Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng.

ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
VÀ ỨNG DỤNG
Trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng thường có câu khảo sát hàm số và
các vấn đề liên quan đến đồ thị hàm số. Một nội dung thường gặp là vẽ đồ thị của hàm số có
chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng của nó. Đây là vấn đề mà học sinh thường cảm thấy
lúng túng và khó khăn khi gặp phải.
Bài viết này cung cấp cho giáo viên một tài liệu tham khảo để hướng dẫn học sinh giải
quyết trọn vẹn và nhanh gọn khi gặp bài toán dạng này.
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.
1. Các phép biến đổi đơn giản.
a. Hai điểm
( )
; M x y
và
( )
;M x y
′
−
đối xứng với nhau qua trục hoành .
b. Hai điểm
( )
; M x y
và
( )
; M x y
′
−
đối xứng với nhau qua trục tung .
c. Hai điểm

đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.
Hệ quả 1. Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hệ quả 2. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Từ các kết quả trên ta có các dạng cơ bản về đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
II. CÁC DẠNG CƠ BẢN.
Dạng 1. Từ đồ thị (C) của hàm số
( )
y f x=
, suy ra cách vẽ đồ thị (G) của hàm số
( )
y f x=
Lời giải. Ta có
( )
( ) ( )
( ) ( )
khi 0
khi 0
f x f x
y f x
f x f x
 ≥

= =

− <


Suy ra
( ) ( ) ( )
1 2

Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng.

Dạng 2. Từ đồ thị (C) của hàm số
( )
y f x=
, suy ra cách vẽ đồ thị (H) của hàm số
( )
y f x=
Lời giải. Vì
x x− =
nên
( )
y f x=
là hàm số chẵn, suy ra đồ thị (H) nhận trục tung làm trục
đối xứng. Vì vậy
( )
( )
3 4
( )H C C= ∪
với
( )
3
C
là phần đồ thị của (C) nằm bên phải trục tung
( )
0x ≥
, còn
( )
4
C

≥

= =

− <


Suy ra
( ) ( )
1 2
( )K H H= ∪
với
( )
1
H
là phần đồ thị của (H) của hàm số
( )
y f x=
nằm phía
trên trục hoành
( )
( )
0
H
y ≥
, còn
( )
2
H
là phần đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (H) ở

( )
u x
y
v x
=
Lời giải.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
khi 0
khi 0
u x
u x
v x
u x
y
v x
u x
u x
v x

≥


= =

−
=
−
, vẽ đồ thị (L) của hàm số
2 4
3
x
y
x
−
=
−
.
Ta có
2 4
khi 2
2 4
3
2 4
3
khi 2
3
x
x
x
x
y
x
x
x

y
v x
=
.
Lời giải.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
khi 0
khi 0
u x
v x
v x
u x
y
v x
u x
v x
v x

>


= =


2 4
3
x
y
x
−
=
−
, vẽ đồ thị (M) của hàm số
2 4
3
x
y
x
−
=
−
.
Ta có
2 4
khi 3
2 4
3
2 4
3
khi 3
3
x
x
x

, suy ra cách vẽ đồ thị (N) của hàm số
( )
( )
u x
y
v x
=
.
Lời giải.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
khi 0
khi 0
u x u x
v x v x
u x
y
v x
u x u x
v x v x

≥

là phần đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành
( )
( )
0
C
y <
.
Ví dụ 6. Từ đồ thị (C) của hàm số
2 4
3
x
y
x
−
=
−
, vẽ đồ thị (N) của hàm số
2 4
3
x
y
x
−
=
−
.
Ta có
2 4 2 4
khi 0
2 4

Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng.Dạng 7. Từ đồ thị (C) của hàm số
( )
( )
u x
y
v x
=
, suy ra cách vẽ đồ thị (Q) của hàm số
( )
( )
u x
y
v x
=
.
Lời giải. Vì
x x− =
nên
( )
( )
u x
y
v x
=
là hàm số chẵn, suy ra đồ thị (Q) nhận trục tung làm trục
đối xứng. Vì vậy
( )

2 4
3
x
y
x
−
=
−
.Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 5
Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng.

Dạng 8. Từ đồ thị (C) của hàm số
( )
( )
u x
y
v x
=
, suy ra cách vẽ đồ thị (R) của hàm số
( )
( )
u x
y
v x
=
Lời giải.
( )

( ) ( )
1 2
R Q Q= ∪
với
( )
1
Q
là phần đồ thị (Q) của hàm số
( )
( )
u x
y
v x
=
nằm phía trên
trục hoành
( )
( )
0
Q
y ≥
, còn
( )
2
Q
là phần đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (Q) ở phía
dưới trục hoành
( )
( )
0

khi 0
3 3
x x
f x
x x
x
y
x
x x
f x
x x

− −
= ≥

− −
−

= =

−
− −

− = <

− −

Suy ra
( ) ( )
1 2

3 2
2 9 12 4y x x x= − + −
.
2) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt
3
2
2 9 12x x x m− + =
.

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 6
Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng.

Lời giải.
1) Đồ thị (C) của hàm số
3 2
2 9 12 4y x x x= − + −
như hình vẽ

2) Áp dụng dạng 2, từ đồ thị (C) của hàm số
3 2
2 9 12 4y x x x= − + −
ta vẽ được đồ thị
( )
1
C
của hàm số
3
2
2 9 12 4y x x x= − + −
.

Lời giải.
1) Đồ thị (C) của hàm số
4 2
2 4y x x= −
như hình vẽ.Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 7
Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng.

2) Áp dụng dạng 1, từ đồ thị (C) của hàm số
4 2
2 4y x x= −
ta vẽ được đồ thị
( )
2
C
của
hàm số
4 2
2 4y x x= −
.
Từ đó suy ra phương trình
2 2
2x x m− =
có đúng 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi
phương trình
4 2
2 4 2x x m− =
có đúng 6 nghiệm thực phân biệt

3y x x= −
như hình vẽ.2) Ta có phương trình
( )
sin cos2 5 2t t m+ =
( )
2
sin 1 2sin 5 2t t m⇔ − + =

( )
2
sin 3 sint t m⇔ − =
3
sin 3sint t m⇔ − =
(1)
Đặt
sinx t=
, vì
[
)
0; 2t
π
∈
nên
[ ]
1; 1x∈ −
và mỗi giá trị
( )

=
.
Khi đó phương trình (1) trở thành
3
3x x m− =
(2)
Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt
[
)
0; 2t
π
∈
khi và chỉ khi phương trình (2) có hai
nghiệm phân biệt
( )
1; 1x ∈ −
⇔
Đường thẳng
y m=
cắt đồ thị (G) của hàm số
3
3y x x= −
tại
hai điểm phân biệt có hoành độ thuộc
( )
1; 1−
.
Áp dụng dạng 1, từ đồ thị (C) của hàm số
3
3y x x= −

tan
cos
t m
t
− =
có 6 nghiệm phân biệt
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 ÷
 
.
Lời giải.
1) Đồ thị (C) của hàm số
4 2
2 2y x x= − −
như hình vẽ.2) Ta có phương trình
4
2
2
tan
cos
t m
t

2 2x x m⇔ − − =
(2)
Suy ra phương trình (1) có 6 nghiệm t phân biệt thuộc
;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
khi và chỉ khi phương trình
(2) có 6 nghiệm x phân biệt thuộc
¡
⇔
Đường thẳng
y m=
cắt đồ thị
2
( )C
của hàm số
4 2
2 2y x x= − −
tại 6 điểm phân biệt.
Áp dụng dạng 1, từ đồ thị (C) của hàm số
4 2
2 2y x x= − −
, suy ra đồ thị
2
( )C
của hàm số

1; 2x ∈ −
của phương trình sau
( )
2 0m x m− − =

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 9
Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng.

3) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm t phân biệt :
( )
1
2 0m t m
t
− + − =
.
Lời giải.
1) Đồ thị (C) của hàm số
2
1
x
y
x
=
−
như hình vẽ2) Ta có phương trình
( )
2 0m x m− − =

( )
3
C
của hàm số
2
1
x
y
x
=
−
và đường thẳng
y m=
trên khoảng
( )
1; 1−
hoặc nửa khoảng
(
]
1; 2
.
Áp dụng dạng 2, từ đồ thị (C) của hàm số
2
1
x
y
x
=
−
suy ra đồ thị

0 4m
< <
: phương trình (1) vô nghiệm .
+
4m =
: phương trình (1) có 1 nghiệm
2x =
.
+
4m >
: phương trình (1) có 1 nghiệm
( )
1; 2x∈
.
3) Điều kiện
0t ≠
. Ta có
( )
1
2 0m t m
t
− + − =

1 1
1 2m t t
t t
 
⇔ + − = +
 ÷
 

(3)
Chú ý rằng
1
x t
t
= +

2
1 0t xt⇔ − + =
(
)
2
1
4
2
t x x⇔ = ± −
nên mỗi giá trị
( ) ( )
; 2 2;x ∈ −∞ − ∪ +∞
tương ứng với hai
giá trị
{ }
\ 0t ∈¡
. Suy ra:
Phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt
0t
≠
khi và chỉ khi phương trình (3) có
2 nghiệm
( ) ( )

+
=
−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2) Tìm m để phương trình
2 2
log 1 2log 1 0t m t− − − =
có hai nghiệm t phân biệt.
Lời giải.
1) Đồ thị (C) của hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−
như hình vẽ2) Điều kiện
0t
>
. Đặt
2
logx t=
thì
x
t e=

⇔ =
−
(2)
Áp dụng dạng 5, từ đồ thị (C) của hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−
suy ra đồ thị
( )
4
C
của hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−

như hình vẽ. Dựa vào đồ thị
( )
4
C

x
y
x
−
=
−
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2) Tìm m để phương trình
2
sin 2 2sin 2 sin 2 2 0
4
t t m t m
π
 
− + + − =
 ÷
 
có hai nghiệm t
phân biệt thuộc đoạn
3
;
8 8
π π
 
−
 
 
.
Lời giải.

sin 2 cos2 1 2 sin 2 2 0
4
t x m t m
π
 
⇔ + − + + − =
 ÷
 

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 12
Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng.

2 sin 2 1 2 sin 2 2 0
4 4
t m t m
π π
   
⇔ + − + + − =
 ÷  ÷
   
(1)
Đặt
2 sin 2
4
x t
π
 
= +
 ÷
 

 
⇔ − ≤ + ≤
 ÷
 
2 2x⇒ − ≤ ≤
.
Do đó mỗi giá trị
2; 2x
 
∈ −
 
tương
ứng với một giá trị
3
;
8 8
t
π π
 
∈ −
 
 
.
Khi đó phương trình (1) trở thành

1 2 0x mx m− + − =

( )
1 2x m x⇔ − = −
(2)

của hàm số
1
2
x
y
x
−
=
−

như hình vẽ. Từ đồ thị
( )
5
C
suy ra:
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
3
;
8 8
t
π π
 
∈ −
 
 
khi và chỉ khi phương trình (3) có
hai nghiệm phân biệt
2; 2x
 
∈ −

x
y
x
−
=
−
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2) Tìm m để phương trình
2 2
3 9 1 9 2 0t m t− − − − − =
có 4 nghiệm t phân biệt.
Lời giải.
1) Đồ thị (C) của hàm số
3 3
2
x
y
x
−
=
−
như hình vẽ.
2) Ta có phương trình
2 2
3 9 1 9 2 0t m t− − − − − =
(1)
Điều kiện
3 3t− ≤ ≤
. Đặt

3 3
2
x
m
x
−
⇔ =
−
(3)
Phương trình (1) có 4 nghiệm t phân biệt thuộc
[ ]
3; 3−
khi và chỉ khi phương trình (2) có 2
nghiệm x phân biệt thuộc
[ ]
0; 3
⇔
Đường thẳng
y m=
cắt đồ thị
( )
6
C
của hàm số
3 3
2
x
y
x
−

như hình vẽ.
Từ đồ thị
( )
6
C
suy ra đường thẳng
y m=
cắt đồ thị
( )
6
C
của hàm số
3 3
2
x
y
x
−
=
−
tại 2 điểm
phân biệt có hoành độ thuộc
[
) (
]
0; 2 2; 3∪
khi và chỉ khi
3
0
2

1
x
y
x
=
−
như hình vẽ.
2) Phương trình đã cho tương đương với
( )
2
1 sin sin 1 0t m t m− + − + =

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 14
Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng.( )
2
sin 1 sinm t t⇔ − =
(1)
Đặt
sinx t=
,
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 ÷

C
của hàm số
2
1
x
y
x
=
−

như hình vẽ. Từ đó suy ra:
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 ÷
 
khi và chỉ khi phương trình (2) có hai
nghiệm phân biệt
( )
1; 1x ∈ −
⇔
Đồ thị
( )
7
C
của hàm số


Lời mở đầu ……………………………………… trang 1
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ……………………………………………… 1
1. Các phép biến đổi đơn giản
2. Các phép biến đổi đồ thị
Hệ quả 1
Hệ quả 2
II. CÁC DẠNG CƠ BẢN …………………………………………… 1
Dạng 1. Đồ thị hàm số
( )
y f x=
. ……………………………… 1
Dạng 2. Đồ thị hàm số
( )
y f x=
…………………………………2
Dạng 3. Đồ thị hàm số
( )
y f x=
……………………………… 2
Dạng 4. Đồ thị hàm số
( )
( )
u x
y
v x
=
……………………………… 3
Dạng 5. Đồ thị hàm số
( )

III. ỨNG DỤNG …………………………………………………… 6
Bài tập 1. …………………………………………………… 6
Bài tập 2. …………………………………………………… 7
Bài tập 3. …………………………………………………… 8
Bài tập 4. …………………………………………………… 9
Bài tập 5. …………………………………………………… 9
Bài tập 6. ………………………………………………… 11
Bài tập 7. ………………………………………………… 12
Bài tập 8. ………………………………………………… 13
Bài tập 9. ………………………………………………… 14
Kết luận ………………………………………………… 15
Mục lục ………………………………………………… 16

Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 16
Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng.
Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 17