Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
1) Dạng 1 : Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có
cạnh BC = a
2
và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a.
Tính thể tích khối lăng trụ này.
Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện
tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình
vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp
này.
Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60
0
. Đường chéo
lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.Tính thể tích hình hộp .
* Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a.
Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. ĐS:
3
a 3
V
4
=
; S = 3a
2

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng
BD' a 6

2
. Tính thể tích khối lập
phương
Đs: V = 8
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường
chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Đs: V = 0,4 m
3

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là
5; 10; 13
.
Tính thể tích khối hộp này . Đs: V = 6
Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b ,
µ
0
60C =
. Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) một góc
0
30
.
1/Tính độ dài đoạn AC’
2/Tính V khối lăng trụ.
1
Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’
cách đều các điểm A,B,C.Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 60
0
.
1/ Tính V khối lăng trụ.
2/ CMR: mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật.

.
3/ Tính V khối tứ diện A’AMN.
4/ Tính
AMN
S
V
.
Bài 16: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a ,đáy ABC là tam giác vuông tại
A, AB =a,
AC a 3=
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh
BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’,B’C’.
Bài 17: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông ,AB=BC=a, cạnh bên
AA ' a 2=
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và
khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM,B’C.
Bài 18: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’có cạnh đáy bằng a và 1 điểm D trên cạnh
BB’.Mặt phẳng qua các điểm D,A,C tạo với mặt đáy (ABC) 1 góc
α
và mp qua các điểm
DA’C’ tạo với mặt đáy A’B’C’ 1 góc
β
.Tính V lăng trụ .
Bài 19: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ .Đáy ABC là tam giác cân có AB=AC =
0
120
.Đường
chéo của mặt BB’C’C bằng d và tạo với mặt đáy góc
α
. Tính

Bài 24: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’,trong đó ABC là tam giác đều cạnh c, A’H
vuông góc với mp(ABC).(H là trực tâm của tam giác ABC ), cạnh bên AA’ tạo với mp(ABC) 1
góc
α
.
2
Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
1/ Cmr: AA’
BC
⊥
2/ Tính V của khối lăng trụ .
Bài 25: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A’B’C’D’E’F’ cạnh bên l, mặt chéo đi qua 2
cạnh đáy đối diện nhau hợp với đáy 1 góc
0
60
.Tính V lăng trụ.
2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 60
0
.Tính thể tích lăng trụ.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC
= a ,
¼
ACB
= 60
o
biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 30
0
. Tính AC' và thể tích lăng trụ.

a 3
V
2
=

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với
mặt bên (BCC'B') một góc 30
o
. Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS:
AB' a 3
=
;
3
a 3
V
2
=
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết AC = a và
¼
o
ACB 60
=
biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30
o
. Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác
ABC'.
ĐS:
3
6
V a

1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương .
3
Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60
o
.
3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30
o
. Đs:1)
3
2a 6
V
9
=
;2)
3
a 3
V
4
=
;3)
3
4a 3
V
9
=
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a. Tính thể
tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60
o

3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 60
0
.Tính thể tích lăng trụ.
Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với
đáy một góc 30
0
và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp
với đáy (ABCD) một góc 60
o
.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy
(ABCD) một góc 60
o
và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30
o
.Tính thể tích khối hộp chữ
nhật.
* Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD
một góc 30
o
và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 60
0
. Tính thể tích hộp chữ nhật.
Đs:
3
2a 2

=

4
Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h
biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60
o
. Tính thể tích lăng trụ. Đs:
3
h 2
V
4
=

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a. Tính thể tích
lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60
o
.
2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45
o
.
3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
Đs: 1)
3
V a 3
=
; 2) V =
3
a 3

a 6
2
V
=
; 2) V =
3
a
; V =
3
a 2
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCDA'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A =
60
o
. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60
o
.
2)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng
a
2
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 45
0
Đs: 1)
3
3a 3
V
4
=
; 2) V =
3

a 3
và hợp với đáy ABC một góc 60
o
. Tính thể tích lăng trụ.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình
chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy
ABC một góc 60 .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .
5
Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB =
3
AD =
7
.Hai
mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 45
0
và 60
0
.

Tính thể tích khối
hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp với
đáy ABCD một góc 45
o
. Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =
3

.
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'. Đs:
3
3a 3
V
8
=
Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a hợp
với đáy ABC 1 góc 60
o
và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .
1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.
2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'. Đs: 1)
2
a 3
S
2
=
2)
3
3a 3
V
8
=
Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc
hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
2) Tính thể tích lăng trụ. Đs: 1) 30
o

a 2
V
2
=
Bài 10: Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60
o
. chân
đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a.
1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy. Đs: 60
o
6
Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp. Đs:
3
2
3a
V &S a 15
4
= =
LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1) Dạng 1 : Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng
vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60
o
.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .
2)Tính thể tích hình chóp .
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với

o
và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60
o
.Chứng minh rằng SC
2

= SB
2
+ AB
2
+ AC
2
. Tính thể tích hình chóp. Đs:
3
a 3
V
27
=
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD
⊥
(ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm, BC = 5 cm.
1) Tính thể tích ABCD. Đs: V = 8 cm
3
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Đs: d =
12
34
Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc
¼
o
BAC 120

(ABCD), SC
hợp với đáy một góc 45
o
và AB = 3a , BC = 4a. Tính thể tích khối chóp. Đs: V = 20a
3

Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60
o
và
SA
⊥
(ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đs:
3
a 2
V
4
=
Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB=BC=a,
AD=2a, SA
⊥
(ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60
o
. Tính thể thích khối chóp SABCD.
Đs:
3
a 6
V
2
=

1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
2) Tính thể tích khối chóp SABC. Đs:
3
a 3
V
24
=
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một
góc 45
o
. Tính thể tích của SABC. Đs:
3
a
V
12
=
Bài 3: Cho hình chóp SABC có
¼ ¼
o o
BAC 90 ;ABC 30= =
, SBC là tam giác đều cạnh a và
(SAB)
⊥
(ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. Đs:
2
a 2
V
24
=

Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong
mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30
o
.Tính thể tích hình
chóp SABCD. Đs:
3
a 3
V
4
=
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, (SAB)
⊥
(ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30
o
.Tính thể tích hình
chóp SABCD. Đs:
3
8a 3
V
9
=

Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD
vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD.
Đs:
3
a 5
V
12
=

Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45
o
.
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC . Đs: SH =
a
3
2) Tính thể tích hình chóp SABC. Đs:
3
a
V
6
=
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60
o
.
Tính thể tích hình chóp SABC. Đs:
3
a 3
V
24
=
Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30
o
. Tính thể tích
hình chóp. Đs:
3
h 3
V
3

. Tính
thể tích hình chóp. Đs:
3
2h
V
3
=
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45
o
và khoảng
cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a.
Tính thể tích hình chóp . Đs:
3
8a 3
V
3
=
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60
o
.
Tính thề tích hình chóp. Đs:
3
a 3
V
12
=
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng
SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của
nó bằng
3

10
Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
3/ Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho .
Bài 16: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao
R 3
.A và B là 2 điểm trên 2 đường tròn
đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là
0
30
.
1/ Tính
;
xq tp
S S
của hình trụ .
2/ Tính V khối trụ tương ứng.
Bài 17: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc
vuông bằng a .
1/ Tính
;
xq tp
S S
của hình nón.
2/ Tính V khối nón tương ứng.
Bài 18: Cho một tứ diện đều có cạnh là a .
1/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
2/ Tính S mặt cầu.
3/ Tính V khối cầu tương ứng.
Bài 19: Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a ,cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
0

S
của mặt nón.
Bài 23: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc
·
ASB
=α
.
1/ Tính
xq
S
của hình chóp.
2/ Cm rằng đường cao của hình chóp bằng :
2
a
cot 1
2 2
α
−
3/ Gọi O là giao điểm các đường chéo của đáy ABCD .Xác định góc
α
để mặt cầu tâm O đi
qua 5 điểm S,A,B,C,D.
Bài 24: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ,các cạnh bên tạo với
đáy một góc
0
60
.Tính V khối chóp đó.
Bài 25: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB=AC=5a ,BC =6a, và các mặt bên tạo
với đáy một góc
0

V
.
Bài 32: Tính V khối tứ diện đều cạnh a.
Bài 33: Tính V khối bát diện đều cạnh a.
Bài 34: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ .Tính tỉ số V khói hộp đó và V khối tứ diện ACB’D’.
Bài 35: Cho hình chóp S.ABC.Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác
với S. CMR:
S.A 'B'C'
S.ABC
V
SA ' SB' SC'
. . .
V SA SB SC
=
Bài 36: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB=a .Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với đáy một
góc
0
60
.Tính V khối chóp đó .
Bài 37: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a ,BC=6a ,CA=7a.Các mặt bên SAB,SBC,SCA
tạo với đáy một góc
0
60
. Tính V khối chóp đó .
Bài 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB=a,
AD=b, SA =c. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho
AB' SB,AD' SD
⊥ ⊥
. Mặt
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.Tính V khối chóp đó .

3/ Tính V khối chóp S.AB’C’.
12
Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
Bài 43: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=2a,
ABCV
vuông ở C có AB=2a,
·
0
CAB 30
=
. Gọi
H,K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB .
1/ Tính V khối chóp H.ABC.
2/ CMR:
AH SB
⊥
và
SB mp(AHK )
⊥
.
3/ Tính V khối chóp S.AHK.
Bài 44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ,SA=a ,
SB a 3
=
và
mp(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC
.Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDNvà tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM,DN.
Bài 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,mặt bên SAD là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh
SB,BC,CD. CMR:

AD a 2
=
, SA= a và
SA mp(ABCD)
⊥
. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC .
1/ Cmr:
mp(SAC) mp(SMB)
⊥
2/ Tính V khối tứ diện ANIB.
Bài 50: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =2a và
SA mp(ABC)
⊥
. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC.
Tính V khối chóp A.BCMN.
Bài 51: Cạnh đáy của 1 hình chóp tam giác đều bằng a; mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy 1
góc
α
.Tính V khối chóp .
Bài 52: Cho 1 hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo B’D=a tạo thành với mặt
phẳng đáy ABCD 1 góc bằng
α
và tạo thành với mặt bên AA’D’D 1 góc bằng
β
.Tính V của hình
hộp chữ nhật trên.
Bài 53: Đường sinh của 1 hình nón có độ dài bằng a và tạo thành với đáy 1 góc
α
. Tính diện tích
xung quanh và thể tích hình nón .

S
và V của hình chóp.
13
Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
Bài 57: Đáy của hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là 1 tam giác cân có AB=AC =a và
µ
A 2= α
.
Góc giữa mặt phẳng đi qua 3 đỉnh A’,B,C và mặt đáy( ABC) bằng
β
. Tính
xq
S
và V của hình lăng
trụ đó .
Bài 58: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S.Trong đáy của hình nón đó có hình vuông ABCD nội tiếp,
cạnh bằng a .Biết rằng
·
ASB
= 2
α

( )
0 0
0 45
< α <
. Tính V và
xq
S
của hình nón .

a 3
, đường cao SA=a.Mặt phẳng
qua A và vuông góc với SB tại H cắt SC tại K. Tính SK và
AHK
S
V
.
Bài 64: Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình bình hành ABCD có diện tích bằng
2
a 3
và góc
giữa 2 đường chéo bằng
0
60
.Biết rằng các cạnh bên của hình chóp nghiêng đếu trên mặt đáy 1
góc
0
45
.
1/ Chứng tỏ ABCD là hình chữ nhật.
2/ Tính V của hình chóp đó .
Bài 65: Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và B, AB=BC= 2a;
đường cao của hình chóp là SA =2a .
1/ Xác định và tính đoạn vuông góc chung của AD và SC .
2/ Tính V của hình chóp đó .
Bài 66: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA =x ,còn tất cả các cạnh khác có độ dài bằng 1.
1/ C/m:
SA SC
⊥
2/ Tính V của hình chóp đó .

·
·
0
BOH COH 30
= =
. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại O, lấy điểm
A sao cho OA =OB .
14
Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
1/ Tính V của tứ diện OABC.
2/ Tính
[ ]
d O;(ABC)
theo h .
Bài 72: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA =x và các cạnh còn lại đều bằng 1 .
1/ C/m :
SA SC⊥
.
2/ Tính V của hình chóp .Xác định x để bài toán có nghĩa.
Bài 73: Tính V của khối tứ diện ABCD , biết AB =a, AC=AD=BC=BD=CD=
a 3
.
Bài 74: Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA=SB =SC =d và
·
0
ASB 90
=
,
·
0

=
.
1/ C/m:
SADV
là tam giác vuông .
2/ Tính V của hình chóp S.ACD. Suy ra
[ ]
d C;(SAD)
.
Bài 78: Bên trong hình trụ tròn xoay có 1 hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 đỉnh liên tiếp
A,B nằm trên đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ 2 của
hình trụ.Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ 1 góc
0
45
.Tính
xq
S
và V của hình trụ đó.
Bài 79: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tròn tâm Obán kính R và
µ
0
A 120
=
.
Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm S sao cho SA=
a 3
.
1/ Tính V tứ diện SABC theo a và R.
2/ Cho R =2a, gọi I là trung điểm của BC.Tính số đo giữa SI và hình chiếu của nó trên
mp(ABC).

. Một mp(P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD), lần lượt cắt SC và SD tại C’ và D’.
1/ Tính S tứ giác ABC’D’
2/ Tính V hình đa diện ABCDD’C’.
15
Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
Bài 85: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB =a và góc
·
SAB
= α
.Tính V
của hình chóp S.ABCD theo a và
α
.
Bài 86: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và vuông
góc với mặt phẳng đáy.
1/ Tính
TP
S
của hình chóp.
2/ Hạ AE
SB
⊥
,
AF SD
⊥
. C/m:
SC mp(AEF)
⊥
.
Bài 87: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và

[ ]
d A;(SBC)
.
Bài 90: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ,biết AB=2a ,BC =a ,các cạnh bên của
hình chóp bằng nhau và bằng
a 2
.Tính V hình chóp .
Bài 91: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D,AB=AD=a,
CD=2a .Cạnh bên SD
mp(ABCD)
⊥
,SD
a 3=
.Từ trung điểm E của DC dựng EK
SC
⊥
(K
SC)
∈
.Tính V hình chóp S.ABCD theo a và
SC mp(EBK)
⊥
.
Bài 92: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông .
SA (ABCD)
⊥
, SA=
a 6
.H là hình
chiếu của A lên SD .

1/ Tính V của khối chóp S.ADE.
2/ Tính
[ ]
d E;(SAB)
. 4) Dạng 4 : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B,
2AC a
=
, SA vuông góc
với đáy ABC ,
SA a
=
.
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
16
Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (
α
) qua AG và song song với BC cắt SC,
SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC vuông cân ở A và
AB a
=
. Trên đường thẳng qua C và vuông góc
với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho
CD a
=

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể tích
của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD. Đs:
1
k
4
=

Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m
3
,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho
AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'. Đs: V = 2 m
3
Bài 3: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho
a 2a
AB ;AC'
2 3
= =
. Tính thể tích tứ diên AB'C'D . Đs:
3
a 2
V
36
=

Bài 4: Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m
3
.Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N trên
AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP. Đs: V = 1 m
3

a h
V
9
=
Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.Mặt
phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể tích 2 phần này.
Đs:
1
k
2
=
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho
SM
x
SA
=
Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
Đs:
5 1
x
2
−
=5) Dạng 5 : Ôn tập khối chóp và lăng trụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa
SC và đáy bằng
60
ο

2
. M là trung
điểm AA
1
. Tính thể tích lăng trụ MA
1
BC
1
Đs: V =
12
2
3
a
Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA
⊥
(ABC).
¼
ACB
= 60
o
, BC = a, SA = a
3
,
M là trung điểm SB.Tính thể tích MABC . Đs: V
MABC
=
3
4
1
a

Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD =
3
và góc giữa 2 đường
chéo bằng 60
o
, các cạnh bên nghiêng đều với đáy 1 góc 45
o
. Tính VSABCD.
Đs:
3
V
3
=
Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a, ASB = 60
o
, BSC = 90
o
, CSA = 120
o
. Chứng
minh rằng ∆ABC vuông .Tính VSABC . Đs:
a 2
V
12
=

Bài 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a ,SB=
3a
và mặt
phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB.BC.

2. H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng OH vuông góc với (ABC).
3. Kẻ OH vuông góc với (ABC) tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC.
4. Chứng minh rằng: S
2
ABC
= S
2
OBC
+S
2
OAC
+S
2
OAB
5. Cho OA = a, OB = b, OC = c. Tính diện tích tam giác ABC.
6. Cho OA = a, OB = b, OC = c. T ính khoảng cách từ O đến (ABC)
7. Cho OA = a, OB = b, OC = c. T ính OG với G là trọng tâm tam giác ABC.
8. H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng: S
2
OBC
= S
ABC
.S
HBC

9. Gọi
α
,
β
,

2
α
+sin
2
β
+sin
2
ϕ
=2.
13.M tuỳ ý thuộc miền tam giác ABC.
∠
AOM=
α
,
∠
BOM=
β
,
∠
COM=
ϕ
. Chứng minh rằng cos
2
α
+cos
2
β
+cos
2
ϕ

1) Tính thể tích khối chóp M.AB’C
2) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C).
Bài 7*: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC,
SD lần lượt tại B’, C’, D’. Biết AB = a,
SB' 2
SB 3
=
. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
Bài 8*: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, cạnh đáy BC =
a
2
và AA’= a. Tính thể tích của khối tứ diện AA’B’C.
20
Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
Bài 9*: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A,
·
0
ABC 60
=
, AB = a (a > 0), H là trung
điểm AB, SH vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SHC) là
0
30
.
1) Tính độ dài đường cao hình chóp S.ABC.
2) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 10*: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân, cạnh đáy BC = 2a và
·
BAC = α
,

a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
c / Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối chóp .Hãy kể tên 2 kchóp đó
Bài 5:Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB=60
o
. Tính thể tích
hình chóp SABCD theo a
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hìnhvuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a.
Tính đường cao và thể tích khối chóp theo a.
Bài 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.(Thi TNTHPT 2007 Lần 1)
Bài 8: Cho hình chóp tứ giácS.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , cạnh bên SAvuông góc
với đáy và SA = AC . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD .(Thi TNTHPT 2007 Lần 2)
Bài 9:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác
ABC
vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc
với mặt
phẳng
(
ABC
)
. Biết Biết

AB
=
a, BC
=
a 3


Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Biết góc BAC = 120
0
, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
[TNTHPT 2009]
Bài 12: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông
góc với đáy, góc của cạnh SC với mặt bên SAB là α. Cho SA = a.
a) Chứng minh rằng
·
BSC = α
và
asin
AB
cos2
α
=
α
.
b) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
Bài 13: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a) Tính độ dài đường cao AH của khối tứ dĩện.
b) Gọi M là một điểm bất kỳ trong khối tứ diện. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến
4 mặt của tứ diện là một số không đổi.
Bài 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và
·
ASB 2= α
.
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp. ĐS:


c) Mặt phẳng (P) qua CD cắt SA tại M; SB tại N. Tứ giác CDMN là hình gì.
Bài 16: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a. Hai mặt ( ABC) và (ASC) cùng vuông góc với
(SBC). Tính thể tích hình chóp. ĐS: a
Bài 17: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a , biết SA vuông
góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60.
a/. Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông.
b/. Tính thể tích hình chóp. ĐS: V =
Bài 18: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết SA vuông góc với đáy ABC
và (SBC) hợp với đáy một góc 60. Tính thể tích hình chóp. ĐS: a
Bài 19: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc với đáy
ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60.
a/. Tính thể tích khối chóp SABCD.
b/. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). ĐS: V = ; AH =
Bài 20: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30. Tính thể tích hình chóp. ĐS:
Bài 21: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h, biết tam giác ABC đều và
mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30. Tính thể tích khối chóp SABC.
ĐS:
22
Chuyên đề hình học không gian luyện thi Đại học
Bài 22: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB =
a, SC hợp với (SAB) một góc 30 và (SAC) hợp với ( ABC) một góc 60. Chứng minh rằng
SC = SB + AB + AC. Tính thể tích hình chóp . ĐS:
Bài 23: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc ( ABC) biết AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.
a/. Tính thể tích ABCD.
b/. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ABCD). ĐS: V = 8 cm. d =
Bài 24: Cho khối chóp SABC có đáy ABC cân tại A với BC = 2a, góc = 120, Biết SA ⊥ (ABC) và
mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45. Tính thể tích khối chóp SABC.
ĐS: V =

. Tính thể tích tứ diện ABCD.
ĐS: V =
3
1
S
BCD
.AH =
2
1
.
3
1
BC.HD.AH =
9
3
3
a
Bài 32: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông
góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45
o
.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC. ĐS: V
SABC
=
3
1
S
ABC
.SH =

cân tại S, nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD.
ĐS: V =
Bài 42: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D. AD = CD = a ; AB = 2a biết
tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp
SABCD. ĐS: V =
Bài 43: Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. chứng minh rằng chân
đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể tích chóp đều SABC.
ĐS: a
Bài 44: Cho khối chóp tứ giác có tất cả các cạnh có độ dài bằng a.
a/. Chứng minh SABCD là chóp tứ giác đều.
b/. Tính thể tích khối chóp SABCD. ĐS: V =
Bài 45: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. M là trung điểm DC.
a/. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b/. Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC). Suy ra thể tích hình chóp MABC.
ĐS: V =
Bài 46: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a, hợp với đáy ABC một góc 60. Tính thể tích khối
chóp. ĐS: V =
Bài 47: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên bằng a, góc ở đáy của mặt bên là 45.
a/. Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC. ĐS: SH =
b/. Tính thể tích hình chóp SABC. ĐS:
Bài 48: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một
góc 60. Tính thể tích hình chóp SABC. ĐS: V =
Bài 49: Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h hợp với mặt bên một góc 30. Tính thể tích
hình chóp. ĐS: V =
Bài 50: Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60. Tính
thể tích khối chóp. ĐS: V = h
Bài 51: Cho hình chóp tứ giác đều SBACD có cạnh đáy a và = 60.
a/. Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. ĐS: S =
b/. Tính thể tích hình chóp. ĐS: V =
24

lăng trụ 96cm . Tính thể tích lăng trụ.
Bài 12 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng a .
a/ Tính thể tích khối LP theo a
b/ Tính thể tích của khối chóp A. A’B’C’D’ theo a .
Bài 13 : Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a .
a/ Tính thể tích khối lăng trụ theo a .
b/ Tính thể tích của khối chóp A’. ABC theo a .
Bài 14: Một hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân (AB = AC = a). Đường chéo
BC’ của mặt bên BCC’B’ tạo với mặt bên ACC’A’ góc α.
a) Chứng minh rằng
·
AC'B = α
.
b) Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ.
Bài 15: Một khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường
vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.(ĐS: 30
0
)
25

Trích đoạn Xác định tâm và bán kính mặt cầu nĩi trên.

---