Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
1. LÝ THUYẾT CHIA HẾT
1. (Hanoi 2002). Cho
,
a b
sao cho
2 2
a b ab
. Tính
2 2
a b
A
ab
.
2. (Kvant, Russia). Cho
1 2
*
, ,. 1 , ;1 ,
n
a na a
và thỏa mãn
sao cho:
1 1
a b
b a
.
Chứng minh rằng ước chung lớn nhất của
a
và
b
không vượt quá
a b
.
5. (Russia 2001). Cho
,
a b
và
a
b
thỏa:
2
2
d n
. Chứng minh rằng
2
n d
không thể
là số chính phương.
8. (IMO 1960). Tìm tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 11 sao cho thương số trong
phép chia số đó cho 11 bằng tổng bình phương các chữ số.
9. (VMO 2007). Cho
\,
1
x y
sao cho
4 4
1 1
1 1
x y
y x
1 2
1
n
n m i k
i
c c c c c
.
11. (Romania 1999). Cho
, ,
a b c
là những số nguyên khác không,
a
c
sao cho
2 2
2 2
a a b
c
c b
. Chứng minh rằng:
2 2 2
,
a b
thỏa mãn hai điều kiện:
(i).
ab a b
không chia hết cho 7 ; (ii).
7
7 7
a b a b
chia hết cho
7
7
.
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
15. (Vietnam 1983).Cho
,
3
n
n
. Chứng minh rằng nếu
10
.
18. Cho
2
p
là một số lẻ và
n
là một số nguyên dương. Chứng minh rằng
1 2
1
n
n n
p
p p
p p
19. Tìm tất cả các cặp số nguyên
,
m n
sao cho những số
2 2 2 2 2 2
2 3 2, 2 3 2, 3 2 1
A n mn m B n mn m C n mn m
có một ước chung lớn hơn 1
20. Cho
2 2
a b
chia hết cho
c
.
22. (India 1998). Tìm tất cả các bộ ba
, ,
x y n
nguyên dương sao cho
,
1 1
x n
và
1
1
n n
x y
.
23. (APMO 1999). Tìm số nguyên lớn nhất chia hết cho tất cả các số nguyên dương bé
hơn căn bậc ba của nó.
24. (Russia 2001). Tìm số nguyên dương lẻ
1
n
ab cd
. Chứng minh rằng
n n n n
A a b c d
là hợp số với mọi
n
nguyên dương.
27. Có tồn tại hay không 2013 số nguyên dương
1 2 2013
, , ,
a a a
sao cho các số
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 3 1 2 2013
, , ,
a a a a a a a a
đều là số chính phương?
30. (Vietnam TST 1992). Chứng minh rằng:
125
25
5 1
5 1
N
không phải là số nguyên tố.
31. Cho
2 1
,
n
n
không thể biểu diễn
được dưới dạng hiệu các lũy thừa bậc 5 của hai số tự nhiên.
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
34. Chứng minh rằng với
2
m
, giữa
m
và
!
m
có ít nhất một số nguyên tố. Từ đó suy
ra rằng có vô số số nguyên tố.
35. Có tồn tại một số tự nhiên
n
có thể viết dưới dạng:
! !
n x y
với
,
2 1
0
.
n
n k
n n k
k
C C
chia hết cho
1
4
n
.
38. Tìm tất cả các số hữu tỉ dương
,
x y
sao cho
x y
và
1 1
x y
là các số nguyên.
1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5
P a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Chứng minh rằng:
P
chia hết cho 288.
41. Giả sử phương trình
2003 2
0
x ax bx c
với các hệ số nguyên
, ,
5 5 5
x y y z z x
chia hết cho
5
x y y z z x
43. Giả sử rằng số nguyên tố
p
có thể được viết thành hiệu hai lập phương của hai số
nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng khi đem
4
p
chia cho 3, nếu loại bỏ phần dư
đi thì sẽ nhận được số là bình phương của một số nguyên lẻ.
44. (Komal - Hungary C.640, 2001). Tìm tất cả các số tự nhiên thỏa mãn tính chất sau:
Nếu thay đổi hai chữ số cuối cùng của bình phương số tự nhiên đó, ta nhận được bình
phương của số tự nhiên liền sau nó.
45. (Komal - Hungary C.676, 2002). Tìm số nguyên
,
a b
sao cho
4
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
2 1 3
1 1
1 1
n
p q
p q
với
1
,
n n
.
49.(Komal - Hungary A.244, 2000). Tìm tất cả các số nguyên dương
n
sao cho
2 2
n a b
với
,
a b
là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và
và
2
2 2
2 1
x
B
x x
. Tìm tất cả các giá trị nguyên của
x
sao
cho
2
3
A B
C
là một số nguyên.
Giải
52. (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1996). Cho số nguyên dương
n
và số thực
sao cho
1
osc
n
nhỏ nhất sao cho tổng bình phương các ước số của nó ( kể cả 1 và
n
) bằng
2
3
n .
55.(The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 2000).
Chứng minh rằng chữ số hàng trăm của số
1999 2000 2001
2 2 2
là một số chẵn.
56. Viết tổng
2 3
2 2 2 2
1 2 3
n
n
thành phân số tối giản
p
q
. Chứng minh rằng:
8
p
với mọi
là số nguyên dương.
59. (Singapore 1996-1997). Ta viết bốn số nguyên
0 0 0 0
, , ,
a b c d
trên một đường tròn theo
chiều kim đồng hồ. Bước đầu tiên ta thay
0 0 0 0
, , ,
a b c d
bằng các số
1 1 1 1
, , ,
a b c d
với
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
, , ,
a a b b b c c c d d d a
. Ở bước tiếp theo ta thay
1 1 1 1
, , ,
a b c d
bằng các số
2 2 2 2
, , ,
a b c d
sao cho
2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1
sao cho với số
p
đó tồn tại các số
nguyên dương
, ,
n x y
thỏa
3 3
n
p x y
.
61. (China 2001). Cho 7 số nguyên tố khác nhau có thể được viết thành:
; ; ; ; ; ;
a b c a b c a b c a b c a b c
trong đó, hai trong ba số
; ;
a b c
có tổng bằng 800. Gọi
d
là khoảng cách giữa số lớn nhất
và số nhỏ nhất trong 7 số nguyên tố. Hỏi giá trị lớn nhất có thể có của
d
?
62. Cho đa thức
P x
thì
2
x y
là
tổng của hai số chính phương.
64. Tìm số nguyên tố
p
sao cho
2 1
p
là lập phương của một số tự nhiên.
65. Chứng minh rằng đa thức:
9999 8888 7777 6666 4444 3333 2222 1111
1
P x x x x x x x x x
chia hết cho đa thức:
9 8 7 6 5 4 3 2
1
Q x x x x x x x x x x
là một số nguyên với mọi số nguyên dương
n
.
68. (Bulgaria MO 1996, Round 3). Chứng minh rằng với mọi số nguyên
3
n
, tồn tại
các số nguyên dương lẻ
n
x
và
n
y
sao cho:
2 2
7 2
n
n n
x y
.
69.(Bulgaria MO 1998,Round 4). Gọi
,
m n
là các số tự nhiên sao cho
3 1
3
n
71. Tìm
n
nguyên dương sao cho:
33
3 3
1 2
2 4 7225
n n
.
72. Tính:
1999
45 1999
, trong đó:
a
là ký hiệu phần nguyên của số a.
73. Chứng minh rằng:
chia hết cho
p
.
3. (Komal - Hungary A.271, 2001).
Tìm các cặp số
;
a b
sao cho
,
a b
và
2 2
a ab b
là bội số của
5
7
.
4. Cho
p
là số nguyên tố lẻ. Chứng minh:
0
2 1
chia hết cho
p
7. Chứng minh rằng:
2 1 3
2 1
0
2
n
k k
n
k
C
không chia hết cho 5 với mọi
n
là số tự nhiên.
8. Cho
p
là số nguyên tố khác 2 và
,
a b
là hai số tự nhiên lẻ sao cho
a b
n
p
. Chứng minh rằng
m
chia hết cho
p
.
10. (Baltic 2001). Cho
a
là số nguyên dương lẻ,
m
và
n
là hai số nguyên dương phân
biệt. Chứng minh rằng:
2 2 2 2
2 ;
2 1
n n m m
a a
.
11. Cho
5
n
?
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
13. Tìm tất cả các số nguyên dương
n
sao cho
n
là ước số của
12
3 1
nhưng
n
không
là ước số của
3 1
i
với mọi
1,2,3
,
,
11
i
. Có bao nhiêu số
n
a b
là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại các
số nguyên dương
,
m n
sao cho:
1
m n
a b ab
.
17. Cho
5
n
là số nguyên dương lẻ và có các số nguyên tố là
1 2
, , ,
k
p p p
. Chứng minh
rằng
2 1
n
có ước số nguyên tố không thuộc tập
nhỏ nhất.
19. (VMO 2001 A). Cho số nguyên dương
n
và hai số nguyên tố cùng nhau
,
a b
lớn
hơn
1
. Giả sử
,
p q
là hai ước lẻ lớn hơn 1 của
6 6
n n
a b
. Hãy tìm số dư trong phép chia
6 6
n n
p q
cho
6.12
n
.
20. (VMO 2008). Đặt
2008
2007
m
1
n
.
22. Cho
p
là số nguyên tố,
1 2
; ; ;
p
r r r
và
1 2
; ; ;
p
s s s
là các hệ thặng dư đầy đủ
modulo
p
. Hỏi tập hợp
1 1 2 2
; ; ;
p p
rs r s r s
5 7
n
chia hết cho 12 với mọi số tự nhiên
n
.
25. (Nordic 1998). Cho
n
là một số nguyên dương. Chứng minh rằng các số
0;1;2;
;
n
k
thỏa mãn
k
n
C
lẻ là một lũy thừa của 2.
26. (Korea 1999). Tìm tất cả các số nguyên dương
n
sao cho
2 1 3
n
và
2 1
3
1976 1974 1975 1973
1976 1974 1976 1974a
.
29. Tìm ba chữ số tận cùng của số
10000
1995
1994
1993
M
.
3. DÃY SỐ VÀ SỐ HỌC
1. Cho dãy số
n
u
xác định bởi :
1
1
1
3 3
1 2 , n
n n
u u u
u u
n
u u
.
Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy đều nguyên.
3. Cho dãy số
n
u
xác định bởi :
2
4 4 1
, n
1
2 1 2 1
n
n n
Chứng minh rằng không có phần tử nào của dãy là lập phương của một số nguyên.
5. Cho dãy số
n
u
được xác định như sau:
3 5 3 5
2,
2 2
n n
n
u n
Chứng minh rằng
2 1
k
u
,
k
n
u
được xác định theo công thức:
1
2
*
1
1
5 . 8
n n n
u
u u mu n
.
Tìm
m
để dãy
n
u
1 2 1
p
u u u
đều chia hết cho
p
.
9. (Putnam 1999). Dãy số nguyên
n
u
được xác định như sau:
1 2 3
2 2
1 3 1 2
2 3
1, 2, 24
6 8
4
n n n n
n
n n
u u u
u u u u
u n
u u
.
Chứng minh rằng
1996
u
chia hết cho 1997.
11. Cho dãy số
n
u
xác định như sau:
1 2
1
2012, 2013
1 2
2
n n n
u u
u u u n
5
n
n n n
u
c c c
.
Chứng minh rằng
n
u
luôn là số nguyên và chia hết cho 8.
13. (VMO 1997). Cho dãy số nguyên
n
u
được xác định như sau:
0 1 2 1
1, 45, 45 7
n n n
u u u u u n
.
a) Tính số các ước dương của
2
1 2
n n n
u u u
n n n
n
n
u u
u u u
u n
u
.
Chứng minh rằng
n
u
nguyên với mọi
n
.
15. Cho
*
n
u
được xác định bởi công thức:
1 2
3 2008
1 1
5, 7
6 3.2
n n n
u u
u u u
.
Chứng minh rằng
n
u
không thể biểu diễn được dưới dạng tổng lũy thừa bậc 6 của ba số
nguyên dương.
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
17 . Gọi
dư
2014
u
khi chia cho 2014.
18. Cho dãy số
n
u
xác định như sau:
2 2 2
2
*
1 2 3
n
u n n n n n
.
Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 10.
19. Dãy số
n
u
xác định như sau:
2
n
u n n
. Chứng minh rằng dãy
n
w
xác định bởi
2 2
1 4
n n n
w u v
không chứa các
số nguyên tố.
21. Cho dãy số
n
u
xác định bởi:
0 1
3
u u
,
1 1
7
1
n n n
u u u n
u chia hết cho
2011
.
23. Cho dãy số
n
u
xác định bởi:
0
2
1
1
7 45 36
,
2
n n
n
u
u u
u n
2 3 2 3
,
2 3
n n
n
u n
.
a) Chứng minh rằng:
n
u
là số nguyên
n
.
b) Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 3
25. Cho
f x
x
.
26. Cho
*
k
, xét
2
*
2 1
n
n
f k n
. Chứng minh rằng
n
f
đôi một nguyên tố
cùng nhau.
27. (Journal of Mathematical youth ).
Cho dãy số
n
a
với
1 2
1
.
28. Cho dãy số
2
4 38
n
x n n n
. Tìm
lim
n
n
x
,
x
là phần lẻ của
x
.
29. Xét dãy số
,
1
n
.
30. Cho dãy Fibonacci:
1 2 2 1
1,
n n n
u u u u u
. Chứng minh rằng với mọi
6
n
giữa
n
u
và
1
n
u
có một số chính phương.
31.(IMO 1994). Cho dãy số
2
thoả mãn
*
1
( 1) ( 1) 2( 1),
n n
n a n a n n
.
Biết
1999
a
chia hết cho 2000. Tìm số n nhỏ nhất sao cho
n
a
chia hết cho 2000
2
n
33. (Bulgaria 1978). Cho dãy số
n
a
xác định như sau:
2 2
(
a
là số cho trước ). Chứng minh rằng dãy số đã cho gồm toàn số nguyên.
34. ( Vietnam TST 1982). Cho
*
a
và
n
a
là dãy số xác định bởi:
0 1
1 1
0, 1
2 1
n n n
a a
a a a a
thì
p
a
không chia hết cho
p
.
35. Cho dãy số
n
a
xác định bởi
0 1
0, 1
a a
và
1 1
3
1
2
n
n n n
a a a
với
*
n
. Chứng minh rằng:
n
a
chia hết cho
n
,
1
n
.
37. Cho ,
1
k k
. Xét dãy số
n
a
xác định bởi:
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
2
2
0 1 2
n
F
không là số nguyên tố.
39. Cho dãy số nguyên
n
x
xác định bởi:
0 1
3;
11
x x
và
2 1
2 7
n n n
x x x n
.
Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ
a
sao cho với mọi
,
m n
nguyên dương tồn tại
1
2
n
n
n
a
a
a
n
.
Chứng minh rằng:
n
a
là số lẻ với mọi
2
n
.
41. Cho
,
a b
là hai số thực khác 0. Xét dãy số
n
thỏa mãn điều kiện:
1 2
7 100
9, 0
n n n
a a a n
.
Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên
0
n
sao cho với mọi
0
n
n
thì
0
n
a
.
43. Cho dãy số
n
a
xác định bởi
0 1 2
n
a
xác định bởi :
1
43
a
,
2
142
a và
1 1
3
n n n
a a a
với mọi
2
n
.
a) Chứng minh rằng :
1
,
1
n n
45. (Slovenia 1999). Cho dãy các số thực
1 2
, , ,
a a thỏa mãn điều kiện:
1 2 3
2, 500, 2000
a a a và
2 1 1
1 1 1
n n n
n n n
a a a
a a a
2
n
. Chứng minh rằng tất cả các số
hạng của dãy đều là số dương và
2000
a
chia hết cho
2000
2
.
.
47. (WMSETS 2000 - 2001). Cho
1 2
14, 144
a a và 1444
4
n
a với
n
số 4. Tìm tất
cả các số nguyên dương
n
sao cho
n
a
là số chính phương.
48. (USAMTS 2000 - 2001). Xét dãy số thực
0 1 2
, , ,
s s s
thỏa mãn tính chất:
(i).
i j i j i j
s s s s
với mọi số nguyên không
,
i j
sao cho
i
1 2 3
4 4 4 8
n n n n
a n a na n a
với mọi
3
n
.
Chứng minh rằng mỗi số hạng của dãy trên có thể được viết thành tổng của các số hạng
tương ứng của hai dãy quen thuộc.
50. (Putnam 1991). Với mọi số nguyên dương
n
ta định nghĩa
2
d n n m
trong đó
m
là số nguyên lớn nhất sao cho
2
m
n
xác định bởi
1 1
1, 2
n
a
n
a a
. Chứng minh rằng
1
mod
n n
a a n
với
2
n
.
52. (Czech and Slovak Republic 2000). Chứng minh rằng tồn tại một dãy các số tự
nhiên tăng dần
n
a
với mọi
0
k
.
a) Tìm
p
và
q
sao cho với mọi số tự nhiên
n
đẳng thức sau đây đúng:
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
1 2 3
1
n
n n n n
a a a a
.
b) Chứng minh rằng với
,
p q
nói trên ta có:
1 2
n n n
a a a
với mọi số tự nhiên.
c) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n
m
a m
.
55. Lập dãy
k
a
như sau:
0 1
1
;
1
a a
với
1
k
thì
1 1
2
k k k
a a qa
trong đó
q
là số
nguyên tố cố định nào đó. Tìm
q
;
n
Tìm mọi giá trị có thể của hai chữ số cuối của
2011
a
.
57. (BMO 2001, Round 4). Cho dãy
n
a
thỏa mãn
0 1
4
;
22
a a
và
1 2
6 0
n n n
a a a
với
2
n
n
số nguyên không âm
1 2
; ; ;
n
x x x
không đồng thời bằng 0, sao cho với mọi dãy số
1 2
, , ,
n
gồm các phần
tử không đồng thời bằng 0 lấy từ tập
1;0;
1
ta có:
3
n
không chia hết
1 1 2 2
n n
x x x
.
59. (BMO 1996, Round 4). Cho dãy số
là phần nguyên của
x
).
60. Cho dãy số
n
u
xác định bởi:
1 2
2 1
0; 1
1
n n n
u u
u u u
.
Chứng minh rằng: Nếu
5
p
n
a
if a
a
a
if a
a
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
Cho
0
a
là một số nguyên dương,
2
n
a
1
;
0
x x x
và
2
2
3 2 1
1 1
1
1
n n n n
n n n
n
x x n n x x
n n
.
Chứng minh rằng
n
x
và
0
16
y
;
3
1
1 1952
n n n
y y y
,
0
n
.
Chứng minh rằng:
0
n k
x y
,
1
,
n k
Chứng minh rằng:
a)
2000
2
1995
k
k
a
chia hết cho 20 ; b)
2 1
n
a
không phải là một số chính phương
*
n
65. (VMO 1998 A). Cho dãy số nguyên dương
0
n
n
Đặt
2
1985 1956 1960
f n n n
.
a) Chứng rằng tồn tại vô hạn số
F
của dãy trên sao cho
f F
chia hết cho 1989.
b) Tồn tại hay không một số
G
của dãy sao cho
2
f G
chia hết cho 1989?
Copyright: Tài liệu đại học ©