Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 1
BÀI TẬP DÃY SỐ
1. Cho dãy số


n
u
xác đònh bởi:


3 2
2 3 1
. !
n
u n n n n
    .
Hãy tính tổng
1 2 2013

S u u u
    . Đáp số:
2
2014 .2014
!
1
S
 
.
2. Cho dãy số

3. (VMO 2001, bảng B). Cho dãy số


n
x
được xác đònh như sau:
1
2
3
x

và
 
1
2 2 1 1
n
n
n
x
x
n x


 
với mọi
*
n


.

2

lim
1
k
n n n
n
n
a a a k
a

   

.
Đáp số:


1
2
k k

.
5. Với



, hãy tính
2 2 2
1 1 2 1
lim

n
n


.
Đáp số: 0.
7. Tìm giới hạn của dãy số


n
x
biết:
2 2 2
1 2
1 1 1
1
n
n
x n
n n n
    
     
    
    
.
Đáp số:
e
.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm

9. Tính giới hạn:
2
1
lim 1
.
n
n
n
e
n


 

 
 
.
Đáp số:
1
2
e

.
10. Cho dãy số


n
S
xác đònh bởi:
1


 
 
  
 
   
 
. Đáp
số:
ln
2
.
12. Cho dãy số


n
a
xác đònh bởi:
 
1
1
0
ln 1
1
,
n n
a
a a n



b)
2
3
.
13. Cho dãy số


n
a
xác đònh bởi công thức:
0 1 2
1 1 1 1

n
n
n n n n
a
C C C C
    
,
1
n


. Hãy tính
lim
n
n
a


n
a
và


n
b
thỏa mãn điều kiện:
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 3
1 2 1 2
lim lim
0

n n
n n
n n
a b
a a a b b b
 
 
     
.
và cho dãy


n
c
xác đònh như sau:

 

 
.
Đáp số: 0.
17. (VMO 1994, bảng A). Cho


0,1
a 
. Xét dãy số


n
x
được xác đònh
bởi:
2
0
1 1
4
arccos arcsin ,
2
1
n n n
x a
x x x n


 

n
x
được xây
dựng theo cách sau:
0
1
0
,
n n
x c
x c c x n





  




nếu các biểu thức
dưới căn là không âm.
Chứng minh rằng: dãy


n
x
được xác đònh với mọi giá trò
n

1
0
x

và


1
1, 1
n n
nx x
 

 
  
.
a) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy


n
x
.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 4
b) Chứng minh rằng dãy


n
x

n
n n
x
 

 

 
 
 
 

 
 

.
b) – Với
1
1



thì
lim
1
n
n
x



3 2
1
3 7 5 ,
1
n n n n
x x x x n

   

.
Chứng minh rằng: dãy


n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n
 
và
tìm giới hạn đó. Đáp số: – Nếu
0
a


thì
lim
0
n
n
x

1
n
n
x



21. (VMO 2004, bảng A). Xét dãy số thực


n
x
được xác đònh bởi:
1
1
x

và


 
2
1
2 cos2 cos
,
2 2cos2 2 c 2
1
os
n
n

n
n
k
k
y n
x

 



có giới hạn hữu hạn khi
n
 
và hãy tìm
giới hạn của nó. Đáp
số:
,
k k
 
 

và
1
lim
2
n
n
y




 


.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 5
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn
đó.
Đáp số: – Nếu
0
a

thì
lim
0
n
n
x



– Nếu
0
a

thì
lim

,
1 2
1
n
n
n
u
u
u n
u





 





.
Hãy tìm
1
lim
n
n
n
u
u









 
1
25 17 3 2 3 25 17 3 2 3 44 1
6
n n
n
n
x
 
       
 
 
.
25. Cho


n
x
là một dãy số bò chặn trên và thỏa mãn điều kiện:
12
1 3
,

n
x
n
 
 
 
có giới hạn hữu hạn.
27. (OLP 30/4/2013). Cho dãy số


n
x
như sau:
1
1
x

và
1
1
14 51
,
5
2
18
n
n
n
x
x n

và
lim
3
n
n
x

 
.
28. (Đề nghò OLP 30/4/2000). Cho dãy số


n
u
xác đònh như sau:
4
4
4
4
1 2
;
0 2000.30
n
n n n
u a a a a     
với
*
n



  

 .
Chứng minh rằng dãy số


n
x
hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Đáp số:
5 1
2

.
30. Cho dãy số


n
x
xác đònh bởi:
1
5
2
x

và
3
1
20 21
1 ,

1
2499
n n n
n
x x x n
n


  


 .
Chứng minh rằng dãy số


n
x
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn
đó.
Đáp số: 1.
32. (Đề nghò OLP 30/4/2013). Cho dãy số


n
x
xác đònh như sau:
1
2
x


1
,
n
n
n
a
a
a n


 

 .
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Đáp số: 2.
34. (IMO Shortlist 1987). Cho




,
k k
a b
là hai dãy số dương thỏa mãn:
với mọi
1
n

ta có
n n

Đáp số: 0.
35. (Đề nghò OLP 30/4/2002). Cho
0
a

và dãy


n
x
xác đònh như sau:
1
x a

và
 
1
3
3
1 3
4
log 1 ,
3
n n
x x n

    

.
Tính


 




.
Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ và tính giới hạn của nó.
Đáp số:
5 1
ln
2
 

 
 
 
.
37. (Vietnam TST 1985). Cho dãy số


n
x
xác đònh như sau:
1
1
2
1
2,9
3 ,

, , ,
x x x
của dãy


n
x
. Đáp số:


3 5 1
2

.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 8
38. (Đề nghò OLP 30/4/2006). Cho dãy số


n
u
xác đònh bởi:
1 1
1, 3
u u
 
và
2
1 1 1 1

n n
x x
n
x x x
x n





  






.
Chứng minh rằng dãy số


n
x
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn
đó.
Đáp số: 2.
40. (Đề nghò thi OLP 30/4/2004). Cho dãy số


n

u

.
Đáp số: 1.
41. Chứng minh rằng với
3
n

, phương trình


ln
1
n
x x x
 
có đúng
hai nghiệm là
,
n n
u v
trong đó
n n
u v

; hơn nữa
lim
1
n
n

u
 
.
Chứng minh rằng dãy


n
u
có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn
đó.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 9
Đáp số:
1
3
.
43. Cho phương trình:
*
1 2
1 1 1 1
0,
1 2
n
n
x
x x x n
     
  


2
2 2
n
x x x
  
     
      
     
     
.
a) Chứng minh rằng với mỗi
2
n

, phương trình có một nghiệm
duy nhất trong khoảng 0
;
4

 
 
 
. Ký hiệu nghiệm đó là
n
u
.
b) Chứng minh rằng


n

u x u u x

 ;
1
n

.
a) Chứng minh phương trình:


0
n
u x

có đúng
2
n
nghiệm phân
biệt.
b) Chỉ ra nghiệm lớn nhất
n
u
của phương trình này và tìm
lim
n
n
u

.
Đáp số: b) 2.


n
u
có giới hạn hữu hạn khi
n
 

và tìm giới hạn đó.
Đáp số: b) 1.
47. (Vietnam TST 1990). Cho dãy số


n
x
thỏa mãn:
1 4
1
x x
 
;
2 3
9
x x
 
và
4
4 1 2 3
n n n n n
x x x x x
   



    


.
Tìm
lim
n
n
x

.
Đáp số:
9
2
.
49. Dãy số


n
u
được xác đònh bởi công thức
2
1
1
1
( !)
n
n

hội tụ.
b) Tìm các giá trò
a
sao cho


n
a
tăng.
Đáp số: a)
1
a
 
; b)
1
a
 
.
51. (Balkan 2002). Cho


n
a
thỏa mãn điều kiện:
1 2 2 1
20, 30, 3 , 1
n n n
a a a a a n
 
     

  

 .
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 11
Chứng minh rằng: số
 
2
1
8
5
n
b a
 
có thể biểu diễn thành tổng của
ba số nguyên dương liên tiếp với
1
n

.
53. (VMO 1989). Xét dãy số Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13
,Đặt


2

0
n

.
Tìm số dương
h
nhỏ nhất có tính chất:
n h n
a a


chia hết cho 1998
với mọi
n


.
Đáp số:
108
h

.
55. (VMO 1995). Một dãy số


n
a
được xác đònh bởi:
1
0 1 2



chia hết cho 20;b)
2 1
n
a

không phải là
một số chính phương
*
n
 


56. (VMO 1987). Cho dãy số




,
n n
x y
xác đònh bởi:


1986
0 1
365 ;
1 1622
n n n

x y
 
,
1
,
n k


.
57. Cho dãy số


n
x
xác đònh bởi:
0 1 2
0; 1;
0
x x x
  
và




 
2
2
3 2 1
1 1

,
2
2
,
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
if a
a
a
if a
a











Đáp số:
2002
0
3.2 1
a
 
.
59. Cho dãy số


n
u
xác đònh bởi:
1 2
2 1
0; 1
1
n n n
u u
u u u
 

 


  




   .
Chứng minh rằng:
2
n
a n
 

 
với
4
n

(ký hiệu
x
 
 
là phần nguyên của
x
).
61. (BMO 2001, Round 4). Cho dãy


n
a
thỏa mãn
0 1
4;
22
a a


với mọi
0
n

.
62. Cho dãy số


n
a
được xác đònh bởi
2
1
1
n
a
n
 
với mọi
1,2,3
,

n


Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương
0
n
sao cho với mọi

u
u n
u





  



Gọi
p
là số lẻ,
q
là số chẵn bất kì. Chứng minh rằng:
p q
u u

.
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 13
64. (Taiwan 2000). Cho dãy số nguyên
3
n

, giả sử rằng dãy số thực
dương

3
n
k k
n
k n
     .
65. (China 2000). Cho
1 2
, , ,
n
a a a
là các số không âm thỏa mãn:
mm
n
n
a
a
a

 



,m n 

.Chứng minh rằng:
1
1
m
m

    


Chứng minh bất đẳng thức sau:
 
1 2
1 2
1 2

1 1 1
1 11
2

1
.
n
n
n
n
n
a a a
n a a a
n
a a a
 
  
 
 
 


1
2 1
;
3 2 2
4 3 2
n n n
n n n
n n n
x y z
x x z
n
y x z
z x z




  

  



  


  


.

.
68. Cho dãy số


n
a
xác đònh bởi:
Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 14
   
1
1
1 2 1
1
1. 2 1 1
2
,
n
n n n
a
a a a n a n

 




       


d) Chứng minh rằng:
2
2 1 2 1
1
n
k
n k n
k
C a F
 



.
e) Chứng minh rằng:
2
1 1
1
4
,
n n n
a a a n
 
  

.