ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
Phơng pháp toạ độ trong không gian
I. Tọa độ của vectơ và của điểm
A. Ví dụ:
VD1: Viết tọa độ của các vectơ say đây:
2a i j
= +
;
7 8b i k
=
;
9c k
=
;
3 4 5d i j k
= +
VD2: Cho ba vectơ
a
= ( 2;1 ; 0 ),
b
= ( 1; -1; 2) ,
c
= (2 ; 2; -1 ).
b
,
c
.
VD3: Cho 3 vectơ
a
= (1; m; 2),
b
= (m+1; 2;1 ) ,
c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .Định m để 3 vectơ đó đồng phẳng
.
VD4: Cho:
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7; 2a b c
= = =
. Tìm tọa độ của vectơ: a)
1
4 3
2
d a b c
= +
b)
4 2e a b c
( )
5;4; 1a
=
,
( )
2; 5;3 .b
=
VD6: Cho ba điểm không thẳng hàng:
(1;3;7), ( 5; 2;0), (0; 1; 1).A B C
Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của
tam giác ABC.
VD7: Cho bốn diểm không đồng phẳng :
(2;5; 3), (1;0;0), (3; 0; 2), ( 3; 1;2).A B C D
Hãy tìm tọa độ trọng
tâm G của tứ diện ABCD.
VD8: Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz.
VD9: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:
a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy.
VD10: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của
các đỉnh còn lại.
VD11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M.
B. Bài tập
Bài 1. Viết dới dạng
x i y j z k
5
d
=
ữ
( )
0; 3;0 .u
=
Bài 2. Cho hai bộ ba điểm: A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1) và A' = (1; 1; 1), B' = (-4; 3;
1),
C' = (-9; 5; 1). Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng.
Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(x
1
; y
1
; z
1
), C(x
3
; y
3
; z
3
), B'(x'
2
;y'
ữ ữ
2 2 2
) 3 2 . ; ) 4 . 5d a a b b c b e a c b c
+ +
ữ
.
Bài 2. Tính góc giữa hai vectơ
a
và
b
:
( ) ( )
) 4;3;1 , 1;2;3a a b
= =
( ) ( )
) 2;5; 4 , 6;0; 3 .b a b
= =
Bài 3. a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
Bài 4. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
Bài 6. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
Bài 7. Cho ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của
góc B.
Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D tạo thành tứ diện. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
b) Tính độ dài đờng cao hạ từ đỉnh C của tứ diện đó.
c) Tính độ dài đờng cao của tam giác ABD hạ từ đỉnh B.
d) Tính góc ABC và góc giữa hai đờng thẳng AB, CD.
Bài 9. Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đờng chéo.
c) Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đờng cao tam giác ABC vẽ từ A.
Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC .
Bài 10. Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .
c) Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D.
d) Tìm tọa độ chân đờng cao của tứ diện vẽ từ D .
Bài 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC. b) Tính cosin các góc A,B,C .
c) Tính diện tích tam giác ABC
Bài tập:
Bài 1. Cho tam giác ABC, A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2).
a) Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC b) Tìm toạ độ trung điểm I của cạnh BC
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC d) Tính diện tích tam giác ABC.
e) Tính đờng cao của tam giác hạ từ A. f) Tính các góc của tam giác ABC
g) Tìm điểm M thuộc Ox sao cho MA = MB h) Tìm giao (ABC) và Ox
Bài 3. Cho ba véc tơ:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
; ; , ; ; , ; ;
2 2 2
a b c b a c c a b
p a a q b b r c c
= = =
ữ ữ ữ
Với a, b, c không đồng thời bằng không thì
, ,p q r
có đồng phẳng không
Bài 4 . Cho ABC biết A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của
góc B.
Bài 5. Cho ABC biết A(-11; 8; 4), B(-1; -7; -1), C(9; -2; 4).
a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Tính diện tích tam giác ABC
Bài 6. Cho sáu điểm A(3; 5; -4), B(-1; 1; 2), C(-5; -5; -2), A(5; 1; 5), B(4; 3; 2), C(-3; -2; 1).
a) Chứng minh tam giác ABC cân, tam giác ABC vuông
b) Gọi G, G, G là trọng tâm tam giác ABC, ABCvà của tứ diện AABC. Tính
ã
tan G'GG''
Bài 7. Chứng minh 4 điểm A(3; 3; 3), B(1; 2; -1), C(4; 1; 1), D(6; 2; 5) là các đỉnh của hình bình hành
- 2 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
Iii. Mặt Phẳng
Bài toán 1 . Phơng trình mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt
n
r
biết
a,
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2=
r
b,
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1 =
r
c,
( ) ( )
M 4; 1; 2 , n 0;1;3 =
r
d,
( ) ( )
M 2;1; 2 , n 1;0;0 =
r
e,
( ) ( )
M 3;4;5 , n 1; 3; 7=
r
f,
( ) ( )
M 10;1;9 , n 7;10;1=
r
M 1;1;0 , :x 2y z 10 0 + =
c,
( ) ( )
M 1; 2;1 , : 2x y 3 0 + =
d,
( ) ( )
M 3;6; 5 , : x z 1 0 + =
Bài 4 Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và cặp VTCP là
(2;1;2); (3; 2; 1)a b
r r
Bài 5 : Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và
a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z.
c) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 6 : Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :
a) Cùng phơng với trục 0x. b) Cùng phơng với trục 0y.
c) Cùng phơng với trục 0z.
Bài 7 : Xác định toạ độ của véc tơ
n
vuông góc với hai véc tơ
(6; 1;3); (3; 2;1)a b
r r
.
Bài 8 : Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là
)4,2,3( );2,7,2( ba
Bài 9 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận
);4,3,2(n
làm VTPT.
b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
a) (P
1
): y z + 4 = 0, và
( )
2
: 3 0P x y z + =
b) (P
1
): 2x+4y-8z+9=0
( )
2
: 2 4 1 0P x y z+ + =
c) (P
1
): x+y-z-4=0và
( )
2
: 2 2 2 8 0P x y z+ =
Bài toán 3: Chùm mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng qua M(2;1;3) và đi qua đờng thẳng (d):
a)
( )
=+
=+
012
0532
:
( )
=
=+
02
0323
:
zx
zyx
d
và song song với mặt phẳng
(Q) có phơng trình: 11x - 2y - 15z 6 = 0.
Bài 4: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P
1
): y + 2z 4 = 0 và (P
2
) : x + y z 3 = 0
và song song với mặt phẳng (Q):
- 2 0x y z+ + =
.
Bài 5: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng
( )
=
=+
02
=+
02
0323
:
zx
zyx
d
và song song với đờng
thẳng (d) có phơng trình :
a)
( )
=++
=+
0323
0723
:
zyx
zyx
d
b)
( )
5
5
4
3
2
2
0323
0723
:
zyx
zyx
d
b)
( )
5
5
4
3
2
2
:
+
=
=
zyx
d
Bài 9: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng và với mặt phẳng (Q) một góc 60 độ biết:
( )
=
=+
02
:
zy
zx
d
và (P
1
): 5x+5y-3z-2=0 và (P
2
):2x-y+z-
6=0. Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d) sao cho:
( ) ( )
1
PP
và
( ) ( )
2
PP
là hai đờng
vuông góc.
Bài 12: (ĐHKT-93): cho hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình :
( )
,
014
0238
P
,
( )
2
P
song song với nhau và lần lợt chứa
( )
1
d
( )
2
d
b) Tính khoảng cách giữa
( )
1
d
,
( )
2
d
c) Lập phơng trình đờng thẳng (D) song song với trục Oz và cắt cả 2 đờng thẳng
( )
1
d
,
( )
2
3 2 7 0
3 2 3 0
x y z
x y z
+ =
+ + =
Bài 4: Cho đờng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phơng trình là :
( )
=+++
=++
0732
0143
:
zyx
zyx
d
và (P):
x+y+z+1=0
Tìm phơng trình chính tắc của đờng thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông
góc với đờng thẳng (D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phơng trình tham số của đ-
ờng thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
B ài toán 2. Chuyển dạng phơng trình đờng thẳng
Bài 1:Tìm véc tơ chỉ phơng của các đờng thẳng sau
=+
=++
0642
0104
:
zyx
zyx
d
. Hãy viết phơng trình tham số của
đờng thẳng đó
Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
=+
=++
0642
0104
:
zyx
zyx
d
. Hãy viết phơng trình chính tắc của
đờng thẳng đó
Bài4: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R t,
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
a)
( )
2 2
: 3 t
3
x t
y t R
z t
= +
=
= +
. b)
( )
1 0
:
4 1 0
x y
x z
+ =
+ + =
Bài 8:Trong không gian Oxyz, lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi
qua điểm A(3;2;1), song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng (). Biết mặt phẳng
( ) : - 2 0P x y z+ + =
và
=++
=+
014
01
:)(
zy
yx
B ài toán 3. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt phẳng
Bài1: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
a)
( )
R t,
2
3
1
:
+=
010632
:
=+++
=++
zyx
zyx
d
(P): y+4z+17=0 d)
( )
01
03
:
=
=++
y
zyx
d
(P): x+y-2=0
Bài 2: Hãy tính sin của góc tạo bởi đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) cho bởi :
a)
( )
)(t
1
zyx
d
và
( )
: 2 3 1 0P x z y + =
c)
( )
R t,
22
2
21
:
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
và
( ) : - 2 2 3 0.P x y z+ + =
Bài 3: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0 và
( )
3
2
mymxm
d
m
xác định m để (d
m
)//(P)
B ài toán 4. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Bài 1: sử dụng tích hỗn tạp xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình cho
bởi:
a)
( )
R
tz
ty
tx
d
+=
+=
+=
t
46
+=
+=
+=
t
33
2
21
:
1
,
( )
13
23
2
:
2
+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
c)
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
5
1
25
:
1
=
=
+=
tz
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d
2
) .
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi:
- 6 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
( )
4
9
1
5
3
7
:
1
=
=
+ zyx
d
,
( )
4
18
) có phơng trình cho bởi :
( )
R t
46
2
23
:
1
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
,
( )
015
0194
:
2
=
+
=
zyx
d
( ) ( )
t
32
1
:
2
R
tz
ty
tx
d
+=
=
+=
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d
=
+=
=
1
1
1
1
2
tt, 1
2
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song ,cách đều (d
1
zy
zx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song, cách đều (d
1
),(d
2
) .
Bài8: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
3
3
2
2
1
1
:
1
=
),(d
2
) ,biết:
( )
2
3
2
1
3
1
:
1
=
=
+ zyx
d
( )
2
3
1
1
1
:
2
tx
d
=
=
=
CMR (d
1
),(d
2
) và điểm A cùng thuộc mặt phẳng.
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
=+
=++
01y-x
01y2x
: d
1
) có phơng trình cho bởi :
( )
1
1
2
1
1
2
:
1
=
=
zyx
d
( ) ( )
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d
1
1
3
:
1
=
+
=
zyx
d
,
( )
03
024
:
2
=
=
zx
yx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
=
+=
tz
ty
tx
d
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d
=
+=
+=
1
1
1
1
2
tt,
12
29
1
)
để đờng thẳng A
1
A
2
vuông góc với (d
1
) và vuông góc với (d
2
) .
Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
1
1
:
1
=
=
=
2
) chéo nhau.Viết phơng trình mặt phẳng (P),(Q) song song
với nhau và lần lợt chứa (d
1
),(d
2
)
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
) .
Bài 4: (ĐHTS-96): Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( ) ( )
Rt
12
23
31
:
1
)
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 5: : (PVBC 99) Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết:
( )
1
2
3
1
2
1
:
1
=
=
+ zyx
d
;
( )
25
=+
=+
04y-x
0yx
: d
1
z
( ) ( )
t
2
31
:
2
R
tz
ty
tx
d
+=
=
+=
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
( )
3
1
2
1
7
3
:
2
=
=
zyx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 8: (ĐH Huế 1998) Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
=
+=
=
21
2
22
t,t
3
1
1
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
- 8 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
b) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và song song với (d
2
) .
c) Tính khoảng cách giữa (d
1
ty
tx
d
+=
=
+=
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa (d
1
),
(d
2
) .
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M(1,1,1) và cắt đồng thời (d
1
),(d
2
) .
Bài 10: (ĐHKT-98): Cho tứ diện SABC với các đỉnh S(-2;2;4), A(-2;2;0) ,B(-5;2;0) ,C(-2;1;1). Tính
khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và SB.
V. Điểm, đờng thẳng và Mặt Phẳng
Bài toán 1 : Đờng thẳng đi qua một điểm cắt cả hai đờng thẳng cho trớc.
3
2
2
1
1
:
1
=
=
zyx
d
( )
0532
02
:
2
=+
=+
zyx
zyx
d
Bài 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cả hai đờng thẳng:
+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng () và cắt cả hai đờng thẳng:
( )
01
02
:
=++
=++
zyx
zyx
( )
R
tz
ty
tx
Bài 4: (ĐHDL-97): Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;-1;0) và cắt cả hai đờng thẳng:
( )
2
1
1
1
1
:
1
=
+
=
zyx
d
( )
121
1
:
2
zyx
d ==
+
Bài 5: (ĐHTS-99): Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;-1;0) và cắt cả hai đờng thẳng:
( )
=+
=
):
( )
R
tz
ty
tx
d
=
=
+=
t
2
1
2
:
1
( )
03
022
:
2
1
( )
0313
23
2
:
2
=+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
Bài toán 2: Đờng thẳng đi qua một điểm vuông góc với cả hai đờng thẳng cho trớc.
Bài 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;2;3) và cắt cả hai đờng thẳng (d
1
) ,(d
2
):
a)
( )
=+
=
zx
yx
d
( ) ( )
t
2
23
31
:
2
R
tz
ty
tx
d
=
=
+=
- 9 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
01
02
:
2
=+
=++
x
zyx
d
Bài 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;1;1) và vuông góc với đờng thẳng (d
1
) và cắt (d
2
) ,biết :
( )
=+
=++
01-zy
03-zyx
: d
1
( )
=+
=+
01z
01y-x
: d
1
( )
0
01
:
2
=
=+
z
yx
d
( )
1
01
:
3
=+
az
ymx
d
Bài 5: (ĐHTL-97):Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(3;-2;-4) song song với mặt phẳng (P) :3x-2y-
3z-7=0 và cắt đờng thẳng (d) biết:
( )
2
1
2
4
3
2
:
=
+
=
zyx
d
Bài toán 4: Hình chiếu vuông góc củađiểm lên mặt phẳng
Bài 1: Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(-2;1;3) qua (P) cho bởi: 2x+y-z-3=0.
Bài 2: (ĐHKTCN-97): Cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phơng trình :2x-y+2z-3=0
a) Lập phơng trình mặt phẳng qua A và song song với (P).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Xác định toạ độ của H
Bài3: (ĐHGTVTTPHCM-99): Cho ba điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1) .Xác định toạ độ hình
chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (ABC).
Bài 4: (ĐHTCKT-2000): Cho điểm A(2;3;5) và mặt phẳng (P) có phơng trình: 2x+3y+z-17=0
a) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A và vuông gócvới (P).
:
=
=+
zx
yx
d
a) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P).
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) đối xứng với (d) qua (P)
Bài 7: (ĐHQG 1998) Cho các điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) (a,b,c dơng ). Dựng hình hộp chữ
nhật nhận O,A,B,C làm 4 đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD)
b) Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD). Tìm điều kiện đối với a,b,c để
hình chiếu đó nằm trong mặt phẳng (xOy)
Bài toán 5: Hình chiếu vuông góc của đờng thẳng lên mặt phẳng
Bài 1: (ĐHQG TPHCM 1998) Trong không gian với hệ trục toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho đờng thẳng
(d) và mặt phẳng (P) có phơng trình: (P):x+y+z-3=0 và
( )
032
03
:
=
=
=+
02z-x
03-z2y-3x
: d
( ) ( )
R
ttz
tty
ttx
Q
+=
+=
++=
21
21
21
21
t,t
5
24
=
zyx
d
và (P): x+y+z+1=0. Hãy viết phơng trình chính tắc
hình chiếu vuông góc (d
1
) của (d) lên (P) .
Bài 7: (HVQY-95): Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng
(P) có phơng trình :
( )
3
1
2
2
1
1
:
=
=
zyx
d
và (P): x+y+z+1=0.
a) Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d
1
) của (d) lên (Oxy) .
b) CMR khi m thay đổi đờng thẳng (d
1
zy
d
a) Hãy viết phơng trình hình chiếu vuông góc (
1
), (
2
) của (d
1
), (d
2
) lên (P). Tìm toạ độ giao điểm I
của (d
1
), (d
2
).
b) Viết phơng trình mặt phẳng
( )
1
P
chứa (d
1
) và vuông góc với (P).
Bài toán 6: Hình chiếu vuông góc của điểm lên đờng thẳng
Bài 1: cho điểm A(1;2;3) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
01
0922
:
12
:
.Xác định toạ độ
hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó tìm toạ độ điểm A
1
đối xứng với A qua (d) .
Bài 3: cho điểm A(2;1;-3) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
1
3
2
2
1
1
:
+
=
=
zyx
d
.Xác định toạ độ
hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó tìm toạ độ điểm A
1
đối xứng với A qua (d) .
Bài 4: (ĐHhuế /A,B phân ban 98): Trong không gian 0xyz cho điểm A(2;-1;1) và đờng thẳng (d) có
phơng trình :
( )
=++
=+++
zyx
zyx
d
và cắt với đờng thẳng đó .
Bài7: (HV BCVT-2000): Cho 2 đờng thẳng () và (d) có phơng trình :
- 11 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
( )
3
1
2
1
7
3
:
=
=
zyx
( )
1
9
=
=+
=++
tz
ty
tx
zyx
yx
d
a) (d1) , (d2) có cắt nhau hay không
b) Gọi B,C lần lợt là các điểm đối xứng của A(1;0;0) qua (d1),(d2) . Tính diện tích tam giác ABC
Bài 9: (ĐHTM-1999): Trong không gian cho đờng thẳng (d1) và mặt phẳng (P) :
( )
032:)(P
01722
0322
:
1
=+
=
=
zyx
zyx
zyx
2
=
=
hz
ymx
d
,
( )
0
:
3
=
=+
hz
ymx
d
,
( )
0
:
4
Bài 3: (ĐHhuế /A hệ cha phân ban 97):Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho mặt phẳng (P): 2x-
y+z+1=0 và hai điểm A(3;1;0), B(-9;4;9) .Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MBMA
là
lớn nhất .
Bài 4: (ĐHQG-2000):Cho mặt phẳng
(P):x+y+z-1=0 và hai điểm A(1;-3;0) ,B(5;-1;-2)
a) Chứng tỏ rằng đờng thẳng đi qua A,B cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I, tìm toạ độ điểm đó .
b) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MBMA
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: (ĐHMĐC-97):
cho ba điểm A(1;4;5) B(0;3;1) ,C(2;-1;0) và mặt phẳng (P): 3x-3y-2z-15=0.Gọi G là trọng tâm
ABC .CMR điều kịên cần và đủ để M nằm trên mặt phẳng (P) có tổng các bình phơng khoảng cách
đến các điểm A,B,C nhỏ nhất là điểm M phải là hình chiếu vuông góc của điểm G trên mặt phẳng
(P) .Xác định toạ độ của điểm M đó.
Bài 6: Cho mặt phẳng (P) 3x+3y+mz-6-m=0.
a) CMR (P) luôn đi qua một điểm cố định M, Tìm toạ độ của M.
b) Giả sử (P) cắt 0x,0y,0z theo thứ tự tại A,B,C .
c) Tính 0A,0B,0C để tứ diện 0ABC đạt giá trị nhỏ nhất .
d) Tính 0A,0B,0C để 0A+0B+0C là nhỏ nhất .
Bài toán 8: Điểm và đờng thẳng
Bài 1: Tìm trên đờng thẳng (d) điểm M(x
M
,y
M
,z
M
) sao cho
MMM
2
3
:
=
+
=
zyx
d
c)
( )
0732
0143
:
=+++
=++
zyx
zyx
d
Bài 2: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
05
03
:
2
21
:
,
( ) : 2 - - 2 1 0P x y z + =
a) Tìm toạ độ các điểm thuộc đờng thẳng(d) sao cho khoảng cách từmỗi điểm đó đến mặt phẳng (P)
bằng 1.
b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2;-1;3) qua đờng thẳng (d) .Xác định toạ độ K.
Bài 4: (ĐHHồng Đức -2000): Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d
=
+=
+=
t
2
1
1
:
và (P): x+2y+z-1=0.
a) Tìm toạ độ các điểm thuộc đờng thẳng(d) sao cho khoảng cách từmỗi điểm đó đến mặt phẳng (P)
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
b)
( )
33
2
12
:
1
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
=+
=++
zyx
yx
d
( )
012
033
:
2
=+
=++
yx
zyx
d
Bài 2: (ĐHHH-2000): Cho ba đờng thẳng (d
1
),(d
2
), (d
3
) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
d
( )
1
5
1
1
3
:
3
=
=
zyx
d
a) Xác định cosin góc giữa (d
1
),(d
2
).
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) song song với (d
3
) đồng thời cắt cả (d
1
),(d
2
).
Bài 3: Xác định số đo góc giữa đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình cho bởi :
d
và (P):2x+y+z-1=0
a) Xác định số đo góc giữa đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P).
c) Lập phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d
1
) đi qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng
(P).
Bài 5: (ĐHAN-CS-98): Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
( )
2
1
2
3
1
1
:
+
=
=
zyx
d
và (P): x+z+2=0
a) Xác định số đo góc giữa đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) là hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P).
Bài toán 10: Tam giác trong không gian
b)
( )
09242:
222
=++++ zyxzyxS
c)
( )
03936333:
222
=++++ zyxzyxS
d)
( )
07524:
222
=++ zyxzyxS
e)
( )
022:
222
=+++ yxzyxS
Bài 2: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình:
( )
04624:
2222
=++++ mmzmymxzyxS
m
a) Tìm điều kiện của m để (S
m
a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi.
c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đờng thẳng y=m(-1<m<1 ,m
0) ,cắt (C) tại T, S , đ-
ờng thẳng qua A , T cắt đờng thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi .
Bài 5: Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết :
a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4. b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x. d) Hai đầu đờng kính là A(-1;2;3),
B(3;2;-7)
Bài 6: Cho 3 đờng thẳng (d
1
),(d
2
), (d
3
) có phơng trình :
( )
1
1
4
2
3
2
3
3
1
:
3
=
+
=
+ zyx
d
a) Lập phơng trình đờng thẳng (d) cắt cả hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) và song song với đờng thẳng (d
3
).
b) Giả sử
( ) ( ) { }
Add =
1
,
( ) ( ) { }
Bdd =
2
.Lập phơng trình mặt cầu đờng kính AB.
Bài 7: Cho 2 đờng thẳng (d
2
=
=+
y
zx
d
a) CMR (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mật cầu (S) có đờng kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
d) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d
1
) và (d
2
).
Bài toán 2: Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
b)
( )
1
P
:x+2y-2z-2=0. và
( )
2
P
:x+2y-2z+4=0.
c)
( )
01445
0724
:
=++
=++
zyx
zyx
d
, d)
( )
1
P
:2x+2y-z-12=0. và
( )
2
2
P
:2x-3y+4z-10=0
Bài 3: (ĐHLN-97): Cho đờng thẳng (d) và hai mặt phẳng
( )
1
P
,
( )
2
P
,biết :
( )
2
1
3
1
2
:
+
=
=
zyx
d
,
( )
1
P
:x+y-2z+5=0. và
tz
ty
tx
d
+=
=
+=
t
2
3
1
:
,(P):x-y-z+3=0 b)
( )
01
03
:
=
=++
y
zyx
( )
R
z
ty
tx
d
=
=
=
t
1
1
:
b) Tâm I(3;-1;2) và tiếp xúc với đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
017322
0322
:
=
=
zyx
012
043
:
2
=+
=
zyx
yx
d
Lập phơng trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d
1
) tại điểm H(3;1;3) và có tâm thuộc đờng thẳng (d
2
).
Bài 3: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :
( )
01
012
:
1
1
),(d
2
) và có tâm thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d
+=
+=
+=
t
33
2
21
:
Bài 4: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :
( )
=+
zx
yx
d
a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I của chúng .
- 15 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
4
9
1
5
3
7
:
=
=
zyx
d =
=
a) CMR hai đờng thẳng đó song song với nhau.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R
z
ty
tx
d
=
=
18
1
4
3
:
2
+
=
+
=
zyx
d
a) CMR hai đờng thẳng đó song song với nhau.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
,
( )
31
23
2
:
2
+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
a) CMR hai đờng thẳng đó chéo nhau.
=++
zx
zyx
d
,
( )
01
0922
:
2
=+
=+
zy
zyx
d
a) CMR hai đờng thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của(d
1
) và (d
2
).
c)Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
=
=
+=
t
3
2
21
:
, (P):2x-y-2z+1=0.
a) (ĐHBK-98):Tìm toạ độ các điểm thuộc đờng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến
mặt phẳng (P) bằng 1.
b) (ĐHBK-98):Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2;-1;3) qua đờng thẳng (d) .Xác định toạ độ K.
c) Lập phơng trình mặt cầu tâm I cắt đờng thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB=12.
d) Lập phơng trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).
e) Lập phơng trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đờng tròn có diện tích
bằng 16
Bài toán 6: Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
- 16 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
Bài 1: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-
1;1),D(4;5;-5).
a) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 2: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA.
b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A. Gọi K
S
,A(0;-4;0), B(0;-4;0),C(3;0;0). b) S 0,A(a;0;0),B(0;b;0), C(0;0;c), với a,b,c>0.
Bài 2: Cho hình chóp SABCD .Đỉnh
)4,
2
9
,
2
1
(S
đáy ABCD là hình vuông có A(-4,5,0) ,đơngf chéo
BD có phơng trình :
( )
0
087
:
=
=+
z
yx
d
a) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chóp . b) Lập phơng trình nặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
c) Lập phơng trình mặt cầu nội tíêp hình chóp.
Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3).
a) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng (0AB), (0BC), (0CA), (ABC).
b) Xác định tâm I của mặt cầu nội tiếp tứ diện 0ABC .
cách từ M đến (d) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,biết:
- 17 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
a)
( )
R
tz
ty
tx
d
=
+=
=
t
1
1
2
:
b)
( )
012
032
:
Bài 4: (ĐHPCCC-2000): Cho đờng tròn (C) có phơng trình :
( )
=
=++
0
14
:
222
z
zyx
C
.Lập hơng trình
mặt cầu chứa (C) và tiệp xúc với mặt phẳng: 2x+2y-z-6=0.
Bài 5: (CĐHQ-96): Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
( )
9)1()2()3(:
222
=+++ zyxS
,(P):x+2y+2z+11=0. Tìm điểm M sao cho M thuộc (S) sao cho
khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P) nhỏ nhất .
Bài toán 11: Vị trí tơng đối của hai mặt cầu
Bài 1: Cho hai mặt cầu:
( )
0722:
222
1
=++ yxzyxS
) và (S
2
) cắt nhau.
b) Viết phơng trình mặt cầu qua giao điểm của (S
1
) và (S
2
) qua điểm M(-2;1;-1).
- 18 -
Copyright: Tài liệu đại học ©