
2.1.
Định nghĩa : Dãy số là hàm số với đối số là số tự nhiên

: *
( )
u
n u n
→
 


2.2.
Dãy số tăng, dãy số giảm
•
(
)
n
u
là dãy số tăng
*
1
,
n n
u u n
+
⇔ > ∀ ∈

là dãy số giảm
*
1
,
n n
u u n
+
⇔ < ∀ ∈
( )
*
1
*
1
0,
1 , 0 ,
n n
n
n
n
u u n
u
u n
u
+
+
⇔ − < ∀ ∈
⇔ < > ∀ ∈

.
•
(
)
n
u
là dãy số bị chặn
*
, : ,
n
m M m u M n
⇔ ∃ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈
 
.
B. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP :
1. Chứng minh các mệnh đề bằng quy nạp 1.1.
Phương pháp : Ta thực hiện đúng theo 2 bước :
• Bước 1 : (bước cơ sở) Chứng minh đẳng thức đúng khi
1
n
=
(hoặc
n p
=
) .
• Bước 2 : (bước quy nạp) Giả sử đẳng thức đúng khi
n k

n n
n
+
+ + + + =
(1) ; b)
2 2 2
( 1)(2 1)
1 2
6
n n n
n
+ +
+ + + =
(2)
.

Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm:
2010 - 2011

TTLT - 1A – Tan Hai

36

Ví dụ 2. Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi
*
n ∈

:
a)
( 1)( 2)

n
+ + + < ∀ ∈

(2)
.Ví dụ 4. Chứng minh các mệnh đề sau :
a)
3 2
3 5
n
u n n n
= + +
chia hết cho 3 ,
*
n∀ ∈

b)
2 1 2
3 2
n n
n
v
+ +
= +
chia hết cho 7 ,
*
n∀ ∈


a)
2
1
1
n
n
u
n
−
=
+
; b)
( )
1 2
2 1
15 , 9
:
n
n n n
u u
u
u u u
+ +
= =


= −


.

:
1
n
n n
u
u
u u
+
=



= +



.
3. Xét tính tăng , giảm và tính bị chặn của dãy số . 3.1.
Phương pháp :
• Dựa theo định nghĩa :
o
(
)
n

⇔ > > ∀ ∈



o
(
)
n
u
là dãy số giảm
*
1
,
n n
u u n
+
⇔ < ∀ ∈
( )
*
1
*
1
0,
1 , 0 ,
n n
n
n

(
)
n
u
biết :
a)
2 1
3 2
n
n
u
n
+
=
−

; b)
2
n
n
u
n
−
=
; c)
( 1)
2
n
n
u

=
+ +
; c)
( 1) cos
2
n
n
u
n
π
= −

.
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm:
2010 - 2011

TTLT - 1A – Tan Hai

37

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau đúng
*
n∀ ∈

:

n n
n
−
+ + + + − =

;
d)
( )
(
)
(
)
2
2 2 2
2 1 2 1
2 4 6 2
3
n n n
n
+ +
+ + + + =

;
e)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
3
1 1 1 1

n x
nx
x x nx
x
+
+ + + =
;
h)
( )
1
2 2 2 2 2cos
2
n
n
π
+
+ + + + =

dấu căn
.
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a)
2 *
2 2 5 ,
n
n n
+
> + ∀ ∈

;

+ +

, 2
n
∀ ≥
;
e)
(
)
1
3 2 , 4
n
n n n
−
> + ∀ ≥
.
f)
1 1 1 1
1
1 2 3 3 1
n n n n
+ + +…+ >
+ + + +
,
*
n∀ ∈

.
Bài 3. Chứng minh các mệnh đề sau đúng
*

133
; f)
3 2 3 1
5 2 3
n n
− −
⋅ + chia hết cho 19 .
Bài 4. a) Cho số thực
1
a
> −
. Chứng minh rằng :
( )
1 1 ,
n
a na n
+ ≥ + ∀ ∈

.
b) Chứng minh rằng nếu
*
0 , 0 ,a b n> > ∈

thì ta có :
2 2
n
n n
a b a b
+ +
 

Bài 5. (*) Tìm số hạng tổng qt của dãy số
(
)
n
u
biết :
a)
( )
1
1
1
:
2 1
n
n n
u
u
u u
+
= −


= +

; b)
( )
1
1
5
4

( )
1
1
1
:
5
n
n n
u
u
u u
+
=


= +

; d)
( )
1
1
1
:
1
n
n
n
n
u
u

u
u
u u
+
=


=

.
Bài 6. Xét tính tăng , giảm của dãy số
(
)
n
u
biết :
a)
2
2
1
1
n
n n
u
n
+ +
=
+
; b)
4 1

n
n
n
n
u
u
u
u
u
+
=



=

+

; f)
( )
1
1
6
:
6
n
n n
u
u
u u

c)
1 1
cos
n
u
n n
= +
; d)
2
2
3 2 1
2
n
n n
u
n
+ +
=
+
.
Bài 8. Xét tính bị chặn của các dãy số
(
)
n
u
biết :
a)
( )( )
1 1 1
1 3 3 5 2 1 2 1

+

=


= +


; b)
1 1 1
1 2 2
n
u
n n n
= + + +
+ +

.
Bài 10. Cho dãy số :
( )
1
1
2
1
:
2
1
n
n
n

n
b n
u
n
⋅ +
=
+
và
b
∈

. Hãy xác định
b
để
a)
(
)
n
u
là dãy số giảm ;
b)
(
)
n
u
là dãy số tăng .
Bài 12. Cho dãy số
(
)
n

Định nghĩa : Dãy số
(
)
n
u
là cấp số cộng
*
1
,
n n
u u d n
+
⇔ = + ∀ ∈


d
là số khơng đổi , gọi là cơng sai của cấp số cộng .
1.2.
Số hạng tổng qt :
(
)
*
1
( 1) , 2 ,
n
u u n d n n= + − ∀ ≥ ∈

.
1.3.
Tính chất :

S u u u
+ −
+
= + + + = =
2. Cấp số nhân
2.1.
Định nghĩa : Dãy số
(
)
n
u
là cấp số nhân
(
)
*
1
,
n n
u u q n
+
⇔ = ⋅ ∀ ∈


q
là số khơng đổi , gọi là cơng bội của cấp số nhân .
2.2.
Số hạng tổng qt :
(
)
1 *

1
1
n n
n
n n
S u u u nu q
u q
S u u u q
q
= + + + = =


−

= + + + = ≠

−

khi
.
B. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP :
1. Chứng minh các dãy số là cấp số 1.1.
Phương pháp : Dựa theo định nghĩa của cấp số cộng và cấp số nhân để chứng minh
•
(
)
*

−−
−
, (
:
q
khơng đổi) .
1.2.
Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1.
Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số cộng , nếu phải hãy tìm cơng sai của cấp số cộng đó :
a)
1
2
n
n
u
= −
; b)
7 3
2
n
n
u
−
=
; c)

n
n
u =
; b)
3 1
( 1) .3
n n
n
u
+
= −
;
c)
3
n
u n
= +
; d)
( )
1
1
1
2
, 1
5
n n n
u
u u u n
+
=


40

•
*
1
( 1) , 2 ,
n
u u n d n n= + − ∀ ≥ ∈


•
[
]
1
1
1 2
2 ( 1)
( )

2 2
n
n n
n u n d
n u u
S u u u
+ −
+
= + + + = = .
2.1.2.

S u u u q
q
= + + + = =


−

= + + + = ≠

−

khi2.2.
Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 3. Tìm
1 15 20
, , ,
u d u S
của các cấp số cộng sau :
a)
(
)
: 2,5,8,11,
n
u

; b)

+ − =


+ =

; b)
7 3
2 7
8
. 75
u u
u u
− =


=

;
c)
3 5
12
14
129
u u
S
+ =


=


u q u S
của các cấp số nhân sau :
a)
3 5
2 6
90
240
u u
u u
+ =


− =

; b)
1 3 5
1 7
65
325
u u u
u u
− + =


+ =

.
Ví dụ 7. Tìm
1
,



=

.

Ví dụ 8. a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là
14
và tổng các bình phương của
chúng là
84

.

b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là
15
và tổng các bình phương của chúng
là
85
.3. Các bài tốn ứng dụng tính chất của cấp số 3.1.
Phương pháp : Dựa vào các cơng thức về tính chất các số hạng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân :
• Nếu
(
)

− +
= ∀ ≥ ∈

.
3.2.
Chú ý : Ta có thể dễ dàng chứng minh được :
•
, ,
a b c
lập thành cấp số cộng
2
a c b
⇔ + =
.
•
, ,
a b c
lập thành cấp số nhân
2
.
a c b
⇔ = .

3.3.
Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 9.
Cho ba số
, ,
a b c

, ,
b c c a a b
+ + +
cũng lập thành một cấp số cộng.
Ví dụ 11. Cho ba số
, ,
a b c
lập thành cấp số nhân .Chứng minh các hệ thức sau:
a)
2 2 2 2 2
( ).( ) ( )
a b b c ab bc
+ + = + ; b)
2 2 2
4 4 8 ( 2 2 )
a c ab bc a b c
+ − + = − − .
Ví dụ 12. Chứng minh rằng nếu 3 số
2 1 2
, ,
y x y y z
− −
lập thành một cấp số cộng thì 3 số
, ,
x y z
lập thành một
cấp số nhân .
Ví dụ 13. Tìm các số dương
a
và


[
]
1
1
1 2
2 ( 1)
( )

2 2
n
n n
n u n d
n u u
S u u u
+ −
+
= + + + = = .
•
(
)
n
u
lập thành cấp số nhân thì :

1 2 1
1
1 2
khi 1
(1 )

b)
2 2 2 2 2 2
1000 999 998 997 2 1
B
= − + − + + −

.
Ví dụ 15. Tính các tổng sau :
a)
27 81 243
531441
A = − + − + +

; b)
( )
9
9 99 999 99 9
n
B = + + + +
 
số
.
Ví dụ 16. Tính các tổng sau :
a)
2 99
1 2.2 3.2 100.2
A = + + + + ;
b)
2 2 2
2

u
+
= ; c)
3
n
u n
=
;
d)
4 1
n
n
u
= +
; e)
4 3
5
n
n
u
−
= ; f)
( )
1
1
2
:
3
n
n n

+ − =


+ =

; c)
2 4
2 2
1 5
5
25
u u
u u
+ =


+ =


Bài 3. a) Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng.
b) Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng.
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm:
2010 - 2011

TTLT - 1A – Tan Hai

42

Bài 4. a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của
chúng là 293.

x y z
cũng lập thành một cấp
số cộng , biết :
a)
2 2 2 2 2 2
; ;
x b bc c y c ca a z a ab b
= + + = + + = + +
.
b)
2 2 2
; ; .
x a bc y b ca z c ab
= − = − = −
Bài 8. Tìm
x
để 3 số
, ,
a b c
lập thành một cấp số cộng , với:
a)
2
10 3 ; 2 3 ; 7 4 .
a x b x c x
= − = + = −
b)
2
1 ; 3 2 ; 1
a x b x c x
= + = − = −

n n
u a a
u
u u n
+
= ∈


= − ≥



.
Tìm các giá trị của
a
để dãy số
(
)
n
u
là cấp số cộng .
Bài 12. Cho cấp số cộng
(
)
n
u

a) Chứng minh :
( )
*

u
, biết tổng
n
số hạng đầu tiên :
(
)
1 2
2
n
n n
S
−
=
a) Hãy xác định số hạng tổng qt của
(
)
n
u
.
b) Chứng minh
(
)
n
u
là một cấp số cộng , tìm cơng sai của nó .
Bài 14. Cho cấp số cộng
(
)
n
u

( )
( )
1
1
2
:
3 2 , 1
n
n n
u
u
u u n n
+
=



= + − ∀ ≥



Xét dãy số
(
)
n
v
biết :
(
)
1

; b)
3
n
u n
= +
;
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm:
2010 - 2011

TTLT - 1A – Tan Hai

43

c)
1
2
1
2
n n
u
u u
+
=


=

; d)
1
1


; b)
( )
1 2 3
1 2 3
21
, 0
1 1 1 7
12
u u u
q
u u u
+ + =


>

+ + =


;
c)
1 2 3 4
2 2 2 2
1 2 3 4
30
340
u u u u
u u u u
+ + + =

, , ,
a b c d
lập thành cấp số nhân . Chứng minh :
a)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
b c c a d b a d
− + − + − = − ;
b)
( )
(
)
(
)
2
2 2 2 2 2 2
ab bc cd a b c b c d
+ + = + + + +
.
Bài 24. Chứng minh :
a) Nếu
, ,
a b c
lập thành một cấp số nhân thì
2
, ,
ab b cb
cũng lập thành một cấp số nhân .
b) Nếu bốn số dương
, , ,

)
n
u
.
b) Chứng minh
(
)
n
u
là một cấp số nhân , tìm cơng bội của nó .
Bài 27. Cho cấp số nhân
(
)
n
u
có
1
0 , 0
q u
≠ ≠

a) Chứng minh :
(
)
*
, , ,
k k m k m
u u u m k m k
− +
= ⋅ ∀ ∈ <

n
n n n
u u
u
u u u n
+ −
= =



= − ∀ ≥


.
Xét dãy số
(
)
n
v
biết :
(
)
1
, 1
n n n
v u u n
+
= − ∀ ≥

a) Chứng minh dãy số

( ) ( )
2 2
1 , 3 , 2
x xy y− − + lập thành một cấp số nhân .
Bài 32. Chứng minh các dãy
(
)
n
u
sau vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân
a)
( )
( )
1
2
1
2
:
4
, 1
4
n
n
n
u
u
u
u n
+
=

a)
( )
7
7 77 777 777 7
n
A = + + + +

số
;
b)
( )
5
15 155 1555 1555 5
n
B = + + + +


số
;
c)
( )
2 2 2
2 2010
2 2010
1 1 1
, 0
C x x x x
x x x
     
= + + + + + + ≠

g)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
2 2 1 2 2 2 3 2 1
G n n n n
= − − + − − − + + −

.

Đề 1 :
1) Chứng minh :
3 *
2 3 ,n n n+ ∀ ∈
 
.
2) Cho dãy số
( )
( )
1
1
3
:
2 1
n
n n
u
u
u u n
+

2
10
:
, 1
1
n
n
n
u
u
u n
u
+
=



= ≥

+

.
a) Chứng minh dãy số
(
)
n
u
là một cấp số cộng .
b) Tìm cơng sai và số hạng tổng qt của cấp số cộng đó .
c) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó .

)
n
u
. Biết :
2 3 5
1 6
10
17
u u u
u u
− + =


+ =

.
a) Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng trên .
b) Tính số hạng thứ 2010 của cấp số cộng đó .
c) Tính tổng 2011 số hạng đầu tiên của cấp số cộng trên .
2) Tính tổng 2011 của cấp số cộng
(
)
n
u
biết
5 2007
2011
u u+ = .
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm:
2010 - 2011

của cấp số nhân đó .
4) Tính tổng :
2
2 2
1 1 1
5 25 5
5 25
5
n
n
A
 
   
= + + + + + +
   
 
   
 

.
5) Cho 3 số
, ,
a b c
theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân có cơng bội
1
q
≠
, đồng thời các số
, 2 ,3
a b c

a)
( )
lim 0,23
n
b)
3 1
lim
2
n
n
+
+
c)
2
2
5 3 1
lim
2 5
n n
n n
+ +
+ −

d)
(
)
2
lim 3
n n n
+ − −

)
2
2
sin 3 1
2011 5
3
n
n
n
u
n
n
+
+
= −
+
. Tìm
lim
n
u
.

Đề 4:
1) Cho hình lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
. Gọi ' , ' ' , ' '
A A a A B b A C c
= = =
     

AB DC
 
.
b) Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
,
AD BC
.
+ Chứng minh
(
)
1
2
MN AB DC
= +
  
.
+ Tính độ dài của véc tơ
MN

.
3) Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
,
I J
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,

.