UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán – Lớp 12 – THPT
Câu
Lời giải sơ lược
Điểm
1
3,0
Giao điểm của (C) với Ox là
 
1;0A
, giao điểm của (C) với Oy là
 
0; 1B 
.
PT đường thẳng AB là
1x y 
;
2AB 
1,0
Do hoành độ của A và B đều lớn hơn
1
nên tọa độ của
1
; , 1
1
x
M x x

2 2 2
2
6 1 6 1 5 6 0
3
x
x x x x x x x x
x
 

             

 

1,0
Từ đó tìm được tọa độ điểm M là
 
2;3M 
hoặc
 
3;2M 
.
0,5
2.1
2,5
PT
2 4
1 2cos(2 ) 1 cos(2 ) 1 sin 2cos(2 ).cos sin 1
3 3 3
x x x x x
  

1,5
2.2
2,5
Đặt
2
logt y
hệ trở thành
 
 
 
 
3
3 2
1 3 3 0
2 3 2 0
t x x t
x t t x

    


    


0,5
TH1:
1
2, 1
2
x t y     



TH3:
3
2 2
3 3 0
5 32
2 0
x x
x x t
t y
x
   

   
 
 
  
 
 
 

1,0
TH4:
   
   
2
3 3
3 2 3 2 2
1 1 2

0,5
Với
2x 
và
1 1, 2t x t     
ta có
                   
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 0t x x t t x x t t x
 
              
 
(vô
nghiệm).
Vậy nghiệm của hệ là
     
1 1
; 0; , 2; , 2;32 , 2;2
2 2
x y
 
   
  
 
   
   
 
0,5
3.1
2,5

 
 
   
 
.
Ta có
2 2
1 5
, 3
3 3
2 3 2
c c c
BI CI CE AC IE CE CI IB IE          
 
Từ đó tìm được tọa độ điểm
 
4;5 .B
0,5
Gọi
 
3 1;C a a
ta có
   
2 2
2
1
2 2 5 3 5 5 20 10 40 30 0
3
a
BC BI a a a a

, 3 2 ,d I P d M P 
,
3 3
2
IM R 
nên M nằm trong (S). Gọi
 
K MI P 
.
Do
 
 
 
 
, 2 , 2d I P d M P IK MK  
mà
IK IM
nên M là trung điểm của KI nên tọa độ
 
2;1;2K
0,5
Gọi
 
2 2 2
; ; , 0n a b c a b c   

ta có
   
/ / 2 2 0 2 2 ;2 2 ;d P a b c b c a n a c a c         


4 10 4 0
2
a c
a ac c
c a


    



0,5
Với
2a c
chọn
2 1, 2a c b    
PT của
 
:2 2 4 0.P x y z   
Với
2a c
chọn
1 2, 2a c b   
PT của
 
: 2 2 8 0.P x y z   
1,0
4
2,0
H

2 24
M ABC
ABC
ABC
V
S AB AC MH
S
     
2 2 2
1 1 1
24 . . . 24 3 25 4 25 5 25
2 2 2
tp
S MD AB ME AC MF BC x y y          
2 2 2
24 225 9 400 16 625 25x y z      
0,5
Sử dụng bất đẳng thức
u v w u v w    
     
với
     
15;3 , 20;4 , 25,5u x v y w z  
  
ta
được
     
2 2 2
2
24 15 20 25 3 4 5 60 2 12 41

3 1t x t dt dx
x x
 
    
 
 
;
3
7
1 0; 2
4
x t x t     
0,5
3
3
7
7
4
4
3
4
3
0
0
3 21 14
3
4 32
t
I t dt  


2 4 2014 3
A C C C C
C C C C C C C
    
        
0,5
Tính được
0 2 4 2014 2013
2014 2014 2014 2014
2C C C C    
0,5
Chứng minh
1
2014 2013
2014 , , ,0 .
k k
kC C k n k n

    
Suy ra,
 
2 4 2014 1 3 2013 2012
2014 2014 2014 2013 2013 2013
2 4 2014 2014 2014.2C C C C C C       
Vậy
2012 2013 2013
2014.2 3.2 1010.2A   
.
Lưu ý: Học sinh có thể sử dụng đạo hàm để giải bài toán này.
1,0

1, 1u v 
nên
2014 2014 2012 2012
1u v u v   
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
 
1
0
0,
1
0
u loai
u
a c b d
v
v





    
 






Do vai trò như nhau nên trường hợp một trong các biến b, c, d bằng 0 cũng tương tự đều dẫn

     
;
1 
;
0x 
1 1
'( ) ( )f x x m n x
 

 
 
   
 
'( ) 0
2
m n
f x x

   
Từ bảng biến thiên suy ra PT f(x) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm
Mà
( ) ( ) 0f m f n 
nên
 
0
x m
f x
x n



 
   
2
2 2 2
2
1 1 3 3 2 3 4 2a a b b a a a a              
4 2 6a a    
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0 0a b c d    
(không thỏa mãn giả thiết)
Vậy
2 2 2 2 2 2
2 2 3 4 2 2 3 4 4 4 6.a b c d c d a b a d c             
0,5
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập
luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa.
2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng
không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình
chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.
3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm