Bài tập Hình học khơng gian dành cho HSG thi Quốc gia

Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN, BỒI DƯỠNG HSG THI QUỐC GIA
Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
1. Cho
ABC

vuông tại
A
.Trên đường thẳng


d
vuông góc với mặt phẳng


ABC
tại
B
ta lấy điểm
S
sao cho:
1
SB BA AC
  
.


P
là mặt phẳng

lớn nhất.
3. Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng
a
.
a) Ta xem hình chóp đã cho là tứ diện
SABC
có trọng tâm
O
; gọi

là
góc giữa mặt phẳng


SAB
và


ABC
. Hãy tính
cos

để
O
cách đều tất
cả các mặt của
SABC

a
.
4. Cho mặt phẳng


P
trong đó có một đường thảng


d
cố đònh và một điểm
A cố đònh không thuộc


d
. Trên tia
Az
vuông góc với


P
ta lấy một
điểm
D
cố đònh. Góc vuông
xAy
quay quanh
A
sao cho


tròn. Tìm quỹ tích tâm của đường tròn đó.
5. Cho
ABCD
là tứ diện đều có cạnh bằng 1,
M
và
N
là hai điểm di động
trên
,
AB AC
sao cho


DMN
luôn vuông góc với


ABC
.Xác đònh vò trí
của
M
và
N
để tứ diện
ADMN
có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất.
6. Cho



trong
ABC

thì sẽ tồn tại điểm
P
trong không gian mà các góc



, ,
APB BPC CPA
là các góc vuông.
b) Giả sử tồn tại điểm
P
thoả mãn tính chất ở câu a); gọi


d
là độ dài
lớn nhất trong ba đoạn thẳng
, ,
PA PB PC
và
h
là độ dài đường cao lớn
nhất trong
ABC

. Chứng minh rằng:
6

9. Mặt cầu tâm
O
ngoại tiếp tứ diện
ABCD
. Giả sử
O
nằm trong tứ diện
và diện tích của các mặt tứ diện
ABCD
đối diện với các đỉnh
, , ,
A B C D
lần
lượt là
1 2 3 4
, , ,
S S S S
.Bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác
, , ,
BCD CDA DAB ABC
lần lượt là
1 2 3 4
, , ,
R R R R
.Khoảng cách từ tâm các đường
tròn các đường tròn ngoại tiếp các tam giác
, , ,
BCD CDA DAB ABC
theo thứ
tự đến các đỉnh

1 1
[ ( )]
3 2
i i i
i
V S d R

 


10. Cho tứ diện
ABCD
có mặt cầu nội tiếp và bán kính
r
không đổi. Gọi
, , ,
A B C D
R R R R
lần lượt là bán kính mặt cầu bàng tiếp với đỉnh
, , ,
A B C D
của
tứ diện
ABCD
. Hãy xác đònh tứ diện ấy để
A B C D
R R R R
   có giá trò
nhỏ nhất.
11. Cho hình lập phương

 


.
12. Trong không gian cho bốn tia
, , ,
Ox Oy Oz Ot
sao cho các góc tạo bởi hai tia
bất kì bằng nhau. Trên các tia
, , ,
Ox Oy Oz Ot
lần lượt lấy các điểm
, , ,
A B C D
.
Chứng minh rằng với mọi điểm
M
trong không gian ta có:
OA OB OC
MA MB MC MD
OD
  


 
.
13. Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
. Gọi

;
a b c

 

 
 
.
Giả sử
, ,
a b c
thay đổi sao cho
2
a c
b


đồng thời dựng thiết diện qua
BC

và vuông góc với
SA
tại
D
. Chứng minh rằng:
SBCD
ABCD
V
V
đạt giá trò lớn nhất

sao cho
DB AB

và
DB
vuông góc với mặt phẳng


P
.
Chứng minh rằng:


2 2
1
sin sin
2
BDM BDN
 
.
15. (Mathematics and Youth Magazine 8/271). Gọi
S
là diện tích toàn phần
của tứ diện
ABCD
. Chứng minh bất đẳng thức sau:
       
2 2 2 2
1
2 3

. Hình trụ
1
T
phải thỏa mãn điều
kiện gì để có vô hạn hình trụ
1 2
, , , ,
n
T T T
mà mỗi hình trụ đứng sau nội
tiếp ngang hình trụ trước.
17. (Mathematics and Youth Magazine 8/272).
Xét tứ diện
1 2 3 4
A A A A
cùng ngoại tiếp một mặt cầu cho trước. Mỗi tiếp
diện của mặt cầu song song với một mặt của tứ diện này, cắt ra khỏi tứ
diện đó một tứ diện nhỏ. Gọi


1,2,3,4
i
v i 
là thể tích của tứ diện nhỏ có
đỉnh
i
A
và
V
là thể tích của tứ diện

ABCD
có bốn đường cao cắt nhau tại một điểm
H
. Chứng
minh rằng có một và chỉ một điểm
M
trong không gian thỏa mãn
1 2 3 4
HG HG HG HG
   trong đó
1 2 3 4
, , ,
G G G G
lần lượt là trọng tâm của các
tứ diện
, , ,
MBCD MCDA MDAB MABC
.
Bài tập Hình học khơng gian dành cho HSG thi Quốc gia

Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
21.(Mathematics and Youth Magazine 10/287).
Giả sử
M
là một điểm nằm bên trong tứ diện
ABCD
. Các đường thẳng
, , ,
AM BM CM DM
theo thứ tự cắt các mặt phẳng

tại
, ,
X Y Z
. Chứng minh rằng:
M
là trọng tâm của
XYZ

.
22. (Mathematics and Youth Magazine 10/284).
Cho hình chóp
.
S ABC
. Chứng minh rằng nếu các trung tuyến của các tam
giác
, ,
SAB SBC SCA
kẻ từ đỉnh
S
tạo với các cạnh đáy
, ,
AB BC CA
những
góc không tù bằng nhau thì diện tích của mỗi mặt bên nhỏ hơn tổng
diện tích các mặt bên còn lại.
23. (Mathematics and Youth Magazine 10/286).
Cho tứ diện
ABCD
có các cặp cạnh đối diện bằng nhau. Gọi
E

là giao điểm của
AE
và
KO
.
24. (Mathematics and Youth Magazine 8/261).
Giả sử một tứ diện đều được phân chia thành một số tứ diện nhỏ sao
cho tổng thể tích các hình cầu ngoại tiếp các tứ diện nhỏ bằng thể tích
hình cầu ngoại tiếp tứ diện ban đầu. Chứng minh rằng các tứ diện nhỏ là
tứ diện đều.
25. (Mathematics and Youth Magazine 10/257).
Cho tứ diện
ABCD
có trọng tâm
G
.Lấy
M
là một điểm bất kì trong
không gian,
N
là điểm thỏa mãn điều kiện: 4
MN MG

 
. Chứng minh
rằng:
2
MN MA MB
NA NB NC
C M

a)






. . .
NC p DAB ND p CAB CD p NAB
 

b)
2 2
2 2
NC CA CB
ND
DA DB



khi
NA NB

.
27. (Mathematics and Youth Magazine 10/244).
Bài tập Hình học khơng gian dành cho HSG thi Quốc gia

Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
Gọi
,



, , ,
BCD CDA DAB ABC

theo thứ tự tại
1 1 1 1
, , ,
A B C D
. Chứng minh rằng:
1 1 1 1
0
MA MB MC MD
   
   
.
29. (Mathematics and Youth Magazine 10/253).
Cho tứ diện
ABCD
, trọng tâm
G
, tâm mặt cầu ngoại tiếp
O
. Gọi
I
là
điểm đối xứng của
O
qua
G

 
bằng
x
. Chứng minh rằng:
2
8
sin
R
x
V 
.
Bài tập Hình học không gian dành cho HSG thi Quốc gia

Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm